广东省华南师范大学附属中学2021届高三数学一轮模拟题附答案解析

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2021年广东省高考最新数学模拟试卷-含答案与解析

2021年广东省高考最新数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1] B．[1，2）C．[1，3] D．（﹣1，3]2．在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m i的星的亮度为E i（i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（）（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.23 B．1.26 C．1.51 D．1.575．如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上．且满足AE＝2ED．过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的截面．所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π．则直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为（）A．B．2C．3D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°10．下列命题中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则D．若某次考试的标准分X服从正态分布N（90，900），则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为11．关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1C．1+＞log t（t+1）D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝．14．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为．15．已知数列{a n}中，，且a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，数列{b n}满足，则{b n}的通项公式是b n＝．16．设f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则：①m的取值范围是；②x1x2x3的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n＝（a n+1）2，若数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为线段PC上一点．（1）设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：l∥平面ABCD；（2）是否存在这样点E，使平面ADEF与平面ABCD所成角为60°，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？21．（12分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+．（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．22．（12分）已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点N（1，y0）是线段AB的中点．（1）若y0＝3，求直线AB的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1] B．[1，2）C．[1，3] D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力．2．在复平面内，设z＝1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵z＝1+i，∴+z2＝+（1+i）2＝＝1﹣i+2i＝1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键．3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【分析】根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，有（种）选法；②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，有（种）选法．综上，两类课程中都至少选一门的选法有12+18＝30种；故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m i的星的亮度为E i（i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（）（当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）A．1.23 B．1.26 C．1.51 D．1.57【分析】设“心宿二”和“天津四”的亮度分别为E1，E2，由题意1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgE1），然后利用对数的运算进行求解即可．【解答】解：设“心宿二”和“天津四”的亮度分别为E1，E2，由题意可得，1﹣1.25＝2.5（lgE2﹣lgE1），所以，则，所以r的近似值为1.26．故选：B．【点评】本题主要考查了数学文化以及对数的运算，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学文化，考查了逻辑推理能力，属于中档题．5．如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，＜φ＜π）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃【分析】根据函数y的图象求出函数解析式，再计算x＝8时y的值．【解答】解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）+b的半个周期图象知，，解得A ＝10，b＝20，又：＝14﹣6＝8，所以：T＝16，所以：ω＝＝，又x＝6时，y＝10，即10sin（×6+φ）+20＝10，解得：φ＝2kπ+，k∈Z；又：＜φ＜π，所以：φ＝；所以：y＝10sin（x+）+20，可得：x＝8时，y＝10sin（×8+）+20＝﹣5+20≈13℃，即该天8h的温度大约为13℃．故选：D．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（）A．B．C．D．【分析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20+（a1+3d）+（a1+4d）]×＝a1+（a1+d），解得a1＝，故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．7．已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：如图：F1P垂直直线bx﹣ay＝0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bx﹣ay＝0的距离为：d＝＝b，△F1PF2中，PF1＝2d＝2b，抛物线y2＝4cx的焦点坐标（c，0），PF2＝2a，tan∠F1OH＝，∴cos∠F1OH＝，sin∠F1OH＝，可得cos∠OF1P＝，sin∠OF1P＝，P（，），点P在抛物线y2＝4cx上，可得：＝8b2﹣4c2，∴e4﹣3e2+1＝0，e＞1，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．8．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上．且满足AE＝2ED．过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的截面．所得的截面面积的最大值与最小值之差为19π．则直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为（）A．B．2C．3D．4【分析】由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，可得其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，连接BD，取AD的中点F，连接OF，OE，OB，设AA1＝2a，根据题意求得外接球的半径R＝OB＝，求出OE＝，再分别求出截面面积最大值域最小值，列方程求解a2，即可求出半径．【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，∴其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，则OG＝AA1，连接BD，∵底面ABCD是边长为6的正方形，∴G为BD的中点，取AD的中点F，连接OF，OE，OB，设AA1＝2a，则OG＝a，∴外接球的半径R＝OB＝．∵点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，则EF＝DF﹣DE＝AB＝1，又FG＝AB＝3，∴OF＝．∵直四棱柱中，AB⊥侧面ADD1A1，FG∥AB，∴FG⊥侧面ADD1A1，∴FG⊥AD，又OG⊥底面ABCD，∴OG⊥AD，又FG∩OG＝G，∴AD⊥平面OFG，则OF⊥AD．则OE＝．根据球的特征，过点E作直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的截面，当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为πR2，当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为．∴此时截面面积为．又截面面积的最大值与最小值之差为19π，∴，因此a2+10＝19，即a2＝9，则R＝．故选：C．【点评】本题考查求几何体外接球的半径，考查直四棱柱及球的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的为（）A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；综上C是错误的．故选：ABD．【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定．10．下列命题中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则D．若某次考试的标准分X服从正态分布N（90，900），则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为【分析】利用二项分布以及期望与方程求解判断A；方差的性质判断B；正态分布求解概率，判断C；利用正态分布的概率判断D．【解答】解：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得E（X）＝np＝30，D（X）＝np（1﹣p）＝20，解得，所以A错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以B正确；由正态分布的图象的对称性可得，所以C 正确；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查二项分布以及正态分布的概率的求法与性质，是中档题．11．关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A，B的正误；利用特殊值判断对称性，判断C的正误；求解函数的值域判断D．【解答】解：由题意知f（x）的定义域为，且关于原点对称．又，所以函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以A正确，B错误．因为，，所以，所以函数f（x）的图象不关于直线对称，C错误．当cos x＜0时，f（x）≤﹣2，当cos x＞0时，f（x）≥2，所以D正确．故选：AD．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是（）A．（t+3）ln（t+2）＞（t+2）ln（t+3）B．（t+1）t+2＞（t+2）t+1C．1+＞log t（t+1）D．log（t+1）（t+2）＞log（t+2）（t+3）【分析】令构造函数f（x）＝，对其求导，结合导数与单调性关系检验各选项即可判断．【解答】解：令f（x）＝，则，易得，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，因为t≥2，t+3＞t+3＞e，所以＜，所以（t+2）ln（t+3）＜（t+3）ln（t+2）同理，所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），所以（t+1）t+2＞（t+2）t+1，B正确；所以（t+2）ln（t+1）＞（t+1）ln（t+2），A正确；令g（x）＝，x≥3，则g′（x）＝＜0，故g（x）在[3，+∞）上单调递减，g（t+1）＞g（t+2），所以＞，故log t+1（t+2）＞log t+2（t+3），D正确；对于C，1+＞log t（t+1）⇔⇔，结合选项A的讨论，t与e的大小不确定，故C错误．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，构造函数并判断单调性是求解问题的关键．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||＝1，|2﹣|＝．∴＝，化为＝10，化为，∵，解得||＝．