高考数学椭圆的几何性质
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程高三数学备课组 刘岩老师1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤， x b y a ≤≤， 顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e a ce )10(<<=e a ce 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解61---椭圆及其性质
高考数学一轮复习考点知识专题讲解椭圆及其性质考点要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长 短轴长为2b ，长轴长为2a焦点 F 1(－c ,0)，F 2(c ,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0<e <1)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2常用结论 椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大． (2)12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．(×) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．(√) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A ．4B ．5C ．8D ．10 答案D解析依椭圆的定义知， |PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1 答案A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一 椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________． 答案433解析由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16，∴|F 1P |·|PF 2|＝163， ∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4. 教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为() A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7 B.74 C.72 D.752答案C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是()A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x24＋y23＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋ 5 B．6 C．25＋2 D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝32|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎨⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为() A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是() A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为() A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义， 得|AF 1|＝2a －32.①在Rt△AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1离心率例4(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55 B.12 C.33 D.22答案A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ,0)，由点到直线距离公式， 得c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55. (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1答案B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e .命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4.教师备选1．嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，则下列选项中正确的是()A．焦距长约为400公里 B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为75 994答案D解析设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，所以2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150,2c＝300，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得D正确，A，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8 答案C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为() A.2－1 B.5－12 C.22D.2＋1 答案A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形， ∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34答案A 解析如图，当P 在上顶点时，∠APB 最大， 此时∠APB ≥120°，则∠APO ≥60°，所以tan∠APO ≥tan60°＝3， 即a b≥3，a 2≥3b 2，a 2≥3(a 2－c 2)， 所以2a 2≤3c 2，则c a ≥63， 所以椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1D.x 29＋y 25＝1 答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.24 答案C解析依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2] 答案C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]．4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是()A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14<k －4k <1，解得k >163； 当0<k <4时，c ＝4－k ， 由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.5．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为() A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32答案A解析∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝3c ， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆的离心率e ＝21＋3＝3－1.6．(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法不正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案B解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b >1,2b >2， 所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b2<1，即b 2＋a 2－a 2b 2<0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)<0， 化简可得a 4－3a 2＋1>0(a >1)， 解得a 2>3＋52或a 2<3－52(舍去)， 则椭圆C 的离心率e ＝ca<13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12， 所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确．7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解(1)由题意得，A (－a ,0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为62b ， 即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12|PF 1||PF 2|sin60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是() A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为453答案C解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4，2PA k ＝y ′x ′－4，有1PA k ·2PA k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1PA k ·2PA k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 错误． 12．2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ，下列结论不正确的是()A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案D解析设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ,0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案25555解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e (0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________． 答案[1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1. ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a|PF 1|(2a －|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4， 即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]．16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)， 所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2， 所12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2， 所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——椭圆 第一课时 椭圆及其性质
索引
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角形， r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)
2c＝
23，短轴长
2b＝12，离心率
e＝ac＝
3 2.
索引
5.(易错题)已知椭圆x52＋ym2＝1(m>0)的离心率 e＝ 510，则 m 的值为___3_或__2_3_5___.
解析 若 a2＝5，b2＝m，则 c＝ 5－m.
由ac＝ 510，即
5－m＝ 5
510，解得 m＝3.
若 a2＝m，b2＝5，则 c＝ m－5.
索引
法二(定义法) 椭圆2y52＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)，即 c＝4. 由椭圆的定义知,2a= （ 3-0）2+（- 5+4）2+ （ 3－0）2+（- 5－4）2，解 得 a＝2 5. 由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
索引
3.设点 P 为椭圆 C：xa22＋y42＝1(a>2)上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，且
43 ∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为____3____.
解析 由题意知，c＝ a2－4.
又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2 a2－4， ∴|F1F2|2 ＝ (|F1P| ＋ |PF2|)2 － 2|F1P|·|PF2| － 2|F1P|·|PF2|cos 60°＝ 4a2 － 3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
高考数学专题复习：椭圆
高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅= ，且2PQ = ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =（1）若k ≤ （2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
2020高考数学复习专题61 椭圆的几何性质(解析版)
因为 x0 , y0 0 ，所以 x0 2, y0 1 ．
因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) ．
②因为三角形 OAB 的面积为 2 6 ，所以 1 ABOP 2 6 ，从而 AB 4 2 ．
7
2
7
7
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
由（*）得
x1,2
24 x0
＋c＝0)． 可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
3．设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](k 为直线 斜率)或 （1＋k12）[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)．
∴e＝ 6. 3
4.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有 b＝c，此时可求得离心率 e＝c＝ a
c ＝ c ＝ 2；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为 m，故有 2c＝m,2a＝(1 b2＋c2 2c 2
所以椭圆的标准方程为
x2 4
2
2
2
3.若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的
垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是____.
