高三数学总复习 8.3直线与平面的位置关系教案(2)新人教A版
2014届高三数学总复习 8.3直线与平面的位置关系教案（2） 新1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．答案：无数 解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．答案：平行解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m∥n.3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．答案：0解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.4. (必修2P 42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC⊥BC，△ACB 是直角三角形；由PA⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA⊥平面ABC ，且BC Ì平面ABC ，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA ∩AC ＝A ，所以BC⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC⊥PC，△PCB 是直角三角形；故直角三角形的个数为4.5. (必修2P 42习题11、16改编)P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1) 若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2) 若PA⊥BC，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的________心；(3) 若PA ，PB ，PC 与底面所成的角相等，则O 是△ABC 的________心． 答案：(1) 内 (2) 垂 (3) 外 解析：(1) P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，可知O 到△ABC 三边距离相等，即O 是△ABC 的内心；(2) 由PO⊥平面ABC 且BC 平面ABC ，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO 与PA 是平面POA 内两条相交直线，所以BC⊥平面POA ，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O 是△ABC 的垂心；由PA 、PB 、PC 与底面所成的角相等，易得Rt △POA ≌Rt △POB ≌Rt △POC ，从而OA ＝OB ＝OC ，所以O 是△ABC 的外心．1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．[备课札记]题型1 直线与平面垂直的判定例1 (2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：(1) MN∥平面PCD ；(2) 四边形MNCD 是直角梯形； (3) DN⊥平面PCB.证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN∥AB. 因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD Ì平面PCD ，MN Ë平面PCD ，所以MN∥平面PCD. (2) 因为AD⊥AB，CD ∥AB ，所以CD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 所以CD⊥PD.因为AD∩PD＝D ，所以CD⊥平面PAD. 因为MD Ì平面PAD ，所以CD⊥MD. 又MN∥CD，MN ≠CD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．(3) 因为PD⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角， 从而∠PAD＝60°.在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2.在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2＝6，从而DN 2＋CN 2＝CD 2，所以DN⊥CN.在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN⊥PB. 又PB∩CN＝N ，所以DN⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．(1) 证明：EF∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG.因为F 为C 1B 的中点，所以FG∥=12C 1C.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EF∥AG.因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，所以A1A⊥BD. 因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.因为A1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.根据题意，可得EB＝C1E＝62AB，C1B＝3AB，所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.题型2 直线与平面垂直性质的应用例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.(图①)(图②)证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，∵ A1C1B1D1为菱形，∴ A1B1⊥D1C1.又AA1⊥平面A1D1B1C1，∴ AA1⊥D1C1.又D1C1⊥平面ABB1A1，∴ D1C1⊥AB1.又AB1⊥BC1，∴ AB1⊥平面BC1D1，∴ AB1⊥BD1.又BD1∥CA1，∴ AB1⊥A1C.变式训练(2013·泰州期末)在三棱锥SABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，(1) 求证：BC⊥AM；(2) 若AM⊥平面SBC ，求证：EM∥平面ABS. 证明：(1) ∵ AB＝AC ，D 是BC 的中点，∴ AD ⊥BC ，⎭⎪⎬⎪⎫SA⊥平面ABC BC平面ABC Þ⎭⎪⎬⎪⎫SA⊥BCAD∩SA＝A Þ⎭⎪⎬⎪⎫BC⊥平面SAD AM平面SAD ÞBC ⊥AM.(2) ∵ AM⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝233，∵ SA ⊥AD ，AM ⊥SD ，AD 2＝MD·SD，故MD ＝36，SM ＝32，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì平面，故EM∥平面ABS.题型3 直线与平面垂直的探索题例3 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. (1) 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； (2) 试在棱CC 1上找一点M ，使MB⊥AB 1. (1) 证明：反证法．假设AP⊥平面BCC 1B 1， 因为BC Ì平面BCC 1B 1，所以AP⊥BC.又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP Ì平面ACC 1A 1，CC 1Ì平面ACC 1A 1，所以BC⊥平面ACC 1A 1.而AC Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾． 故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直． (2) M 为CC 1的中点．证明：∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∴ 四边形BCC 1B 1是正方形．∵ M 为CC 1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM，∠BDB 1＝∠CMB.∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∠CBM ＋∠BDB 1＝π2，∴ BM ⊥B 1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD⊥BC .∵ 平面ABC⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.∵ BM Ì平面BB 1C 1C ，∴ AD ⊥BM. ∵ AD ∩B 1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB 1D. ∵ AB 1Ì平面AB 1D ，∴ MB ⊥AB 1. 备选变式（教师专享）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点． (1) 求证：AB 1⊥BF ； (2) 求证：AE⊥BF；(3) 棱CC 1上是否存在点F ，使BF⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．