二次函数的图像与系数abc的关系
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般形式为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a$、＄b$、＄c$ 是常数，且＄a ＼neq 0$）。
这三个系数＄a$、＄b$、＄c$ 对于二次函数的性质和图像有着至关重要的影响。
接下来，让我们深入探讨一下二次函数与＄a$、＄b$、＄c$ 之间的关系。
首先，系数＄a$ 决定了二次函数图像的开口方向和开口大小。
当＄a ＞ 0$ 时，二次函数的图像开口向上；当＄a ＜ 0$ 时，图像开口向下。
而且，＄｜a|＄的值越大，图像的开口就越狭窄；＄｜a|＄的值越小，图像的开口就越宽阔。
比如说，函数＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口向上，并且比函数＄y ＝＼frac{1}｛2}x^2$ 的开口要狭窄。
这是因为＄2 ＞＼frac{1}｛2}＄，所以＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口更窄。
其次，系数＄b$ 与二次函数图像的对称轴位置有关。
二次函数的对称轴公式为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当＄b ＝ 0$ 时，对称轴为＄y$ 轴，即＄x ＝ 0$ 。
当＄b ＞ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄b ＜ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
例如，对于函数＄y ＝ x^2 2x ＋ 1$，其中＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，则对称轴为＄x ＝＼frac{－2}｛2\times 1} ＝ 1$。
再来看看系数＄c$，它表示二次函数图像与＄y$ 轴的交点纵坐标。
当＄x ＝ 0$ 时，＄y ＝ c$。
例如，函数＄y ＝ 2x^2 ＋ 3x 1$ 与＄y$ 轴的交点为＄（0, －1)＄，这里的＄－1$ 就是＄c$ 的值。
除了上述的基本关系，＄a$、＄b$、＄c$ 之间的组合还能反映出二次函数的一些特殊性质。
当＄a$ 和＄b$ 同号时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄a$ 和＄b$ 异号时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
如果＄b^2 4ac ＞ 0$，二次函数有两个不同的实数根；如果＄b^24ac ＝ 0$，二次函数有一个实数根（或者说两个相同的实数根）；如果＄b^2 4ac ＜ 0$，二次函数没有实数根。
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数的图像与系数的关系(初三数学最全整理)
二次函数图象与系数的关系二次函数的图象与二次函数的系数a 、b 、c 有内在联系。
由系数可以得出二次函数的大致图象，由图象可以得出二次函数系数的取值范围，以下是二次函数的系数和图象之间联系的一些归纳和总结！一、知识点1 二次函数的图像与系数的关系(1)a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔ a 0；①开口向 ⇔ a 0.(2)b 的符号由 决定：① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 在y 轴的 ⇔b a 、 ；① 是 ⇔b 0.(3)c 的符号由 决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；①点（0，c ）在原点 ⇔c 0；①点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.知识点2 二次函数与一元二次方程的关系[归纳概括]如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ，那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程02=++c bx ax 的一个根.[归纳概括]函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴交点的个数(1)当042>-ac b 时，有 交点；(2)当042=-ac b 时，有 交点；(3)当042<-ac b 时，没有交点；二、例题讲解：例1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，试确定代数式①a ；②b ；③c ；④b 2-4ac ；⑤2a+b ；⑥a+b+c ；⑦a-b+c ；⑧4a+2b+c 的符号.练习1：根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ； （5）2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽ ； （7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；练习2：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1．（1）试确定代数式的符号①abc ______0；②3a +c ______0；③（a +c ）2﹣b 2______0； ④b 2-4ac ______0 ⑤a +b +2c _____0（2）证明：a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．练习3.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，证明： a ﹣b ≤m （am +b ）（m 为实数）；例2二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，（1）试确定代数式的符号4a +b 0；（2）9a +c 3b ；（2）证明：8a +7b +2c ＞0；（3）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小（4）若方程a （x +1）（x ﹣5）＝﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，判断﹣1，5，x 1，x 2的大小变式1：利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为 ；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为 ；（6）若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为 ，变式2.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x ＝1．下列结论中：①方程ax 2+bx +c ＝3有两个不相等的实数根；②抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；③若点A （m ，n ）在该抛物线上，则am 2+bm +c ≤a +b +c ．