3.2整数规划的求解方法
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
3.2纯整数规划的求解
分枝定界法的迭代原理
分枝线性规划(其目的是求整数解) 求其最优解(图解法，单纯形法) 该分枝不需要再分枝 整数解 最 优 解 若目标值>其它分枝最优值, 则是最优整数解,终止.
判断该整数解是否最优 否则, 其它分枝问题继续分 枝,得整数解,比较目标值,得 到最优整数解. 分枝
非整数解 不用分枝 (已判明该分枝中不可能有整数最优解) 比较分枝问题最优值 决定先分哪一枝
x1 5
LP5: X=(5, 5) Z5=35
LP4: X=(4, 6) Z4=34
作业1 用分支定界法求解：
max Z x1 x2
s .t .
max Z x1 x2
s .t .
9 51 9 51 x1 x 2 x1 x 2 14 14 14 14 松弛问题 1 1 LP1 2 x1 x 2 2 x1 x2 3 3 x1 , x2 0 x1 , x2 0, 整数
x1 4, x2 7
解集： 空集
X 3 (4.33,6)T , Z 3 35.33 x1 4.33 用图解法解LP3，得到最优解： 选择目标值最大的分支LP3进行分支，增加约束：x1 4,x1 5
得到两个分支线性规划LP4， LP5：
max Z 4 x1 3 x2 s .t . 1.2 x1 0.8 x2 10 LP3 2 x1 2.5 x2 25
max Z x1 x2
9 51 x1 x 2 14 14 1 LP1 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0
s .t .
x2
3 10 29 A( , ) Z 2 3 6
S1
0 1 2 3
x1
整数规划求解题技巧
整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。
整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。
下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。
1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。
纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。
通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。
2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。
这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。
3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。
它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。
分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。
分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。
4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。
启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。
常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。
5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。
面对这种情况，可以采取接近最优的策略。
即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。
6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。
通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。
问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。
7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
整数规划问题的求解
C o 3 4
x1
分支定界法
x2
A
Page 16
由 于Z 21 Z 1， 选 择 LP 21进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 x1 4及x1 5， 得 线 性 规 划 LP 211 及LP 212 ：
10
A
x2 7不可行
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 22 : x1 4，x 2 7 x1 , x 2 0
B 6 LP1
LP21
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法： 分支定界法和割平面法
Page 1
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
Page 2
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下 一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解指导老师：组员：组员分工实际的内容：1·简要介绍线性规划的历史线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。
规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。
2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。
它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。
它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。
整数规划求解方法
整数规划求解方法
整数规划是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。
求解整数规划问题的方法有以下几种：
1. 枚举法：对整数规划的决策变量进行枚举计算，找到满足约束条件的整数解并计算目标函数的值。
虽然这种方法可以保证找到最优解，但是在决策变量较多时计算复杂度非常高。
2. 列生成法/分支定界法：将整数规划转化为线性规划问题，然后利用线性规划求解方法求解。
通过不断添加新的决策变量，同时利用剪枝技术来减少搜索空间，从而求得整数规划的最优解。
3. 隐枚举法：通过将整数规划问题转化为混合整数规划问题，然后利用线性松弛来求解。
通过求解线性松弛问题的松弛变量，来判断是否满足整数约束条件，进而判断是否需要继续搜索。
4. 启发式方法/元启发式方法：基于某种特定的启发规则进行搜索，通过局部搜索和全局搜索相结合的方式来求解整数规划问题。
常见的启发式算法有遗传算法、粒子群算法等。
5. 对偶法/割平面法：通过对目标函数和约束条件进行线性组合，构建一个对偶问题，并求解对偶问题来间接求得原问题的最优解。
需要根据具体的整数规划问题来选择合适的求解方法。
有些方法适用于特定类型的整数规划问题，所以需要根据问题特点来选择合适的方法。
同时，对于大规模的整数规划问题，可能需要结合多种方法进行求解。
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B(9.2,2.4)
假如能求出可行域的“整点凸包” （包含所有整点的最小多边形 OEFGHIJ），则可在此凸包上求线性 规划的解，即为原问题的解。但当决 x2 策变量多时求“整点凸包”十分困难。
