四川省达州市2015年中考数学试题及答案解析
四川初三初中数学中考真卷带答案解析
四川初三初中数学中考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2C．D．2.如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（）A．B．C．D．3.下列计算正确的是（）A．B．C．D．4.已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°5.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（）A．B．C．D．6.下列命题是真命题的是（）A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B．若分式方程有增根，则它的增根是1C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等7.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．8.已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9.如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A ．2017πB ．2034πC ．3024πD ．3026π10.已知函数的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB ．下列结论：①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2； ②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形； ③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB =7.5，AP=4BP ； ④当点P 移动到使∠AOB=90°时，点A 的坐标为（，）．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题1.达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米．则原数为 平方米．2.因式分解：= ．3.从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是．4.△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．5.甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为．（并写出自变量取值范围）6.如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④．其中正确结论的序号是．三、解答题1.计算：．2.国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在组内，中位数落在组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．3.设A=．（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．4.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．5.如图，信号塔PQ 座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ 落在斜坡上的影子QN 长为米，落在警示牌上的影子MN 长为3米，求信号塔PQ 的高．（结果不取近似值）6.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？7.如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线； （2）求证：BD 2=AC•BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程的两实根，且tan ∠PCD=，求⊙O 的半径．8.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：，．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ；拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数（x≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．9.如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．（1）①直接回答：△OBC 与△ABD 全等吗？②试说明：无论点C 如何移动，AD 始终与OB 平行；（2）当点C 运动到使AC 2=AE•AD 时，如图2，经过O 、B 、C 三点的抛物线为y 1．试问：y 1上是否存在动点P ，使△BEP 为直角三角形且BE 为直角边？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，将y 1沿x 轴翻折得y 2，设y 1与y 2组成的图形为M ，函数的图象l 与M 有公共点．试写出：l 与M 的公共点为3个时，m 的取值．四川初三初中数学中考真卷答案及解析一、选择题1.﹣2的倒数是（ ） A ．2B ．﹣2C ．D ．【答案】D ． 【解析】∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是．故选D ．【考点】倒数．2.如图，几何体是由3个完全一样的正方体组成，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，故选B ． 【考点】简单组合体的三视图．3.下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C．【解析】A．2a与3b不是同类项，故A不正确；B．原式=6，故B不正确；C．，正确；D．原式=，故D不正确；故选C．【考点】整式的除法；算术平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．4.已知直线a∥b，一块含30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】B．【解析】如图所示：由三角形的外角性质得：∠3=∠1+30°=55°，∵a∥b，∴∠2=∠3=55°；故选B．【考点】平行线的性质．5.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程：=5，故选A．【考点】由实际问题抽象出分式方程．6.下列命题是真命题的是（）A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的方差是3B．若分式方程有增根，则它的增根是1C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等【答案】C．【解析】A．若一组数据是1，2，3，4，5，则它的中位数是3，故错误，是假命题；B．若分式方程有增根，则它的增根是1或﹣1，故错误，是假命题；C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形，正确，是真命题；D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，故错误，是假命题．故选C．【考点】命题与定理．7.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：=．故选A．【考点】正多边形和圆．8.已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】二次函数的图象开口向下可知a＜0，对称轴位于y轴左侧，a、b异号，即b＞0．图象经过y轴正半可知c＞0，由a＜0，b＞0可知，直线y=ax﹣2b经过一、二、四象限，由c＞0可知，反比例函数的图象经过第一、三象限，故选C．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．9.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π【答案】D ．【解析】∵AB=4，BC=3，∴AC=BD=5，转动一次A 的路线长是：=2π，转动第二次的路线长是：=π，转动第三次的路线长是：=π，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：π+π+2π=6π，∵2017÷4=504…1，∴顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π，故选D ．【考点】轨迹；矩形的性质；旋转的性质；规律型；综合题．10.已知函数的图象如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB ．下列结论：①若点M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）在图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2； ②当点P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形； ③无论点P 在什么位置，始终有S △AOB =7.5，AP=4BP ； ④当点P 移动到使∠AOB=90°时，点A 的坐标为（，）．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．【解析】①错误．∵x 1＜x 2＜0，函数y 随x 是增大而减小，∴y 1＞y 2，故①错误． ②正确．∵P （0，﹣3），∴B （﹣1，﹣3），A （4，﹣3），∴AB=5，OA==5，∴AB=AO ，∴△AOB是等腰三角形，故②正确． ③正确．设P （0，m ），则B （，m ），A （﹣，m ），∴PB=﹣，PA=﹣，∴PA=4PB ，∵S AOB=S △OPB +S △OPA ==7.5，故③正确．④正确．设P （0，m ），则B （，m ），A （﹣，m ），∴PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m ，∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，∴∠BOP=∠OAP ，∴△OPB ∽△APO ，∴，∴OP 2=PB•PA ，∴m 2=﹣•（﹣），∴m 4=36，∵m ＜0，∴m=﹣，∴A （，﹣），故④正确，∴②③④正确，故选C ．【考点】反比例函数综合题；综合题．二、填空题1.达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为7.92×106平方米．则原数为 平方米． 【答案】7920000．【解析】7.92×106平方米．则原数为7920000平方米，故答案为：7920000． 【考点】科学记数法—原数．2.因式分解：= ． 【答案】2a （a+2b ）（a ﹣2b ）． 【解析】2a 3﹣8ab 2 =2a （a 2﹣4b 2）=2a （a+2b ）（a ﹣2b ）．故答案为：2a （a+2b ）（a ﹣2b ）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．3.从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是．【答案】．【解析】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为：．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．4.△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是．【答案】1＜m＜4．