高考数学真题专题(理数) 排列与组合

专题十 计数原理
第三十讲 排列与组合
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥
德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A ．112
B ．114
C ．115
D ．118
2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人
完成，则不同的安排方式共有
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
3．（2017山东）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取
1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A ．518
B ．49
C ．59
D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的
E 处出发，先到
F 处与小红会合，再一起到位于G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A ．24
B ．48
C ．60
D ．72
6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的
偶数共有
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
A ．
18 B ．38 C ．58 D ．78
8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中
满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为
A ．60
B ．90
C ．120
D ．130
9．（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共
有
A ．24对
B ．30对
C ．48对
D ．60对
10．（2014福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1
个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是
A ．()()()5
55432111c b a a a a a +++++++ B ．()()()5
54325111c b b b b b a +++++++ C ．()()()554325
111c b b b b b a +++++++ D ．()()()
543255111c c c c c b a +++++++ 11．（2013山东）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A ．243
B ．252
C ．261
D ．279
12．（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会
实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
13．（2012浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，
则不同的取法共有
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
14．（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中
任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484
15．（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂
一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
A．288种B．264种C．240种D．168种
16．（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36种B．42种C．48种D．54种
17．（2010广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒
18．（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
二、填空题
19．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）
20．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
21．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）
22．（2017天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
23．（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那
么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
24（2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分
配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．
25．（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不
相邻，则不同的摆法有_______种．
26．（2014广东）从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的
概率为 ．
27．（2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品
的概率是________．
28．（2013北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，
如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．
29．（2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，
94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有 个；
（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个．
30．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案如下图所示：
由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．
的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 31．（2013新课标2）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数
之和等于5的概率为114
，则n =________． 32．（2013浙江）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的
排法共有________种（用数字作答）．
33．（2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、
“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）．。