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题．14．若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0），始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则+的最小值为3+2．【分析】由题意可知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2＝0上，可得a+b＝1，而+＝（+）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2＝0即是圆的直径所在的直线方程．∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2＝0上，∴2a+2b﹣2＝0即a+b＝1，∵+＝（+）（a+b）＝3++≥3+2，∴+的最小值3+2．故答案为3+2．【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换．15．已知数列{a n}中，，且a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，数列{b n}满足，则{b n}的通项公式是b n＝．【分析】利用数列的递推关系式推出数列{b n}是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式．【解答】解：因为a n a n﹣1+1＝2a n﹣1，所以，因为，所以，所以数列{b n}是首项为，公差为1的等差数列，所以．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，是中档题．16．设f（x）＝，且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则：①m的取值范围是（0，2）；②x1x2x3的取值范围是．【分析】作出函数f（x）的图象，由f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根，结合图象可得m的取值范围，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2＞0，且x2+x3＝2×2＝4，进一步得到0＜x2x3＜4，，由此求得x1x2x3的取值范围．【解答】解：当x＜0，单调递减，作出函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，当0＜m＜2时，f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，易知x2＞0，且x2+x3＝2×2＝4，∴0＜x2x3＜4，令，解得（舍去）或．∴，∴．故答案为：①（0，2）；②．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c．已知•＝2，cos B＝，b＝3．求：（1）a和c的值；（2）cos（B﹣C）的值．【分析】（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；（2）由余弦定理可得cos C，求得sin C，sin B，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）•＝2，cos B＝，b＝3，可得ca cos B＝2，即为ac＝6；b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即为a2+c2＝13，解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2，由a＞c，可得a＝3，c＝2；（2）由余弦定理可得cos C＝＝＝，sin C＝＝，sin B＝＝，则cos（B﹣C）＝cos B cos C+sin B sin C＝×+×＝．【点评】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足4S n＝（a n+1）2，若数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}与{b n}的项相间排列构成新数列a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…，设该新数列为{c n}，求数列{c n}的通项公式和前2n项的和T2n；（3）对于（2）中的数列{c n}前n项和T n，若T n≥λ•c n对任意n∈N*都成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由4S n＝（a n+1）2，n＝1时，4a1＝，解得a1．n≥2时，4a n＝4（S n﹣S n﹣1），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n﹣a n﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得b n．进而得出c n，T2n．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由4S n＝（a n+1）2，n＝1时，4a1＝，解得a1＝1．n≥2时，4a n＝4（S n﹣S n﹣1）＝（a n+1）2﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）数列{b n}满足b1＝2，b2＝4，且等式b n2＝b n﹣1b n+1对任意n≥2成立．∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为＝2．∴b n＝2n．∴c n＝，k∈N*．∴T2n＝+＝n2+2n+1﹣2．（3）T n≥λ•c n，即n2+2n+1﹣2≥λc n，n＝2k时，λ≤的最小值，f（k）＝＝+2，k≥2时单调递减，∴f（k）≤+2＝．k＝1时，f（1）＝＝．∴λ≤．n＝2k﹣1时，λ≤的最小值，同理可得：λ≤1．综上可得：实数λ的取值范围是λ≤1．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，△PDC是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面ABCD，E为线段PC上一点．（1）设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：l∥平面ABCD；（2）是否存在这样点E，使平面ADEF与平面ABCD所成角为60°，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）证明AB∥平面PDC，结合AB∥l．推出l∥平面ABCD．（2）设DC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在这样的点E，设，求出平面ABCD的一个法向量，平面ADEF的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，然后求解λ的范围，推出结果即可．【解答】（1）证明：因为AB∥CD，AB⊄平面PDC，DC⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，……………………………………………（2分）又AB∥平面PAB，且平面PAB∩平面PDC＝l，所以AB∥l．又l⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD．……………………………（2）解：设DC中点为O，则PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知有A（1，0，0）、D（0，﹣1，0）、C（0，1，0）、，假设存在这样的点E，设，则求得，，……………………（7分）平面ABCD的一个法向量为，……………………………………………………（8分）设平面ADEF的一个法向量为，．由得从而取x＝1，则y＝﹣1，，，………………………………………（10分）若平面ADEF与ABCD平面所成角为60°，则，整理得λ2+4λ﹣4＝0，解得，故存在这样的点E满足条件，．……………………………………………（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．20．（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设ξ为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？【分析】（Ⅰ）用2个电子元件正常工作加上3个电子元件正常工作可得．（Ⅱ）设X为维修维修的系统的个数，则，且ξ＝500X，所以．再求出概率，写出分布列，期望．（Ⅲ）按照原来和后来增加的原件中正常工作的个数分类讨论，利用独立重复试验的概率公式计算可得．【解答】解（Ⅰ）系统不需要维修的概率为．（Ⅱ）设X为维修的系统的个数，则，且ξ＝500X，所以．所以ξ的分布列为ξ0 500 1000 1500P所以ξ的期望为E（ξ）＝0×+500×+1000×+1500×＝750．．（Ⅲ）当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作．若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为••（）2•p2＝p2；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为•（）2•••p•（1﹣p）+•（）2•p2＝（2p﹣p2）；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为•（）3＝．所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为p2+（2p﹣p2）+＝p+，于是由p+﹣＝（2p﹣1）知，当2p﹣1＞0时，即＜p＜1时，可以提高整个G系统的正常工作概率．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x sin x+cos x+．（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．【分析】（1）当a＝0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]，f'（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，当x 在区间[﹣π，π]上变化时，f '（x ），f （x ）的变化如下表：x ﹣π 0 πf '（x ）+ 0 ﹣ 0 + 0 ﹣f （x ）﹣1增极大值减极小值1 增极大值减 ﹣1∴f （x ）的单调增区间为，，f （x ）的单调减区间为，．（2）f '（x ）＝ax +x cos x ＝x （a +cos x ），x ∈[0，π]，当a ≥1时，a +cos x ≥0在[0，π]上恒成立，∴x ∈[0，π]时，f '（x ）≥0，∴f （x ）在[0，π]上单调递增，又∵f （0）＝1＞0，∴f （x ）在[0，π]上没有零点；当0＜a ＜1时，令f '（x ）＝0，得cos x ＝﹣a ，由﹣1＜﹣a ＜0可知存在唯一使得cos x 0＝﹣a ， ∴当x ∈[0，x 0）时，f '（x ）≥0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 0，π）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （0）＝1，f （x 0）＞1，，①当，即时，f （x ）在[0，π]上没有零点， ②当，即时，f （x ）在[0，π]上有1个零点，综上，当时，f （x ）有1个零点，当时，f （x ）没有零点．【点评】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22．（12分）已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点N（1，y0）是线段AB的中点．（1）若y0＝3，求直线AB的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当y0＝3时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+3，将AB方程代入3x2+y2＝λ求出直线的斜率k＝﹣1，得到AB的方程为x+y﹣4＝0然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+y0，将方程代入3x2+y2＝λ通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出y0的取值范围即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当y0＝3时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+3，将AB方程代入3x2+y2＝λ得：（3+k2）x2+2k（3﹣k）x+（3﹣k）2﹣λ＝0．①由，解得k＝﹣1，此时AB的方程为x+y﹣4＝0．………………………（2分）将k＝﹣1代入①，得4x2﹣8x+16﹣λ＝0．由△＝64﹣16（16﹣λ）＞0，解得λ＞12．…………………………………………（4分）（2）设直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+y0，将方程代入3x2+y2＝λ得：．②由题意，即﹣ky0＝3．……………………………………………………，，……（7分）所以CD中点P的横坐标，点P到AB的距离d为，…………………………（9分）由A，B，C，D四点共圆，即，③不管λ怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，即上式恒成立，所以，解得k2＝1，此时③式成立．代入②，由△＞0得此时λ＞12．所以y0的取值范围为{﹣3，3}．………………………………（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题。