【解析】延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ADB≌△EDC，∴EC=AB=5，在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，∴1＜m＜4，故答案为：1＜m＜4．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．5.甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为．（并写出自变量取值范围）【答案】y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．【解析】观察图象可知，乙的速度==2cm/s，相遇时间==20，∴图中线段DE所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x≤36）．故答案为：y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．【考点】一次函数的应用；动点型；分段函数．6.如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④．其中正确结论的序号是．【答案】．【解析】①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6，∵AD=BC=，∴DF==3，∴F是CD中点；∴①正确；②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，设OP=OF=x，则，解得：x=2，∴②正确；③∵RT△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF；∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△；∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG =S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG ）=S矩形OPDH﹣S△OFG==．∴④正确；故答案为：①②④．【考点】切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；综合题．三、解答题1.计算：．【答案】5．【解析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．试题解析：原式== =5．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．2.国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t ＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在组内，中位数落在组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．【答案】（1）B，C；（2）960．【解析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．试题解析：（1）众数在B组．根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故本次调查数据的中位数落在C组．故答案为：B，C；（2）达国家规定体育活动时间的人数约1800×=960（人）．答：达国家规定体育活动时间的人约有960人．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数．3.设A=．（1）化简A；（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…解关于x的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．【答案】（1）；（2）x≤4．【解析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．试题解析：（1）A= ====；（2）∵a=3时，f（3）=，a=4时，f（4）=，a=5时，f（5）=，…∴，即∴，∴，∴，解得，x≤4，∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示：．【考点】分式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；阅读型；新定义．4.如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】（1）5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．试题解析：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【考点】矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；探究型；动点型．5.如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）【答案】．【解析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．试题解析：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x，∵QN2=EN2+QE2，∴20=5x2，∵x＞0，∴x=2，∴EN=2，EQ=MF=4，∵MN=3，∴FQ=EM=1，在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=，∴PQ=PF+FQ=．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．6.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：．（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元．【解析】（1）根据y=70求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意；∴5x+10=70，解得：x=12．答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4＜x≤14时，设P=kx+b，将（4，40）、（14，50）代入，得：，解得：，∴P=x+36；①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）•7.5x=150x，∵W随x的增大而增大，∴当x=4时，W=600元；最大②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，∴当x=11时，W最大=845，∵845＞600，∴当x=11时，W取得最大值，845元，∴答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数．7.如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论．试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=，∴tan∠ABD=，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=，∴BE=，设OB=OD=R，∴OE=R﹣，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，解得：R=，∴⊙O的半径为．【考点】相似三角形的判定与性质；分式方程的解；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；压轴题．8.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：，．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ；拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数（x≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值． 【答案】（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．【解析】（1）用P 1、P 2的坐标分别表示出OQ 和PQ 的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN 的长；②分AB 、AC 、BC 为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D 点坐标；（3）设P 关于直线OL 的对称点为M ，关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R 的坐标，再由PR=PS=n ，可求得n 的值，可求得P 点坐标，利用中点坐标公式可求得M 点坐标，由对称性可求得N 点坐标，连接MN 交直线OL 于点E ，交x 轴于点S ，此时EP=EM ，FP=FN ，此时满足△PEF 的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值． 试题解析：（1）∵P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），∴Q 1Q 2=OQ 2﹣OQ 1=x 2﹣x 1，∴Q 1Q=，∴OQ=OQ 1+Q 1Q=x 1+=，∵PQ 为梯形P 1Q 1Q 2P 2的中位线，∴PQ==，即线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式为x=，y=；（2）①∵M （2，﹣1），N （﹣3，5），∴MN==，故答案为：；②∵A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），∴当AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D （x ，y ），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D 点坐标为（﹣3，3），当AC 为对角线时，同理可求得D 点坐标为（7，1），当BC 为对角线时，同理可求得D 点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D 点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）如图，设P 关于直线OL 的对称点为M ，关于x 轴的对称点为N ，连接PM 交直线OL 于点R ，连接PN 交x 轴于点S ，连接MN 交直线OL 于点E ，交x 轴于点F ，又对称性可知EP=EM ，FP=FN ，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN ，∴此时△PEF 的周长即为MN 的长，为最小，设R （x ，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n ，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R （，），∴，解得n=1，∴P （2，1），∴N （2，﹣1），设M （x ，y ），则=，=，解得x=，y=，∴M （，），∴MN==，即△PEF 的周长的最小值为．【考点】一次函数综合题；阅读型；分类讨论；最值问题；探究型；压轴题．9.如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．（1）①直接回答：△OBC 与△ABD 全等吗？②试说明：无论点C 如何移动，AD 始终与OB 平行；（2）当点C 运动到使AC 2=AE•AD 时，如图2，经过O 、B 、C 三点的抛物线为y 1．试问：y 1上是否存在动点P ，使△BEP 为直角三角形且BE 为直角边？