广东省广州市长兴中学九年级数学上册 三角形的内切圆教学课件 新人教版
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人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.2.4 切线长、三角形的内切圆 (2)(共19张PPT)
（来自《典中点》）
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？ （2）圆的切线和切线长相同吗？ （3）什么是三角形的内切圆和内心？
1.必做: 完成教材P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T14
2.补充: 请完成《点拨训练》P101-102对应习题
（来自《典中点》）
知识点 2 三角形的内切圆
知2－导
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的 用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
归纳
知2－导
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I 到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 的三条边都相切，圆I就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？ （2）圆的切线和切线长相同吗？ （3）什么是三角形的内切圆和内心？
1.必做: 完成教材P100练习T2 P101 T6 P102 T11 P103 T14
2.补充: 请完成《点拨训练》P101-102对应习题
（来自《典中点》）
知识点 2 三角形的内切圆
知2－导
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的 用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
归纳
知2－导
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I 到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC 的三条边都相切，圆I就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
【教学课件】《三角形的内切圆》精品教学课件
✓ 作圆的关键是什么？ 角圆平心分到线三上条的边点到角 确定圆心和半径． 的的两距边离的相距等离相等
✓ 怎样确定圆心的位置？ 作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
✓ 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径． 相切时圆心到三角形 三边的距离等于半径
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸 类别
A
O
B
C
三角形的内切圆
⊙O的名称 △ABC的名称
△ABC的内切圆 ⊙O的外切三角形
圆心O的名称
圆心O的确定 内心与外 心的性质
△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三角形 三边的距离相等
B A
OC
三角形的外接圆
△ABC的外接圆 ⊙O的内接三角形 △ABC的外心 作两边的中垂线 外心O到三个顶 点的距离相等
∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形
的内切圆半径.
B
解：如图，设△ABC的内切圆半径是r，
切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、
OD、OE、OF，
【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= 120°. (2)若∠BIC =100°，则∠A= 20°.
I
B
C
∠BIC=90°+ 1∠A
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径
✓ 怎样确定圆心的位置？ 作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
✓ 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径． 相切时圆心到三角形 三边的距离等于半径
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸 类别
A
O
B
C
三角形的内切圆
⊙O的名称 △ABC的名称
△ABC的内切圆 ⊙O的外切三角形
圆心O的名称
圆心O的确定 内心与外 心的性质
△ABC的内心
作两角的角平分线
内心O到三角形 三边的距离相等
B A
OC
三角形的外接圆
△ABC的外接圆 ⊙O的内接三角形 △ABC的外心 作两边的中垂线 外心O到三个顶 点的距离相等
∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形
的内切圆半径.
B
解：如图，设△ABC的内切圆半径是r，
切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、
OD、OE、OF，
【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= 120°. (2)若∠BIC =100°，则∠A= 20°.
I
B
C
∠BIC=90°+ 1∠A
2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径
人教版数学九年级上册..切线长定理、三角形的内切圆、内心 PPT精品课件
A
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是切线上圆外一点和切点线段的长， 可以度量。
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
探索发现
1、从⊙O外的一点P引两条切线PA，PB，
BD、CE的长。
解：设AE=x
(cm),3则cmAF=x
5cm
(cm)
4cm
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
A
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
x
x F9
9﹣x
E
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13
O
B
解得 x = 4
因此 AE=4 cm
13﹣x
9﹣x
D14
BD=5 cm
13﹣x
24.2.2直线与圆的位置关系（3）
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的 外端 且
垂直于 这条半径的直线
是圆的切线.
.O
数学的符号语言：
l
∵OA是半径，OA⊥l于A.
A
∴l是⊙ O 的切线.
复习 2、切线的判定定理
圆的切线 垂直于 经过 切点的半径。
数学的符号语言： ∵L是⊙ O 的切线 切点为A ∴OA⊥l
人教版数学九年级上册24.2.2切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心课件
知识点三 三角形的内切圆
从前面的知识我们可知：从圆外一点可以引圆的
两条切线。假如在其中一条切线上找一点，再向引
圆的切线，你发现了什么？ A
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT1
与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆.
三角形的内切圆的圆心叫做
A
这个三角形的内心.
三角形的内心是三角形三条内
I
角平分线的交点.这个三角形 ●
叫做这个圆的外切三角形.