其中正确的有变式3.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴上方的条件是（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象全部在x 轴下方的条件是 例3.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），（1）求代数式（a +c ）2﹣b 2的值（2）若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，求这四个根的和（3）求a 的取值范围 （4）求b 的取值范围例4.在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax 与二次函数y ＝ax 2+a 的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 三、课后作业1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点，下列判断中，错误的是（）A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x＞2时，y随x的增大而减小C．当﹣1＜x＜1时，y＜0D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和32.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣3，0），顶点为P（﹣1，n）．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．3a+c＞0D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根3.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（）A．abc＞0B．b2＞4acC．4a+2b+c＞0D．2a+b＝04.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．5.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示（1）.判断正误并说明理由：①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b（2）证明：（a+c）2＜b26.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③﹣1＜a＜0；④b2+8a＞4ac；⑤a+c＜1．其中正确的是7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①﹣2b+c＝0；；②4a+2b+c＜0；③若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；④b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．其中正确的是8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的是9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝，求证：无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个。
二次函数的图象与系数a,b,c的关系(PPT课件)
与x轴交点的情况 b²-4ac=0，函数图象与x轴有一个交点； b²-4ac>0，函数图象与x轴有两个交点； b²-4ac<0，函数图象与x轴无交点.
有一个交点 b²-4ac=0
无交点 b²-4ac<0
y
x 0
有两个交点 b²-4ac>0
突破练习：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如 图所示，判断下列说法是否正确。
左同右异
∵对称轴在y轴 左侧，a>0
∴b>0
∵对称轴为直线x=0 ∴b=0
x
∵对称轴在y轴右 侧，a>0
∴b<0
练习 判断下列各图中的a、b、c的符号
(1)
y
(2)
y
(3)Oxx Oy xO
(1) a_>__0; b_>__0; c_<__0;
(2)a_<__0; b__>_0; c__=_0;
(3)a_<__0; b__=_0; c__>_0;
y轴交点的位置
c=0，经过原点；
c>0，与y轴正半轴相交；
c<0，与y轴负半轴相交。
c<0
y 抛物线开口 向上，a>0
x 0
c>0
y
0
x
c=0
对称轴的位置 y
①对称轴为直线x=0（y轴）， b 0
2a
b=0；
②对称轴在y轴左侧，
b 2a
0
a，b同号；
0
③对称轴在y轴右侧， b 0
2a
a，b异号.
二次函数的图象与系数a,b,c的关系
安化县思源实验学校 陈雅丽
我们学过， y
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述许多实际问题的变化规律。
在二次函数的表达式中，常常会涉及到三个参数，分别用a，b和c来表示。
这三个参数在二次函数的图像中起到关键的作用，它们决定了函数的开口方向、顶点位置、对称轴等性质。
本文将对二次函数与参数a，b和c之间的关系进行总结。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c1. 参数a的影响：参数a决定了二次函数的开口方向。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U型；当a小于0时，图像开口向下，形状类似于一个倒置的U型。
a的绝对值越大，图像的开口越宽。
当a等于0时，函数化简为一次函数，图像变为一条直线。
2. 参数b的影响：参数b决定了二次函数图像的位置与方向。
二次函数的对称轴为x= -b/(2a)，也即是图像的中线。
当b大于0时，图像向右平移；当b小于0时，图像向左平移。
b的绝对值越大，平移的距离越远。
当b等于0时，二次函数图像在y轴上对称。
3. 参数c的影响：参数c决定了二次函数图像与y轴的交点。
当c大于0时，图像在y轴上方交点；当c小于0时，图像在y轴下方交点。
c的绝对值越大，与y轴的交点越远。
当c等于0时，图像与y轴相切于原点。
总结：通过以上分析可知，二次函数的参数a，b和c分别对应了函数图像的开口方向、位置与方向以及与y轴的交点。
在实际问题中，我们可以根据已知条件，通过观察二次函数的参数来对函数图像进行初步分析。
这对于理解二次函数的性质以及解决相关问题具有重要的意义。
结束。
专题训练(二) 二次函数系数a,b,c与图象的关系