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，将y 1沿x 轴翻折得y 2，设y 1与y 2组成的图形为M ，函数的图象l 与M 有公共点．试写出：l 与M 的公共点为3个时，m 的取值．【答案】（1）①△OBC 与△ABD 全等；②证明见解析；（2）P （3，）或（﹣2，）；（3）﹣≤m＜0．【解析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC ≌△ABD ； ②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB ∥AD ；（2）首先证明DE ⊥BC ，再求直线AE 与抛物线的交点就是点P ，所以分别求直线AE 和抛物线y 1的解析式组成方程组，求解即可；（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M 有个公共点时，两个边界的直线，上方到，将向下平移即可满足l 与图形M 有3个公共点，一直到直线l 与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m 的值即可．试题解析：（1）①△OBC 与△ABD 全等，理由是：如图1，∵△OAB 和△BCD 是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB ，BC=BD ，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC ，即∠OBC=∠ABD ，∴△OBC ≌△ABD （SAS ）；②∵△OBC ≌△ABD ，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BAD ，∴OB ∥AD ，∴无论点C 如何移动，AD 始终与OB 平行；（2）如图2，∵AC 2=AE•AD ，∴，∵∠EAC=∠DAC ，∴△AEC ∽△ACD ，∴∠ECA=∠ADC ，∵∠BAD=∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，∵∠BED=∠AEC ，∴∠ACB=∠ADB ，∴∠ADB=∠ADC ，∵BD=CD ，∴DE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∠BAE=60°，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=×2=1，Rt △AEC 中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE=2，∴C （4，0），等边△OAB 中，过B 作BH ⊥x 轴于H ，∴BH= =，∴B （1，），设y 1的解析式为：y=ax （x ﹣4），把B （1，）代入得：=a （1﹣4），a=﹣，∴设y 1的解析式为：y 1=﹣x （x ﹣4）=，过E 作EG ⊥x 轴于G ，Rt △AGE 中，AE=1，∴AG=AE=，EG==，∴E （，），设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，把A （2，0）和E （，）代入得：，解得：，∴直线AE 的解析式为：，则，解得：，，∴P （3，）或（﹣2，）；（3）如图3，y 1==，顶点（2，），∴抛物线y 2的顶点为（2，﹣），∴y 2=，当m=0时，与图形M 两公共点，当y 2与l 相切时，即有一个公共点，l 与图形M 有3个公共点，则：，，x 2﹣7x ﹣3m=0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，m≥﹣，∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：﹣≤m＜0．【考点】二次函数综合题；翻折变换（折叠问题）；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．。
四川省达州市2015年中考数学试卷(解析版)
四川省达州市2015年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）2．（3分）（2015•达州）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）．D4．（3分）（2015•达州）2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名分式方程+1=可化为一元一次力程、分式方程+1=6．（3分）（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD 于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）7．（3分）（2015•达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）S=π×12﹣+﹣8．（3分）（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围＞且，然后解不等式组即可．，m≤且9．（3分）（2015•达州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正10．（3分）（2015•达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（）=，可得，∴=∴=∴二、填空题（本题6个小题，每小题3分，為18分．把最后答案直接填在题中的横线上）11．（3分）（2015•达州）在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中，最小的是﹣2．、﹣12．（3分）（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为2 cm．OAB=AO=，13．（3分）（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为（40﹣x）（20+2x）=1200．14．（3分）（2015•达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为．∴．故答案为：．15．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是4≤a＜5．16．（3分）（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为22n﹣3（用含n的代数式表示，n为正整数）．=×1×1===×三、解答题，解答对应必要的文字说明，证明过程及盐酸步骤17．（6分）（2015•达州）计算：（﹣1）2015+20150+2﹣1﹣|﹣|1+1+﹣=118．（7分）（2015•达州）化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC 的三边，且a为整数．•+=+==四、解答题（共2小题，满分15分） 19．（7分）（2015•达州）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制了两种不完整统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）参加演讲比赛的学生共有 40 人，扇形统计图中m=20 ，n= 30 ，并把条形统计图补充完整．（2）学校欲从A 等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A 等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A 1、A 2表示，女生分别用代码B 1、B 2表示）×100%=30%等级中一男一女参加比赛的概率为：．20．（8分）（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？，，，五、解答题（共2小题，满分15分）21．（7分）（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）22．（8分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．BE=OE=OB=OA=x=y=）由题意得出方程组BE=OE==，OA=，得：，y=x+2，）代入反比例函数y=得：，﹣y=x+bx+b的图象无交点，方程组x+b=无解，y=的图象无交点时，六、解答题（共2小题，满分17分）23．（8分）（2015•达州）阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2（当a=b时取等号）．阅读2：若函数y=x+；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=2时，周长的最小值为8；问题2：已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=x2+2x+10（x＞﹣1），当x=2时，的最小值为6；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）的范围，进一步得到周长的最小值；：将，根据阅读+（x+有最小值为2×∴+，解得+2×=10+0.01x+=10+0.01x+（有最小值为=1400，x=的最小值为2．24．（9分）（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F 为上﹣点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．=，即可得=，则可证得∴=∵=，=∴=OB=×5=2.5BD==5∵=∴=∴∴七、解答题（共1小题，满分12分）25．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．y=y=x x+4DE===+DE=+OD=．．OF=3OG===6得：，，，），OF=3OG==6得：x+6=，+6=（，，，，）或（。
2015年四川省达州市中考数学模拟试卷(答案解析版)解析
2015年四川省达州市中考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．x2y﹣2xy2=﹣xy2C．3a2+5a2=8a4D．3ax﹣2xa=ax2．我国四部地区约占我国国土面积的，我国国土面积约960万平方公里．若用科学记数法表示，则我国四部地区的面积是（）A．6.4×107平方公里B．6.4×106平方公里C．64×105平方公里D．640×104平方公里3．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．130°4．若一组数据1，3，4，5，x中，有唯一的众数是1，这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．6．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣17．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．18．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）①y=x ②y=﹣2x+1 ③y=﹣④y=3x2．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P按A⇒B⇒C⇒M的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P 经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在题中的横线上）11．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“=”）．12．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则弧长等于．13．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为cm．14．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是．