关于数学中求余数问题的一个简单方法
8.1有余数的除法(教案)-二年级上册数学青岛版五四制
8.1有余数的除法（教案）二年级上册数学青岛版五四制今天我们要学习的是二年级上册数学中关于“有余数的除法”这一部分的内容。
我要带领大家复习一下除法的基本概念，然后再引入有余数的除法。
一、教学内容我们使用的教材是青岛版五四制二年级上册数学，今天我们要学习的章节是“有余数的除法”。
这部分内容主要包括：理解有余数的除法的概念，掌握有余数的除法的运算方法，以及理解余数与除数之间的关系。
二、教学目标通过今天的学习，我希望大家能够掌握有余数的除法的运算方法，理解余数与除数之间的关系，并且在实际操作中能够灵活运用。
三、教学难点与重点今天教学的重点是有余数的除法的运算方法，难点是理解余数与除数之间的关系。
四、教具与学具准备为了帮助大家更好地理解这部分内容，我已经准备了一些教具和学具，包括黑板、粉笔、实物投影仪、计算器以及一些练习题的纸张。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会通过一个实际的例子来引入今天的话题，例如：“如果有13个苹果，我们要平均分给5个小朋友，每个人可以分到几个，还剩下几个？”2. 例题讲解：然后我会给大家讲解一个有关有余数的除法的例题，比如：“13除以5等于多少？剩下的苹果怎么处理？”我会讲解每一步的运算方法，让大家清楚地理解有余数的除法。
3. 随堂练习：讲解完例题后，我会给大家一些随堂练习题，让大家自己动手做一些有关的题目，巩固所学的知识。
4. 小组讨论：我会让大家分成小组，讨论一些有关有余数的除法的题目，大家可以互相交流自己的想法和方法，共同解决问题。
六、板书设计我会在黑板上写出一些关键的公式和概念，比如“有余数的除法”、“除法运算方法”等，以及一些例题的解题过程，让大家能够直观地看到和理解。
七、作业设计今天的作业我会设计一些有关的练习题，让大家能够巩固所学的知识。
其中包括一些基本的除法题目，以及一些有关有余数的除法的题目。
八、课后反思及拓展延伸通过今天的学习，我希望大家能够理解有余数的除法的概念，掌握有余数的除法的运算方法，并且能够灵活运用。
数学教案：求商和余数的方法及举例
随着现代教育的发展，教学方法也越来越多样化。
在数学教育中，一个重要的知识点就是求商和余数的方法。
通过掌握求商和余数的方法，可以更好地理解数学知识，并且在解决实际问题时也能起到很好的作用。
本文将对求商和余数的方法进行详细的介绍，并通过举例子的方式帮助读者更好地理解。
1.常用的求商和余数的方法在数学中，求商和余数的方法有很多种，例如短除法、长除法、取模运算等等。
接下来将对这些方法进行简要介绍。
1.1.短除法短除法是一种非常常用的方法，也是最简单的方法之一，它的基本原理是将被除数逐一减去除数，求出商和余数。
例如，我们需要求出 27 ÷ 5 的商和余数，可以按照如下步骤进行：将 27 和 5 两个数写在一起，如下所示：5 27将 27 从左往右依次减去 5，得到如下所示：5 27-25接着，在下一行写出减去的 5，如下所示：5 27-252然后将剩下的部分 2 和下一个数 7 组合在一起，再进行一次减法，如下所示：5 27-252 2-0剩下的 2 就是余数，商为 5。
1.2 长除法长除法也是一种比较常用的方法。
它与短除法相似，但是需要多写几个步骤。
长除法的基本原理就是将被除数的每一位都除以除数，将所得到的商写在上面，最后将所有的商相加，得到真正的商。
例如，我们需要求出 87 ÷ 4 的商和余数，可以按照如下步骤进行：首先将 87 和 4 写在一起，在 4 下面写一个横线和一个问号，如下所示：21 …4│ 87然后将 4 除以 8，得到 2，将 2 写在上面，并且将 2 乘以 4，得到 8，将 8 和 7 组合在一起，得到 87，如下所示：21 …4│ 87-87接着，将 4 除以 7，得到 1，将 1 写在上面，并且将 1 乘以 4，得到 4，将 4 和下一位数字 7 组合在一起，得到 47，如下所示：21 …4│ 87-87- 43再将 4 除以 3，得到 1，将 1 写在上面，并且将 1 乘以 4，得到 4，将 4 和下一位数字 3 组合在一起，得到 43，如下所示：21 …4│ 87-87- 43- 3余数为 3，商为 21。
余数题目[精华]
![余数题目[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/a8120ffa5ff7ba0d4a7302768e9951e79b8969c6.png)
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数解答: 23。
70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
找余数的方法
找余数的方法在数学中，我们经常需要求出一个数除以另一个数的余数。
例如，我们想要确定一个数是奇数还是偶数，就需要知道它除以2的余数。
在一些数学问题中，求余数也是必要的。
本文将介绍数学中常见的找余数方法。
1.取模运算取模运算是一种常见的方法，用于计算两个整数相除的余数。
记a、b为两个整数，a÷b = c……r（0≤r<b）即表示a除以b，商为c，余数为r。
则称r为a对b取模运算的结果，并且用符号“a mod b”表示。
例如，7÷3=2……1，7 mod 3 = 1，其中2为商，1为余数。
在C语言中，%（取模）是一个运算符，它返回两个操作数相除的余数，如4%3=1。