(1) 证明：连结A 1B ，CD 1，∵ AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BCD 1，又BF Ì平面A 1BCD 1，所以AB 1⊥BF. (2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，又 ∵ FM⊥AE，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF. (3) 解：存在，P 是CC 1的中点．易证PE∥AB 1，故A 、B 1、E 、P 四点共面．由(1)(2)知AB 1⊥BF ，AE ⊥BF ，AB 1∩AE ＝A ，∴ BF ⊥平面AEB 1，即BF⊥平面AEP.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A 、B 、C ，O 为△ABC 的外心，求证：OP⊥α.学生错解：证明：因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以△POA，△POB ，△POC 都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.审题引导： 要记OP⊥α，需记OP 垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP 垂直于△ABC 的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC 、OBC ，不准找到证题途径．规范解答： 证明：取BC 的中点D ，连结PD 、OD ， ∵ PB ＝PC ，OB ＝OC ，∴ BC ⊥PD ，BC ⊥OD ，(5分)又PD Ì平面POD ，OD 平面POD ，且PD∩OD＝D ，∴ BC ⊥平面POD.(8分) ∵ PO Ì平面POD ，∴ BC ⊥PO. 同理AB⊥PO.(12分)又AB 、BC 是α内的两条相交直线，∴ PO ⊥α.(14分) 错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．1. (2013·苏锡常镇调研)已知l ，m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确的命题是________．(填序号)答案：②解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a ⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．答案：直角三角形解析：∵ a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴ b⊥平面ABC，∴ AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．答案：②解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵ AC ∩AE＝A，∴ BD⊥平面ACE，∴ BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．对于②，若AB⊥CD，∵ AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴ AB⊥平面ADC，∴ AB⊥AC，由AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．对于③，若AD⊥BC，∵ DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴ BC⊥平面ADC，∴ BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴ ③错误．由上可知④错误，故正确的说法只有②.4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝60°，故△AB D为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD ⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号)答案：①②④解析：① AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，② AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A 、B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.现给出三个条件：① PB＝3；② PB⊥BC；③ 平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC ；解：(解法1)选取条件①，在等腰直角三角形ABC 中，∵ AB ＝1，∴ BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵ PA＝AC ，∴ PA ＝ 2. ∴ 在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2.又∵ PB＝3，∴ AB 2＋PA 2＝PB 2.∴ ∠PAB ＝90°，即PA⊥AB.又∵ PA⊥AC，AB ∩AC ＝A ，AB ，AC 真包含于平面ABC ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法2) 选取条件②，∵ PB ⊥BC ，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴ BC ⊥PA.又∵ PA⊥AC，且BC∩AC＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. (解法3)选取条件③， 若平面PAB⊥平面ABC ，∵ 平面PAB∩平面ABC ＝AB ，BC 真包含于平面ABC ，BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面PAB. ∵ PA 真包含于平面PAB ，∴BC ⊥PA.∵PA ⊥AC，且BC∩AC＝C ，∴ PA ⊥平面ABC. 3. 在空间四边形ABCD 中， 已知AC⊥BD, AD ⊥BC, 求证：AB⊥CD. 证明：过A 点作AO 垂直平面BCD 于O ，连结BO, CO, DO. ∵AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥BD.又AC⊥BD，∴BD ⊥平面AOC ，∴CO ⊥BD.同理，DO ⊥BC ，∴O 为△BCD 的垂心，∴BO ⊥CD. 又AO⊥平面BCD ，∴AO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面ABO ，∴AB ⊥CD.4. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.若E 、F 分别为PC 、BD 的中点，求证：(1) EF∥平面PAD ； (2) EF⊥平面PDC.证明：(1) 连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ，且PA Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2) ∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，又CD⊥AD，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA .又PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD，而CD∩PD＝D ，∴PA ⊥平面PDC.又EF∥PA，∴EF ⊥平面PDC.1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.[备课札记]。
《平面与直线的位置关系》教案
《平面与直线的位置关系》教案平面与直线的位置关系教案一、知识目标1. 理解平面的概念和特点；2. 理解直线的概念和特点；3. 能够区分平面和直线的不同；4. 掌握平面与直线的位置关系，如平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。
二、教学重点和难点1. 教学重点：掌握平面与直线的位置关系；2. 教学难点：平面与直线的包含关系和相交关系。
三、教学过程1. 导入新知识1. 老师可以利用课件、教具等展示平面和直线的图形，比较两者的不同，并引导学生探讨不同之处。
2. 理论研究1. 讲解平面和直线的定义和特点；2. 利用白板、草图等形式进行讲解，便于学生理解；3. 引导学生举例说明平面和直线之间的区别。
3. 拓展练1. 让学生进行练，例如：在平面内画直线；在平面外画直线；在平面上画直线等。
4. 归纳总结1. 教师总结平面与直线的位置关系；2. 利用案例进行演示，让学生更加直观地理解平面与直线的位置关系。
四、作业布置1. 练册上相关练。
五、板书设计- 平面与直线的定义；- 平面与直线的位置关系。
六、教学反思本节课主要介绍了平面与直线的位置关系，包括平面内、平面外、平面上、平面下、平面与直线相交、平面与直线平行、平面包含直线等。
对学生而言，理解这些概念需要看图说理和实践操作。