15．函数的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是（填序号）．①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x＞0时，函数有最小值；④点（1，4）在函数图象上；⑤当x＜1或x＞3时，y＞4．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE，FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．若AE=4，则FC=．三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|．18．先化简：，并任选一个你喜欢的数a代入求值．19．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了如图所示的两个不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m=．（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的梯形标志．则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？20．如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接；（2）猜想：=；（3）证明．21．已知某市2014年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2014年10月份的水费为620元，求该企业2014年10月份的用水量；（3）为鼓励企业节约用水，该市自2015年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2014年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2015年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．22．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长．24．【合作学习】如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：①该反比例函数的解析式是什么？②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE 能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．25．如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．2015年四川省达州市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．x2y﹣2xy2=﹣xy2C．3a2+5a2=8a4D．3ax﹣2xa=ax考点：合并同类项．分析：根据合并同类项的法则，把同类项的系数加减，字母与字母的指数不变，进行计算作出正确判断．解答：解：A、3a﹣2a=a，错误；B、x2y与2xy2不是同类项，不能合并，故错误；C、3a2+5a2=8a2，故错误；D、符合合并同类项的法则，正确．故选D．点评：本题属于简单题型，只要熟记合并同类项法则即可．2．我国四部地区约占我国国土面积的，我国国土面积约960万平方公里．若用科学记数法表示，则我国四部地区的面积是（）A．6.4×107平方公里B．6.4×106平方公里C．64×105平方公里D．640×104平方公里考点：科学记数法—原数．分析：首先计算出我国西部地区的国土面积为960×=640万平方公里，然后把640万用科学记数法表示出来即可．解答：解：由题意得我国西部地区的国土面积为960×=640万平方公里=6 400 000平方公里=6.4×106平方公里．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠2=65°，则∠3的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．130°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．分析：首先根据三角形的外角性质得到∠1+∠2=∠4，然后根据平行线的性质得到∠3=∠4求解．解答：解：根据三角形的外角性质，∴∠1+∠2=∠4=110°，∵a∥b，∴∠3=∠4=110°，故选：A．点评：本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，属于基础题，难度较小．4．若一组数据1，3，4，5，x中，有唯一的众数是1，这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：中位数；众数．分析：根据中位数和众数的概念求解．解答：解：∵众数为1，∴x=1，这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1，3，4，5，则中位数为：3．故选C．点评：本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．解答：解：A、三视图分别为正方形，三角形，圆，故A选项符合题意；B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意；C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，故C选项不符合题意；D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意；故选：A．点评：考查三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．6．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1考点：解一元一次不等式组．分析：将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．解答：解：解得，，∵无解，∴a≥1．故选：A．点评：本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．7．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．解答：解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=BH，∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．故选：D．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE 和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．8．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）①y=x ②y=﹣2x+1 ③y=﹣④y=3x2．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．专题：压轴题．分析：根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．解答：解：①y=x，正比例函数，k=1＞0，y随着x增大而增大，正确；②y=﹣2x+1，一次函数，k=﹣2＜0，y随x的增大而减小，错误；③y=﹣，反比例函数，k=﹣1＜0，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，正确；④y=3x2，二次函数，a=3＞0，开口向上，对称轴为x=0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，错误．故选B．点评：本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．掌握函数的性质解答此题是关键．9．如图，点P按A⇒B⇒C⇒M的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P 经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．解答：解：根据题意和图形可知：点P按A⇒B⇒C⇒M的顺序在边长为1的正方形边上运动，△APM 的面积分为3段；当点在AB上移动时，高不变底边逐渐变大，故面积逐渐变大；当点在BC上移动时，底边不变，高逐渐变小故面积变小；当点在CD上时，高不变，底边变小故面积越来越小直到0为止．故选A．点评：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题（本题6个小题，每小题3分，共18分，把最后答案直接填在题中的横线上）11．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P=Q（填“＞”、“＜”或“=”）．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较，即可得出结论．解答：解：∵P==，把ab=1代入得：=1；Q==，把ab=1代入得：=1；∴P=Q．点评：解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可．12．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则弧长等于π．考点：弧长的计算．分析：连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．解答：解：连接OA、OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴的长为：=，故答案为：π．点评：本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB 对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．13．已知点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB=4cm，则AC的长为cm．考点：黄金分割．分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．AC=4×=2（﹣1）．解答：解：由题意知：AC=AB=4×=2（﹣1）．故本题答案为：2（﹣1）．点评：考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算．14．如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠DAB=∠CAE．考点：相似三角形的判定；圆内接四边形的性质．专题：常规题型．分析：根据圆内接四边形的性质得到∠ADB=∠ACE，然后可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．解答：解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∴∠ADB=∠ACE，当∠DAB=∠CAE时，△ADB∽△ACE．故答案为∠DAB=∠CAE．点评：本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆内接四边形的性质．15．函数的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是②③④（填序号）．①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x＞0时，函数有最小值；④点（1，4）在函数图象上；⑤当x＜1或x＞3时，y＞4．考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象；轴对称图形；中心对称图形．专题：计算题；压轴题．分析：根据轴对称和中心对称图形性质、函数图象的特征，结合解析式解答．