它可以用在if语句、循环中，还可以用来判断一个数的奇偶性。
例如：if (num % 2 == 0) { printf("num iseven\n"); } else { printf("num is odd\n"); }2.二进制运算二进制运算也可以用来求一个数对另一个数的余数。
假设a、b都是正整数，则a除以b的余数等于将a转换为二进制表示后，从高位开始先取b比特，然后计算剩余的比特表示的二进制数所对应的十进制数的余数。
例如，以十进制数7除以3的余数为例：7的二进制表示为111，取出前两位得到11，转换为十进制数3。
3除以3的余数为0，因此7除以3的余数为1。
3.循环相减法循环相减法也被称为“短除法”，它是小学时学到的一种方法。
假设要求a除以b的余数，则可以先让a减去b，再让a减去b，直到a小于b时，此时的a就是余数。
例如，11除以3的余数为：11 - 3 = 8 8 - 3 = 5 5 - 3 = 2 2 < 3，所以11除以3的余数为2但是循环相减法效率不高，当a和b较大时，计算量也会变得非常大。
4.同余定理同余定理是一种重要的求余数方法，它常常用于密码和信息论中。
有余数的除法,总结
有余数的除法,总结有余数的除法归纳总结1.把一些物体平均分后还有剩余，这个过程可以用有余数的除法算式来表示，其中不够再分而剩余的数就是余数。
2.有余数的除法横式中有四个数字：被除数、除数、商、余数，其中商和余数两部分是算式的结果。
3.除法竖式计算步骤：1 写竖式除号2 写被除数和除数3 写商4 写商与除数的积5 写余数4.竖式要注意数位对齐。
5.有余数除法的求商方法：“被除数”里最多有几个“除数”，商就是几。
6.余数一定都比除数小。
7.解应用题时，要注意“商”和“余数”两数的单位，余数的单位与被除数相同，最后要写回答问题。
8.被除数÷除数=商??余数被除数=商×除数＋余数除数=÷商商=÷除数余数=被除数-商×除数第65课时：第六单元单元小结教学目标：知识与技能目标：使学生加深理解有余数的除法的含义，认识余数，理解余数要比除数小的道理。
并能够运用有余数的除法解决生活中的简单实际问题。
过程与方法：学生在获取知识的过程中，渗透借助直观研究问题的意识和方法，积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象和概括等数学活动经验，发展抽象思维。
情感、态度与价值观：学生在自主探究解决问题的过程中，感受数学与生活的联系，体验成功的喜悦。
教学重点：有余数除法的意义和计算方法。
教学难点：利用有余数的除法结合实际解决生活中的问题。
教学方法：三疑三探教学方法教学用具：小黑板、小棒等。
教学过程：一、设疑自探：、练习巩固：1、看谁算的又对又快17÷2= 31÷5=25÷6=19÷4= 27÷8=19÷5=2、用竖式计算56÷8= 37÷4=50÷7=、导入新课看来大家已经初步掌握了简单的有余数的除法，今天我们就来对有余数的除法进行整理复习，让我们对这一单元的知识掌握的更牢固。
、看到课题你还对这一部分的知识有什么疑问吗？请你提出来。
五年级数学知识点带余数的除法讲解
五年级数学知识点带余数的除法讲解如何把小学各门基础学科学好大致是专门多学生都发愁的问题，查字典数学网为大伙儿提供了带余数的除法讲解，期望同学们多多积存，不断进步!前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163= 51，即16=53+1.现在，被除数除以除数显现了余数，我们称之为带余数的除法。
一样地，假如a是整数，b是整数(b0)，那么一定有另外两个整数q和r，0r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b 的不完全商(亦简称为商).用带余除式又能够表示为ab=qr，0r例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求那个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。
∵210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.因此除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少?解：∵被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，(除数40+16)+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几?解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=74+3，依照题意可知：有5天的星期数必定是星期四、星期五和星期六。
这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(翌日)，15日(第三天)，)的第1993天是星期几?解：每周有7天，19937=284(周)5(天)，从星期日往回数5天是星期二，因此第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
韩信点兵(同余问题)
二韩信点兵例1我们先考虑以下的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〔注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积〕，然后再加3，得9948〔人〕。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