广东省华南师范大学附中高三综合测试数学(文)——高考模拟试卷(33套)资料文档

广东省华南师范大学附中 20××届高三5月综合测试数学（文）试题本试卷共1小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x xB ，则=)(B AC UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A ．4 B.5 C.6 D.7 4．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=, )27cos 2,63cos 2(00=, 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21C ．22D ．235．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ．6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真7．若⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[22, 5 ] B ． [－22 ,22] C ． [－22, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]8 在圆422=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B. )56,58(-C. )56,58(-D. )56,58(--9．函数x x y cos +=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11. 双曲线229161x y -=的焦距是___________. 12．已知53)4sin(=-x π，则 x 2sin 的值为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 .（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧+=--=ty tx 2322（t 为参数）的距离等于 .题图第1515．如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，PD =O 的半径长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）PD FOE18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 的前项和为n T ，且)(211*N n b T n n ∈-=。

华师附属一中2021年押题卷数学含详解与高考前最后一课

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2021-2022学年广东省华南师大附中高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（） A ．2B ．3C ．5D ．82．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（） A ．13B ．310C ．25D ．343．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（） A ．6-B ．6C ．5D ．5-4．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A ．2B ．1C ．2-D ．3-5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30B．C．D ．626．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD7．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-8．已知01a b <<<，则（）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-9．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（） A ．2B ．2C ．3D ．310．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（） A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆11．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．4312．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

华南师大附中2021届高三综合测试(三)数学答案

g
6
1 2
，
∴
g
x
在
0,
2
的值域为
1 2
,1
.
19.(12 分)
（1）连接 A1C1, AC, A1B, BH ，由于 E 为 BC 中点，且 HC / / AB ，
∴CH CE 1 AB EB
A1
∴CH AB
D1
C1
B1
故四边形 CBHA为平行四边形,
∴ AC / /BH 且 AC BH 又在菱形 ABCD 中， BD AC ， ∴BD BH
由 f '(x) 0 得 x ln( 2) ， a
当 x ln( 2) 时， f '(x) 0 ， f (x) 递增， x ln( 2) 时， f '(x) 0， f (x) 递减，
a
a
∴
x
ln(
2) a
时，
f
( x)max
2
2 ln(
2) a
，要使命题成立，
则 2 2 ln( 2) 0 ， a 2 ；
2
2
2
24
不正确；
对于 D.在翻折过程中，取平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A BCDE 体积
f
1 3
SBCDE
3 3， 0，1 ， f 1 32 ，可得
3 时，函数 3
f 取得最大值 f
3 3
1
1 3
23 9
，因此
D
正确.
综上所述，不成立的为 ABC.故选：ABC.
22
2
sin
2
x
3
，
（1）若选条件①，直线 x x1 ， x x2 是 y f (x) 图象的任意两条对称轴，且 x1 x2 的

2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高三上学期模拟数学试卷(1月份)(含答案解析)

2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高三上学期模拟数学试卷(1月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|2x−1>1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]2.设i 为虚数单位，则复数z =1+i i在复平面内对应的点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4.函数y =x 2e|x|+1(其中e 为自然对数的底数)的图象大致是( )A.B.C.D.5. 在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A. 12 B. π2 C. π2−1 D. 2−π26.(3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为( )A. 14B. −14C. 16D. −167.已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°8.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E(0,t)(0<t <b).已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. √539.设三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB =AC =2，∠BAC =90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. 24πB. 18πC. 26πD. 16π10. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n =2a n+2−a n+1(n ∈N ∗)，则数列{1nb n}的前99项和为( )A. 9798B. 9899C. 99100D. 10010111. 已知函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2.若f(a)=f(b)(a <b)，则ab 的最小值为( ) A. √22B. 12C. √24D. √5312. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B.交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=( )A. 54B. 43C. 32D. √52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=αx−log2(2x+1)+cosx(α∈R)为偶函数，则α=______．14.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5=6，则a8=______．15.若f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象关于直线x=π12对称，且当φ取最小值时，∃x0∈(0,π2)，使得f(x0)=a，则a的取值范围是______．16.在四面体P−ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA=6，PB=8，PC=10，则四面体P−ABC的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asin(A+B−C)=csin(B+C)．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若2a+b=6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.(Ⅰ)求证：AO⊥平面BB1C1C：(Ⅱ)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1−B1C1−B的余弦值．19.已如椭圆：C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为12，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)过点A(−4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．(Ⅰ)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(Ⅱ)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，(n∈N∗)次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=ae x−e−x−(a+1)x(a∈R)，f(x)既存在极大值，又存在极小值．(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)当0<α<1时，x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点．且f(x1)+kf(x2)>0，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt(t为参数)，直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k(m为参数)，设直线l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C1．(1)求出曲线C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q为曲线C1的动点，求点Q到直线C2的距离的最小值．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥3−2|x|的解集；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+|x−5|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m.求证：a2b +b2a≥4．参考答案及解析1.答案：D解析：∵2x−1>1，∴A ={x|x >1}，又x 2−2x ≤0，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤2}=(1,2]，故选：D ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：∵z =1+i i=(1+i)(−i)−i 2=1−i ，∴复数z =1+i i 在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，所在的象限是第四象限，故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：C ．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果．本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，以及极限思想结合排除法是解决本题的关键，是基础题．根据函数的奇偶性和对称性，以及极限思想进行排除即可．解：f(−x)=(− x)2e |−x|+1=f(x)，则函数为偶函数，排除A ，当x →+∞，f(x)→0，排除B ，当x >0时，f(x)= x 2e x+1，则f(1)=1 e2，f(12)=14e32=14e32，则f(1)>f(12)，排除C，故选：D．5.答案：C解析：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为8×(14π×12−12×1×1)=2π−4．∴所求概率P=2π−44=π2−1．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.答案：A解析：∵(3x+1)(1x −1)5=(3x+1)(1x5−5x4+10x3−10x2+5x−1)，故它的展开式中的常数项为3×5+1×(−1)=14，故选：A．把(1x −1)5按照二项式定里展开，可得(3x+1)(1x−1)5的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.答案：B解析：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10∘)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1，即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10∘=1，则：cosα⋅2sin40°cos10∘=1．当α=40°时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|= |PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|=|PF2|+|PF1|=2a=3b，∴4a2=9(a2−c2)，5a2=9c2∴e=ca =√53，故选：D．当P，E，F1共线时，此时△PEF2的周长的最小，即可得到2a=3b，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.答案：C解析：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O′，则外接圆的半径r=BC2，而AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，所以r=√2，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：R2=r2+(AA12)2=2+92=132，所以外接球的表面积S=4πR2=26π，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.答案：C解析：a n+S n=2n，a n+1+S n+1=2n+1，两式作差得a n+1−a n+S n+1−S n=2n，2a n+1=a n+2n，故2b n=2a n+2−a n+1=2n+1，b n=n+1，所以1nb n =1n−1n+1，所以S99=1−12+12−13+⋯+199−1100=99100，故选：C．利用两式作差2a n+1=a n +2n ，代入求出b n =n +1，再利用裂项相消法求出和即可．考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.答案：B解析：画出函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f(a)=f(b)，且a <b ，设2+log 12a =2b =k ，则2<k ≤4；所以a =(12)k−2，b =log 2k ；当k =4时，ab =(12)2⋅log 24=14⋅2=12；考虑ab −12=(12)k−2⋅log 2k −12=(12)k−2⋅(log 2k −2k−3)，在同一坐标系中画出函数y =log 2x 和y =2x−3的图象，其中x ∈(2,4]，如图②所示；则函数y =log 2x 的图象总在y =2x−3的图象上方，所以ab −12≥0，即ab 的最小值为12．故选：B ．画出函数f(x)的图象，由题意得出2+log 12a =2b =k ，则2<k ≤4；。