在教学时，我利用了课件、白板和草图等多种工具，使学生能够更好地理解概念，同时布置了相关的练习作业，加深学生的理解和记忆。
下一步需要通过案例来拓展学生的思维，让学生更加直观地感受平面与直线的位置关系。
直线与平面的位置关系全章复习教案
直线与平面的位置关系全章复习教案第一章：直线与平面的基本概念1.1 直线和平面的定义直线：无限延伸的、只有两个方向的几何图形。
平面：无限延伸的、具有三个方向的几何图形。
1.2 直线与平面的表示方法直线的表示方法：用一个小写字母表示，如直线l。
平面的表示方法：用两个小写字母的组合表示，如平面α。
1.3 直线与平面的关系直线在平面内：直线l包含于平面α，表示为l⊆α。
直线与平面平行：直线l不包含于平面α，表示为l∥α。
直线与平面相交：直线l与平面α有一个公共点，表示为l∩α≠∅。
第二章：直线与平面的位置关系2.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。
直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。
直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。
2.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。
第三章：直线与平面的位置关系的判定与性质3.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。
直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。
直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。
3.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。
第四章：直线与平面的位置关系的应用4.1 直线与平面的交点如果直线与平面相交，则相交点是直线与平面的唯一交点。
高三数学大一轮复习 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教案 理 新人教A版
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系2014高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系． 复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．1． 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2． 直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3． 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5． 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．6． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[难点正本 疑点清源]1． 公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．答案②③④2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．答案27解析如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×3＝27部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．答案(0，3)解析如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝3，故AC的取值范围是0<AC< 3.4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案 C题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．思维启迪：证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上．证明如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．思维启迪：第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．证明(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．∴BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，∴EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．思维启迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 C解析如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案 B温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析有2条：A1B和A1C1.二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．6． 下列命题中不．正确的是________．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．答案 ①②解析 没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a 和b 异面，c ∥a ，则c 与b 不可能平行，用反证法证明如下：若c ∥b ，又c ∥a ，则a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故cD ∥\b ；命题④也正确，若c 与两异面直线a ，b 都相交，由公理2可知，a ，c 可确定一个平面，b ，c 也可确定一个平面，这样，a ，b ，c 共确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为______．答案 23 解析 取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF .∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF ∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF 即为异面直线AE 与BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，则AF ＝a 2＋12a 2＝52a ，EF ＝a . ∵EF ⊥平面ABB 1A 1，∴EF ⊥AF ，∴AE ＝AF 2＋EF 2＝32a . ∴cos ∠AEF ＝EF AE ＝a 32a ＝23. 三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的 中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 方法一 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知， BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．方法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′，∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 的中点． ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 的中点， ∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)，∴C 、D 、F 、E 四点共面．9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ， 求证：M 、N 、K 三点共线．证明 ∵M ∈PQ ，直线PQ 面PQR ，M ∈BC ，直线BC 面BCD ， ∴M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点，即M 在面PQR 与面BCD 的交线l 上．同理可证N 、K 也在l 上．∴M 、N 、K 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是 ( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交答案 D解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面．5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④解析 还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．答案 90°解析 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝422＋32＝41， MK ＝12DN ＝1242＋22＝5， A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°.三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明 连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ， B 1D 平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线．。