小学四年级数学试题除法的余数与商的求解
小学四年级数学试题除法的余数与商的求解除法是数学中的一种基本运算，用于计算两个数的商和余数。
在小学四年级的数学学习中，除法的余数与商的求解是一个重要的知识点。
本文将介绍除法的概念、求商和求余数的方法，并提供一些实例来帮助理解。
一、除法的概念除法是将一个数分成若干份相等的部分的运算。
其中，被除数是待分的数，除数是等分的份数，商是每一份的大小，余数是等分之后剩下的数。
除法的运算关系可以表示为：被除数 = 商 ×除数 + 余数。
二、求商的方法1.朗读法：将被除数循环朗读除数的倍数，直到被除数小于除数。
朗读的次数即为商的值。
2.列竖式法：将被除数和除数在竖直方向上排列，并逐位进行计算。
从左到右，依次计算每一位的商，并将计算结果写在上方。
如果某位的被除数小于除数，则向右进位，继续计算下一位的商。
3.估算法：通过对被除数和除数的估算，得到一个近似的商的值。
根据实际情况可以进行适当的调整。
三、求余数的方法1.列竖式法：除法运算的最后得到的余数即为所求的余数。
2.减法法：通过多次减去除数，直到被减数小于除数。
最后所剩下的数即为所求的余数。
3.利用整除性质：如果除数可以整除被除数，那么余数就是0。
四、实例演算假设被除数为36，除数为5，则可以使用列竖式法进行求解。
```7 ← 商----5) 36 ← 被除数- 35---1 ← 余数```根据列竖式法的计算，得到商为7，余数为1。
即36除以5的商为7，余数为1。
五、小结本文介绍了小学四年级数学试题中关于除法的余数与商的求解方法。
除法是数学中的基本运算之一，通过对被除数和除数的计算，可以得到商和余数。
我们可以使用朗读法、列竖式法和估算法等方法来求解商，使用列竖式法、减法法和整除性质来求解余数。
通过实例的演算，可以加深对除法的理解和应用。
掌握这些方法，能够更好地解决小学数学试题中的除法问题。
注意：本文所述的方法适用于小学四年级的数学试题，对于更复杂的除法问题，可能需要其他解题方法。
关于余数的练习题
关于余数的练习题余数是数学中常见的概念，特别是在整除运算中起到重要作用。
为了熟悉和掌握余数的相关知识，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
下面是一些关于余数的练习题，通过解答这些问题，我们可以对余数有更深入的理解。
1. 问题一：有一个整数n，除以3的余数是5，除以4的余数是2，求n除以12的余数。
解答：首先，根据题意，我们可以得到以下等式：n ≡ 5 (mod 3)n ≡ 2 (mod 4)由于3和4互质，根据中国剩余定理，n的解存在且唯一，且满足以下等式：n ≡ 5×4×1 + 2×3×1 ≡ 22 (mod 12)因此，n除以12的余数是22。
2. 问题二：有一个整数n，除以7的余数是3，除以9的余数是4，求n除以63的余数。
解答：同样根据题意，我们可以得到以下等式：n ≡ 3 (mod 7)n ≡ 4 (mod 9)由于7和9互质，根据中国剩余定理，n的解存在且唯一，且满足以下等式：n ≡ 4×7×6 + 3×9×5 ≡ 231 (mod 63)因此，n除以63的余数是231。
3. 问题三：有一个整数n，除以5的余数是2，除以6的余数是3，除以7的余数是4，求n除以210的余数。
解答：同样根据题意，我们可以得到以下等式：n ≡ 2 (mod 5)n ≡ 3 (mod 6)n ≡ 4 (mod 7)由于5、6和7两两互质，根据中国剩余定理，n的解存在且唯一，且满足以下等式：n ≡ 2×6×7×3 + 3×5×7×4 + 4×5×6×1 ≡ 304 (mod 210)因此，n除以210的余数是304。
通过以上的练习题，我们可以看到，通过余数的性质及中国剩余定理，我们可以求得整数n除以给定数的余数。
同时，这些练习题也帮助我们熟悉了解余数的操作，提高了我们的问题解决能力。
三位数除以整十数有余数的题竖式计算
三位数除以整十数有余数的题竖式计算在中小学数学课本中，我们经常会遇到一些关于除法的题目。
其中，有一类题目是要求计算一个三位数除以一个整十数后所得的余数。
这类题目通常要求我们使用竖式计算的方法来求解，而在这个过程中，我们不仅需要进行简单的除法运算，还需要考虑到余数的特性。
在本文中，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨三位数除以整十数有余数的题目，希望能够帮助读者更深入地理解这个数学概念。
让我们从一个简单的例子开始，比如说：478 ÷ 30我们先来进行整除运算，即将478除以30，得到商和余数。
在竖式计算中，我们先从最高位开始，将478除以30，得到商15和余数28。
然后将28写在478的下方，就像这样：15--------30 | 478-30--------178- 150--------28通过上面的计算过程，我们得到了商15和余数28。
这里需要特别注意的是，我们用通过不断地向下计算，最终得到了余数28。
这个余数对于这道题目的后续计算是非常重要的，因为它将影响到整个计算过程的结果。
接下来，我们可以尝试更复杂一些的例子，比如：586 ÷ 50在这个例子中，还是按照竖式计算的方法，将586除以50，得到商和余数。
同样地，我们从最高位开始，将586除以50，得到商11和余数36。