【解析】 由题意知，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即点 F 到点 P 与到点 A 的距离
因为圆 O 的直径为 F1F2 ，所以其方程为 x2 y2 3 ．
高考椭圆大题知识点公式
高考椭圆大题知识点公式椭圆是初中数学中的一个重要的几何概念，它也是高考中常见的题型之一。
椭圆的性质和计算方法在高考中一直以来都是考察的重点，掌握了椭圆的知识点和公式，对于解答相关题目有着至关重要的作用。
本文将详细介绍高考椭圆大题的知识点和公式。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以用一个特定的平面曲线来描述，它是一个离心率小于1的闭合曲线。
椭圆有两个特殊的焦点和一个长轴和短轴。
在求解椭圆的相关题目时，我们需要了解椭圆的四个基本性质：离心率、焦半径、焦距和准线。
2. 椭圆的方程和标准方程对于给定的椭圆，我们需要根据已知条件求解其方程。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1（a>b>0），其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是与椭圆的离心率相关的关键概念。
根据椭圆的标准方程，椭圆的焦点分别位于椭圆的长轴两侧，并与中心坐标的y坐标有一定的关系。
在求解与焦点相关的问题时，我们需要根据给定条件确定焦点的坐标和与焦点相关的长度。
4. 椭圆的参数方程和切线方程椭圆的参数方程是描述椭圆上任意一点的坐标与参数的关系。
根据椭圆的参数方程，我们可以求解椭圆上特定点的坐标，并进一步求解与椭圆相关的问题。
另外，椭圆的切线方程是求解椭圆上某一点的切线斜率和方程的重要手段。
5. 椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长是解答椭圆相关题目时常见的考点。
椭圆的面积公式为πab，其中a是椭圆的长轴半径，b是椭圆的短轴半径。
椭圆的周长公式是2π√(a²+b²/2)。
6. 椭圆在平面几何中的应用椭圆不仅仅是一个抽象的数学概念，它在实际生活和工程领域中有着丰富的应用。
椭圆的轨迹和焦点特性在天体运动、建筑设计、电子工程等领域有着广泛的应用。
通过了解椭圆的应用，我们可以更好地理解椭圆的几何性质和相关计算方法。
高考椭圆的知识点
高考椭圆的知识点高考数学中关于椭圆的知识点主要包括以下几个方面：1、椭圆的定义：椭圆是平面内到两个固定点（焦点）的距离之和为定值（大于两焦点间距离）的所有点的轨迹。
2、椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时，标准方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(a > b > 0)，(h, k)是椭圆中心的坐标。
当焦点在y轴上时，标准方程为：(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1，同样a>b>0，(h, k)为椭圆中心坐标。
3、参数形式：椭圆还可以用参数方程表示，例如：x = a * cosθ + h，y = b * sinθ + k。
4、基本性质：长半轴a和短半轴b决定了椭圆的形状和大小，离心率e = c/a（c为焦距的一半），范围在0 < e < 1。
椭圆的面积公式S = πab。
焦点与长轴、短轴的关系：焦距|F1F2| = 2c，长轴长2a，短轴长2b，有关系式a^2 = b^2 + c^2。
5、几何性质：焦点弦性质、通径（过焦点垂直于长轴的弦）、共轭直径等。
与圆锥曲线相关的光学性质，如反射定律等。
6、解题方法：利用定义求解有关焦点、焦半径等问题。
根据给定条件确定椭圆的标准方程，通常采用待定系数法。
计算椭圆上的点与焦点或准线的距离，以及运用离心率解决相关问题。
7、离心率的应用：离心率常作为约束条件出现在题目中，用来求解椭圆方程或者判断椭圆形状。
8、交点问题：椭圆与其他图形（直线、圆、抛物线等）相交时求交点坐标及相关长度、面积计算。
高考中的椭圆题目类型多样，包括但不限于以上知识点，要求考生能够灵活运用椭圆的基本概念、性质及方程来解答不同难度的问题。