武汉大学数字信号处理试卷

武汉大学电子信息学院
2014～2015学年第一学期《数字信号处理》期末试卷A
姓名 学号 专业 分数
第一题（15分）：离散时间信号与系统
已知系统L 为线性系统，图1给出了三个不同输入x 1[n ],x 2[n ],x 3[n ]时，分别对应的系统输出响应为y 1[n ],y 2[n ],y 3[n ]。

第一题:
第三题:
图 1 系统L 的输入及对应的输出的关系
（1） 试求系统L 的输入为x 4[n ]=x 1[n ]-x 2[n ]时的输出y 4[n ];
（2） 试求系统L 的输入为x 5[n ]=x 3[n ]+
1
2
x 4[n ]时的输出y 5[n ] （3） 判断系统L 是否为时不变系统，并解释原因；
第二题（25分）：离散时间系统的z域分析一个因果LTI系统的传输函数为：
H(z)=1+0.9z -1
1+0.49z-2
（1）写出该系统的输入输出差分方程；
（2）用直接型结构实现该系统；
（3）在图2中标出系统的零极点位置，并标明该系统的收敛域，并分析系统的稳定性；
（4）求该系统的幅度响应|H(e j w)|；
（5）求该系统的逆系统G(z)=H-1(z)，并分析逆系统的稳定性；
（6）分析该系统的逆系统是否为高通滤波器？
图 2 Z平面图
第三题（20分）：线性卷积
已知FIR系统的冲激响应h[n]=2d[n]+d[n-2]+4d[n-3]，系统输入为x[n]=d[n]+2d[n-1]+2d[n-2]+2d[n-3]：
（1）计算系统的输出y[n]；
（2）给出用FFT算法计算系统的输出y[n]的流程图；
（3）若只有两个FFT模块来计算系统的输出y[n]，请在图3中列出的算法框图中，明确标明对应节点符号；
（4）比较分别采用（1）（2）（3）方法计算系统输出y[n]所需要的乘法次数。

第四题（15分）：DTFT与DFT的关系
（1）求序列x[n]=
e j w0n,0£n£N-1
0,others
ì
í
ï
îï
的DTFT变换；
（2）求（1）中序列的N点DFT变换。

（3）图1给出了一个6点的离散时间序列x[n]。

其中，x[4]=b是未知的。

令X(e j w)为
序列x[n]的DTFT变换，且X
1[k]为X(e j w)在w
k
=2p k/4上的采样，即
X 1[k]=X(e j w k)|
w k=p k/2
,0£k£3
图2给出了对X
1[k]做4点IDFT变换后的序列x
1
[n]。

请计算b的大小。

第三题:
附加题（10分）
X[k],0£k£N-1为序列{x[n]}
n=0,...,N-1
的N点DFT变换，N=4L。

若对X[k]每隔L点抽取一个样本，构成新序列Y[k],0£k£3，即
Y[k]=X[kL]
对Y[k]求4点IDFT变换得到新序列{y[n]}
n=0,...,3，请分析{y[n]}
n=0,...,3
与
{x[n]}
n=0,...,N-1
的关系。

第五题（20分）：采样与数字滤波器设计
人耳所能听到的音频信号的频谱范围为20Hz~20KHz ，而人正常说话的声音频率范围大概为300Hz~4KHz 。

（1） 现需要设计录音设备，用来录制剧院中正在演奏的音乐。

请画出该录音系统的系
统框图，标明采样频率设置大小，并说明采用该采样频率原因。

（2） 这时，我们想从这段录音中将音乐去掉，只保留录音中的语音信号（人说话的声
音）。

若假设正在演奏的音乐的频谱范围在12KHz~20KHz ，那么如何设计一个巴特沃思-数字滤波器，使得该滤波器对语音的最大衰减为-1dB ，而对音乐信号的最小衰减为-40dB ？说明具体步骤。

可能使用到的公式：
双线性变换
s =121-z -11+z -1æèçö
ø
÷ W =tan w /2()
巴特沃思滤波器阶数表达式
N =
lg[(A 2-1)/e 2]
2lg(W s /W p )，其中各个参数如图所示。

n denominator(s )
1
1p s ω⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
2
2
1.4141p p s s ωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3
32
221p
p p s s s ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4
4
3
2
2.6131
3.4142 2.61311p
p
p p s s
s s ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5
5
4
3
2
3.2361 5.2361 5.2361 3.23611p
p
p
p
p
s s s
s
s
ωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6 6
5
4
3
2
3.86377.46419.14167.4641 3.86371p p p p p p s s s s s s ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。