高三数学总复习 8.3直线与平面的位置关系教案(2)新人教A版

2014届高三数学总复习 8.3直线与平面的位置关系教案（2） 新

1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条．

答案：无数 解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条．

2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．

答案：平行

解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m∥n.

3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．

答案：0

解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.

4. (必修2P 42习题9改编)如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A 、B 的任一点，则图中直角三角形的个数为________．

答案：4

解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC⊥BC，△ACB 是直角三角形；由PA⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA⊥平面ABC ，且

BC Ì平面ABC ，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA ∩AC ＝A ，所以BC⊥平面PAC.而PC Ì平面PAC ，所以BC⊥PC，△PCB 是直角三角形；故直角三角形的个数为4.

5. (必修2P 42习题11、16改编)P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．

(1) 若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2) 若PA⊥BC，PB ⊥AC ，则O 是△ABC 的________心；

(3) 若PA ，PB ，PC 与底面所成的角相等，则O 是△ABC 的________心． 答案：(1) 内 (2) 垂 (3) 外 解析：(1) P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，可知O 到△ABC 三边距离相等，即O 是△ABC 的内心；(2) 由PO⊥平面ABC 且BC 平面ABC ，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO 与PA 是平面POA 内两条相交直线，所以BC⊥平面POA ，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O 是△ABC 的垂心；由PA 、PB 、PC 与底面所成的角相等，易得Rt △POA ≌Rt △POB ≌Rt △POC ，从而OA ＝OB ＝OC ，所以O 是△ABC 的外心．

1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

[备课札记]

题型1 直线与平面垂直的判定

例1 (2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝2AD ＝2，CD ＝3，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点．求证：

(1) MN∥平面PCD ；

(2) 四边形MNCD 是直角梯形； (3) DN⊥平面PCB.

证明：(1) 因为点M 、N 分别是PA 、PB 的中点，所以MN∥AB. 因为CD∥AB，所以MN∥CD.

又CD Ì平面PCD ，MN Ë平面PCD ，所以MN∥平面PCD. (2) 因为AD⊥AB，CD ∥AB ，所以CD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ， 所以CD⊥PD.

因为AD∩PD＝D ，所以CD⊥平面PAD. 因为MD Ì平面PAD ，所以CD⊥MD. 又MN∥CD，MN ≠CD ，

所以四边形MNCD 是直角梯形．

(3) 因为PD⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角， 从而∠PAD＝60°.

在Rt △PDA 中，AD ＝2，PD ＝6，PA ＝22，MD ＝ 2.

在直角梯形MNCD 中，MN ＝1，ND ＝3，CD ＝3，CN ＝MD 2＋（CD －MN ）2

＝6，

从而DN 2＋CN 2＝CD 2

，所以DN⊥CN.

在Rt △PDB 中，PD ＝DB ＝6，N 是PB 的中点，则DN⊥PB. 又PB∩CN＝N ，所以DN⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）

(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．

(1) 证明：EF∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.

证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG.

因为F 为C 1B 的中点，所以FG∥=1

2

C 1C.

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.

所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EF∥AG.

因为EFË平面ABC，AGÌ平面ABC，所以EF∥平面ABC.

(2) 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BDÌ平面ABC，所以A1A⊥BD. 因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.

因为A1A∩AC＝A，A1AÌ平面A1ACC1，ACÌ平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因为C1EÌ平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根据题意，可得EB＝C1E＝

6

2

AB，C1B＝3AB，

所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB.

因为BD∩EB＝B，BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.

题型2 直线与平面垂直性质的应用

例2已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB1⊥BC1，求证：A1C⊥AB1.

(图①)

(图②)

证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.

连结BD1、DD1(如图)，

∵ A1C1B1D1为菱形，

∴ A1B1⊥D1C1.

又AA1⊥平面A1D1B1C1，

∴ AA1⊥D1C1.

又D1C1⊥平面ABB1A1，∴ D1C1⊥AB1.

又AB1⊥BC1，

∴ AB1⊥平面BC1D1，∴ AB1⊥BD1.

又BD1∥CA1，∴ AB1⊥A1C.

变式训练