广东省广州市华南师大附中2021届高考数学综合测试试卷(三)(含答案解析)

广东省广州市华南师大附中2021届高考数学综合测试试卷(三)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知函数f(x)={cos(1−x 2),x <0−tan2x,x ≥0，则f[f(π8)]=( )A. −1B. 0C. 1D. 22.已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则( )．A.B. −1C. 2D. 13.已知等式，则的值分别为 A.B.C.D.4.数列{a n }的通项公式a n =√n +1−√n(n ∈N ∗)，若前n 项的和S n =10，则项数n 为( )A. 10B. 11C. 120D. 1215.已知点是椭圆上的一点，是的左右焦点，若，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.6.已知一个圆锥内接于球O(圆锥的底面圆周及顶点均在球面上)，若球的半径R =5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为( )A. 128πB. 32πC.128π3D.32π37.设，且，则A.B. 10C. 20D. 1008.若直线2x −y +c =0按向量a⃗ =(1,−1)平移后与圆x 2+y 2=5相切，则c 的值为( ) A. 8或−2 B. 6或−4 C. 4或−6 D. 2或−8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=sin(2x −3π2)(x ∈R)，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)是偶函数C. 函数f(x)的图象关于点(π4,0)中心对称 D. 函数f(x)在[0,π2]上是增函数10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列{a n }满足a 3，32a 4，2a 5成等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5=31，则( )A. a n =(12)n−5B. a n =2n+3C. S n =32−12n−5 D. S n =2n+4−1611. 已知a ，b ∈R ∗且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有( )A. ab ≤14B. ab +1ab ≥174C. √a +√b ≤√2D. 1a +12b ≥2√212. 下列命题正确的是( )A. “x ≤1”是“|x|≤1”的既不充分又不必要条件B. “a >b >0”是“lna >lnb ”的充要条件C. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0−1”的否定是“∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −1”D. 函数f(x)=e x +x −2存在唯一零点x 0，且x 0∈(0,1)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0，则正数a 的值为______ ．14. 若实数x,y 满足{x −y +1≥02x +y −2≥0x −1≤0，则z =54x+3y 的最小值为___． 15. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，，则的值为．16. 设函数ℎt (x)=3tx −2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得ℎ4(x 0)≥ℎt (x 0)对任意的正实数t 成立，则x 0= ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 6=14，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的前三项． (Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n =a n −b n ，求数列{c n }的前n 项和．18. 已知函数f(x)=sin2x −2sin 2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合并求函数f(x)的单调增区间．19.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，PQ分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：PQ⊥平面A1BC；(2)求二面角Q−A1C−B的余弦值．20.如图，设抛物线的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且，线段AB的中点到y轴的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与圆切于点P，与抛物线C切于点Q，求的面积．21. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数6a24b(Ⅰ)求a，b，c的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=E(ξ)，其中D(ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效．若D(ξ)M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在(Ⅱ)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？22. 已知函数g(x)=2alnx+x2−2x，a∈R．(1)若函数g(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设A，B是函数g(x)图象上的不同的两点，P(x0,y0)为线段AB的中点．(i)当a=0时，g(x)在点Q(x0,g(x0))处的切线与直线AB是否平行？说明理由；(ii)当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g(x)在点Q(x0,g(x0))处的切线与直线AB平行？说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵f(π8)=−tan(2×π8)=−tanπ4=−1，则f(−1)=cos[1−(−1)2]=cos0=1，故选：C根据分段函数的表达式代入进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式利用代入法进行求解是解决本题的关键．2.答案：D解析：试题分析：由题意可知，因为，所以B(0,1)，因为，由的几何意义，以及的最小值为2，可得在方向上的投影为，所以此时P，B重合．这说明曲线C：在点B(0,1)处的切线与垂直，∴，所以，所以a=1考点：本题考查指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握两个向量的数量积的定义以及几何意义3.答案：D解析：试题分析：根据题意，由于等式，则，的值分别为可知答案为D。