解答：解：①②当x变为﹣x时，y变为﹣y，可见，（x，y）对应点为（﹣x，﹣y），可见，函数图象是中心对称图形，不是轴对称图形，故②正确，①错误；③当x＞0时，函数图象有最低点，故函数有最小值，故本选项正确；④将点（1，4）代入解析式，等式成立，点（1，4）在函数图象上，故本选项正确：⑤当x=1和x=3时，y=4，可见，0＜x＜1或x＞3时，y＞4，故本选项错误；故答案为：②③④．点评：本题考查了反比例函数的图象、正比例函数的图象、轴对称图形、中心对称图形等知识，综合性较强．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE，FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．若AE=4，则FC=4．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，根据等腰直角三角形的性质可得AH=EH=FH，利用“角边角”证明△APH和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EHB=45°，然后求出∠AHB=∠FHB，再利用“边角边”证明△ABH和△FBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BF，再根据全等三角形对应边相等求出BE=DF，全等三角形对应角相等求出∠BAH=∠BFE，然后求出∠BFE=∠ADF，根据等角的余角相等求出∠EBF=∠FDC，再利用“边角边”证明△BEF和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得FC=EF．解答：解：连接FC，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∵FA⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE+∠BPE=∠ADF+∠APD=90°，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF，BE=DF，∵FA⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AE=4，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，则AH=EH=FH，∵P为AB的中点，∴AP=BP，在△APH和△BPE中，，∴△APH≌△BPE（AAS），∴BE=AH，∴BE=EH，∴△BEH是等腰直角三角形，∴∠EHB=45°，∴∠AHB=∠FHB=135°，在△ABH和△FBH中，，∴△ABH≌△FBH（SAS），∴AB=BF，∠BAH=∠BFH，∵AB=CD，∴BF=CD，∵∠BFH=∠BAH=∠PBE=∠ADF，∴∠EBF=∠DAH=∠FDC，在△BEF和△DFC中，，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴FC=EF=4．故答案为：4．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形并多次证明三角形全等．三、解答题（共72分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝对值法则计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣4×+2+2=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简：，并任选一个你喜欢的数a代入求值．考点：分式的化简求值．专题：压轴题；开放型．分析：首先把括号里的通分，然后能分解因式的分解因式，进行约分，最后代值计算，注意把除法运算转化为乘法运算．解答：解：原式===；当a=2时，原式=1．a取0和1以外的任何数，计算正确都可给分．点评：注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取a=0或1，则原式没有意义，因此，尽管0和1是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．19．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了如图所示的两个不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m=12．（2）该市支持选项B的司机大约有多少人？（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的梯形标志．则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．分析：（1）根据选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；（2）利用总人数5000乘以对应的百分比即可求得；（3）利用概率公式即可求解．解答：解：（1）调查的总人数是：81÷27%=300（人），则选择D方式的人数300﹣75﹣81﹣90﹣36=18（人），m=×100=12．补全条形统计图如下：（2）该市支持选项B的司机大约有：27%×5000=1350（人）；（3）小李抽中的概率P==．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接BF；（2）猜想：DE=BF；（3）证明．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；开放型．分析：（1）已知条件是AE=CF，那么应构造AE和CF所在的三角形，所以连接BF．（2）在两个三角形中，已知其他两条边对应相等，那么所求的一定是第三条边对应相等．（3）利用平行四边形的对边平行且相等，加上已知条件利用SAS可证得这两条边所在的三角形全等，进而求得相应的线段相等．解答：解：解法一：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∴∠DAE=∠BCF．在△BCF和△DAE中，，∴△BCF≌△DAE，∴BF=DE．解法二：（如图）（1）连接BF．（2）猜想：BF=DE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，DO=OB．∵AE=FC，∴AO﹣AE=OC﹣FC．∴OE=OF．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF=DE．解法三：（如图）（1）连接DF．（2）猜想：DF=BE．（3）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB．∴∠DCF=∠BAE．在△CDF和△ABE中，，∴△CDF≌△ABE．∴DF=BE．点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．21．已知某市2014年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2014年10月份的水费为620元，求该企业2014年10月份的用水量；（3）为鼓励企业节约用水，该市自2015年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2014年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2015年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．考点：一次函数的应用．分析：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）把水费620元代入函数关系式解方程即可；（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题．解答：解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，则，解得，所以，y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；（2）由图可知，当y=620时，x＞50，所以，6x﹣100=620，解得x=120，答：该企业2013年10月份的用水量为120吨；（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化简得：x2+40x﹣14000=0，解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去），答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量．22．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：几何图形问题．分析：（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．解答：解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；在Rt△BCE中，BE=CE=x．∴AE+BE=x+x=100（+1），解得：x=100．AC=2x=200．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，∴AC=y+y=200，解得：y=100（﹣1），∴AD=2y=200（﹣1）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．（2）由（1）可知，DF=AF=×100（﹣1）≈126.3海里，∵126.3＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．（1）求证：P是线段AQ的中点；（2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长．考点：圆的综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点；（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴=．又∵C是的中点，∴=，∴=．∴∠ACP=∠CAP．∴PA=PC，∵AB是直径．∴∠ACB=90°．∴∠PCQ=90°﹣∠ACP，∠CQP=90°﹣∠CAP，∴∠PCQ=∠CQP．∴PC=PQ．∴PA=PQ，即P是AQ的中点；（2）解：∵=，∴∠CAQ=∠ABC．又∵∠ACQ=∠BCA，∴△CAQ∽△CBA．∴===．又∵AB=10，∴AC=6，BC=8．根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH．∴CH=．又∵CH=HE，∴CE=2CH=．点评：本题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，正确理解定理是关键．24．【合作学习】如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：①该反比例函数的解析式是什么？②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE 能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．。
[真题]2015年四川省南充市中考数学试卷带答案解析
