吉林大学远程教育课件

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离散数学
(第十三讲)
主讲人: 杨凤杰
学 时：64
§3.2 谓词公式
3.2.1 公式
在本节中，我们将对谓词逻辑中关于谓词
的表达式形式化，亦即引进公式的概念，并
引进关于公式的恒真，恒假等最基本的概念。
在形式化中，我们将使用如下四种符号：
1. 常量符号：用小写英文字母a，b，c，…表示，当个 体名称集合D给出时，它可以是D中某个元素。
由变量有且只有一个x，分别记以
G(x)，H(x)，于是有：
1)xG(x)xH(x)=x(G(x)H(x))
2)xG(x)xH(x)=x(G(x)H(x))
3)xG(x)xH(x)=xy(G(x)H(y))
4)xG(x)xH(x)=xy(G(x) H(y))
证明：用类似于证明引理1的方法，可证明此引 理的1)，2)。
定义3.2.3 谓词逻辑中的公式，
被递归定义如下：
1)原子是公式；
2) 若G，H是公式， 则(G)，(GH)，(GH)， (GH)，(GH)是公式； 3)若G是公式，x是G中的自由变量，则xG，
xG是公式； 4) 所有公式都是有限次使 用1)～3)生成的符号串。
3.2.2 解释 定义3.2.4 谓词逻辑中公式G的 一个解释I，是由非空区域D和对 G中常量符号，函数符号，谓词 符号以下列规则进行的一组指定 组成： 1.对每个常量符号，指定D中一个元素； 2. 对每个n元函数符号，指定一个函数，
2) H=x(P(x)Q(x，a))
给出如下的解释I： D={2，3 }
a
2
f(2) f(3)
3
2
P(2) P(3) Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2)
0
11
1
0
Q(3,3) 1
于是，
TI(G)= TI((P(f(2))Q(2,f(2))) (P(f(3))Q(3，f(2))))
= TI((P(3)Q(2，3))(P(2)Q(3，3))) =(11)(00)=1
将公式G在等价意义下化成了一个前束范式。 例3.4.1 xy(z(P(x，z)P(y，z))uQ(x，y，u))
=xy((z(P(x，z)P(y，z)))uQ(x，y，u)) =xy(z(P(x，z)P(y，z))uQ(x，y，u)) =xyz(P(x，z)P(y，z)uQ(x，y，u)) =xyzu(P(x，z)P(y，z)Q(x，y，u))
证明：设G是前束范式： G= Q1x1…QnxnM(x1，…，xn)设 Qr是从左往右看
第一个存在量词。令 G1= x1…xr-1Qr+1 xr+1…QnxnM(x1，…，xr-1，f(x1，…，xr-1)， xr+1，，…，xn) 其中f(x1，…，xr-1)是代替xr的Skolem函数。
下面证明 1)满足G1的解释满足G， 2)满足G的解释，适当扩充后可满足G1。 设个体域为D，取一个满足G1的解释I，于是， 对每一组(x1’…，xr-1’)Dr-1，都有 f(x1’，…，xr-1’)D，使得 Qr+1 xr+1…QnxnM(x1’，…，xr-1’， f(x1’，…，xr-1’)，xr+1，…，xn)在I下取1值。 所以x1…xr-1 xrQr+1 xr+1…QnxnM(x1，…，xn)为真，
1’) x(G(x)H)=xG(x)H
2) x(G(x)H)=xG(x)H 2’)x(G(x)H)=xG(x)H
3) (xG(x))=x(G(x))
4) (xG(x))=x(G(x))
证明：我们只证明1)和4)。
1)x(G(x)H)=xG(x)H
4) (xG(x))=x(G(x))
1)设I是G(x)和H的一个解释。
H是G1 G2的逻辑结果。 因为，设I是G1 ，G2，H的一个 解释(I指定a为张三)，且I满足G1 G2，即
I满足 x(H(x)M(x))H(a)
所以，I满足M(a)。否则，令M(a)在I下为 假，而H(a)在I下为真，于是H(a)M(a) 在I下为假，故 x(H(x)M(x))在I下 为假，矛盾!故M(a)在I下为真命题，而I 指定a为 “张三”，故M(张三)为真命题。
3) xG(x)xH(x)
=xG(x)yH(y)
改名规则
=x(G(x)yH(y)) 引理1
=xy(G(x)H(y)) 引理1
同理可证 4)。
定理3.4.1 对任意公式G，都存在与其等 价的前束范式。 证明：通过如下算法，可将公式G化成 等价的前束范式。 1.使用基本等价式(KH)=(KH)(HK) (KH)=KH可将公式G中的和删除。 2.使用(H)=H，De Morgan律，引理1，2 可将公式中所有否定号放在原子之前。 3.如果必要的话，则将约束变量改名。 4.使用引理1，2将所有量词都提到公式的最左边。于是，
满足性是等价的。
例3.4.3 设G=xyP(x，y)， 则G的Skolem范式为S=xP(x，f(x)) 设 D={1，2}取满足S的解释I如下：