B
C
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
•
3、在生命的每一个阶段，阿甘的心中 只有一 个目标 在指引 着他， 他也只 为此而 踏实地 、不懈 地、坚 定地奋 斗，直 到这一 目标的 完成， 又或是 新的目 标的出 现。
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
•
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
•
2、人物作为支撑影片的基本骨架，在 影片中 发挥着 不可替 代的作 用，也 是影片 的灵魂 ，阿甘 是影片 中的主 人公， 是支撑 起整个 故事的 重要人 物，也 是给人 最大启 示的人 物。
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点。
B
思考：由切线长定
O。 C
P
理可以得出哪些结
论？
A
(1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的等腰三角形．
人教版数学九年级 上册24.2.2切线长定理、三角形的内 切圆、 内心课 件
三角形的内切圆PPT课件(上课用)
B
I． C
D ． O
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
三角形外心的性质：
E
F
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
1 2、定义：和三角形各边都相切的圆
A
． O
C
图1
D
． I
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这
图2 圆的外切三角形 个三角形叫做 。 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
E
F
形
角平分线
的交点。
A
三角形内心的性质：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， B 三边中垂线 它是三角形 的交点。
O B
1.OA=OB=OC ； 2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
I． C
D ． O
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
三角形外心的性质：
E
F
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
1 2、定义：和三角形各边都相切的圆
A
． O
C
图1
D
． I
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这
图2 圆的外切三角形 个三角形叫做 。 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
E
F
形
角平分线
的交点。
A
三角形内心的性质：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， B 三边中垂线 它是三角形 的交点。
O B
1.OA=OB=OC ； 2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
人教版数学九年级上册切线长定理三角形的内切圆内心ppt优秀课件
总务处各项管理规章制度范例1为加强财务管理，规范财务工作，促进单位经营业务的发展，提高单位经济效益，根据国家有关财务管理法规制度和本单位章程有关规定，结合本单位实际情况，特制定本制度。
2.筹集资金和有效使用资金，监督资金正常运行，维护资金安全，努力提高公司经济效益。
3.做好财务管理基础工作，建立健全财务管理制度，认真做好财务收支的计划、控制、核算、分析和考核工作。
4.加强财务核算的管理，以提高会计资讯的及时性和准确性。
5.监督单位财产的购建、保管和使用，配合综合管理部定期进行财产清查。
6.按期编制各类会计报表和财务说明书，做好分析、考核工作。
7.加强原始凭证管理，做到制度化、规范化。
原始凭证是单位发生的每项经营活动不可缺少的书面证明，是会计记录的主要依据。
羊场煤矿救护队1环境卫生管理制度1.爱护公共卫生，严禁随地吐痰和乱丢果皮纸屑。
____室内卫生做到窗明壁净，无灰尘，物见本色。
____室外卫生做到无杂草，无积水，无杂物。
____个人卫生做到常洗澡，勤理发，勤换衣服，被子。
5.每周星期一全队进行卫生大扫除。
值班队负责值班室、球场、房后水沟及公路。
待机队负责小院坝、一楼走廊、消防着装室、仪器着装室。
工作队负责二楼、三楼走廊，更衣室、娱乐室、文化室及楼梯。
驾驶员负责厕所及车库卫生扫除。
____日常情况下，每天值班队负责球场、泳池、值班室卫生。
待机队负责小院坝；驾驶员负责厕所及车库卫生扫除。
后勤人员自觉参加卫生扫除。
7.卫生扫除结束后由中队或小队长一同进行检查，达不到要求的应安排其重新打扫。
并按照内部经济管理执行。
以上各条规定望全队人员共同遵守。
羊场煤矿救护队奖惩制度2在矿山救护安全工作中，有以下成绩的单位和个人，按其贡献大小分别给予奖励：一、模范遵守《矿山安全法》、《煤矿安全规程》和《煤矿救护规程》，在矿山救护和安全工作中做出显著成绩者。
二、作战英勇，在抢救遇险人员中做出显著成绩的集体与个人。
三、在处理事故中，对防止灾情扩大或减少伤亡和损失做出贡献者。
(优秀)九年级数学上册第四章课件：4.5三角形的内切圆PPT资料
F
E
O
●●
〔1〕.三角形的内心是三条 角平分线的交点。 B
┓
C
〔2〕.三角形的内心到三边 的距离相等。
三角形的内心
圆的外切三角形
分组展示 释疑解惑
如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心,求∠BIC的度数 如果∠A=x°呢？
稳固训练 拓展提升
1，△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆
半径为r，你会求△ABC的面积吗？
• 浪费别人的学科时网 间无异于图财害 命,浪费自己学科的网 时间就等于慢 性自杀.
谢谢观看
创设情境 确立目标
从一块三角形材料中怎样 剪下一个最大的圆?