然后将36写在586的下方，就像这样：11--------50 | 586- 50--------86- 50--------36通过上面的计算过程，我们得到了商11和余数36。
同样地，余数36将在后续计算中扮演着重要的角色，因为它决定了最终结果的精确性和准确性。
从上面这两个例子可以看出，当一个三位数除以一个整十数时，余数的大小和位置都对计算过程产生了影响。
在实际生活中，这类题目的应用非常广泛，比如在商场打折、货币的兑换和时间的计算等方面都会涉及到这个数学概念。
能够熟练掌握这种竖式计算的方法是非常重要的。
在我的个人观点和理解中，我认为通过这类题目的练习，我们可以培养自己对数学的逻辑思维能力和解决问题的能力。
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个人建议：在您看这份文档的同时，准备一支笔，一张草稿纸。
如果看到例题，跟我的步骤，一步一步地同时写下来，这样比光看屏幕，要理解得更快！
我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到mod这个运算符。
mod：模。
意思就是求余数。
比如说：5 mod 3=2，100 mod 11=1
读作：五模三余二，一百模十一余一
这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。
引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。
在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。
首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。
那么100+36除以7余几呢？或者100-36除以7余几呢？很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。
通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话，就是：(M＋N) mod q=(（M mod q）+（N mod q）) mod q
然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢？
我们不妨来这样做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
这时100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数乘以N 除以q的余数。
类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢？只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。
举例来说：求11^4除以9的余数。
化成公式即是：11^4 mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7
于是我们可以总结出这样的公式：
M*N mod q=（M mod q）*（N mod q）mod q
（M^n mod q = （M mod q）^n mod q ）
那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢？
As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数；而1的任意次方，还是等于1。
所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。
（或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。
）
举例说明：求3^11除以8的余数。
题目即是：3^11 mod 8=?
3^11 mod 8
=3^10 * 3^1 （mod 8）
=(3^2)^5*(3^1) （mod 8）
=9^5 * 3 （mod 8）
=(8+1)^5 * 3 （mod 8）
=1^5 *3 （mod 8）
=3
发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。
那么再来看一道题目：求（2^100）*（3^200）除以7的余数
先化成计算公式：
(2^100)*(3^200) mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)] mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9) mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9] mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9] mod 7
=2*9 mod 7
=4
注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。
我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢？赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。
相信只要练习了三四道题目，以后再碰到这样的余数题，就会会心地一笑,小样，秒掉你！。