数学分析(2)：定积分计算与应用
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
定积分的一个公式及其应用
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ．
解： ∵ｆ（ｘ）＋ ｆ（０＋ π－ ｘ） ２
＝
ｓｉｎ４ｘ
８
８
－
ｓｉｎ４ｘ
８
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
＝０
π
π
" " ∴
２ ０
ｓｉｎ４ｘ
８
８
ｓｉｎ ｘ＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ＝
１ ２
２
０ｄｘ＝ ０
０
" 例 ３
计算
π ｘｓｉｎｘ
０
２
１＋ ｃｏｓ ｘ
ｄｘ．
摘 要： 函数 ｆ（ｘ）的原函数难以求出的情况下， 如何求 ｆ（ｘ）的定积分？ 如果函数 ｆ（ｘ）满足一定的条件， 则可
通过转化的方法， 求出函数 ｆ（ｘ）的定积分的值， 并给出相关定理及实例。
关键词： 定积分； 公式； 应用
中图分类号： Ｏ１７２．２
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７２－ ００６７（ ２００６） ０６－ ０１５７－ ０１
Ｋｅ ｙ ｗｏｒｄｓ ：Ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｆｏｒｍｕｌａ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
－ １５９ －
计算函数 ｆ（ｘ）的定积分， 通常是先求出它的一个原函
数， 再利用牛顿—莱布尼兹公式求解。然而， 对于有些被
积函数， 要想直接求出它的原函数是比较困难的。这里介
绍利用转化的思想， 求满足一定条件的函数 ｆ（ｘ）的定积分
的一种方法。
定理 设函数 ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续， 若存在常数
"ｂ
λ和 μ（λ＋ μ≠０）， 使得 λｆ（ｘ）＋ μｆ（ａ＋ ｂ－ ｘ）＝ ｇ（ｘ），则 ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ａ
定积分的计算方法与技巧解析
出定积分的值。
2.5 利用被积函数的性质及积分区间的特点求解定积分
在求解定积分时，有时候被积函数具有奇偶性和周期性，
而积分区间也比较特殊，这时可利用性质求解[1-2]：
（1）若函数 在区间
上连续且为奇函数，
则
；
（2）若函数 则：
在区间
上连续且为偶函数，
①
；②
（3）若 在上 可积，且是周期为 的周期函数， 为 任意实数，则有[3]：
定积分的换元法主要针对当被积函数中含有
等因子时，可
令
消去根号，或通过作三角代换消去根号，再进行求解，值得注意的是换元必
相应改变定积分的上下限。
例3 求
。
解令
，则
。当
时， ；当
时， 。
例4 解令
。 ，则
。当
时，
；当 时， 。
2.4 利用分部积分法 分部积分法主要用于求解当被积函数是两类函数的乘积的形式的定积分，分部积分法 的关键是要正确选择 和 。分部积分法在解题过程中可以多次使用，但应注意在多次 使用分部积分法时要“从一而终”，即若第一次选取指数函数作为 ，那么后面再次使用③
， 为自然数；④正弦函
数在周期区间上的积分值为0，余弦函数在半周期区间上的积分 值为0。
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动，动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页，共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元)，
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积， (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页，共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页，2 共8 3页。 x2d x22ab . c
第六章 定积分的概念及应用
解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9) 3 32 2 由公式 A ( 2 x 3 x )dx 1 3
1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2 问:若选x为积分变量如何？
4
mathsoft
二.参数方程情况 例3. 求椭圆 x a cos t , y b sin t 所围成的面积。 第 解: 由对称性 二
若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a, b]分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
作乘积 f ( i )x i 一点 i （ i x i ），
解: 1 选取变量 [ , ];
。
[ , d ]; 2 取微区间
3 面积A
。
。
1 2 d 2
mathsoft
例5.