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[真题]2015年四川省南充市中考数学试卷带答案解析2015年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）计算3+（﹣3）的结果是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．02．（3分）下列运算正确的是（）A．3x﹣2x=x B．2x?3x=6x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x3．（3分）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（）A．25台B．50台C．75台D．100台5．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里6．（3分）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞D．m2＞n27．（3分）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断8．（3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：10．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正．给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n ≤1．其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）。
2024年四川省达州市中考数学真题(解析版)
2024年四川省达州市中考数学试题本考试为闭卷考试．考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-8页，共8页．温馨提示：1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置，待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致．2．选择题必须使用2B 铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内．超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡．不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁．4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题（每小题4分．共40分）1.有理数2024的相反数是（）A.2024B.2024- C.12024D.12024-【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：有理数2024的相反数是2024-，故选：B ．2.大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（）A.9210⨯B.8210⨯ C.80.210⨯ D.7210⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：2亿8200000000210==⨯，故选：B ．3.下列计算正确的是（）A.235a a a +=B.()22224a a a +=++C.()3236928a b a b -=- D.1262a a a ÷=【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B 、()22244a a a +=++，原式计算错误，不符合题意；C 、()3236928a b a b -=-，原式计算正确，符合题意；D 、1266a a a ÷=，原式计算错误，不符合题意；故选：C ．4.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A.热B.爱C.中D.国【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，故选：B ．5.小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差【答案】C 【解析】【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得．【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为28，∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．故选：C ．6.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中180∠=︒，240∠=︒，则3∠的度数为（）A.30︒B.40︒C.50︒D.70︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得123∠=∠+∠，代入数据，即可求解．【详解】解：依题意，水面与容器底面平行，∴123∠=∠+∠∵180∠=︒，240∠=︒，∴312804040∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：B ．7.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x 个零件．可列方程为（）A.120120301.2x x-= B.120120301.2x x-=C.120120301.260x x -= D.120120301.260x x -=【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x 个零件，则甲每小时加工1.2x 个零件，再根据时间=工作总量÷工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．【详解】解：设乙每小时加工x 个零件，则甲每小时加工1.2x 个零件，由题意得120120301.260x x -=，故选：D ．8.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，120ABD ∠=︒，其中点A ，B ，C 都在格点上，则tan BCD ∠的值为（）A.2B.C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC 交格点于点F ，连接AF ，,E G 分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出90AFC ∠=︒，解直角三角形求得,AF FC 的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，延长BC 交格点于点F ，连接AF ，,E G 分别在格点上，依题意，120,EGF EG GF ∠=︒=，,60GF GC FGC =∠=︒∴30,60CEF ECF ∠=︒∠=︒∴90AFC ∠=︒又2FC =，∴324cos30422AF EF EG ==︒=⨯⨯=∴tan tan 2AF BCD ACF FC ∠=∠===故选：B ．9.抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A.1b c +>B.2b = C.240b c +< D.0c <【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =-<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c -++>∴1b c +>，故A 选项正确，符合题意；若对称轴为1222b b b x a =-=-==-，即2b =，而121,1x x <>，不能得出对称轴为直线1x =，故B 选项不正确，不符合题意；∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程20x bx c -++=有两个不等实数解，即240b ac ∆=->，又1a =-∴240b c +>，故C 选项错误，不符合题意；无法判断c 的符号，故D 选项错误，不符合题意；故选：A ．10.如图，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，连结AE ，BD 交于点F ，且始终满足2AD =，则下列结论：①AE BD =；②135DFE ∠=︒；③ABF △面积的最大值是4；④CF 的最小值是-）A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】D 【解析】【分析】过点B 作BM AC ⊥于点M ，证明ABE BMD ∽，根据相似三角形的性质即可判断①；得出BAE MBD ∠=∠，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB 的左侧，以AB 为斜边作等腰直角三角形AOB ，以OA 为半径作O ，根据定弦定角得出F 在O 的 AB 上运动，进而根据当OF AB ⊥时，ABF △面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F 在OC 上时，FC 最小，过点O 作OH BC⊥交CB 的延长线于点H ，勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ⊥于点M ，∵ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，4AB =，∴AB BC AC ===，，∵2AD =，∴()1122222222DM AC AD CE BC CE BE =-=-=-=∴22DM AD BE CE ==又∵90DMB EBA ∠=∠=︒∴ABE BMD ∽，∴AE AB BD BM==∵ABE BMD ∽，∴BAE MBD ∠=∠，∴BAE ABD MBD ABD∠+∠=∠+∠即()()180180BAE ABD MBD ABD ︒-∠+∠=︒-∠+∠在ABF △中，()180AFB BAE ABD ∠=︒-∠+∠即()180AFB MBD ABD ∠=︒-∠+∠∵ABC 是等腰直角三角形，BM AC ⊥∴BM 平分ABC ∠∴1452ABM CBM ABC ∠=∠=∠=︒∴()180180135AFB MBD ABD ABM ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒∴()180135AFB BAE ABD ∠=︒-∠+∠=︒，∴135DFE ∠=︒，故②正确，如图所示，在AB 的左侧，以AB 为斜边作等腰直角三角形AOB ，以OA 为半径作O ，且4AB =∴90AOB ∠=︒，4OA OB ====，AB ∵135AFB ∠=︒∴11802DFE AOB ∠+∠=︒∴F 在O 的 AB 上运动，∴422OF AO AB ====，连接OF 交AB 于点G ，则2AG GB ==，∴当OF AB ⊥时，结合垂径定理，OG 最小，∵OF 是半径不变∴此时CF 最大则ABF △面积的最大，∴()22ABF AGF AOF AOG S S S S ==- 211222OF AG OG ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭222=-4=-，故③正确；如图所示，当F 在OC 上时，FC 最小，过点O 作OHBC ⊥交CB 的延长线于点H ，∴OHB 是等腰直角三角形，∴22222OH HB OB OA ====，在Rt OHC 中，6HC HB BC =+=，∴OC ==∴CF 的最小值是故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题4分，共20分）11.分解因式：3x 2﹣18x+27=________．【答案】3（x ﹣3）2【解析】【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】3x 2-18x+27，=3（x 2-6x+9），=3（x-3）2．故答案为：3（x-3）2．12.“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______．【答案】16【解析】【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A ，B ，C ，D ，根据题意，画出如下的树状图：由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，所以P （两本是《三国演义》和《西游记》）21126==．故答案为：16．13.