2021届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期四校联考数学试题及答案

2021届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期四校联考数学试题一、单选题1．设集合{}02M x R x =∈≤≤，{}11N x R x =∈-<<，则M N =（）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}12x x <≤D ．{}12x x -<<【答案】B【分析】由交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义可得：{}01M N x x ⋂=≤<. 故选：B.2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的运算法则求出复数z ，然后得到对应点的坐标，从而可判断点所在的象限.【详解】复数()()()2021313133333101010i i i i i z i i i i i -+=====++++-，所以复数z 对应的点为13,1010⎛⎫⎪⎝⎭，即复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A .3．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．不充分不必要【答案】B【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】,m m n α⊥⊥, 不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ，由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间.将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（）A ．815B ．920 C ．35D ．910【答案】B【分析】由频率之和为1求得a ，根据分层抽样可求得从[55,60)，[60,65)，[65,70)分别抽取3人，2人，1人，再从这6名学生中随机抽取3人，求出基本事件总数，再求出这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60包含的基本事件，即可求得概率.【详解】由频率分布直方图可得(0.010.070.060.02)51a ++++⨯=，解得0.04a =，采用分层抽样的方法，则从[55,60)中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，从[60,65)中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，从[65,70)中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，再从这6名学生中随机抽取3人，则基本事件共有3620C =个，这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60包含的基本事件有21339C C =个，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率为920. 故选：B.5．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（） A ．14B ．12C ．34D ．32【答案】D【分析】根据公式22a a =对所求向量的模进行平方，然后结合二次函数的性质求kb a -的最小值. 【详解】因为a ，b 是两个单位向量，所以1a =，1b =，所以()2222222222cos3kb a kb ak b a ka b k b a k a b π-=-=+-⋅=+-⋅221331244k k k ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以32kb a -≥. 故选：D.6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离()()22222212112222L R h R R h R Rh h Rh h =+-++-=+++（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h .假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：28.49 4.12⨯≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m【答案】C【分析】由已知可确定2,,L R h ，代入已知关系式可求得结果. 【详解】由题意知：390L km =，8490R km =，20.025h km =，(L R ==， 390∴解得：18.18100h km m ≈=．故选：C.7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（） A ．α B ．2αC ．πα-D ．2απ-【答案】D【分析】设出点P 坐标，求出F 坐标，由此求出点M 的坐标，进而得到点Q 坐标，则直线QF ，PF 的斜率即可求出，进而可以转化为直线的倾斜角的关系，再根据倾斜角的范围即可求解.【详解】设2,,,022y p P y F p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则可得PF 的中点M 的坐标为22,42y p y p+⎛⎫⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线QF 的斜率为QFy k p=-，直线PF 的斜率为222222211QFPF QF yk py pk y p k y p -===--⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线QF 的倾斜角为α，直线PF 的倾斜角为β，则22tan tan tan 21tan αβαα==-，所以2,k k Zβαπ=+∈，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2(,2)a ππ∈，又[0,)βπ∈，所以2βαπ=-.故选：D.8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】作出函数图象，结合锐角三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性可知AB BC =，即ABC 为等腰三角形，函数的周期为2T πω=，且AC T =，取AC 中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，要使ABC 是锐角三角形，只需要45ABM ∠<即可，即tan 1AMABM BM ∠=<即可，即AM BM <，由2sin 2sin 36x x ππωω⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得sin sin 36x x ππωω⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则7366x x x πππωπωω⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，可得512x πω=，则5322sin 2sin 2sin 21312342y x ππππω⎛⎫⎛⎫=+=+==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即A 点的纵坐标为1，则2BM =，由AM BM <得12AC BM <，即122T <，则4T <，即24πω<，得2πω>，即ω的取值范围为,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A.二、多选题9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．()20212f = D ．方程1()2f x x =只有4个实根【答案】AC【分析】由()()2f x f x +=，()()2f x f x -=确定函数的周期性以及对称性，判断A 选项与B 选项的正误，又结合[]0,1x ∈时，()21f x x =+，可判断C 选项正误，根据函数性质及解析式作图，判断()f x 与12y x =的交点个数，进而判断D 选项. 【详解】A 选项：因为定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，故A 选项正确；B 选项：因为()()2f x f x -=，所以函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 是周期为2周期函数，所以函数()f x 关于直线1x =-对称，故B 选项错误；C 选项：()()220211112f f ==+=，C 选项正确； D 选项：在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图所示：由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程1()2f x x =有6个实根，故D 选项错误；故选：AC.10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（） A ．114a b+≤B ．2222a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆224x y +=相切【答案】BC【分析】分别利用基本不等式可化简判断. 【详解】实数0a >，0b >，1a b +=，对A ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即12a b ==时等号成立，故A 错误；对B，22a b +≥12a b ==时等号成立，故B 正确；对C ，可得01,01a b <<<<，则22log 0,log 0a b <<，()()222222222222log log log log 2log log log log 1222a b a b ab a b a b ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥⋅=--≤=≤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12a b ==时等号成立，故C 正确；对D ，圆心()0,0到直线10ax by的距离2d =≤=<，2a b +），故直线与圆相交，故D 错误. 故选：BC.11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==.若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2 C ．四面体ABCD体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π 【答案】ABD【分析】由题意画出图形，过C 作平面α的垂线l ，分析可知A 在以l 为轴线，以CA 为母线的上底面圆周上，判断A 正确；写出三角形ABC 的面积，求出ACB ∠的最小值，可得ABC ∆面积的最小值判断B ；当ACB ∠最大，且平面ACB CD ⊥时，四面体ABCD 体积取最大值，求出最大值判断C ；求出四面体ABCD 的体积达最大时其外接球的半径，进一步求得外接球的表面积判断D ．【详解】解：如图，AC 与平面α所成的角为512π，过C 作平面α的垂线l ，则CA 与l 所成角为521212πππ-=，则A 在以l 为轴线，以CA 为母线的上底面圆周上，故A 正确；同理，B 在以l 为轴线，以CB 为母线的上底面圆周上，则1sin 2ABCS AC BC ACB =⋅⋅∠，由图可知，412412ACBππππ-∠+，即63ACBππ∠，则11()42222ABC minS=⨯⨯⨯=，故B 正确；当ACB ∠最大，且平面ACB CD ⊥时，四面体ABCD 体积取最大值为1134342232⨯⨯⨯=，故C 错误；当四面体ABCD 的体积达最大时，3ACB π∠=，4AC =，2BC =，求得21164242122AB =+-⨯⨯⨯=，满足222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，则三角形ABC 所在截面圆的圆心为AC 中点E ，设四面体ABCD 外接球的球心为O ，则OE ⊥平面ABC ，则//OE CD ，112OE CD ==，在Rt OEC 中，求得225OC OE EC +ABCD 5 其表面积为24(5)20ππ⨯=，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f x g x x=，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 【答案】ABD【分析】选项A ：利用导数来证明单调性；选项B ：设()()4h x f x π=+，根据奇函数的定义()()h x h x -=-来说明；选项C ：根据极值点的性质：极值点的导数为0来验证极值点个数；选项D ：把1n =和2n =代入验证然后用做差法比较大小.