高三数学总复习 8.2直线与平面的位置关系教案(1)新人
届高三数学总复习 8.2直线与平面的位置关系教案（1）新人考情分析考点新知了解直线与平面的位置关系，了解空间平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还要充分利用定义．要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成角，点到面的距离了解即可.1. (必修2P37练习3改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，ABÌ平面α，CDË平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是________．答案：平行或异面解析：因为AB∥CD，ABÌ平面α，CDË平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．2. (必修2P41练习2改编)过直线l外一点P，作与l平行的平面，则这样的平面有________个．答案：无数解析：直线l与点P确定一个平面，记为α，在平面α内作直线PQ∥α，又在平面α外任取一点R，则点R与直线PQ确定一平面，记为β，由直线与平面平行的判定定理易知l∥β，因此满足题意的平面有无数个．3. (必修2P37练习4改编)在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的表面中，与A1F1平行的平面是________．答案：平面ABCDEF、平面CC1D1D解析：在正六棱柱中，易知A1F1∥AF，且A1F1平面ABCDEF，所以A1F1∥平面ABCDEF.同理，A1F1∥C1D1，且A1F1平面CC1D1D，所以A1F1∥平面CC1D1D.其他各面与A1F1不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF与平面CC1D1D.4. (必修2P32习题3改编)已知P是正方体ABCDA1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的直线是 ____________．答案：DC、D1C1、A1B1解析：DC、D1C1、A1B1均平行于直线AB，依据直线与平面平行判定定理，均可证明它们平行于平面ABP.5. (必修2P41习题5改编)在四面体ABCD中，M、N分别是平面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案：平面ABC、平面ABD解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由EMMA＝ENNB＝12，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行关系公共有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点点符号aÌαa∩α＝A a∥α表示图形表示直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．[备课札记]题型1 基本概念辨析例1 (1) 要得到直线l∥平面α，则下列条件不正确的有________．(填序号) ① l 平行于α内的所有直线；② l 平行于过l 的平面与α的交线； ③ l 平行于α内的无数条直线；④ l 和α内的所有直线都没有公共点．(2) 已知直线a 、b 和平面α，那么能得到a∥b 的条件有________．(填序号) ① a ∥α，b ∥α；② a⊥α，b ⊥α；③ b Ìα且a∥α；④ a、b 与α成等角．(3) α、β表示平面，a 、b 表示直线，则能得到a∥α的条件有________．(填序号) ① α⊥β且a⊥β；② α∩β＝b ，且a∥b； ③ a ∥b 且b∥α；④ α∥β且a Ìβ. 答案：(1) ③ (2) ② (3) ④ 备选变式（教师专享）如图是一正方体的表面展开图，B 、N 、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中，① AB 与CD 相交；② MN∥PQ；③ AB∥PE；④ MN 与CD 异面；⑤ MN∥平面PQC.其中真命题的是________(填序号)．答案：①②④⑤解析：将正方体还原后如图，则N 与B 重合，A 与C 重合，E 与D 重合，所以①、②、④、⑤为真命题．题型2 直线与平面平行例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点． (1) 若E 为A 1C 1的中点，求证：DE∥平面ABB 1A 1；(2) 若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1EEC 1的值．(1) 证明：取B 1C 1中点G ，连结EG 、GD ，则EG ∥A 1B 1，DG ∥BB 1.又EG∩DG＝G ，∴ 平面DEG∥平面ABB 1A 1.又DE Ì平面DEG ，∴ DE ∥平面ABB 1A 1.(2) 解：设B 1D 交BC 1于点F ，则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF.因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B Ì平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF.所以A 1E EC 1＝BF FC 1.因为BF FC 1＝BD B 1C 1＝12，所以A 1E EC 1＝12.变式训练如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点．求证：MN∥平面AA 1C 1. 证明：设A 1C 1中点为F ，连结NF 、FC.∵ N 为A 1B 1中点，∴ NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1.又由棱柱性质知B 1C 1∥=BC ，又M 是BC的中点，∴ NF ∥=MC ，∴ 四边形NFCM 为平行四边形．∴ MN∥CF.又CF 平面AA 1C 1，MN Ë平面AA 1C 1，∴ MN ∥平面AA 1C 1. 备选变式（教师专享）(2014·泰州中学期初调研)如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF⊥平面ACE.(1) 求证：AE⊥BE；(2) 求证：AE∥平面BFD.证明： (1) ∵ 平面ABCD⊥平面ABE ，平面ABCD∩平面ABE ＝AB ，AD ⊥AB ， ∴ AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE.∵ AD ∥BC ，则BC⊥AE. 又BF⊥平面ACE ，则BF⊥AE.∵ BC ∩BF ＝B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BE.(2) 设AC∩BD＝G ，连结FG ，易知G 是AC 的中点，∵ BF ⊥平面ACE ，则BF⊥CE.而BC ＝BE ，∴ F 是EC 中点. 在△ACE 中，FG ∥AE ， ∵ AE Ë平面BFD ，FG Ì平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD. 题型3 线面平行与线线平行例3 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点．求证：(1) BF∥HD 1；(2) EG∥平面BB 1D 1D.证明：(1) 取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴ HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ，∴ BF ∥HD 1.(2) 取BD 的中点O ，连结EO 、D 1O ，则OE ∥=12DC ，又D 1G ∥=12DC ，∴ OE ∥=D 1G ，∴ 四边形OEGD 1是平行四边形， ∴ GE ∥D 1O. 又D 1O Ì平面BB 1D 1D ， ∴ EG ∥平面BB 1D 1D. 备选变式（教师专享）(2013·扬州调研)如图，四边形ABCD 为正方形，在四边形ADPQ 中，PD ∥QA.又QA⊥平面ABCD ，QA ＝AB ＝12PD.(1) 证明： PQ⊥平面DCQ ；(2) CP 上是否存在一点R ，使QR∥平面ABCD ，若存在，请求出R 的位置，若不存在，请说明理由．解： (1) 证法一：∵ QA⊥平面ABCD ，∴ QA⊥CD, 由四边形ABCD 为正方形知DC⊥AD，又QA 、AD 为平面PDAQ 内两条相交直线，∴ CD ⊥平面PDAQ ，∴ CD ⊥PQ ，在直角梯形PDAQ中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.