小学奥数专题--排列组合
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
四年级奥数-排列组合
排列组合排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小升初奥数—排列组合问题
小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和细心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数的计算方法。
2. 教学难点：排列组合的综合应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实际操作理解排列组合的概念。
2. 采用案例教学法，分析典型例题，引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3. 采用讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨，提高学生的逻辑思维能力。
五、教学安排1. 课时：每课时约40分钟2. 教学步骤：引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案一、引入新课1. 老师：同学们，你们平时喜欢做游戏吗？今天我们就来玩一个有趣的游戏，请大家观察这些数字（出示数字卡片），看看你能发现什么规律？2. 学生观察数字卡片，发现规律。
二、讲解概念1. 老师：同学们观察得很仔细，这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。
什么是排列呢？2. 学生回答：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。
3. 老师：很好，那什么是组合呢？4. 学生回答：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合的个数。
5. 老师：同学们掌握得很好，我们来学习排列数和组合数的计算方法。
三、举例讲解1. 老师：我们以n=5，m=3为例，来计算排列数和组合数。
2. 学生计算排列数：5×4×3=60，计算组合数：C(5,3)=10。
3. 老师：同学们计算得很好，这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢？四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师：比如说，我们有一排5个位置，要从中选出3个位置来安排3个同学，就有60种排列方式，10种组合方式。
五年级奥数排列组合
五年级奥数排列组合排列组合知识框架一、排列问题在实际生活中，我们经常需要将一些事物排列在一起，计算有多少种排法，这就是排列问题。
排列问题不仅与参与排列的事物有关，还与各事物所在的先后顺序有关。
一般地，从n个不同的元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同。
如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。
排列的基本问题是计算排列的总个数。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做Pn,m。
根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(n-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；步骤m：从剩下的[n-(m-1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n-(m-1)=n-m+1(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n(n-1)…(n-m+1)，即Pn,m=(n)(n-1)…(n-m+1)，这里，m≤n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。
二、排列数一般地，对于m=n的情况，排列数公式变为Pn,n=n。
表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数。
这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列。
式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n。
读做n的阶乘。
因此，Pn,n还可以写为Pn,n=n。
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻。
求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算。
三、组合问题日常生活中经常需要进行“分组”，例如在体育比赛中将参赛队分为几组，或从全班同学中选出几人参加某项活动等等。
小学奥数--排列组合教案
小学奥数-----排列组合教案加法原理和乘法原理排列与组合:熟悉排列与组合问题。
运用加法原理和乘法原理解决问题。
在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。
一天中，火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。
那么从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下图）。
从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。
加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
小学奥数专题__排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m n = C n-m n来简化计算。
小学奥数 排列组合
• 设有4个学生，分配到3个不同车间实习， 共有多少种不同的分配方法？
乘法原理与实际——
例4、一列火车从上海到南京，中途要经过6 个站，这列火车要准备多少种不同的车票？
• 某铁路线共有14个车站，这条铁路共需要 多少种不同的车票？
简单组合
• 某班的8名毕业同学见面，他们之间每两名同学都 要握手一次，这次聚会大家一共要握多少次手？ • 从7名男生和5名女生中，选出2人，选法共有多 少种？
本讲地图
排列组合
认识三角板和量角器
角的度量和计算
简单排列组合
排列组合 排列与顺序有关系
组合与顺序无关
• 简单排列——加法原理 • 例1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班， 轮船有3班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？
• 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现在有红色、蓝 色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示 信号，最多能表示出多少种不同的信号？
乘法原理——分步计数排列 例2、4人站成一排照相，有多少种排法？ 要从甲乙丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多 少种不同的排法？
乘法原理与排列—— 例3、有5个同学一起去郊游，照相时，大家坐一排， 问： 1、共有多少种不同的坐法？
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✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合✧基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Pmn表示.Pmn =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn = Pmn /m!= n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn = Cn-mn 来简化计算。