【详解】选项A ：因为sin cos ()x x f x e e =-，所以sin cos ()cos sin x x f x xe e x +'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，所以sin cos ()s s 0o n c i x x f x x xe e +'>=，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，选项A 正确；选项B ：易知函数()f x 的定义域为R ，又因为sin cos ()x x f x e e =-，所以sin cos 44()4x x f x eeπππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=-，设sin cos 44()()4x x h x f x eeπππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=-，则sin cos sin cos cos sin 24244444()()x x x x x x h x h x e e e e e e ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭=-==--=--，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，选项B 正确；选项C ：sin cos c 4os si ()n cos tan cos x xxxx x f x xeex eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎝= '⎪⎪⎭由选项A 知()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，所以在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内不存在极值点；又cos2()21f e ππ'==，显然2x π=不是极值点；当3,4x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，3,424x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭(4x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，4x y e π⎛⎫- ⎪⎝⎭=> ，[)tan 1,0x ∈-，所以cos 4cos t n (a 0)xx x x f e x π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭'=，所以此时不存在极值点；当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos cos 0xe x ≠，4x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭= 单调递增，tan y x =-单调递减，所以4x y π⎛⎫- ⎪⎝⎭=与tan y x =-的图象最多有一个交点，所以最多有一个极值点，选项C 错误；选项D ：()()2f x g x x =()sin cos 2x x e e x-=，当1n =时，014g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1412g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，显然144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立；当2n =时，()1412g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3843g eππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()14842421110333e e e ee e e ππππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤---=--->--->⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦显然144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立. 故选：ABD.【点睛】用导数法研究函数极值存在性问题时，一要弄清导数法求函数极值时的一般步骤及关键步骤要注意的问题. 二在某区间上，函数存在极值点，则方程()0f x '= 一定有根，但方程有根并不一定有极值点，还要判断函数的单调性，看原函数在此根的左右两侧是否出现单调性改变的情况，通常要结合函数图象来解决. 三、填空题13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，计算得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_______万元．【答案】85【详解】由上表可知：2456830405060705,5055x y ++++++++====.得样本点的中心为()5,50，代入回归方程ˆˆˆybx a =+，得507515ˆa =-⨯=. 所以回归方程为ˆ715yx =+，将10x =代入可得：ˆ85y=. 14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________.【答案】56-【分析】因为4822112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以本题即求81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项的系数，求出通项公式解出r ，带入计算可求出系数.【详解】解：48 22112x xx x⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通项公式为：()88218811rrr r r rrT C x C xx--+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，令822r-=，解得：3r=，此时系数为()338156C-=-.故答案为：56-.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左焦点为1F，P为双曲线上一点，1PF与双曲线C的渐近线平行，且1PO FO=，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率e=_________【答案】5【分析】设直线1PF的方程为()by x ca=-+，与双曲线联立，求得点P坐标，取1PF中点M，由11OM PFk k⋅=-建立关系可求.【详解】由题意知，1(,0)F c-，双曲线的渐近线方程为by xa=±，不妨取直线1PF的方程为()by x ca=-+，联立2222()1by x cax ya b⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得()2222,22b c aa cx yc ac-+=-=-，即()2222,22b c aa cc aPc-⎛⎫-⎝-+⎪⎪⎭，取1PF中点M，连接OM，则()22223,44b c aa ccMac-⎛⎫+⎝--⎪⎪⎭，1PO FO=，1OM PF∴⊥，()122224134OM PFb c aback ka c ac--⎛⎫∴⋅=⋅-=-⎪+⎝⎭-，化简得5c a=，即离心率为5cea==.故答案为：5.四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________.【答案】(2)1n -+ [)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦【分析】利用1n n n a S S -=-可得数列{}1n a -是首项为2-，公比为2-的等比数列，即可求得n a ，化简得132(2)1n n n a a +=-+-+，讨论n 的奇偶可求得范围. 【详解】2433n n S a n =+-，当1n =时，11124133S a a ==+-，解得11a =-，当2n ≥时，1124133n n S a n --=+--，两式相减得122133n n n a a a -=-+，即()1121n n a a ----=， ∴数列{}1n a -是首项为2-，公比为2-的等比数列，1(2)n n a -=-∴，(2)1n n a ∴=-+，11(2)132(2)1(2)1n n n n n a a ++-+==-+-+-+，当n 为偶数时，13722,215n n n a a +⎛⎤=-+∈-- ⎥+⎝⎦，当n 为奇数时，132[5,2)21n n n a a +=-+∈---+，综上，可得1n n a a +的取值范围为[)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦.故答案为：(2)1n -+；[)75,22,5⎛⎤--⋃-- ⎥⎝⎦.五、解答题17．已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T . 【答案】（1）1n a n=，1()2n n b =；（2）n T 1()12n n =+-.【分析】（1）等式两边同时乘以11n n a a -，可得1111(2)n n n a a --=，则数列1{}n a 为等差数列，从而求出1{}n a的通项，即可求出数列{}n a ；求出1b ，23b b -，带入q 可解出12q =，从而求出数列{}n b .（2）将n T 变形可得23231111111[()()()][()2()(1)()]2222222n n n T n n =⋅+++⋯+-+⋅+⋯+-⋅，前半部分用等比数列求和公式，后半部分用错位相减法求和计算可得结果.【详解】解：（1）证明：由题意，11n n n n a a a a ---=两边同时乘以11n n a a -，可得1111(2)n n n a a --=，111a ，∴数列1{}na 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴111(1)nn n a =+⨯-=， 1n a n∴=，*n N ∈， 1212b a ∴==，23818b b a -==，设等比数列{}n b 的公比为q ，则2111228q q -=，化简整理，得24410q q -+=，解得12q =， 1111()()222n n n b -∴=⋅=，*n N ∈，（2）解：由（1）可得：1211n n n n b b bT a a a -=++⋯+ 231111(1)()(2)()1()2222n n n n =⋅+-⋅+-⋅+⋯+⋅22331111111[()()][()2()][()(1)()]2222222n n n n n n n =⋅+⋅-+⋅-⋅+⋯+⋅--⋅23231111111[()()()][()2()(1)()]2222222n n n n =⋅+++⋯+-+⋅+⋯+-⋅12311()11122[()2()(1)()]122212n n n n +-=⋅-+⋅+⋯+-⋅- 231111[1()][()2()(1)()]2222n n n n =⋅--+⋅+⋯+-⋅，令23111()2()(1)()222nn M n =+⋅+⋯+-⋅，则34111111()2()(2)()(1)()22222n n n M n n +=+⋅+⋯+-⋅+-⋅，两式相减，可得：23111111()()()(1)()22222n n n M n +=++⋯+--⋅ 21111()()122(1)()1212n n n ++-=--⋅-111(1)()22n n +=-+⋅， 11(1)()2n n M n ∴=-+⋅，1[1()]2n n n T n M ∴=⋅--11[1()]1(1)()22n n n n =⋅--++⋅1()12n n =+-． 18．已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个.①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π. （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b ，求sin sin BACC∠的值.【答案】（1）①③，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）23【分析】（1）可得函数()f x 只能同时满足①③，结合最值可求A ，结合周期可求ω，然后结合正弦函数的性质可求；（2）由()1f B =可求B ，然后结合直角三角形性质及正弦定理可求.