证法二： ∵ QA⊥平面ABCD ，QA Ì平面PDAQ ，∴ 平面PDAQ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，∴ DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ⊥QD, 又CD 、QD 为平面ADCB 内两条相交直线，∴ PQ ⊥平面DCQ.(2) 存在CP 中点R ，使QR∥平面ABCD.证明如下：取CD 中点T ，连结QR 、RT 、AT ，则RT∥DP，且RT ＝12DP ，又AQ∥DP，且AQ ＝12DP ，从而AQ∥RT，且AQ ＝RT ，∴ 四边形AQRT 为平行四边形，所以AT∥QR，∵ QR Ë平面ABCD ，AT Ì平面ABCD ，∴ QR ∥平面ABCD.1. (2013·南京模拟)直线l 上有两点与平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是________．答案：平行或相交解析：设A 、B 是直线l 上两点，若两点A 、B 在平面α的同侧，则l∥α，若两点A 、B 在平面α的异侧，且线段AB 的中点在α上，则l 与α相交．2. 下列命题中正确的是________．(填序号) ① 若直线a 不在α内，则a∥α；② 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③ 若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ④ 平行于同一平面的两直线可以相交． 答案：③④解析：a∩α＝A 时，a Ëα，∴ ①错；直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；l∥α，l 与α无公共点，∴ l 与α内任一直线都无公共点，③正确；长方体中A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，∴ ④正确．3. 已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．答案：23解析：取A 1B 1的中点F ，则∠AEF 为所求角或其补角．设正方体棱长为2，则AE ＝3，AF＝5，EF ＝2，所以cos∠AEF＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ×EF ＝23.4. 下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案：①②解析：由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.5. 如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 、E 分别为AA 1、CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF.若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM.解：连结AE ，在BE 上取点M ，使BE ＝4ME ，连结FM 、B 1M 、FB 1.在△BEA 中，∵ BE ＝4ME ，AB ＝4AF ，∴ MF ∥AE.又在平面AA 1C 1C 中，易证C 1D ∥AE ，∴ C 1D ∥FM.∵ C 1D Ë平面FMB 1，FM Ì平面FMB 1，∴ C 1D ∥平面B 1FM.1. (2013年汕头质检)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题是真命题的是________．(填序号)① 若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ② 若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③ 已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m∥α，则n∥β； ④ 若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行． 答案：②解析：①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．2. α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：① a∥γ，b Ìβ；② a∥γ，b ∥β；③ b∥β，a Ìγ.如果命题“α∩β＝a ，b Ìγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．答案：①③解析：①中，a ∥γ，a Ìβ，b Ìβ，β∩γ＝b Þa ∥b(线面平行的性质)．③中，b ∥β，b Ìγ，a Ìγ，β∩γ＝a Þa ∥b(线面平行的性质)．3. 正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点． (1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC∥平面A 1BD. 证明：(1) 连结DA 、DB 1、DO. ∵AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，而DB 1＝DC 21＋C 1B 21，DA ＝DC 2＋CA 2，∴DB 1＝DA. 又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点，∴DO ⊥AB 1. 又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ，∴AB 1⊥平面A 1BD. (2) 取A 1O 的中点F ，在△A 1OA 中，∵E 是OA 中点，∴EF ∥= 12AA 1.又D 为C 1C 的中点，∴CD ∥= 12AA 1.∴EF ∥= CD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴CE∥DF. 又DF Ì平面A 1BD ，CE Ë平面A 1BD ，∴EC ∥平面A 1BD. 4. 设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断： ① m ∥n ；② m∥α；③ n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①②③(或①③②) 解析：当m∥α时，由线面平行的性质定理，过m 作平面与α的交线m′，则有m∥m′，因为m∥n，所以n∥m′，又n 是平面α外的直线，所以n∥α.故①②③.同理①③②.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法：(1) 利用直线与平面平行的定义(无公共点)；(2) 利用直线与平面平行的判定定理(a α，b Ëα，a ∥b Þa ∥α)；(3) 利用平面与平面平行的性质(α∥β，a ËαÞa ∥β)； 注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可．2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性．3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化．请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
《直线、平面之间的位置关系》示范课教学设计【高中数学教案】
《直线、平面之间的位置关系》教学设计用符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关系；理解直线与平面垂直的含义、了解点面距、线面距、面面距的定义教学重点：直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义． 教学难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系．PPT 课件．【新知探究】问题1：空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系有哪些位置关系？.师生活动：结合图11－1－17，总结空间中直线与平面的位置关系，以及平面与平面的位置关系.预设的答案：直线与平面的位置关系：一般地，如果l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则：lα≠∅与l α=∅有且仅有一种情况成立.（1）当l α≠∅时，要么l α⊂，要么l 与α只有一个公共点； （2）当lα=∅时，称直线l 与平面α平行，记作：//l α.平面与平面的位置关系：如果α与β是空间中的两个平面，则αβ≠∅ 与◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标αβ=∅有且仅有一种情况成立．（1）当αβ≠∅时，α与β的公共点组成一条直线；（2）当αβ=∅时，称平面α与平面β平行，记作：//αβ.文字语言表达图形语言表达符号语言表达A是直线l上的点，A1不是直线l上的点A∈l，A1∉l A是平面α内的点，A1不是平面α内的点A∈α，A1∉α直线l在平面α内(或平面α过直线l)l⊂α直线l在平面α外直线l与平面α相交l∩α＝Al⊄α直线l与平面α平行l∥α平面α与平面β相交于l α∩β＝l 平面α与平面β平行α∥β设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题2：观察图中的长方体(1) A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直并说明理由；(2) 判断A1A与AC是否垂直；(3) 若直线在平面ABCD 内，且过点A ，判断A 1A 与l 是否垂直.