专题五 高考中的圆锥曲线问题
高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样，以下是常见的几种题型和解法：
1.求圆锥曲线的方程：通过给定的条件，根据圆锥曲线的定义和性质，可以求出圆锥曲线的方程。
例如，已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程，可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。
2.求圆锥曲线的性质：通过已知的条件，可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。
例如，已知圆锥曲线的焦点和准线，可以求出其焦距、离心率等性质。
3.求直线与圆锥曲线的交点：通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程，可以求出它们的交点。
可以将直线方程代入圆锥曲线方程，解方程得到交点的坐标。
4.求切线和法线：通过已知的条件，可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。
例如，已知圆锥曲线上一点的坐标，可以求出该点处的切线和法线方程。
5.求曲线的参数方程：对于给定的圆锥曲线方程，可以通过变量替换的方法，将其转化为参数方程。
例如，对于抛物线，可以令y=xt^2，将方程转化为参数方程。
这些只是一些常见的题型和解法，实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多，需要根据具体的题目来进行分析和解决。
掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法，能够更好地应对这类题目。
圆锥曲线五、定点定值问题专题整理
圆锥曲线中关于定点定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题。
对满足一定条件的曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这又构成了过定点问题。
定值，定点问题是高考中每年常考内容。
对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
解决定值问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。
例1、椭圆C ：12422=+x y 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB 分别交椭圆C 于另外两点A,B ，求证：直线AB 的斜率为定值。
例2：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+→→→a OB OA 与共线。
设M 为椭圆上任意一点，且),,(R OB OA OM ∈+=→→→μλμλ证明：22μλ+为定值。
例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为32。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A 。
求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标。
例题4、如图，椭圆E ：12222=+b y a x ()0a b >>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形。
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q 。
专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)
【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－213 13 <m<213 13. 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，-3）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围. 【解析】（1）设),(v u AB =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→2OA AB OAAB ，得⎩⎨⎧=-=+03410022v u v u .解得⎩⎨⎧==86v u ， 或⎩⎨⎧-=-=86v u .∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211y x Q y x P 为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则：， 整理得：，即21,x x 为方程0225222=-++aa x a x 的两个相异实根. 于是由02254422>-⋅-=∆aaa ，得23>a . 故当23>a 时，抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两点. 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB 的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a 的取值范围.【变式演练1】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y =12x 2－1上不存在关于直线y =x 对称的两点。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
圆锥曲线专题五轨迹问题
圆锥曲线专题五：轨迹问题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、 性质有着密切的关系。
在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和 具体方法。
探求曲线轨迹的基本方法主要有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法(代 入法)、参数法。
(1)已知A(2,3)且|PA|=7，则点P 的轨迹是 圆(2) 已知：ABC 的一边BC 的长为6,周长为16,则顶点A 的轨迹是什么？(椭圆，除去与 BC 边共线的两个顶点。
)若A( -1,0), B(5,0)且| MA | - | MB 4则点M 的轨迹是 双曲线右支(4) (5) 致是1 1b .0,因此--0,所以有：椭圆的焦点在 y 轴，抛物线的开口向左，得D 选项.a -a(6) 已知圆C ： x 2 +y 2 +6x-91 =0及圆内一点P (3, 0),求过点P 且与已知圆内切的圆 的圆心M 的轨迹方程。
分析：(1 )圆C 的半径与圆心坐标可定。
(2) 两圆内切可得：外圆半径=内圆半径+连心距。
(3) 动点M 满足的等量关系：| MC| + | MP | = 10> | PC |(4) 由定义可确定动点 M 的轨迹为以P 、C 为焦点的椭圆。
(7) 已知动圆与圆 C 1 : (x 5)2 y^ 49和圆C 2： (x - 5)2 y 2 = 1都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
分析：(1 )从已知条件可以确定圆C 、G 的圆心与半径。
(2) 两圆外切可得：两圆半径和=圆心距 (3) 动圆半径r,依题意有r 1 + r = | P C 1 | , r 2 + r = | P C 2 |两式相减得：| PC 1 | -- | PC 2 | = r 1 -r 2 < | C 1 C 2|(3) b答案：D过点(2，3)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？(抛物线) a(a . b . 0)的曲线大=1, y^ -- x .因为b1(4)由双曲线定义得：点P的轨迹是C1、G以为焦点的双曲线的右支。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
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专题五 高考中的圆锥曲线问题
1． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9
＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |
＝_______.
2． 设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( )
A.p
2 B ．p C ．2p D ．无法确定
3． 若双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6
4． 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是
( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2)
5． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →
等于( )
A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例
1
(浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，1
2
)
到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为5
4
.点M (t,1)是C 上的
定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线 OM 上．
(1)求曲线C 的方程及t 的值；
(2)记d ＝|AB |
1＋4m 2
，求d 的最大值．
思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足
∠AMB ＝2θ，|AM →
|·|
BM →
|cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．
(1)求|AM →|＋|BM →
|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 面积的最大值．
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
例
2(福建)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(江西)椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
3
2，a
＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，
直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
题型三圆锥曲线中的探索性问题
例3(广东)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
2
3，且椭圆C上的点到点
Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、
B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
思维升华(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中
心和C 2的顶点均为原点O
(1)求C 1，C 2的标准方程；
(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
题型四 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
例4
(浙江)
如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，
l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
思维升华 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
(重庆) 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，
离心率e＝
2
2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
高分演练
1． 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．l 不存在．
2. 如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，x 轴被曲
线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长． (1)求C 1，C 2的方程；
(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，两直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . ①证明：MD ⊥ME ；
②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17
32
？请说明理由．
3． 如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于
A 、
B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →
＝(－4，－12)． (1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；
(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．
4. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆
的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使
点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.
(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹；
(2)设x 1＝2，x 2＝13
，求点T 的坐标； (3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．
6． (上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．
(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．。