【详解】（1）由①得2A =，由②得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由③知12444T ππω=⨯=，则2ω=，所以函数()f x 只能同时满足①③，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2sin 216f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1sin 262B π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴+，(0,)B π∈，132,666B πππ∴⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，5266B ππ∴+=，即3B π=，设线段CD 的中点为E ，AD AC =，AE CD ⊥，cos3BEABπ=，即3142a c =，23a c =，由正弦定理可得sin 2sin 3BAC a C c ∠==.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =.（1）求证：PO ⊥平面111A B C ；（2）求二面角111B PA C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，可证得线面垂直；（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接1OB .∵11PA PC =， O 为11A C 的中点， ∴11.PO AC ⊥ ∵1114,22AC PA ==， ∴22112PO PA OA =-=. ∵1111A B B C =， O 为11A C 的中点， ∴111.OB A C ⊥∵11123,2A B AO ==， ∴22111122OB A B OA =-=. 123,PB =∴22211=PB OB OP +， 1PO OB ∴⊥.∵11111,.PO AC AC OB O ⊥= 111,A C OB ⊂平面111A B C ， ∴PO ⊥平面111A B C .（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则1(22,0,0)B ， 1(0,2,0)A -， (0,0,2)P . 则11(22,2,0)A B =， 1(0,2,2)A P =. 设平面11PA B 的法向量1(,,)n x y z =，则1111102200220n A B x y n A P y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩.令1x =，则y z ==1(1,n =.易证1OB ⊥平面11PA C ，故取平面11PA C 的法向量2(1,0,0)n =.1212125cos ,5n n n n n n ⋅<>==⋅因为二面角111B PA C --的平面角θ为锐角，所以cos θ 【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收.方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验.若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收.假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担. （1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列；（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）方案二，理由见解析.【分析】（1）依题意，X 的可能取值为50，100. 分别求出概率即可求得分布列；（2）分别求出方案一和方案二的概率，作差比较大小即可求得结论. 【详解】（1）依题意，X 的可能取值为50，100.4151280(100)33243P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， 80163(50)1(100)1243243P X P X ==-==-=. 故X 的分布列为：（2）方案一通过检验的概率为10199910110(1)(109)109P p C p p p p p p =+-=-=-；方案二通过检验的概率为5145591025(1)55P p C p p p p p p =+-⋅=+-.91059109105125545445234(109)(55)54(451)4(1)(1)(1)(14).P P p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p -=--+-=--⎡⎤=--+=--+-⎣⎦=--+++-由01p <<知：2341p p p p >>>>，所以234140p p p p +++->，又50p >，10p ->，所以120P P -<，即12P P <，所以供应商希望该工厂的质检部门采取方案二检验.21．已知离心率为12的椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与抛物线()22:20C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点. （1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于,A B 两点，与椭圆交于,C D 两点，若ABP △的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值.【答案】（1）椭圆221:143x y C +=；抛物线22:4C y x =；（2【分析】（1）将()1,2P 代入抛物线可求得p ，得到抛物线方程；由抛物线方程得()1,0F ，结合离心率和椭圆,,a b c 之间关系可求得椭圆方程；（2）根据内切圆圆心特点可确定PF 平分APB ∠，得到,PA PB 斜率之和为0，由此可构造方程得到4A B y y +=-，进而求得1AB k =-；将l 与抛物线和椭圆方程联立可求得m 范围，并得到韦达定理的形式；利用弦长公式和点到直线距离公式表示出CD 和O 到l 距离d ，将所求面积表示为关于m 的函数，由函数最值的求解方法可求得结果.【详解】（1）()1,2P 在抛物线上，42p ∴=，解得：2p =，∴抛物线方程为：24y x =；由抛物线方程知：()1,0F ，即1c =，112c e a a ∴===，解得：2a =，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，PF ∴平分APB ∠，设直线,PA PB 斜率为12,k k ，又PF x ⊥轴，120k k ∴+=；设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则22011A B A B y y x x --+=--，又2244A A BB y x y x ⎧=⎨=⎩，2222440442244A B A B A B y y y y y y --∴+=+=--++，整理可得：4A B y y +=-； 22414B A B A AB B A B A A By y y y k y y x x y y --∴====---+，1t ∴=-，:l x y m ∴=-+；由24x y m y x=-+⎧⎨=⎩得：2440y y m +-=，则116160m ∆=+>，解得：1m >-；由22143x y m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22763120y my m -+-=，则()22236283120m m ∆=-->，解得：m <综上所述：1m -<<设(),C C C x y ，(),y D D D x ，则67C D m y y +=，23127C D m y y -=，7CD ∴=O 到直线l距离d =，12OCDSCD d ∴=⋅==由1m -<<207m ≤<，∴当272m =时，()42max 1473214m m -+=，OCDS∴的最大值为27=.【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.22．已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<【答案】（1）单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）求出函数导数，分别解出()0f x '>和()0f x '<即可得出单调区间；（2）易得ln 1≤-x x ，不等式转化为(1,)x m ∀∈，1(1)ln x a x -->，构造函数1(),1ln x g x x m x-=<<，利用导数可得()g x 在(1,)m 单调递增，可化为证11ln m a m-->，由()(1)f m f =，可得只需证()21ln 1m m m ->+，构造函数2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，利用导数即可证明；（3）令4a =，则()()2413ln 2x f x x x =--+，由（1）可知()f x 单调性，可判断123013x x x <<<<<，可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，即(1,)x m '∀∈，2()332x f x x >-+，构造函数2()332xF x x =-+，可知()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m <<<'<，由23,p x q x <>可证. 【详解】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，1(1)(1)()a x x a f x x a x x---+'=-+=，令()0f x '=，解得1x =或1x a =-，2a >，11a ∴->，则由()0f x '>可解得01x <<或1x a >-，由()0f x '<可解得11x a <<-，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a - （2）令()ln 1h x x x =-+，则1()xh x x-'=，由()0h x '>解得01x <<，由()0h x '<解得1x >，则()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即ln 1≤-x x ，欲证：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-，即证：(1,)x m ∀∈，1(1)ln x a x-->，令1(),1ln x g x x m x -=<<，则21ln 1()(ln )x x g x x +='-，ln 1≤-x x ，1ln 10x x-∴+≥，()0g x '>，故()g x 在(1,)m 单调递增， 1()()ln m g x g m m-∴<=，故只需证11ln m a m -->，()(1)f m f =，21(1)(1)ln 22m a m a m ∴--+-=，即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=---，1m >，ln 0m ∴>，ln 1m m <-，故1ln 0m m -->，则不等式等价于2(1)12(1ln )ln m m m m m -->--，整理得()21ln 1m m m ->+，令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x H x x x -=>+'，则()H x 在()1,+∞单调递增，gm高三试题 ()()10H x H ∴>=，即2(1)ln 1x x x ->+，即()21ln 1m m m ->+，综上可得：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）令4a =，则()()2413ln 2x f x x x =--+，由（1）可知()f x 在(0,1),(3,)∞+单调递增，在()1,3单调递减，由题易知，2421141720,(1)0,(3)3ln 30222f f f e e e⎛⎫=--<=>=-< ⎪⎝⎭，故123013x x x <<<<<，因为()212f e >，故存在1m '>，使得()1(1)2f m f =='，由（2）可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，故(1,)x m '∀∈，22()4(1)13322x x f x x x x >--+-=-+，令2()332x F x x =-+，易知()F x 在(,3)-∞单调递减，在()3,+∞单调递增，即()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m <<<'<，故()()23()(),()()f p F p f x f q F q f x >=>=，()f x 在()1,3单调递减，在(3,)+∞单调递增，23,p x q x <∴>，32x x q p -<-=∴【点睛】关键点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造恰当的函数，利用导数判断单调性.。