规定：Cnn =1, C0n=1.3.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1五.两个基本计数原理及应用1.首先明确任务的意义【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如：a=1，ｃ=7，则b=4（即每一组a,c必对应唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理）∴C210＝10×9＝90，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=2×90＝180。
【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：C38=56。
2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。
采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。
【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换，共12种。
1．恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个?【分析与解】 6、7、8、9的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为99999．因为10000÷504：19……424，99999÷504=198……207．所以，五位数中，能被504整除的数有198-19=179个．所以恰好能被6，7，8，9整除的五位数有179个．2．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3， (13)如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个?【分析与解】这些积中能被6整除的最大一个是13×12=26×6，最小是6．但在l×6～26×6之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有25×6，23×6，21×6，19×6，17×6这五个不是．∴所求的积共有26-5=21个．3．1，2，3，4，5，6这6个数中，选3个数使它们的和能被3整除．那么不同的选法有几种?【分析与解】被3除余1的有1，4；被3除余2的有2,5；能被3整除的有3，6．从这6个数中选出3个数，使它们的和能被3整除，则只能是从上面3类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的，∴共有2×2×2=8种不同的选法．4．同时满足以下条件的分数共有多少个?①大于，并且小于；②分子和分母都是质数；③分母是两位数．【分析与解】由①知分子是大于1，小于20的质数．如果分子是2，那么这个分数应该在与之间，在这之间的只有符合要求．如果分子是3，那么这个分数应该在与之间，15与18之间只有质数17，所以分数是．同样的道理，当分子是5，7，11，13，17，19时可以得到下表．分子分数分子分数2 113 135 177 19于是，同时满足题中条件的分数共13个．5．一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?【分析与解】设这个六位数为，则有、的差为0或11的倍数．且、、、、、均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数．先考虑、、偶数位内，、、奇数位内的组内交换，有×=36种顺序；再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有×=36种顺序．所以，用均不为0的、、、、、最少可以排出36+36=72个能被11整除的数(包含原来的)．所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数．6．在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个?【分析与解】先考虑2000～8999之间这7000个数，个位数字与十位数字不同的数共有7×10×=6300．但是1998，8992～8998这些数的个位数字与十位数字也不同，且1998在1998～8991内，8992～8998这7个数不在1998～8991之内．所以在1998～8991之内的个位数字与十位数字不同的有6300+1-7=6294个．7．个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个?【分析与解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7= 1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 + 8= 3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4．其中三个数字均不相等且不含0的有7组，每组有种排法，共7×=42种排法；其中三个数字有只有2个相等且不含0的有3组，每组有÷2种排法，共有3×÷2=9种排法；其中三个数字均相等且不含0的只有1组，每组只有1种排法；在含有0的数组中，三个数字均不相同的有3组，每组有2种排法，共有3×2×=12种排法；在含有0的数组中，二个数字相等的只有1组，每组有2÷2种排法，共有2种排法．所以，满足条件的三位数共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66个．8．一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?【分析与解】我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算．所有的一位数均是“回文数”，即有9个；在二位数中，必须为形式的，即有9个(因为首位不能为0，下同)；在三位数中，必须为(、可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的，即有9×10 =90个；在四位数中，必须为形式的，即有9×10个；在五位数中，必须为形式的，即有9×10×10=900个；在六位数中，必须为形式的，即有9×10×10=900个．所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为997799．而第1996个数为倒数第3个数，即为997799．所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是997799．9．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【分析与解】设A:BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=1260种选法，即从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．10．有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．问这样的五位数共有多少个?【分析与解】如下表，我们一一列出当首位数字是5，4，3时的情况．首位数字 5 4 3所有满足题意的数字列表满足题意的6 9 12数字个数因为对称的缘故，当首位数字为1时的情形等同与首位数字为5时的情形，首位数字为2时的情形等同于首位数字为4时的情形．所以，满足题意的五位数共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42个．11．用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个?【分析与解】当只有四个连续的1时，可以为11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112，* * * 21111，因为 * 号处可以任意填写1或2，所以这些数依次有23，22，22，22，23个，共28个；当有五个连续的l时，可以为111112 * * ，2111112 *，*2111112，* * 211111，依次有22，2，2，22个，共12个；当有六个连续的1时，可以为1111112 *，21111112，* 2111111，依次有2，1，2个，共5个；当有七个连续的1时，可以为11111112，21111111，共2个：当有八个连续的l时，只能是11111111，共1个．