A
D
O
B
C
关键是找出〔 圆心 〕和〔 半径 〕
预习：130——131页来自自主学习 合作交流三角形的内切圆
• 1.这样的圆可以作出几个?为什么? 学科网
• 2.三角形和圆之间什么关系？
A
• 3.什么是三角形的内心？ • 4.三角形的内心有什么特点？
A
学科网
F
E
I
●●
B
┓
C
2，Rt△ABC的两直角边分别为a，b，你会求它的
内切圆半径吗？
A
●
┐
B
C
达标训练
课本：132页 练习：1、2 习题A组：1、2
A
A
●
┐
B
C
●
B
C
独立作业 8
驶向胜利 的彼岸
课本1作32业页：AB组组22题题 2B角稳角预半关稳课的B三关如关关B从2从三半习 这BB达BB关 1如，，，组组组组组组组平固平习径键固本距角键图键键一一角径题样标键图RR△2222222分 训 分 ： 为 是 训 ： 离 形 是 ,是 是 块 块 形 为 A的 训 是,题题题题题题题tt在在△△A组线练线1r找练1相和找找找三三的r圆练找B△△，，AA33：C的的0出2等圆出出出角角内可出BBAA你你—页的1CCBB交拓交〔拓。之〔〔〔形形心以〔、会会的—的三CC练点点间材材有作展展2中中求求两1两边习。。什料料什出3提提,,△△直1直∠∠长：么中中么几页升升AA〕〕〕〕〕角角AA分1关怎怎特个BB、==和和和和和边边别CC66系样样点?288的的为〔〔〔〔〔分分为°°？？面面什别别a,,，点点积积么为为bII吗吗是是?，aa，，〕〕〕〕〕？？内内c，bb心心，，它,,你你求求的会会∠∠内求求BB切II它它CC圆的 的的的度度数数
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度。 度。
A （4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
1
答： ∠BOC =90 ° + 2 ∠A
B
理由： ∵点O是△ABC的内心，
O C
∴ ∠OBC= ∴ ∠OBC＋
∠12 O∠CABB=C，12∠（O∠CABB=C12+∠∠AACCBB）
= 1（180 ° － ∠A ）= 90 ° － 1∠A
已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
切点分别是点P、L、M、N。
D
求证：AB+CD=AD+BC
N C
P
M
O
A
L
B
A
c b
r.
r = a+b-c
2
探究1
C
B
a
例：直角三角形的两直角边分别是 5cm， 12cm 则其内切圆的半径为 ______。
探究2 ： 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 A ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
24.2 三角形的内切圆
（一）提出问题
如 图 ， 你 能 否 在 △ ABC 中 画 出 一 个 圆？画出一个最大的圆？想一想，怎 样画?
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论：
A
（1）作圆的关键是什么?
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三 角形三边都相切，圆心I应满足什么 B 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
练习1：判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ 错 ） 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ 错 ） 3、等边三角形的内心和外心重合； （对 ） 4、三角形的内心一定在三角形的内部（ 对 ） 5、菱形一定有内切圆（对 ） 6、矩形一定有内切圆（错 ）
练习2：
求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
（4）圆心I确定后半径如何找？
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
名称
确定方法
图形
性质
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
三角形三 边中垂线 的交点
B
内心（三 三角形三
角形内切 条角平分
圆 的 圆 心 ）线的交点
A
A
O
O
B
B
C
B
C
A
（1）
OA=OB=OC；
O
（2）外心不一
O
解（1）∵点O是△ABC的内心，
同∴理∠∠OOBCC=B=∠∠OOBAC=A=1212∠∠ABACC=B=2355°° B
C
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 130 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 20
A
质：
I．
1、三角形的内心到三角形B各边的距离相等C；
2、三角形的内心在三角形的角平分线上； D
三角形外心的性质：
．OEΒιβλιοθήκη F1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
3. 什么是三角形的内切圆？ 当圆和三角形的三边都相切时，我们称
这个圆为三角形的内切圆。内切圆的圆
2
2
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
=
180
°－（
90
°
－
12∠A ）=
90
°+
1 2
∠A
2、定1 义：和三角形各边都相切的圆
D
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆
．I
A
．O C
图1
的圆心叫做三角形的 内心 ，这 E
F
个三角形叫做 圆的外切三角形 。
图2
3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是
△DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
形 角平分线 的交点。
三角形内心的性
定在三角形的
内部．
C
（1）到三边的
A
距离相等；
（ 2 ） OA 、 OB
、 OC 分 别 平 分
O
∠ BAC 、
∠ ABC 、
C ∠ACB； （3）内心在三
角形内部．
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。
⊙ O是△ABC的 外接 圆，点O叫△ABC
的 外心 ，
它是三角形 三边中垂线
的交点。 B
心叫做三角形的内心。这个三角形成为 这个圆的外切三角形。
例：在三角形ABC中，E是内心，∠ＢＡ Ｃ的平分线和三角形ABC的外接圆交于 点D，求证：DE=DB
E
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
❖例2：如图，⊙O内切于三角形 ABC，D、E、F是切点， AB=5,BC=4,CA=3,求AD、BE 、CF的长。