第六章整数规划
运筹学课件 第六章-整数规划3
物品 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
价格 15 45 100 70 50 75 200 90 20 30
设变量xij为第i个物品是否放在第j个包裹中
xij 1,0; i 1,2...,17, j 1,2,3
• 保证需求约束
x11 + x21 + x31 = 450 x12 + x22 + x32 = 275 x13 + x23 + x33 = 300 x14 + x24 + x34 = 350
} 项目1 } 项目2 } 项目3 } 项目4
最大供应量 525 450 550
约束条件：
厂家1一旦向某项目供应水泥，其至少供应量为150。 厂家2对单个项目供应量超过200吨的项目数不大于1。总产量=450 厂家3仅接受 200, 400, 和 550 吨这三个规格的货单。
1 中锋 1.93 2 中锋 1.91 3 前锋 1.87 4 前锋 1.86 5 后卫 1.80 6 后卫 1.85
配送计划模型
• 某建筑公司为完成4个工程项目，需要从3个厂家购买水泥，有关成
本如下
厂家1 厂家2 厂家3 需求量(吨)
项目1 $120 $100 $140 450
水泥的吨运费
项目2 $115 $150 $95 275
xi
0, 不携带第i件物品 1, 携带第i件物品 (i
1,2,, m)
m
max z ci xi i 1
m
ai xi
a
st.
i 1 m
bi
《运筹学》第6章 整数规划
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规 划（Binary Integer Programming，简称BIP）。
6.3 0-1整数规划
例6.2 分公司选址问题。某销售公司打算通过在武汉 或长春设立分公司（也可以在两个城市都设分公司） 以增加市场份额，管理层同时也在考虑建立一个配送 中心（也可以不建配送中心），但配送中心地点限制 在新设分公司的城市。
经过计算，每种选择使公司收益的净现值和所需费 用如表6-2所示。总的预算费用不得超过1000万元。目 标是在满足以上约束的条件下使总的净现值最大。
100万元 500万元
2
大型飞机
500万元 5000万元 没有限制
可获得的总资金 1亿元
6.1 整数规划基本概念、分类与解的特点
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买 数量分别为x1、x2(架)。 (2)目标函数
目标是年总净利润最大。
M ax z x1 5 x2
(3) 约束条件 ① 资金限制 ② 小型飞机数量限制（最多
在长春设立分公司 在武汉设立分公司 在长春建配送中心 在武汉建配送中心
净现值（万元） 800 500 600 400
所需资金（万元） 600 300 500 200
6.3 0-1整数规划
解：
（1）决策变量
本题的决策变量是是非决策的0-1决策变量，每一个决策只有 两种选择，是或者否，1表示对于这个决策选择“是”，0表 示对于这个决策选择“否” 。
是非决策问题
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
第六章 整数规划(应用运筹学)
x2≥3
线性规划B6 Z5=6 x1=0 , x2=3
z6
z 6
§3 0—1规划Binary integer programming
当我面临是与非两种选择时，我们可以用决策变量取0或1值来表示 这样的决策，这样，地j个是非决策问题可以表示成
if decision j is yes, 1 如果决策是 xj if decision j is no 0 如果决策是非
x2 3 2 1 2x1+3x2 =6 o 1 2 3 4 x1 2x1+3x2 =14 2x1+3x2 =14.66
得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。
性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目
B0
max z =x1+2x2 s.t. 2x1+5x2 ≤ 15 2x1－2x2 ≤5 x1 , x2≥0
x2为整数的限制条件，得规 划B0对应的最优解与最优 值如下，而 X=(0，0)为A0 3 的可行解 B0 13 3 T 11 X (3 ,1 ) , z 6 14 7 14
2x1＋5x2=15
(1)每求出一次符合整数的解，都要考虑修改下界
函数值最大者为新的下界 (2)修改
z
，选整数解的目标
z
0
z ，找出所有未 分枝问题目标函数值最大者，为新的上界 z 当改变完上、下界 z ，z 后，若 z ＝ z，则所有分枝均已查明，得到 A
的最优解， 若
z＞ z
，则说明仍有分枝未查明，返回到第四步
分枝定界法
分枝定界法步骤
6第六章 整数规划(3-4节)
max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0， 整 数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束：
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念 。
例：
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0， 整 数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域：ABCD
1 1 最优解：C点，其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解：（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B ：
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
（2）构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分，但该可行域内不包含任何整数可行解，所有
运筹学 第六章 整数规划 第一讲 整数规划数学模型与纯整数规划的求解
A B C D E
6 4 2 4 5
10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？
6.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
① 求解LP : 如果LP无最优解, 则IP无最优解;
设LP的最优解为x , 最优值为z , 则IP的最优值z * 满足 :
z z* z
其中 z 为IP在任何一个可行解处的目标值.