f(1) f(2) P(1，1) P(1，2) P(2，1) P(2，2)
2 1 任意
1
1
任意
则对I不看对函数的解释，也是G的解释，且满足G。
反之，取满足G的解释I如下：
幸好，谓词逻辑是半可判定的，亦即，如果谓词 逻辑中的公式是恒真的，则有算法在有限步之 内检验出这个公式的恒真性。如果该公式不是 恒真的 (当然也不是恒假的)，则无法在有限 步内判定这个事实。从Thurch和Turing的结果 看，这也许是我们所能期望的最好结果了。
§3.4 范式
3.4.1 前束范式
即指定Dn到D的一个映射； 3. 对每个n元谓词符号，指定一个谓词，
即指定Dn到{0，1}的一个映射。 今后我们对讨论的公式做如下规定：公式
中无自由变量，或将自由变量看做常量。
显然，对任意公式G，如果给出G的一
个解释I，则G在I下有一个真值。
记作TI(G)。 例如，给出如下两个公式：
1) G=x(P(f(x))Q(x，f(a)))
束范式,如果G有如下形状:Q1x1…QnxnM 其中 Qixi或者是xi，或者是xi， i=1，…，n， M是不含量词的公式，
Q1x1…Qnxn称为首标，M称为母式。 例如， xyz(P(x，y)Q(x，z))
xyzP(x，y，z)等等，就是前束范式。
引理1 设G是公式，其中自由变量有且仅有一个 x，记以G(x)，H是不含变量x的公式，于是有： 1) x(G(x)H)=xG(x)H
§3.3 谓词公式的等价关系和蕴
含关系 3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.1 公式G，H称为等价，
记以G=H，如果公式GH是恒真的。 由定义显然可以看出：公式G，H等价的充
要条件是：对G，H的任意解释I，G，H在 I下的真值相同。
因为对任意公式G，H，在解释I下，G，H 就是两个命题，所以命题逻辑中给出的 10组基本等价式，在谓词逻辑中仍然成 立。
Qrxr左边的全称量词(m1，1s1<s2<…<sm<r)，则取 异于出现在M中所有函数符号的m元函数符号f(xs1，…， xsm )，用f(xs1，…，xsm )代替出现在M中的所有xr， 然后在首标中删除Qrxr。对首标中的所有存在量词做 上述处理后，得到一个在首标中没有存在量词的前束 范式，这个前束范式就称为公式G的Skolem范式。其 中用来代替xr的那些常量符号和函数符号称为公式G的 Skolem函数。
定义3.3.2 设G，H是公式，
称G蕴涵H，或H是G的逻辑结果， 如果公式GH是恒真的， 并记以GH。 显然，对任意两个公式G，H，
G蕴涵H的充要条件是：对任意解释I，若I 满足G，则I必满足H。同样，命题逻辑中 的14 组基本蕴涵式仍成立。现在，我们 再回到三段论上来。
令G1 =x(H(x)M(x)) G2=H(a),H=M(a) 我们将证明：
TI(H)= TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110=0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存在解释 I，使G在I下取1值，简称I满足G。若I不满足G， 则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满足的)， 如果不存在解释I满足G；公式G称为恒真的， 如果G的所有解释I都满足G。
定义3.2.1 谓词逻辑中的项，
被递归定义为：
1)常量符号是项；
2) 变量符号是项； 3) 若f(x1，…，xn)是n元函数符号，
t1，…，tn是项，则f(x1，…，xn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生
成的符号串。 定义3.2.2 若P(x1，…，xn)是n元谓词符
号， t1，…，tn是项，则P(x1，…，xn) 是原子。
由于谓词逻辑中的恒真(恒假)公式，
要求所有解释I都满足(弄假)该公式。
而解释I依赖于一个非空集合D。由于
集合D可以是无穷集合，而集合D的
“数目”也可能是无穷多个，因此，所
谓公式的 “所有”解释，实际上是无法
考虑的。这就使得谓词逻辑中公式的恒真，恒假 性的判断变得异常困难。1936年Church和 Turing分别独立地证明了：对于谓词逻辑，判 定问题是不可解的。
若x(G(x)H)在I下取1值，则在I下，
对任意xD，G(x)H都是真命题。若H是真
命题，则xG(x)H是真命题；若H是假命题，
则必然是对每个xD，G(x)都是真命题，
故xG(x)取1值。所以xG(x)H在I下取1值。若 x(G(x)H)在I下取0值，则必有一个x0D，使G(x0) H在I下取0值。故G(x0)为假命题，H为假命题。所 以xG(x)取0值。从而xG(x)H在I下取0值。
在命题逻辑中，我们引进过公 式的标准形式，即范式。因为一个公式，