计算心形线（或心脏线 ）r a (1 cos ) (a 0)所围图形面积. 第 二 节 解: 0,2 2 1 2 平 A a 1 cos d 面 2 0 图 2 2 对称性 ( 1 2 cos cos )d 形 a 0 的 sin 2 3 2 2 面 a 2 sin a 积 2 4 0 2
错误！为什么？
mathsoft
三、存在定理
第 一 节 定 积 分 的 概 念
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上连续时，
则 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界， 且只有有限个间断点 （第一类间断点），
数学分析（二）预习——2、定积分（2）：可积性问题
数学分析（⼆）预习——2、定积分（2）：可积性问题2、定积分（2）：可积性问题 上⼀篇中我们介绍了定积分的黎曼和定义，然后介绍了⽜顿-莱布尼茨公式，这是求定积分的最简单⽅法。
不过我们还没有解决“可积性问题”，即什么样的函数是可积的。
这是⼀个⽐较理论的问题，⽽且有些繁琐，甚⾄可能超出我们⽬前的知识范围，因此只是介绍，但当然，它是我们研究定积分的必须解决的基本问题。
只有明⽩了什么函数可积，才能放⼼地使⽤定积分。
这要求我们去寻找函数在闭区间上可积的充要判则。
为了找到这些充要条件，还需要⼀些准备。
⾸先我们有这样⼀个必要条件：闭区间上可积的必要条件：若f∈R[a,b]，则f在[a,b]上有界。
定理的证明可以不应⽤反证法，但反证法⽐较容易理解：假设f在[a,b]上⽆界，则对任意分割：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，⾄少存在1≤i0≤n，使得f在[x i−1,x i0]上⽆界。
对于Δ的任意黎曼和，我们取定除[x i0−1,x i0]外的其余区间上的介点，记S1=∑ni=1,i≠i0f(ξi)Δx i。
对于任意的M>0，由于f在[x i0−1,x i0]上⽆界，则可以取到ξi0，使得|f(ξi0)|>M+|S1|Δx i0，从⽽知道这个黎曼和S>M。
这就证明了f不可积，因⽽与条件⽭盾，从⽽证明了可积的必要条件。
有了这个必要条件，我们下⾯便不讨论⽆界的函数。
为了得到可积的充分必要条件，有⼏种不同的理论，下⾯我们介绍⽬前可以充分地证明的达布理论。
准备：若⼲规定 上⼀篇介绍了分割、黎曼和等定义，达布理论引⽤了更多的定义。
因此在介绍达布理论之前，我们再来规定⼀下各种记号：1、闭区间[a,b]上的分割Δ是这样⼀些点：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，其中集合{x i:i=0,1,...,n}称为分点集。
记Δx i:=x i−x i−1,i=1,2,...,n。
定积分的一个公式及其应用
2.期刊论文 田立平.TIAN Liping 定积分应用中的一个问题 -河南教育学院学报（自然科学版）2008,17(1)
就定积分应用中的几个常用的公式加以分析说明,并指出"微元法"在实际应用中应当注意的问题.
3.期刊论文 范彩霞.张智平 正确使用定积分中的定理公式 -山西煤炭管理干部学院学报2005,18(3)
被积函数中含有三角函数,对这种积分往往要用到很多三角公式,而且灵活多变,难记,本文试目用欧拉公式将三角函数转化为复变量指数函数求定积分,减少公式 记忆,降低难度.
7.期刊论文 陈思源.孙爱民.CHEN Si-yuan.SUN Ai-min 定积分中两个常见公式的推广与应用 -宜春学院学报2006,28(6)
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责任编辑
郑 文
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数学分析（2）：定积分计算与应用
1、4
01cos 2x dx x
π
+⎰ 2
、
ln 0⎰ 3
、
(211x dx -+⎰ 4
、1⎰
5、32122dx x x
-⎰ 6、21(1)dx x x +∞+⎰
7、
21arctan x dx x +∞⎰ 8
、10⎰ 9、120ln(1)1x I dx x +=+⎰
10
、设1
20()3()f x x f x dx =，求()f x .
11、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩
，求30(2)f x dx -⎰ 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积.
13
、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小.
14
、求函数2
y =
1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积
16、求摆线1cos sin x t y t t
=-⎧⎨
=-⎩一拱()02t π≤≤的弧长.
17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求
0()(0)x S t dt x ≥⎰. 19、设()0sin x
t f x dt t
π=-⎰，计算()0f x dx π⎰. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2
a
Ma f x dx ≤⎰，其中{}'max ()a x b
M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明：
1
10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--⎰⎰。