所以满足条件的八位数有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48个．12．在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位?【分析与解】设为满足条件的两个连续自然数，有=+1．我们只用考察的取值情况即可．我们先不考虑数字9的情况(因为取9，则为0，也有可能不进位)，则只能取0，1，2，3，4；只能取0，1，2，3，4；只能取0，1，2，3，4；对应的有5×5×5=125组数．当=9时，有的下一个数为，要想在求和时不进位，必须≤9，所以此时只能取0，1，2，3，4；而也只能取0，1，2，3，4；共有5×5=25组数．当=99时，有的下一个数为，要想在求和时不进位，必须+(+1)≤9，所以此时只能取0，1，2，3，4；共有5组数．所以，在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到125 + 25 + 5 = 155对相邻的自然数，满足它们相加时不进位．13．把1995，1996，1997，1998，1999这5个数分别填入图20-1中的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等．那么共有多少种不同填法?【分析与解】显然只要有“东”+“西”=“南”+“北”即可，剩下的一个数字即为“中”．因为题中五个数的千位、百位、十位均相同，所以只用考虑个位数字，显然有5 + 9 = 6 + 8，5 + 8 = 6 + 7，6 + 9 = 7 + 8．先考察5 + 9 = 6 + 8，可以对应为“东”+“西”=“南”+“北”，因为“东”、“西”可以调换，“南”、“北”可以对调，有2×2=4种填法，而“东、西”，“南、北”可以整体对调，于是有4×2=8种填法．5 + 8 =6 + 7，6 + 9 =7 + 8同理均有8种填法，所以共有8×3=24种不同的填法．14．在图20-2的空格内各填人一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图20-3为一种填法．那么共有多少种不同的填法?23图20-26 4 27 5 3图20-3【分析与解】为了方便说明，标上字母：C D 2A B 3要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互换．但是，D只能取4，5，6，因为如果取7，就找不到3个比它大的一位数了．当D取4，5，6时分别剩下5，4，3个一位大数．有B、C可以互换位置．所有不同的填法共×2+×2+×2=10×2+4×2+1×2=30种．(2003年一零一中学小升初第12题)将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一竖列中从上到下数字也由小到大排列．(1)将1至4填入表1中，方法有______________ 种：(2)将1至6填入表2中，方法有______________ 种；(3)将1至9填入表3中，方法有______________ 种．【分析与解】 (1)2种：如图，1和4是固定的，另外两格任意选取，故有2种；(2)5种：1和6是固定的，其他的格子不确定．有如下5种：(3)42种：由(2)的规律已经知道，3×2是5种：1、2、3确定后，剩下的6个格子是3×2，为5种．如下：同理也各对应5种；注意到例外，对应的不是5种，因为第一排右边的数限制了其下方的数字，满足条件的只有如下几种：共计5 + 5 + 5 + 4 + 2 = 21种．另外，将以上所有情况翻转过来，也是满足题意的排法，所以共21×2=42种．15．从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图20－4的6个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数．那么共能找出多少种不同的挑法?(6个数字相同、排列次序不同的都算同一种．)【分析与解】显然任意两个相邻圆圈中的数一奇一偶，因此，应从2、4、6、8中选3个数填入3个不相邻的圆圈中．：填入2、4、6，这时3与9不能同时填入(否则总有一个与6相邻，和3+6或9+6不是质数)．没有3、9的有1种；有3或9的，其他3个奇数l、5、7要去掉1个，因而有2×3=6种，共1+6＝7种．：填入2、4、8．这时7不能填入(因为7+2，7+8都不是质数)，从其余4个奇数中选3个，有4种选法，都符合要求．：填入2、6、8．这时7不能填入，而3与9只能任选1个，因而有2种选法．：填入4、6、8．这时3与9只能任选1个，1与7也只能任选1个．因而有2×2=4种选法．总共有7 + 4 + 2 + 4 = 17种选法20．一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在掷骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是几？1. 从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有种．2. 甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法．3. 从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动．有种不同的选法．4. 从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有种不同的排法．5. 若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有种．6. 有a，b，c，d，e共5个火车站，都有往返车，问车站间共需要准备种火车票．7. 某年全国足球甲级联赛有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行场比赛．8. 由数字1、2、3、4、5、6可以组成个没有重复数字的正整数．9. 用0到9这10个数字可以组成个没有重复数字的三位数．10. （1）有5本不同的书，从中选出3本送给3位同学每人1本，共有种不同的选法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学每人1本，共有种不同的选法．11. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有种．12. （1）将18个人排成一排，不同的排法有少种；（2）将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有种；（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有种．13. 5人站成一排，（1）其中甲、乙两人必须相邻，有种不同的排法；（2）其中甲、乙两人不能相邻，有种不同的排法；（3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有种不同的排法．14. 5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有种不同的站法．15. 4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有种．16. 停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有种．17. 在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有种．18. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有种取法；（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有种取法；（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有种取法．19. 甲，乙，丙，丁4个足球队举行单循环赛：（1）共需比赛场；（2）冠亚军共有种可能．20. 按下列条件，从12人中选出5人，有种不同选法．（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；21. 某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村演出，问有种选法．22. 从6名男生和4名女生中，选出3名男生和2名女生分别承担A，B，C，D，E五项工作，一共有种不同的分配方法．。