专题10 排列组合二项式定理-2020年高考数学(理)二轮专项复习

更多干货关注公众号：智囊学子

专题10 排列组合二项式定理

排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．

这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力．

§10－1 排列组合

【知识要点】

1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合．

3．组合数的性质：

(1)；

(2)．

【复习要求】

理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性．

熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．

正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】

例1 有3封信，4个信筒．

(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法?

⋅=-=-=m n m

n m

n m n

A A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!m

n n m n C C -=1

1-++=m n m n m n C C C

更多干货关注公众号：智囊学子

(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法?

【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．

(2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．

例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．

解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．

【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．

对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．

在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．

例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．

【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；

第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；

第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；

第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，

3

4A 2

2A

更多干货关注公众号：智囊学子

4，6位共有种排法．

由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种．

【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．

例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲站在中间； (2)甲、乙必须相邻；

(3)甲在乙的左边(但不一定相邻)； (4)甲、乙、丙相邻； (5)甲、乙、丙两两不相邻；

解：(1)甲站在中间，其余6名同学任意排列，故不同排法有＝720．

(2)第一步：先把甲、乙捆绑，视为一个元素，连同其余5个人全排列，共有种排法；第二步：给甲、乙松绑，有种排法，此题共有＝1440种不同排法． (3)在7名同学站成一排的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的，各占一半，因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2＝2520种．

(4)先把甲、乙、丙视为一个元素，连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种，再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种，此题的解为：＝720． (5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好，共有种站法，让甲、乙、丙3人插空，由于

4个人形成5个空位，所以甲、乙、丙共有种站法，此题答案．

【评述】当要求某几个元素排在一起时，我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素

3

7A 3

7A 66A 66A 2

2A 6

6

A 2

2A 7

7A 77A 5

5A 33A 55A 33

A 4

4A 3

5A 14403544 A A

更多干货关注公众号：智囊学子

与其他元素进行排列如例4(2)，(4)．

当要求某几个元素不相邻时，我们常常先排其他元素，然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5)．

例5 4个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒不放球，共几种放法?

【分析】先将4个球分成3组，共有种分组方法；再将3组球放在4个盒子里，是排列问题，有24种方法，所以，共有种不同的放球方法．

【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好．

例6某班组有10名工人，其中4名是女工．从这10个人中选3名代表，其中至少有一名女工的选法有多少种?

解法1：至少有一名女工的情形有三类：1名女工和2名男工；2名女工和1名男工；3

名女工，把这3类选法加在一起，共有种不同的选法．

解法2：与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法，从所有的选法中

除去“没有女工”的选法，剩下的即为所求，共有．

【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时，从大的方向看我们常常是对其分类讨论，运用分类计数原理解决问题，当然，也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算．

例7 如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?

【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．

解：1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法；

62

4=C =34A 1443

424=A C 1003

416242614=++C C C C C 1003

6310

=-C C