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 I(2,4) J I
H
G F 6 E 7 A8 9
B(9.2,2.4)
例 用分枝定界法求解：
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0 整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题 的最优解（10/3，4/3）Z=26/3为 各分枝的下界。
x2 8
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 p
选 x1进行分枝： (P1) x1 3 x2 8 (P2) x1
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
若松驰问题有最优解，但其各分 量不全是整数，则这个解不是原 整数规划的最优解，转下一步。
若松驰问题有最优解，但其各分 量不全是整数，则这个解不是原 整数规划的最优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任 选 一个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这 两个约束条件加进松弛问题P中， 形成两个互不相容的子问题P1和 P2，即改进的松弛问题 。
用单纯形法可解得相应的（P12） 的最优解（0，3） Z=9
X1
2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10 X1 1 P1:(1,9/4) Z=10(3/4)
X2 2 P : (1,2) Z=10 11
X2
3 P
12:
(0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10
x1,x2 0 ， x1 2
用单纯形法可解得相应的（P2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
再对（P1）分枝：X1 1
x2 4 3 2 P12
（P11） x2 2
（P12） x2 3
P1
1 P11 0 1
P2 2
3
4
x1
（P1）两个子问题：
（P11）Max Z=4x1+3x2
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 （对目标求max的ILP问题,松弛问 题的最优值是ILP的最优值的一个 上界，松弛问题的任一整数可行 解对应的目标函数值都是ILP的一 个下界）
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与 界值比较，凡不优或不能更优的 分枝全剪掉，直到每个分枝都查 清为止。
P2:无可行解
P:(10/3,4/3) Z=26/3 X1 3 P1:(3,3/2) Z=9
P11:无可行解
X2
2
P12:(2,2) Z=10
原问题的最优解（2，2） Z=10
注：求解混合整数规划问题，只对整数变 量分支，对非整数变量不分支。
x1+2x2 6
x1,x2 0， x1 3 ，x2 1 无可行解，剪去。
（P12）
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0， x1 3 ，x2 2
用单纯形法可解得（P12）的最优 解（2，2）Z=10
X1
4
X2 1
4
为空集
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 P p1
（P1）
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0 x1 3
用单纯形法可解得（P1）的最优解 （3，3/2）Z=9
（P2） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8
例 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题 的最优解（6/5，21/10）Z=111/10 为各分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1
0
1
P2 2
3
4
B(9.2,2.4)
X1 2 X2 3 X1 6 P
P1
P2 P3
X2
X1
3
X1
X2 2
4
P4
7
X2
3
P5
2 分枝定界解法 （Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题：任何整数规 划（IP），凡放弃某些约束条件 （如整数要求）后，所得到的问 题（P） 都称为（IP）的松驰问题。
10
x1
假如把可行域分解成五个互不相交的 子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义 域都是空集,而放弃整数要求后P1最优 解I(2,4),Z1=58 P2最优解(6,3),Z2=57 P4 x2 最优解(98/11,2),Z =52(8/11) 4
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 P1 P2 P4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)
先放弃变量的整数性要求， 解一个线性规划问题，然后 用“四舍五入”法取整数解， 这种方法，只有在变量的取 值很大时，才有成功的可能 性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能 成功。
整数规划的图解法
例 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x1 1
用单纯形法可解得相应的（P1）的 最优解（1，9/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
解法概述
当人们开始接触整数规划问题 时，常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此 经过一一比较后，总能求出最 好方案，例如，背包问题充其 量有2n-1种方式；连线问题充其 量有n!种方式；实际上这种方法 是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比较 较完260 种方式，大约需要360世纪。
最通常的松驰问题是放弃变 量的整数性要求后，（P）为线性 规划问题。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 2
用单纯形法可解得相应的（P11） 的最优解（1，2） Z=10
（P1）两个子问题：
（P12）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3
x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求 后，最优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原 整数规划最优解I(2,4) Z0=58，实际上 B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都 x2 不是原规划最优解。
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)
x1+2x2 6
x1,x2 0 x1 4 无可行解，剪去。
对(P1) x1 3 选 x2进行分枝： x2 8
(P11) x2 1无可行解 (P12) x2
2
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 Pp 12
（P11） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8