师生活动：引导学生阅读教材，给出结论 预设的答案：直线与平面垂直：由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要,A l l ∈⊂平面ABCD ，则一定有1A A l ⊥.追问：如何定义直线与平面垂直？空间距离有哪些？ 预设的答案：直线与平面垂直的定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直（或l 是平面α的一条垂线，α是直线l 的一个垂面），记作l α⊥），其中点A 称为垂足. 因此，图中长方体中，有1A A ⊥平面ABCD ，类似地，有1A A ⊥平面1111,A B C D 11A B ⊥平面11BCC B .点到平面的距离、直线到平面的距离：给定空间中一个平面α以及一个点A ，过A 可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B ，则称B 为A 在平面α内的射影（也称为投影），线段AB 为平面α的垂线段，AB 的长为点A 到平面α的距离.特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；平行平面间的距离：当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.因此，点1A 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，直线11A B 到面ABCD 的距离等于线段1A A 的长，面1111A B C D 与面ABCD 之间的距离等于1A A 的长.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】 例1.思考辨析(1)直线l 在平面α内，记作l ∈α.( ) (2)若a ∩b ＝∅，则a 与b 平行．( )(3)若l ∩α≠∅，则直线l 与平面α有公共点．( ) (4)若直线l 在平面α外，则直线l 与平面α平行．( )(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( ) 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案： (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 设计意图：了解点、线、面位置关系的表示． 例2. 下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： B 当α内的无数条直线平行时，l 与α不一定垂直，故①不对； 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与α垂直，故②不对； 当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确． 设计意图：直线与平面垂直的概念辨析例3. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，AA 1＝3 cm ，则 (1)点A 到平面DCC 1D 1的距离为________； (2)直线AA 1到平面BCC 1B 1的距离为________； (3)平面ABCD 与平面A 1B 1C 1D 1之间的距离为________. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：(1)4 cm (2)6 cm (3)3 cm 设计意图：进一步认识空间距离及求法 【课堂小结】问题：（1）直线与平面、平面与平面位置关系有哪些？ （2）直线与平面垂直是定义是什么？空间距离有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．直线a 与平面α的位置关系：⎩⎨⎧a ∩α＝∅⇒a ∥αa ∩α≠∅⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 与α相交a 在α内；平面α与平面β的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧α∩β＝∅⇒α与β平行α∩β≠∅⇒α与β相交2．直线与平面垂直：(1)定义：一般地，如果直线l 与平面α相交于一点A ，且对平面α内任意一条过点A 的直线m ，都有l m ⊥，则称直线l 与平面α垂直．(2)点面距：若点A 是平面α外一点，AB ⊥α，B 为垂足，则线段AB 的长 为点A 到平面α的距离．(3)线面距、面面距转化为点面距．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生想出几何体的基本元素、及点、线、面的位置关系，从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业： 【目标检测】1. 给出下列四个命题：①若直线l ∩m ＝∅，则l 与m 平行；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若m ⊂α，m ∩β＝M ． 那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 设计意图：考查空间两个平面的位置关系 2. 下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线l 是平面α的一条垂线，则直线l 垂直于 平面α内的所有直线；④若直线l 垂直于平面α，则称平面α是直线l 的一个垂面． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线、平面间的位置关系： ①A 1B 与D 1C ________；②A1B与B1C________；③D1D与平面BCC1B1________；④AB1与平面BCC1________；⑤平面ABB1与平面DCC1_________；⑥平面ABB1与平面DD1A1________.设计意图：考查空间两条直线、空间两个平面的位置关系4.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________cm；(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm；(3)点A到平面BCC′B′的距离为________cm.设计意图：考查空间距离的求法参考答案：1.A对于①，直线l∩m＝∅，即直线l与直线m没有公共点，l与m可能平行，也可能异面，∴l不一定与m平行．故①错．对于②，直线a在平面α外包括两种情形：a∥α，a与α相交，故②错．对于③，由直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故③错．对于④，∵m⊂α，m∩β＝M，∴点M∈α，M∈β，故平面α与平面β相交，故④正确．2.C①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知②③④正确．3.①平行②异面③平行④相交⑤平行⑥相交4．(1)3(2)4(3)5如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.。
人教版高中数学必修二《直线与平面、平面与平面的位置关系》教学设计.pdf
人教版高中数学必修二《直线与平面、平面与平面的位置关系》教学设计一、教学目标本节课的教学目标主要包括：1.掌握直线和平面的基本概念，认识直线和平面在几何学中的重要性。
2.了解直线和平面的位置关系，掌握判断直线和平面相交的方法。
3.学会利用直线和平面的位置关系解题，并能运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.直线的定义和性质，包括直线的表示、直线的方程等。
2.平面的定义和性质，包括平面的表示、平面的方程等。
3.直线和平面的位置关系，包括直线与平面的相交规律、相交线的性质等。
4.利用直线和平面的位置关系解题，包括求直线与平面的交点、判断平面和平面的位置关系等。
三、教学过程1. 导入与概念讲解（15分钟）首先，通过简单的导入活动引起学生对直线和平面的兴趣，例如通过展示直线和平面在日常生活中的应用场景，引发学生思考直线和平面在几何学中的重要性。
接着，详细讲解直线的定义和性质，包括直线的表示方法、直线的方程等，并通过具体的例子帮助学生理解。
然后讲解平面的定义和性质，包括平面的表示方法、平面的方程等，并进行举例说明。
2. 直线和平面的位置关系（30分钟）在学生掌握了直线和平面的基本概念后，介绍直线和平面的位置关系。
讲解直线与平面相交的规律，包括直线穿过平面、直线与平面平行、直线在平面内等情况，并通过示意图进行解释。
引导学生发现直线与平面相交时的一些基本性质，如交点的性质、交线的性质等。
然后，通过实际例子和练习题，让学生自己判断直线和平面的位置关系，并运用所学知识解答问题。
在解答过程中，引导学生分析问题，运用合适的方法进行求解，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 应用题解析（30分钟）通过一些实际生活中的问题，例如建筑工程、道路规划等，引导学生运用所学知识解决实际问题。
解析一些典型的应用题，让学生理解并掌握解题的方法和技巧。
同时，通过小组讨论和课堂展示的方式，让学生分享自己的解题思路和答案，提高学生的合作和表达能力。
新人教A版版高考数学一轮复习第八章立体几何空间点直线平面之间的位置关系教案理解析版
