统计与概率、综合与实践内容分析与建议

专题学习统计和概率、综合和实践内容分析和建议专题一统计和概率（一）“统计和概率”的内容结构在课程标准中较课程标准实验稿有较大变化。

即在第一学段内容大大减少，只保留3条要求，主要是学会分类、会进行简单的数据收集和整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共8条；第三学段分为“抽样和数据分析”和“事件的概率”两部分，共11条。

这样调整的原因在于，在实验过程中原来第一学段对于统计和概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习是有一定困难的，教学设计和实施也有很大难度。

同时，在内容上和后面两个学段有很大的重复。

因此，较大幅度降低了第一学段统计和概率内容的要求，对后两个学段的内容也做相关的调整，如中数、众数等内容从第二学段移到第三学段。

这样使统计和概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也表现出一定的梯度。

在初中阶段“统计和概率”的课程内容主要由数据分析的过程、数据分析的方法、数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率构成。

通过本节分析，使教师在教学中，通过让学生参和在实际问题中收集和处理数据，利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计和概率的基础知识和基本技能。

1.数据分析的过程课程标准中将数据分析观念作为核心概念，为教师理解这部分内容结构提供了重要指导。

在课程标准中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析是统计的核心。

”基于这些阐述，为使学生树立数据分析的观念，教师最有效的方法就是让他们投入到数据分析的全过程中去。

在此过程中，学生不仅学习一些必要的知识和方法，同时还将体会数据中蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。

为此，课程标准在三个学段对数据分析的过程都提出了相应的要求。

在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程”；在第二学段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”；在第三学段中，提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程，能用计算器处理较为复杂的数据”。

从这些要求中不难看出以下几点。

一是数据分析的过程可以概括为收集数据、整理数据、描述数据和分析数据。

二是学段的要求逐步深入，从第一学段到第三学段，学生随着年龄的增长，将逐步经历更加完整的数据分析过程。

在要求上第一学段、第二学段都提出了经历“简单的”过程，第三学段则去掉了这个限制。

三是从第二学段开始使用计算器来处理数据，到第三学段则要求能使用计算器处理较为复杂的数据。

下面，我们以课程标准的例子来进一步体会数据分析的内涵及要求。

在三个学段，课程标准都举了对全班同学的身高进行分析的例子，并且鼓励学生把每年测量身高的数据保留下来，根据不同学段的特点对数据进行整理、描述和分析，提取信息，从而经历数据分析的过程。

具体阐述和要求如下。

【案例1】三个学段中关于数据分析过程的例子第一学段（课程标准例19）：对全班同学的身高进行调查分析。

[说明]学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。

希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。

在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。

第二学段（课程标准例38）：对全班同学的身高的数据进行整理和分析。

[说明]在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。

在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。

整理的目的是为了便于分析。

例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。

学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。

第三学段（课程标准例70）：比较自己班级和别的班级同学的身高状况。

[说明]对于两个班级学生身高状况比较，通常可以通过平均值来判断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，如果一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均值高一些，也不能说这个班的整体状况很好。

因此，在判断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。

进一步引导学生逐渐深入地进行数据分析，可以要求学生把身高分段，画出频数直方图，并引导学生讨论，通过直方图能否得到更多的信息。

2.数据分析方法掌握必要的收集、整理、描述数据和分析数据的方法，无疑是统计课程内容建构的第二个主要内容。

这里主要让学生掌握收集数据的方法和整理、描述、分析数据的方法。

（1）收集数据的方法。

在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。

在第一、第二学段中，学生收集的基本都是总体数据；在第三学段中，学生将开始学习抽样，体会抽样的必要性，通过实例了解简单的随机抽样。

其中数据的来源有两种，一种是现成的数据，另一种是需要自己收集的数据。

在义务教育阶段两种来源都应该让学生有所体验，特别是自己收集的数据。

常用的收集数据方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。

学生应该对收集数据的方法有比较丰富的体验。

（2）整理、描述、分析数据的方法。

当人们收集了一堆数据以后，这些数据往往看起来比较杂乱，就需要来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱无章的数据进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。

其中在初中学段，学生将了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图；继续学习刻画数据集中趋势的统计量——中位数和众数，以及刻画数据离散程度的统计量——极差、方差；体会样本和总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。

需要指出的是，教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地学习名词、计算方法等。

这里不妨看一下课程标准中对案例38的说明：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。

”因此，需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。

总之，“统计学对结果的判断标准是好坏”，而不是“对错”。

3.数据的随机性由于推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，所以把它这个背景称为总体。

假定这个总体是未知的，目的是想通过样本来推断总体，而在调查或者试验之前，我们不可能知道数据的具体取值。

也就是说，数据可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。

课程标准将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一。

数据的随机性主要有两层含义：一是对于同样的事情每次收集到的数据可能是不同的；二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。

如袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定，另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，如红球多还是白球多，红球和白球的比例等。

从而让学生感悟，虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息。

不少教师会有这样的困惑：概率也是研究随机现象的，那么，为什么又提出数据的随机性呢？实际上，统计和概率都是研究随机现象的学科。

不论怎么说，机遇（或说偶然性）无所不在，机遇伴随着人的一生（当然随人的情况而有异），这是一个无法回避的现实。

统计和概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，而概率侧重于建立理论模型来刻画随机。

鼓励学生运用数据来体会随机，更能体会随机的特点。

下面是课程标准修订组召集人史宁中教授对此的论述。

“我听了一些课，老师们经常这样处理：比如对于掷一枚均匀的硬币，先得到出现正面或反面的概率是21，然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果21。

这里有两个问题。

一是一个硬币，先假定它出现正面和反面的可能性是21，这是数学（或者称为概率）。

这个21是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。

实际上，学生做了很多次试验也得不到21，反而更加糊涂了。

二是运用定义的方式教学随机性，不能很好地培养学生的随机观念。

需要指出的是，我赞成做试验，赞成运用统计的思想来做试验。

但是，统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们作出一些判断。

同样是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计试验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例（频率），然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。

如果这个可能性接近21的话，就推断这个硬币大概是均匀的，这就是统计的思想。

”“对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于‘逆过来’通过数据来进行推断，教师往往比较陌生。

为了帮助教师理解，再阐述一下摸球的例子。

同样是一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球，如果让学生通过摸来验证出现白球的可能性是54、出现红球的可能性是51，这不是统计。

统计是这样的，告诉学生们袋子里有很多球，有白颜色的和红颜色的。

让学生们去摸，摸到一定程度的时候，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。

进一步的话，能推断出白球和红球的比例大概是多少。

在告诉球的总数的时候，能够估计出来几个白球和几个红球，这个就是统计的过程。

”我们并不是反对前一种教法，而是说如果这么教，蕴涵的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做试验。

而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先并不知道，但是，摸的次数多了能够帮助学生做一些判断。

这样一来，学生既体会了随机性，又感受到了数据中蕴涵着信息，同时，这种类似于“猜谜”的活动学生学起来也会很有兴趣。

实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在课程标准案例40的说明中，给出了这种推断背后的科学依据，也就是，虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定试验次数下，估计值和实际情况相差不大的可能性是很大的。

在第三学段，学生开始学习抽样，体会样本和总体的关系，这实际上是帮助学生体会数据的随机性的重要内容。

同时，课程标准还利用案例阐述了在第二、第三学段的不同要求。

对于上面提到的摸球游戏，第二学段要求“通过摸球，学生发现每次摸出的球的颜色不确定，初步感受数据的随机性。