勾股定理、 全等三角形基本图形
三角形全等的判定ppt
边角边定理
两边对应相等，且夹角也相等的两 个三角形全等。
角边角定理
两角对应相等，且夹边也相等的两 个三角形全等。
角角边定理
两角对应相等，且另一组对应角也 相等的两个三角形全等。
运用全等解决实际问题
利用全等解决测量问题
通过测量三角形各边的长度和角度，可以计算出未知量，如 高度、角度等。
利用全等解决设计问题
角边角定理（ASA）
总结词
两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等。
详细描述
角边角定理也是三角形全等的判定方法之一。它表明只要两个三角形的两个角对 应相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这两个三角形就全等。
角角边定理（AAS）
总结词
两角对应相等且一边相等的两个三角形全等。
详细描述
角角边定理是三角形全等的重要判定方法之一。它表明只要两个三角形的两 个角对应相等，并且其中一个角所对应的一条边也相等，那么这两个三角形 就全等。
随着科学技术的发展，全等三角形的判定方法将 会在更多的领域得到应用和发展。
THANKS
谢谢您的观看
结论
全文总结
01
本文介绍了三角形全等的概念和重要性，并详细阐述了三角形 全等的判定方法。
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过对比不同判定方法的优缺点，总结了不同情况下应选择的
判定方法。
重点强调了全等三角形的性质和应用，为解决实际问题提供了
03
基础和保障。
对未来学习的建议
建议学习者在学习本部分内容之前，先了解全 等图形的概念及作用，以便更好地理解全等三 角形的判定方法。
04
与三角形全等相关的定理和推论
重要的定理和推论
SAS定理
证明直角三角形全等
证明直角三角形全等
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
全等是指两个三角形的所有对应边角相等。
那么如何证明两个直角三角形全等呢？下面我们来分析一下。
在证明直角三角形全等时，应该先确定两个三角形的哪些部分是相等的，也就是哪些部分可以作为证明的依据。
其次，根据勾股定理，两个直角三角形的两条直角边和斜边长度相等，则两个三角形的斜边也是相等的。
最后，我们还可以通过底角定理来证明两个直角三角形全等。
底角定理指出，对于两个直角三角形，如果它们的斜边相等，底边上的一个角相等，则它们全等。
基于上述三点，我们可以列出证明直角三角形全等的几种方法。
方法一：直角边-斜边-直角边
这是最基本的证明方法。
假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠C=∠F=90°，且AC=DF，BC=EF，则：
1. 根据勾股定理，两个三角形的斜边AB和DE相等。
2. 通过正弦定理或余弦定理，证明∠A=∠D。
综上，两个三角形全等，即ABC≌DEF。
1. 根据勾股定理，证明BC=EF。
通过上述三种方法，我们可以证明直角三角形全等，而证明的前提是我们已经知道了两个三角形的部分相等的条件。
因此，我们在研究直角三角形全等的时候，应该首先确定两个三角形的哪些部分是相等的，以此来确定证明的方法。
用四个全等三角形证明勾股定理
用四个全等三角形证明勾股定理用四个全等三角形来证明勾股定理，听起来就像是在讲一个神奇的故事，是吧？想象一下，在一个简单的直角三角形里，两个短边分别是a和b，而斜边就是c。
这三个边就像是一对好朋友，永远在一起玩耍。
而我们要做的，就是把这个三角形复制成四个一模一样的三角形，把它们拼在一起，创造一个超级大图形。
咱们把这四个三角形整齐地摆成一个大正方形。
嘿，瞧瞧，这大正方形的边长可是a + b哦！想象一下，四个三角形就像是在舞台上表演，围绕着这个正方形转圈圈。
中间的空地，就成了一个小正方形，它的边长就是c。
看起来是不是很有意思？当你仔细一看，这四个三角形的面积可不是白摆的。
每个三角形的面积都是1/2 * a * b，所以四个三角形的总面积就是2ab。
然后我们再算一下整个大正方形的面积。
边长是a + b，所以面积就是(a + b)²。
这时候，如果你用手指头算一算，结果就出来了。
好啦，咱们继续深挖这个故事。
根据平方的展开式，(a + b)² = a² + 2ab + b²。
真是有趣啊！刚才咱们算出的面积2ab，真的是直接可以放进这个公式里。
这样一来，我们就能看出，整个大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个三角形的面积，简直就是绝配。
我们来个小总结。
根据我们上面算出的面积关系，整个大正方形的面积可以写成c² + 2ab。
哦，明白了吧？这样一来，我们就可以说：大正方形的面积也等于小正方形的面积加上四个三角形的面积。
也就是说，c² = a² + b²，这就是经典的勾股定理呀！这时候，你可能会觉得，哇，数学居然可以这么有趣，真是让人眼前一亮。
勾股定理不再是枯燥的公式，而是变成了一场精彩的演出，四个三角形就在这里为我们展示了它们的魔力。
生活中，数学无处不在，就像四个三角形在我们心中翩翩起舞。
所以，谁说数学就一定要严肃？咱们可以用这些有趣的图形、形象的比喻，让它变得轻松有趣。
四个全等的直角三角形证明勾股定理
四个全等的直角三角形证明勾股定理
勾股定理
1、两边平行四边形
若两边平行四边形的对角线相等，则对角线端点构成两个直角三
角形，两个内角都是直角，这就是勾股定理的证据。
例如：在平行四
边形ABCD，若AD=BC，那么有AB²+BC²=AD²+CD²。
2、直角三角形
若有一个直角三角形，若两个直角的对边相等，则直角对边的平
方可以拆开为两个直角边的相加。
因此，它也是勾股定理的证明，例
如在直角三角形ABC中，若AB=AC，那么有AB²+BC²=AC²+BC²。
3、四边形、多边形
直角四边形和多边形也是勾股定理的证明。
若在四边形ABCD中，若AB=CD，那么有AB²+BC²=CD²+DC²；若在多边形ABCDEF中，若AB=DE，那么有AB²+BC²=DE²+EF²。
4、已知符合勾股定理的条件
若已知三条边长分别是a,b,c，则符合勾股定理的条件就是
c²=a²+b²，其用数学证明也是勾股定理的证明。
因此，如果有三条边，
那么可以根据勾股定理判断a²+b²是否等于c²。
几何原本勾股定理证明
几何原本勾股定理证明1. 基本图形构建- 分别以 AB、BC、AC 为边向外作正方形 ABDE、BCFG、ACHK。
2. 证明三角形全等- 连接 CD、BK。
- 因为∠ ACB=∠ ACH = 90^∘，所以∠ BCK=∠ ACH+∠ ACB = 180^∘，这表明 C、A、K 三点共线。
- 同理，C、B、D 三点共线。
- 在 AKB 和 ACB 中，AK = AC（正方形 ACHK 的边），AB = AB（公共边），∠ KAB=∠ KAC+∠ CAB=∠ BAC + 90^∘，∠ CAB + 90^∘=∠ CAE，而在正方形 ABDE 中∠ CAE=∠ DAB，∠ DAB=∠ ABC + 90^∘，所以∠ KAB=∠ ABC。
- 根据 SAS（边角边）判定定理， AKB≅ ACB。
- 同理可证 BCD≅ BCA。
3. 面积关系推导- 因为 AKB 和矩形 AKNL（N 在 AB 上，L 在 DE 上，且 AN⊥ KL）有相同的底 AK，并且在相同的平行线 AK 和 BL 之间，所以 S_{ AKB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 由于 AKB≅ ACB，所以 S_{ ACB}=(1)/(2)S_{矩形AKNL}。
- 同理，S_{ BCD}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}，又因为 BCD≅ BCA，所以S_{ BCA}=(1)/(2)S_{矩形CDLM}。
- 正方形 ACHK 的面积 S_{ACHK}=AC^2，正方形 BCFG 的面积S_{BCFG}=BC^2，正方形 ABDE 的面积 S_{ABDE}=AB^2。