基础知识整合１．平面的基本性质公理１：如果一条直线上的错误!两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理２：经过错误!不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理３：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有错误!且只有一条过错误!该点的公共直线．２．用集合语言描述点、线、面间的关系（１）点与平面的位置关系：点A在平面α内记作错误!A∈α，点A不在平面α内记作错误!A∉α.（２）点与线的位置关系点A在直线l上记作错误!A∈l，点A不在直线l上，记作错误!A∉l.（３）线面的位置关系：直线l在平面α内记作错误!l⊂α，直线l不在平面α内记作错误!l⊄α.（４）平面α与平面β相交于直线a，记作错误!α∩β＝Ａ．（５）直线l与平面α相交于点A，记作错误!l∩α＝Ａ．（6）直线a与直线b相交于点A，记作错误!a∩b＝Ａ．３．直线与直线的位置关系（１）位置关系的分类错误!（２）异面直线所成的角１定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的错误!锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．２范围：错误!错误!.１．公理２的三个推论推论１：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论２：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论３：经过两条平行直线有且只有一个平面．２．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．１．（２0１9·银川模拟）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是（）Ａ．m⊥n Ｂ．m∥nＣ．m与n相交Ｄ．m与n异面答案A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选Ａ．２．（２0１9·福州质检）已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选Ａ．３．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）Ａ．若AC与BD共面，则AD与BC共面Ｂ．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线Ｃ．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCＤ．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．４．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定（）Ａ．与a，b都相交Ｂ．只能与a，b中的一条相交Ｃ．至少与a，b中的一条相交Ｄ．与a，b都平行答案C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理４，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选Ｃ．１若a∥b，b∥c，则a∥c；２若a⊥b，b⊥c，则a∥c；３若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；４若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________（写出所有错误命题的序号）．答案２３４解析由公理４知１正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故２错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故３错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故４错误．故填２３４.6．（２0１9·河南南阳模拟）如图，在四棱锥P—ABCD中，O为CD上的动点，VP—OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为VP—OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AＢ．所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例１如图所示，在正方体ABCD—A１B１C１D１中，E，F分别是AB和AA１的中点．求证：（１）E，C，D１，F四点共面；（２）CE，D１F，DA三线共点．证明（１）如图所示，连接EF，CD１，A１Ｂ．∵E，F分别是AB，AA１的中点，∴EF∥BA１．又A１B∥D１C，∴EF∥CD１．∴E，C，D１，F四点共面．（２）∵EF∥CD１，EF<CD１，∴CE与D１F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCＤ．同理P∈平面ADD１A１．又平面ABCD∩平面ADD１A１＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D１F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法（１）证明点或线共面，１首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；２将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．２证明点共线，１先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；２直接证明这些点都在同一条特定的直线上.３证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理３，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练１．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝１∶２．（１）求证：E，F，G，H四点共面；（２）设EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明（１）∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BＤ．在△BCD中，错误!＝错误!＝错误!，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．（２）由（１）知EF綊错误!BD，GH綊错误!BＤ．∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABＣ．同理P∈平面ADＣ．∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．考向二空间两条直线的位置关系角度错误!两条直线位置关系的判定例２（１）若空间中四条两两不同的直线l１，l２，l３，l４，满足l１⊥l２，l２⊥l３，l３⊥l４，则下列结论一定正确的是（）Ａ．l１⊥l４Ｂ．l１∥l４Ｃ．l１与l４即不垂直也不平行Ｄ．l１与l４的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCD—A１B１C１D１，取l１为AD，l２为AA１，l３为A１B１，当取l４为B１C１时，l１∥l４，当取l４为BB１时，l１⊥l４，故排除A，B，C，选Ｄ．（２）（２0１9·贵州六盘水模拟）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A ∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（）Ａ．垂直Ｂ．相交Ｃ．异面Ｄ．平行答案D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交（垂直是相交的特殊情况），一定不平行．故选Ｄ．角度错误!异面直线的判定例３（２0１9·许昌模拟）如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案２４解析１中HG∥MN；３中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练２．（２0１9·太原期末）已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（）Ａ．平行Ｂ．相交Ｃ．垂直Ｄ．异面答案C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选Ｃ．３．如图所示，正方体ABCD—A１B１C１D１中，M，N分别为棱C１D１，C１C的中点，有以下四个结论：１直线AM与CC１是相交直线；２直线AM与BN是平行直线；３直线BN与MB１是异面直线；４直线AM与DD１是异面直线．其中正确的结论为________（注：把你认为正确的结论序号都填上）．答案３４解析因为点A在平面CDD１C１外，点M在平面CDD１C１内，直线CC１在平面CDD１C１内，CC １不过点M，所以AM与CC１是异面直线，故１错；取DD１中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故２错；因为B１与BN都在平面BCC１B１内，M在平面BCC１B１外，BN不过点B１，所以BN与MB１是异面直线，故３正确；同理４正确，故填３４.