② 检验与分支：
如果x 满足IP的整数要求, 则x为IP的最优解：z* z . 否则 考虑一个不满足整数要求的xr , 将约束
示不安排第i人去做 j工 作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。
整数线性规划数学模型的一般形式：
max Z (或 min Z ) c j x j
j 1 n
要求一部分或全部决策变量取整数值
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
xr xr 和
xr xr 1
分别加入LP形成两个子问题 a] ([
不超过a的最大整数)
6.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming
Ch6 整数规划 Integer Programming
n
max
z cj xj
j 1
ij j
不考虑整数条件，由余下的目标函数和 约束条件构成的规划问题称为该整数规 划问题的松弛问题。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
第六章 整数规划(2012)
16
第三节 割平面法
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： （1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优 解这一点切割掉了。 证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0， 又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量） 有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。 （2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件 提出的。
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
7
第二节 分支定界法
分支定界法图解整数规划
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6 B1：解 （2，23/9 ） Z11 = 41/9 B2 Max 松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 B1 Max Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X1 ， X2 ≥ 0 Z = X 1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≤1 X1 ， X2 ≥ 0
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第五章整数规划
一、填空题
1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。
2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。
3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。
（）。
4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）或（）。
5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。
6．分枝定界法和割平面法的基础都是用（）求解整数规划。
7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。
所在行得X1+1／7x3+2／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为（）。
8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为（）。
9．用（）求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。
10．求解纯整数规划的方法是割平面法。
求解混合整数规划的方法是（）。
11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。
求解分配问题的专门方法是（）。
12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是（）。
13.分枝定界法一般每次分枝数量为（）个.
二、单选题
1．整数规划问题中，变量的取值可能是（）。
A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能
2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A（）。
A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划
3．下列方法中用于求解分配问题的是（）。
A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法
三、多项选择
1．下列说明不正确的是（）。
A．求解整数规划可以采用求解其相应的松驰问题，然后对其非整数值的解四舍五入的方法得到整数解。
B．用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时，通常任取其中一个作为下界。
C．用割平面法求解整数规划时，构造的割平面可能割去一些不属于最优解的整数解。
D．用割平面法求解整数规划问题时，必须首先将原问题的非整数的约束系数及右端常数化为整数。
2．在求解整数规划问题时，可能出现的是（）。
A．唯一最优解B．无可行解 C．多重最佳解D．无穷多个最优解
3．关于分配问题的下列说法正确的是_ ABD。
A．分配问题是一个高度退化的运输问题
B．可以用表上作业法求解分配问题
C．从分配问题的效益矩阵中逐行取其最小元素，可得到最优分配方案
D．匈牙利法所能求解的分配问题，要求规定一个人只能完成一件工作，同时一件工作也只给一个人做。
4.整数规划类型包括（）
A 线性规划
B 非线性规划
C 纯整数规划
D 混合整数规划
E 0—1规划
5.对于某一整数规划可能涉及到的解题内容为（）
A 求其松弛问题
B 在其松弛问题中增加一个约束方程
C 应用单形或图解法 D割去部分非整数解 E多次切割
四、名词
1、纯整数规划
2、0—1规划问题
3、混合整数规划
五、下列整数规划问题
Max Z=20X
1+10X
2
+10X
3
2X 1+20X 2+4X 3≤15 S.t 6X 1+20X 2+4X 3＝20 X 1,X 2,X 3≥0且为整数
说明能否用先求解相应的线性规划问题然后四舍五入的办法来求得该整数规划的一个可行解。
六、 某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
七、某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Ai (i ＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个； 在西区由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区由A6，A7两个点中至少选一个； 在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。
Ai 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单
位：万元）所示。
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投资额 110 130
160 90
80 100 90 150 170 190
利润
31 35 45 17 15 25
20 43
53
56
但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题
的整数规划模型。
八、考虑下述规划问题：
1122min ()()z f x f x =+
其中，11111205 0()0 0x if x f x if x +>⎧=⎨=⎩，2
2222126 0
()0
x if x f x if x +>⎧=⎨
=⎩。
模型的约束
约束条件为：
①
或者1
10x ≥，或者210x ≤
②
下列各不等式至少有一个成立：12121221515215
x x x x x x +≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≥⎩
③ 12||0x x -=或5或10； ④
10x ≥，20x ≥
试建立此问题的整数线性规划模型。
九、用分枝定界法求解
12
121212max 95114141..23,0z x x x x s t x x x x =+⎧+≤⎪⎪
⎪
-+≤
⎨⎪
⎪≥⎪⎩
且为整数
十、用割平面法求解
12121
21212max 264520..,0,z x x x x x x s t x x x x Z
=++≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩
十一、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表所示，能携带的最大重量为25 kg，试选择该队员所应携带的物品。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器
材
通信设
备
重量kg 5 5 2 5 10 2 3 重要性系数20 15 16 14 8 14 9
十二、用隐枚举法求解
max z＝4x1＋3x2＋2x3
十三、用割平面法求解下面整数规划。
（下表为最优表）
7 9 0 0
b
C B X B x1 x2 x3x4
9 x20 1 7/22 1/22 7/2
7 x1 1 0 －1/22 3/22 9/2
c j－z j 0 0 －28/11 －15/11
十四、用割平面法求解
1 1 0 0
1 5/3 1 0 5/6 －1/6 1 8/3 0 1 －2/3 1/3
0 0 －1/6 －1/6。