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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-3) = -f(x)，当 x [0,3] 时， f (x) x2 3x ，下列等式
21．（12 分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱． (I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球 3 次．下表是某同学 6 次的训练数据，以这 150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢
A． 2
B． 2
C． 1 2
D． 1 2
5．己知函数 f (x) x 2 sin(x ) ，则其在区间[ , ] 上的大致图象是( )
6．若数列{an}满足 an1
1
1 an
，且 a1
2 ，则 a2021=(
)
A．-1
B．2
C． 2
1
D．
2
7．f(x)是定义在 (0,) 上的非负可导函数，且满足 xf '(x) f (x) 0 ，对任意正数 a，b，
A．z 的虚部为-i C．z 的实部为-1
3．“ sin 0 ”是“ cos 1”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．z 对应的点在第一象限 D．z 的共轭复数为 l+i
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．己知向量 e1, e2 是两个不共线的向量，若 a 2e1 e2与b e1 e2 共线，则 ( )
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
}
的前
n
项和 Tn
n2 2
n
12．设函数
f
(x)
ax 2 2e
ln
| ax |
1(a
0)
，若
f(x)有
4
个零点，则
a
的可能取值有（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．己知向量 a =(1，m)， b =（3，-2），且 (a b) b ，则 m=
y2 3
，得
1
(3t 2
4)
y2
6ty
9
0
设
D(x1，y1)，E(x2，y2)，则
y1
y2
6t 3t 2 4
，
y1 y2
9 3t 2
4
由 A(-2，0)，知 AD 方程为
y0
y1 x1
0 2
(
x
2)
，点
M
坐标为
M
(4,
6 y1 x12
)
同理，点
N
坐标为
N
(4,
6 y2 x22
)
，
设点 Q (m，0)，
补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若
．
(1)求 an；
(2)令 bn
a
1
2 n
1
(n
N
*)
，求数列
{bn
}
的前
n
项和
Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，己知 cos A cos C 1 ，且 b=2，a>b>c．
若选择条件(2)，在等差数列 {an } 中
a1
S7
3 7a1
76 2
d
，解得
63
a1 d
3 2
an a1 (n 1)d 3 (n 1)2 2n 1 ；
若选择条件(3)，在等差数列 {an } 中
al=Sl=3，当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1 也符合， ∴an=2n+1；
于是 AM
AB 1 BS (0, 2
3 2
,
3 2
),
AN AD 3 DC (1,0,0) 3 (1,
4
4
3,0)
(
7 4
,
3
3 4
,0).
设平面
AMN
的一个法向量为
n
(x,
y,
z),
则
AM
n
0
AN n 0
将坐标代入并取 y=7，得 n (3 3,7,7) ．另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m (1,0,0)
a
cb
(1)求 ac 的值；
(2)若△ABC 的面积 S
7 2
，求
a
和
c
的值．
19．（12 分）
如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥底面 ABCD，AB 垂直于
AD 和 BC，M 为棱 SB 上的点，SA=AB= 3 ，BC=2，AD=1．
(1)若 M 为棱 SB 的中点，求证：AM //平面 SCD; (2)当 SM=MB，DN=3NC 时，求平面 AMN 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值．
解法二、由己知及余弦定理，得
b2
c2 a 2abc
a2
b2 c2 2abc
1 b
，得
ac=
b2
=4，
(2) SABC
1 ac sin B 2
2sin B
7 2
，得 sin
B
7 4．
又 ac =4 且 b=2，a>b>c，
∴B 为锐角，cos B
1 sin 2
B
3 4
a2
c2 b2 2ac
cos A
因为
cos C
cos Asin C
cosC sin A
sin( A
C)
sin B
sin A sin C
sin Asin C
sin Asin c sin Asin c
所以 sin B 1 , sin 2 B sin Asin C sin Asin c sin B
由正弦定理得 b2= ac，即 ac=4．
(a c)2 8
12
a c 3 2,又a c,a 2 2, c 2.
19．（12 分）
(1)证明：取线段 SC 的中点 E，连接 ME，ED．
在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME/ /BC 且 ME= 1 BC， 2
1
∵ AD//BC 且 AD= BC，∴ME//AD 且 ME = AD，
即 P1 =1．
(i)求 P2，P3（直接写出结果即可）；
(ii)证明：数列{Pn
1} 3
为等比数列，并判断第
19
次还是第
20
次触球者是甲的概率大．
22．(12 分)
己知函数 f (x) ex1 ln x ax(a R) , f '(x) 是 f (x) 的导函数，且 f '(x) 有两个零点解的 a 的值可以是( )
A．5
B． 6 2
C．8
D．10 2
11．己知数列{an}的首项为 4，且满足 2(n 1)an nan1 0(n N*) ，则( )
A．
{
an n
}
为等比数列
B． {an } 为递增数列
C．{an}的前 n 项和 Sn (n 1) 2n1 4
D．
{
an 2n1
16 ．函数 f (x) 1 x3 1 x2 x x2 ln x 在 [ 1 , e] 上的最小值是
32
2
（第一空 3 分，第二空 2 分）
，最大值是
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在① a3 7, a5 a7 26 ；② a1 3, S7 63 ；③ Sn n2 2n ，这三个条件中任选一个，
20．（12 分）
己知定点 A(-2，0)，F(l，0)，定直线 l：x=4，动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 1 ．设 2
点 P 的轨迹为 C，过点 F 的直线交 C 于 D、E 两点，直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、 N 两点． (1)求 C 的方程；
(2)若 x 轴上点 Q 满足 QM QN 0 ，求点 Q 的坐标．
6．D 7．C 8．B 12．BCD
16． 1 ， 1 e3 1 e2 e 63 2
四、解答题： 17．（10 分）
解：(1)若选择条件(1)，在等差数列 {an } 中
a3 a5
7 a7
26 ， 2a1a121d0d
7
26
，解得
a1 d
3 2
an a1 (n 1)d 3 (n 1)2 2n 1
(2)由(1)得 bn
1
a
2 n
1
1 (2n 1)2