考向三异面直线所成的角例４（１）如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AA１＝２AB ＝２，则异面直线A１B与AD１所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析连接BC１，易证BC１∥AD１，则∠A１BC１或其补角即为异面直线A１B与AD１所成的角．连接A１C１，由AB＝１，AA１＝２，则A１C１＝错误!，A１B＝BC１＝错误!，故cos∠A１BC１＝错误!＝错误!.则异面直线A１B与AD１所成角的余弦值为错误!.故选Ｄ．（２）正六棱柱ABCDEF—A１B１C１D１E１F１的底面边长为１，侧棱长为错误!，则这个棱柱的侧面对角线E１D与BC１所成的角是________．答案60°解析如图所示，连接A１B，可知A１B∥E１D，∴∠A１BC１是异面直线E１D和BC１所成的角．连接A１C１，可求得A１C１＝C１B＝BA１＝错误!，∴∠A１BC１＝60°.触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法（１）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．错误!３三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练４．如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（）Ａ．３0° Ｂ．４５°Ｃ．60° Ｄ．90°答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝错误!AC，EG＝错误!BＤ．∴∠EFG为EF与AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝４５°，即EF与AC所成的角为４５°.故选Ｂ．５．在三棱锥S—ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝２，BC＝错误!，SB＝错误!，则SC与AB所成角的余弦值为________．答案错误!解析如图所示，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB，连接DG，则△DFG为直角三角形．由题知AC＝２，BC＝错误!，SB＝错误!可得DE＝错误!，EF＝２，DF＝错误!，在△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝错误!＝错误!.（２0１7·全国卷Ⅱ）已知直三棱柱ABC—A１B１C１中，∠ABC＝１２0°，AB＝２，BC＝CC１＝１，则异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析将直三棱柱ABC—A１B１C１补形为直四棱柱ABCD—A１B１C１D１，如图所示，连接AD１，B１D１，BＤ．由题意知∠ABC＝１２0°，AB＝２，BC＝CC１＝１，所以AD１＝BC１＝错误!，AB１＝错误!，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD２＝２２＋１２—２×２×１×cos60°＝３，所以BD＝错误!，所以B１D １＝错误!.又AB１与AD１所成的角即为AB１与BC１所成的角θ ，所以cosθ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｃ．答题启示（１）当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．（２）补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练（２0１9·银川模拟）如图所示，长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝１２，BC＝３，AA１＝４，N 在A１B１上，且B１N＝４，则异面直线BD１与C１N所成角的余弦值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC１的长方体B１F，如图所示．连接C１E，NE，则C１E∥BD１，于是∠NC１E即为异面直线BD１与C１N所成角（或其补角）．在△NC１E中，根据已知条件可求C１N＝５，C１E＝１３，EN＝错误!＝４错误!.由余弦定理，得cos∠NC１E＝错误!＝—错误!.所以BD１与C１N所成角的余弦值为错误!.。
高中数学 213空间中直线与平面之间的位置关系教案 新人教版必修2 教案
空间中直线与平面之间的位置关系一、课程标准中的相关内容1．了解空间中点、线、面的基本性质及位置关系。
2．通过学生亲自动手实验，体验空间中直线和平面的位置关系，学会用数学符号描述空间中直线与平面的位置关系，为今后学习立体几何打好基础。
二、教学目标1．知识与技能学生通过动手操作模型或观察实例，直观的认识空间中直线与平面的位置关系，培养学生的观察能力、空间想象能力。
2．过程与方法使学生通过动手操作模型或观察实例，能正确画图表示出直线与平面的位置关系，培养学生的基本作图能力体验用数学刻画自然界事物之间关系的方法。
3．情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识和勇于探索的科学态度三、学生分析在学习立体几何之前，学生已经学习了大量的平面几何知识，本章知识是立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。
再则本章知识在现实生活中应用非常广泛，学生对和现实生活联系紧密的知识具有天生的兴趣，充分培育和利用好学生的这些兴趣，将使教学更轻松。
课程的开展一方面是让学生对立体几何有基本的认识，另一方面也是为接下来的学习打下基础。
让学生从“知其然”到“知其所以然”。
四、教材分析本节内容在前两节的基础上现实生活中的实例为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中直线与平面的位置关系，进而进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法，发展推理论证能力，培养逻辑思维能力。
它既是前一章的深入，又是今后学习立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。
2．本节主要内容高中数学新课程对于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
本课首先通过实例演示，是同学们对空间中直线和平面的位置关系有初步的了解，进而通过理论分析，是同学们从理论上理解并掌握空间中直线和平面的位置关系的内涵，为今后学生学习立体几何打下坚实的基础。
人教A版高中数学必修二点、直线、平面之间的位置关系教案新
第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：长方体的8个顶点、12条棱所在直线、6个面之间有和位置关系？2. 举例：生活中哪些物体给我们以平面的形象？二、讲授新课：1. 教学平面的概念及表示：① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；理解两点：无限好比在平面上画直线；一个平面把空间分成两部分。
② 平面的画法：A.任意角度观察桌面、黑板面，感到象什么？美术中如何画一张纸？B.画法：通常画平行四边形来表示平面。
（注意通常两字）水平平面：通常画成锐角成45°，横边等于邻边的两倍。
非水平平面：只要画成平行四边形。
直立的平面：一组对边为铅垂线。
相交的平面：一定要画出交线；遮住部分的线段画虚线或不画。
C.练习： 画一个平面、相交平面③ 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
④ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.2. 教学公理1：①揭示公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）②应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内③符号：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线l 的平面α内，记作l ⊂α。
④用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂3.教学公理2：①揭示公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
人教A版高中数学必修二空间中直线与平面的关系教案
§2.1.3 空间中直线与平面§2.1.4 平面与平面之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、导入课题教师以生活中的实例以及课本P53的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例4: 加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P55 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P55 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。