- 而 S_{ABDE}=S_{矩形AKNL}+S_{矩形CDLM}，即 AB^2=AC^2+BC^2，从而证明了勾股定理。
勾股定理
勾股定理勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
古埃及人利用打结作RT三角形定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。
那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
有关勾股定理书籍《数学原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同济大学出版社《优因培教数学》北京大学出版社《勾股模型》新世纪出版社《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。
例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。
问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图：设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
《周髀算经》简介青朱出入图《周髀算经》算经十书之一。
勾股定理知识点+对应类型
勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；例 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知：a=13, b=12, c=5. ABC ∆ 是什么三角形？4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理，作出长为n 的线段类型四：利用勾股定理作长为的线段【变式】在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。
勾股定理与全等三角形
第二章勾股定理与全等三角形
探索直角三角形三边的关系：
观察图中用阴影画出的3个正方形，我们可以知道两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积。
那AC+BC=AB说明，任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，只要是直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？
概括：
数学上可以证明，对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c则有：a+b=c
例：已知一个直角三角形的一个边长为3c m，斜边长为5c m,求另一直角边的长。
、
解：在RtABC中如图所示B C=3cm AB=5cm
根据勾股定理的：AC+BC=AB
AC=√AC-BC=√25-9=4cm
答：另一直角边的长为4cm.
习题：
1.在RtABC中AB=c BC=b AC=b∠B=90
⑴已知a=6 b=10 求c.⑵已知a=5 c=12,求b.
2直角三角形的斜边比一直角边长2c m，另一直角边长为6cm求它的斜边长？
3如图所示，为了求出湖两岸的两点A B之间的距离。
一个观测者在点C设桩，是三角形AB C恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
习题：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理、全等三角形典型模型
全等三角形 手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点
结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°
（3）OA平分∠BOC
变形：
例1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明
（1）
(2)
(3) 与之间的夹角为
(4)
(5)
(6) 平分
(7)
变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）
（2）
（3）与之间的夹角为
（4）与的交点设为,平分
变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）
(2）
(3）与之间的夹角为
(4）与的交点设为,平分
例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于点问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？
例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？
例4：两个等腰三角形与，其中,,连结与，
问：（1）是否成立？
（2）是否与相等？
（3）与之间的夹角为多少度？
（4）是否平分？
倍长与中点有关的线段
倍长中线类
☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
【例1】已知：中，是中线．求证：．
【练1】在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？
【练2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：．
【例2】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．
【练1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：
【练2】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．
【练3】如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．
求证：∥
【例3】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．
【练1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．
【练2】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且．
（1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角
形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
（2）如果，求证．
【例4】如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．
【练1】已知中，，为的延长线，且，为的边上的中线．
求证：
★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.
而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方
1. 如图所示，中，，AD平分交BC于D。
求证：AB=AC+CD。
如图所示，在中，，的角平分线AD、CE相交于点O。
求证：
AE+CD=AC。
2. 如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求
证：。
3. 如图所示，在中，AB=AC，，，CE垂直于BD的延长线于E。
求
证：BD=2CE。
5如图所示，在中，，AD为的平分线，=30，于E点，求证：AC-
AB=2BE。
6.如图所示，已知//CD，的平分线恰好交于AD上一点E，求证：
BC=AB+CD。
7.如图，E是的平分线上一点，，，垂足为C、D。
求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。