若关于x 的方程31122k x x --=--无解，则k 的值为______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到6x k =-，再根据分式方程无解得到620k --=，解方程即可得到答案．【详解】解：31122k x x --=--去分母得：312k x -+=-，解得6x k =-，∵关于x 的方程31122k x x --=--无解，∴原方程有增根，∴20x -=，即620k --=，∴4k =，故答案为：4．14.如图，在ABC 中，1AE ，1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线，且113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，在1ABE 中，2AE ，2BE 分别是内角1E AB ∠，外角1E BD ∠的三等分线．且2113E AD E AB ∠=∠，2113E BD E BD ∠=∠，…，以此规律作下去．若C m ∠=︒．则n E ∠=______度．【答案】13n m 【解析】【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对1,ABC E AB △△运用三角形的外角定理，设1E AD α∠=，则3CAB α∠=，1E BD β∠=，则3CBD β∠=，得到1E βα=+∠，33C βα=+∠，同理可求：2211133E E C ⎛⎫∠=∠=∠ ⎪⎝⎭，所以可得13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭．【详解】解：如图：∵113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，∴设1E AD α∠=，1E BD β∠=，则3CAB α∠=，3CBD β∠=，由三角形的外角的性质得：1E βα=+∠，33C βα=+∠，∴113E C ∠=∠，如图：同理可求：2113E E ∠=∠，∴2213E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，……，∴13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，即13n nE m ∠=︒，故答案为：13n m ．15.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．点D 在线段BC 上，45BAD ∠=︒．若4AC =，1CD =，则ABC 的面积是______．【答案】403【解析】【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过D 作DE AB ⊥于E ，设DB x =，则1CB x =+，利用sin AC DE B AB DBÐ==列出等式即可．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，90C ∠=︒ ，4AC =，1CD =，AD \=45BAD ∠=︒ADE ∴V 是等腰直角三角形23422DE AD \==设DB x =，则1CB x =+AB \=sin AC DE B AB DB Ð==342x \解得175x =-（舍去）或173x =经检验173x =是原分式方程的解，111740(142233ABC S CB AC \=鬃=�△．故答案为：403．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16.（1）计算：()2012sin 60π20242-⎛⎫--︒-- ⎪⎝⎭；（2）解不等式组323122x x x --<-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩【答案】（1）3-（2）15x -<≤【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1）()212sin 60π20242-⎛⎫--︒-- ⎪⎝⎭4212=-⨯-41=-3=-（2）323122x x x --<-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②解不等式①得：1x >-解不等式②得：5x ≤∴不等式组的解集为：15x -<≤17.先化简：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，∴2x ≠±且0x ≠且1x ≠-，∴当1x =时，原式4211==+．18.2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题．旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级A B C D分数段90~10080~8970~7960~69频数440280m40请根据表中提供的信息．解答下列问题：（1）此次调查共抽取了______名选手，m=______，n=______；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是______度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．【答案】（1）800，40，5（2）126（3）1 3【解析】【分析】本题考查了列表法求概率，频数分布表以及扇形统计图；（1）根据A等级的人数除以占比得出总人数，进而求得,m n的值；（2）根据B等级的占比乘以360︒，即可求解；（3）设三个项目的冠军分别为,,A B C，根据列表法求概率，即可求解．【小问1详解】解：依题意，44080055%=名选手，8005%40m=⨯=，40%100%5%800n=⨯=∴5n=故答案为：800，40，5．【小问2详解】扇形统计图中，B 等级所对应的扇形圆心角度数是280360126800⨯︒=︒，故答案为：126．【小问3详解】解：设三个项目的冠军分别为,,A B C ，列表如下，A B CA AB AC B BA BCC CA CB共有6种等可能结果，其中恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的有2种情形，∴恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率为2163=19.如图，线段AC 、BD 相交于点O ．且AB CD ∥，AE BD ⊥于点E ．（1）尺规作图：过点C 作BD 的垂线，垂足为点F 、连接AF 、CE ；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）（2）若AB CD =，请判断四边形AECF 的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）【答案】（1）见解析（2）四边形AECF 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F ，再连接AF 、CE 即可；（2）先证明()ASA ABO CDO ≌，得到OA OC =，再证明90AE CF AEO CFO ==︒∥，∠∠，进而证明()AAS AOE COF ≌，得到AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：∵AB CD ∥，∴B D OAB OCD ==∠∠，∠∠，又∵AB CD =，∴()ASA ABO CDO ≌，∴OA OC =，∵AE BD CF BD ⊥⊥，，∴90AE CF AEO CFO ==︒∥，∠∠，又∵AOE COF ∠=∠，∴()AAS AOE COF ≌，∴AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形．20.“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，AB 是彩婷的中轴、甲同学站在C 处．借助测角仪观察，发现中轴AB 上的点D 的仰角是30︒，他与彩婷中轴的距离6BC =米．乙同学在观测点E 处借助无人机技术进行测量，测得AE 平行于水平线BC ，中轴AB 上的点F 的仰角45AEF ∠=︒，点E 、F 之间的距离是4米，已知彩婷的中轴 6.3AB =米，甲同学的眼睛到地面的距离 1.5MC =米，请根据以上数据，求中轴上DF 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据1.73≈1.41≈）【答案】中轴上DF 的长度为1.5米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点M 作MN AB ⊥于点N ，分别求得,DN AF 的长，根据DF AF DB AB =+-，即可求解．【详解】解：如图，过点M 作MN AB ⊥于点N ，依题意，四边形MCBN 是矩形，30,45DMN AEF ∠=︒∠=︒∴3tan 3063DN MN =⋅︒=⨯=2sin 4542AF EF =⋅︒=⨯=∴DF AF DB AB =+-1.5 6.3=++-21.4121.73 1.5 6.3=⨯+⨯+-1.5≈米答：中轴上DF 的长度为1.5米．21.如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数m y x=（m 为常数，0m ≠）的图象交于点()2,3A ，(),2B a -．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点C 是x 轴正半轴上的一点．且90BCA ∠=︒．求点C 的坐标．【答案】（1）6y x =，1y x =+（2）(3,0)C 【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；（2）过A 作AM x ⊥轴于M ，过B 作BN x ⊥轴于N ，设(,0)C c ，先求得NCB MAC ∠=∠得到tan tan NCB MAC Ð=Ð，即NB MC NC AM =，得出等量关系解出c 即可．【小问1详解】解：将()2,3A 代入m y x=得236m =⨯=6y x∴=将(),2B a -代入6y x =得62a -=3a ∴=-()3,2B ∴--将()2,3A 和()3,2B --代入y kx b =+得2332k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩1y x ∴=+故反比例函数和一次函数的解析式分别为6y x=和1y x =+；【小问2详解】如图，过A 作AM x ⊥轴于M ，过B 作BN x ⊥轴于N ，90BCA ∠=︒90NCB ACM \Ð+Ð=°90MAC ACM Ð+Ð=°NCB MAC\Ð=Ðtan tan NCB MAC\Ð=Ð即NB MC NC AM=设(,0)C c ，则2MC c =-，3NC c =+3,2AM BN == 2233c c -\=+解得4c =-（舍去）或3c =经检验，3c =是原分式方程的解，(3,0)C ∴．22.为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A 、B 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A 品种柑橘礼盒比B 品种柑橘礼盒的售价少20元．且出售25件A 品种柑橘礼盒和15件B 品种柑橘礼盒的总价共3500元．（1）求A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？（2）已知加工A 、B 两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A 、B 两种柑橘礼盒共1000盒，且A 品种柑橘礼盒售出的数量不超过B 品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A 、B 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？