专题训练(二)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系知识储备二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a,b,c 之间的关系:项目字母字母的符号图象的特征a a>0 开口向上a<0 开口向下bb=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有一个交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c若a+b+c>0,则当x=1时,y>0若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0当对称轴为直线x=1时,2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,2a-b=0;判断2a+b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=1的位置关系;判断2a-b的值大于还是小于0,看对称轴与直线x=-1的位置关系▶类型一利用二次函数图象考查以上表格中的问题1.[2020·宁波江北区期末]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列关系式错误的是()A.a<0B.b>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0图 1 图22.[2020·宁波]如图2,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是A.abc<0 B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c3.在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()图 3▶类型二利用二次函数图象考查ma+nc或mb+nc(m,n为非零整数)与0的关系4.如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1.给出下列结论:①ac<0;②b2-4ac>0;③2a-b=0;④a-b+c=0.其中,正确的结论有()图4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2020·遵义改编]抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点在点(-4, 0)和点(-3,0)之间,其部分图象如图5所示,下列结论中正确的有()①4a-b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;④b2+2b>4ac.图5A.1个B.2个C.3个D.4个▶类型三利用二次函数图象考查am2+bm+c(a≠0,a,b,c为常数)与a+b+c的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1,其图象如图6所示,现有下列结论:①abc>0,②b-2a<0,③a-b+c>0,④a+b>n(an+b)(n ≠1),⑤2c<3b.其中正确的是()A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤图6 图77.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分如图7所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=1,有下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(-2,0);⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c.其中正确的有() A.5个B.4个C.3个D.2个▶类型四利用二次函数图象解一元二次方程或不等式8.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y轴的直线,则关于x的方程x2+bx=5的解为()A.x1=0,x2=4B.x1=1,x2=5C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=59.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图8所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解是()图8A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3▶类型五利用一次函数、二次函数的图象解一元二次方程或不等式10.如图9所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解为()图9A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥911.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23x的图象如图10所示,则方程ax2+（32b x+c=0的两根之和()图10A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定专题二教师详解详析1.D[解析] 抛物线开口向下,则a<0,所以A选项的关系式正确;抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b>0,所以B选项的关系式正确;抛物线与x轴有2个交点,则b2-4ac>0,所以C选项的关系式正确;当x=1时,y>0,则a+b+c>0,所以D选项的关系式错误.故选D.2.D[解析] ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-b2a=-1,∴b=2a.又∵a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴正半轴交于点C,∴c>0,∴abc>0,故A错误;∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故B错误;∵b=2a,∴当x=-1时,y=a-b+c=c-a<0,故C 错误;当x=-n2-2(n为实数)时,y=a(-n2-2)2+b(-n2-2)+c=a(-n2-2)2+2a(-n2-2)+c=a( n2+1)2-a+c.∵n为实数,∴n2≥0,(n2+1)2≥1.又∵a>0,∴a(n2+1)2-a≥0,∴y≥c,故D正确,因此本题选D.3.C4.C[解析] ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴-b=2a,∴2a+b=0,故③错误;∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称,∴点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0),即抛物线经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故④正确.综上可知,正确的结论有①②④,共3个.5.C[解析] 由-b2a=-2,得4a-b=0,故①正确;由抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,当x≤-2时,y随x的增大而增大,可知当x=-3时,y>0,由抛物线的对称性可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0.又4a=b,∴a-4a+c>0,即c>3a.故②错误; 由图象得,关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根正确; 由4ac-b24a=3,得4ac-b2=12a,∴4ac=12a+b2=3b+b2.易知a<0,b<0,c<0,∴4ac<2b+b2 ,故④正确.故选C.6.D[解析] ①由图象可知:a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故此选项错误;②当x=-2时,y=4a-2b+c<0,即b-2a>c2>0,故此选项错误;③当x=-1时,y=a-b+c<0,故此选项错误;④当x=1时,y的值最大,此时,y=a+b+c,而当x=n 时,y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c(n≠1),故a+b>an2+bn,即a+b>n(an+b)(n≠1),故此选项正确.⑤由抛物线的对称性可知当x=3时函数值小于0,即y=9a+3b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,∴a=-b2,代入9a+3b+c<0,得9-b2 +3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;故④⑤正确.因此本题选D.7.B8.D9.D[解析] 根据图象可知,当y=0时,对应的x的值分别为x1=-1,x2=3.当y>0时,函数的图象在x轴的上方,由左边一段图象可知x<-1,由右边一段图象可知x>3.因此,当函数值y>0时,x的取值范围是x<-1或x>3.故选D.10.A[解析] 由图象可以看出:二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的图象的交点的横坐标分别为-1,9.而当y1≥y2时,对应的图象正好在两交点之间,所以-1≤x≤9.故选A.11.A。
二次函数图象与系数的关系最全总结
二次函数图象与系数的关系最全总结二次函数是初中数学的重点也是难点内容之一，它的图象是一条抛物线，其形状、开口方向、位置等与表达式中的系数的关系非常密切。
所以，二次函数图象与a、b、c的关系是非常重要的一个知识点，今天，小培就为大家总结一下二次函数图像与系数的关系变化。
1. a决定抛物线的开口方向及大小具体内容：•a>0，抛物线开口向上•a<0，抛物线开口向下•|a|越大，抛物线的开口越小•|a|越小，抛物线的开口越大我们知道抛物线平移前后形状及开口方向不变，只是位置发生改变，那么只要两个二次函数的a相同，那么就可以由其中一个二次函数通过平移得到另一个二次函数.图象：抛物线开口向上，a>0，抛物线开口向下，a<0,开口大的抛物线的|a|小于开口小的抛物线的|a|.图象示例：2. a、b共同决定抛物线对称轴的位置对称轴的位置具体内容：•b=0时，对称轴为y轴•b/a>0，对称轴在y轴左侧（即a、b同号，则对称轴在y轴左侧，简记为“左同”）•b/a<0，对称轴在y轴右侧（即a、b异号，则对称轴在y轴右侧，简记为“右异”）上述当b≠0时，a、b的符号及对称轴与y轴的位置可简记为“左同右异”图象：对称轴在y轴，则b=0,对称轴在y轴左侧，根据“左同右异”判断a、b同号，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断a、b异号.图象示例：3. c决定抛物线与y轴交点的位置具体内容：•c=0，抛物线过原点•c>0，抛物线与y轴交于正半轴•c<0，抛物线与y轴交于负半轴可根据c是抛物线与y轴交点的纵坐标来理解记忆这一点内容图象示例：4. b2-4ac决定抛物线与x轴的交点的个数具体内容：•b2-4ac=0时，与x轴有唯一交点（即顶点）•b2-4ac>0时，与x轴有两个交点（即开口向上时顶点在x轴下方，开口向下顶点在x轴上方）•b2-4ac<0时，与x轴没有交点（即开口向上时顶点在x轴上方，开口向下顶点在x轴下方）图象示例：5. 特例•当x=1时，y=a+b+c•当x=-1时，y=a-b+c•当x=2时，y=4a+2b+c•当x=-2时，y=4a-2b+c•若a+b+c<0，即当x=1时，y<0•若a-b+c>0，即当x=-1时，y>0•当对称轴为直线x=1时，则2a+b=0•当对称轴为直线x=-1时，则2a-b=0从上述中我们可以得出从二次函数的图象也可以得出关于系数a、b、c的相关信息，做此类问题一定要注意数形结合.例题讲解例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴右侧可得a、b异号，则b>0，抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0，所以<0，则点M（b，）符合第四想象点的坐标特征（+，-），故选D.例2若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A.a＞0B.a＞- 4/9C.a＞9/4D.a＜9/4且a≠0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，即32-4a×1>0，解得a＜9/4，根据二次函数定义可知a≠0.故选D.▲易错警示▲不要忽视二次函数表达式中二次项系数不为0这一条件.例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a 中正确个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【分析】•a+b+c是当x=1时y的值，根据图象可知当x=1时，图象上对应的点在x轴下方，则y=a+b+c<0，故①正确；•a-b+c是当x=-1时y的值，根据图象可知当x=-1时，图象上对应的点在x 轴上方，则y=a-b+c>0，故②正确；•根据图象开口向下可得a<0，根据对称轴在y轴左侧，可得a、b同号，故b<0，根据图象与y轴交于正半轴可得c>0，所以abc>0，故③正确；•由图象得抛物线的对称轴为直线•x=-b/2a=-1，则b=2a，故④正确；故本题选A.。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是代数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，而x和y则是变量。
在本文中，我将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
一. a的取值对二次函数的图像有何影响二次函数的图像（抛物线）的开口方向和形状会受到a的取值影响。
具体而言：1. 当a>0时，抛物线开口向上。
这种情况下，随着a的增大，抛物线的形状会变得越来越狭长，并且顶点越来越高。
2. 当a<0时，抛物线开口向下。
同样地，随着a的减小，抛物线的形状会变得越来越狭长，但顶点则会越来越低。
二. b的取值对二次函数的图像有何影响b的取值对二次函数的图像的位置产生影响，而不会改变抛物线的开口方向。
具体而言：1. 当b>0时，抛物线的顶点向左平移。
2. 当b<0时，抛物线的顶点向右平移。
三. c的取值对二次函数的图像有何影响c的取值对二次函数的图像的位置产生影响，而不会改变抛物线的开口方向和形状。
具体而言：1. 当c>0时，抛物线的顶点上移。
2. 当c<0时，抛物线的顶点下移。
综上所述，二次函数的图像的形状、方向和位置都会受到a、b、c 的取值的影响。
a决定了抛物线的开口方向和形状，b决定了抛物线的左右平移，c决定了抛物线的上下平移。
通过理解并掌握这些关系，我们可以更好地理解和利用二次函数在实际问题中的应用。
以上仅为对二次函数与a、b、c之间关系的简要总结，实际上，这个领域还有更多更深入的研究和应用，比如顶点坐标、焦点、对称轴等概念。
为了更全面地了解和应用二次函数，我们需要深入学习与研究二次函数的更多知识和技巧。
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A B
C
D
y
O
x
y
O
x
y O
x
y
O
x
y
O
x
一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系
1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图
象为（ ）
正确的是
3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不（ ）
A 、240b ac ->
B 、0a >
C 、0c > D
、
02b
a
-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜0
5、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数x
ab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
6、已知反比例函数x
k
y =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )
7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2
＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
11、在同一坐标系中，函数y=ax 2
＋bx 与y=x b
的图象大致是图中的（ ）
12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ）
A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0
14、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
15、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、⊿的符号的判定
例1、下图中⊿0<的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 练习：不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<0
三、含a 、b 的代数式符号的判定
例1、抛物线y=x 2
+2x-4的对称轴是直线（ ）.
A.x=-2
B.x=2
C.x=-1
D.x=1
练习：二次函数)1)(3(2-+-=x x y 的图象的对称轴是直线________________． 例2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则①20a b +>②20a b +<③02b
a
-
<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有________________________.(请写出序号即可)
O y x O y x y x O y x O .
.
C
A y
x
O
y
–1 3
3
O x
P
1
-1
O
x =1
y x
练习：1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A ．240b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b
a
-< 四、含a 、b 、c 的代数式符号的判
例1、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且 经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
练习：已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ）
（A ）第一或第二象限； （B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限； （D ）第二或第三象限 例2已知二次函数c bx ax
y ++=2
的图象如图所示，那么下列判断正确的是（
）
(A)abc ＞0 （B ）ac b 42
-＞0
(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0
练习：1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；
②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ）
（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是
图2
y
11
x -1 图1
O x y
-1 1 作业：
1、若二次函数c bx ax y ++=2中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，042>-ac b ，则此二次函数图像不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）
3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ） ①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2= （A ）4（B ）3（C ）2 （D ）1
4、已知二次函数c bx ax
y ++=2
的图象如图
2所示，那么下列判断不正确的是（ ）
(A)abc ＞0； （B ）ac b 42
-＞0；(C)2a+b ＞0；
（D ）c b a +-24＜0
5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式
子中， 值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A ．ab ＜0
B ．bc ＜0
C ．a +b +c ＞0
D ．a -b +c ＜0
7、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中： ① ac ＜0； ②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ② a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
正确的说法有_____________。
（C （D
8、已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C 。
（1）a 、c 的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；。