【答案】（1）A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元（2）要使农户收益最大，销售方案为售出A 种柑橘礼盒595盒，售出B 种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；（1）设A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a 元，b 元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；（2）设售出A 种柑橘礼盒x 盒，则售出B 种柑橘礼盒()1000x -盒，根据题意列出不等式组，得出595600x ≤≤，设收益为y 元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：设A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a 元，b 元，根据题意得，2025153500a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：80100a b =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元；【小问2详解】解：设售出A 种柑橘礼盒x 盒，则售出B 种柑橘礼盒()1000x -盒，根据题意得，()()1.510005060100054050x x x x ⎧≤-⎪⎨+-≤⎪⎩解得：595600x ≤≤设收益为y 元，根据题意得，()()()80501006010001040000y x x x =-+--=-+∵100-<∴y 随x 的增大而减小，∴当595x =时，y 取得最大值，最大值为105954000034050-⨯+=（元）∴售出B 种柑橘礼盒1000595405-=（盒）答：要使农户收益最大，销售方案为售出A 种柑橘礼盒595盒，售出B 种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元．23.如图，BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ，且AB AC =，以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =，求cos ABC ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA ，由直径所对的圆周角是直角得到90BAD ∠=︒，导角可证明DAF OAB ∠=∠，进而得到90OAF ∠=︒，据此即可证明AF 是O 的切线；（2）延长CD 交AF 于H ，延长AO 交BC 于G ，连接OC ，由直径所对的圆周角是直角得到90BCD ∠=︒，证明AG CH ∥，得到90AHC ∠=︒，接着证明()AAS ABE ACH ≌，得到AE AH BE CH ==，，进一步证明()Rt Rt HL ADE ADH ≌，得到DH DE =，设DH DE a ==，则3CD a =，4BE CH a ==，进而得到5BD BE DE a =+=，则 2.5OA OD a ==，由勾股定理得到2AE a ==，AD ==，则cos 5DE ADE AD ==∠，进一步可得cos cos 5ABC ADE ==∠∠．【小问1详解】证明：如图所示，连接OA ，∵BD 是O 的直径，∴90BAD ∠=︒，∴90OAB OAD ∠+∠=︒，∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠，∵DAF ACD ∠=∠，OBA ACD ∠=∠，∴DAF OAB ∠=∠，∴90DAF OAD OAB OAD +=+=︒∠∠∠∠，∴90OAF ∠=︒，∴OA AF ⊥，又∵OA 是O 的半径，∴AF 是O 的切线；【小问2详解】解：如图所示，延长CD 交AF 于H ，延长AO 交BC 于G ，连接OC ，∵BD 是O 的直径，∴90BCD ∠=︒，即CH BC ⊥，∵AB AC OB OC ==，，∴OA 垂直平分BC ，∴AG BC ⊥，∴AG CH ∥，∵90OAF ∠=︒，∵AE BD ⊥，∴90AEB AHC ==︒∠∠，又∵ABE ACH ∠=∠，∴()AAS ABE ACH ≌，∴AE AH BE CH ==，，∵AD AD =，∴()Rt Rt HL ADE ADH ≌，∴DH DE =，设DH DE a ==，则3CD a =，∴4BE CH DH CD a ==+=，∴5BD BE DE a =+=，∴ 2.5OA OD a ==，∴ 1.5OE OD DE a =-=，∴2AE a ==，∴AD ==，∴5cos 5DE ADE AD ==∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵ADE ACB ∠=∠，∴ABC ADE ∠=∠，∴cos cos 5ABC ADE ==∠∠．【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．24.如图1，抛物线23y ax kx =+-与x 轴交于点()3,0A -和点()1,0B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC ，DC ，直线AC 交抛物线的对称轴于点M ，若点P 是直线AC 上方抛物线上一点，且2PMC DMC S S =△△，求点P 的坐标；（3）若点N 是抛物线对称轴上位于点D 上方的一动点，是否存在以点N ，A ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-（2）()1,0P 或()4,5P -；（3）(N -或(1,-或()1，1--或()3-【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得,,C M D 的坐标，根据勾股定理的逆定理得出MCD △是等腰三角形，进而根据2PMC DMC S S =△△得出2PMC S =△，连接MB ，设MD 交x 轴于点E ，则2ME EB ==得出MBE △是等腰直角三角形，进而得出2BMC S =△，则点P 与点B 重合时符合题意，()1,0P ，过点B 作BP AC ∥交抛物线于点P ，得出直线BP 的解析式为1y x =-+，联立抛物线解析式，即可求解；（3）勾股定理求得222,,AC AN CN ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线23y ax kx =+-与x 轴交于点()3,0A -和点()1,0B ，∴933030a k a k --=⎧⎨+-=⎩解得：12a k =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-；【小问2详解】由223y x x =+-，当0x =时，=3y -，则()0,3C -∵()222314y x x x =+-=+-，则()1,4D --，对称轴为直线=1x -设直线AC 的解析式为11y k x b =+，代入()3,0A -，()0,3C -∴11303k b b -+=⎧⎨=-⎩解得：1113k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AC 的解析式为3y x =--，当=1x -时，=2y -，则()1,2M --∴()242,MC MD CD ===---===∴222MD MC CD =+∴MCD △是等腰三角形，∴212222PMC DMC S CD S ==⨯⨯=△△连接MB ，设MD 交x 轴于点E ，则2ME EB ==∴MBE △是等腰直角三角形，∴45BME ∠=︒，BM =，又45DMC ∠=︒∴BM AC⊥∴11222BMC S MC BM =⨯⨯== ∴点P 与点B 重合时符合题意，()1,0P 如图所示，过点B作BP AC ∥交抛物线于点P ，设直线BP 的解析式为y x m =-+，将()1,0B 代入得，01m=-+解得：1m =∴直线BP 的解析式为1y x =-+联立2123y x y x x =-+⎧⎨=+-⎩解得：45x y =-⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩∴()4,5P -综上所述，()1,0P 或()4,5P -；【小问3详解】解：∵()3,0A -，()0,3C -，∴2223318AC =+=∵点N 是抛物线对称轴上位于点D 上方的一动点，设()1,N n -其中4n >-∴()2222314AN n n =-++=+，()222213610CN n n n =++=++①当AN AC =时，2418n +=，解得：n =或n =②当NA NC =时，224610n n n +=++，解得：1n =-③当CA CN =时，218610n n =++，解得：3n =-或3n =（舍去）综上所述，(N -或(1,-或()11--，或()13-．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25.倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．（1） 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，BO DO =．222AB AO BO ∴=+．又2AC AO = ，2BD BO =，2AB ∴=______+______．化简整理得22AC BD +=______．【类比探究】（2）如图2．若四边形ABCD 是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．【拓展应用】（3）如图3，四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为AO 的中点，点F 为BC 的中点，连接EF ，若8AB =，8BD =，12AC =，直接写出EF 的长度．【答案】（1）214AC ，214BD ，24AB ；（2）222222AC BD AB AD +=+；（3【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，根据平行四边形的性质得AB CD =，AB CD ∥，AD BC =，证明()AAS DAE CBF ≌，得AE BF =，DE CF =，，根据勾股定理得()22222DB DE BB DE AB AE =+=+-，()22222AC CF AF CF AB BF =+=++，继而得出22AC BD +的值即可；（3）由（2）可得222222AC BD AB AD +=+得出AD =，过点,E O 分别作BC 的垂线，垂足分别为,M G ，连接OF ，根据勾股定理以及已知条件，分别求得,,OG CG BG ，根据EM OG ∥得出131024MG CG ==，MF =根据COG CEM ∽得出32EM OG ==可求解．【详解】解：（1） 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，BO DO =．222AB AO BO ∴=+．又2AC AO = ，2BD BO =，2221144AB AC BD ∴=+．化简整理得2224AC BD AB +=故答案为：214AC ，214BD ，24AB ．（2）222222AC BD AB AD +=+，理由如下，过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F，∴90DEA DEB CFB ∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB CD ∥，AD BC =，∴DAE CBF ∠=∠，在DAE 和CBF V 中，DAE CBF DEA CFB AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DAE CBF ≌，∴AE BF =，DE CF =，在Rt DBE 中，()22222DB DE BE DE AB AE =+=+-，在Rt CAF △中，()22222AC CF AF CF AB BF =+=++，∴()()222222AC BD DE AB AE CF AB BF +=+-+++22222222DE AB AB AE AE AB AB AE AE =+-⋅+++⋅+()22222DE AE AB =++2222AD AB =+，∴222222AC BD AB AD +=+（3）∵四边形ABCD 是平行四边形，8AB =，8BD =，12AC =，∴由（2）可得222222AC BD AB AD +=+∴2222128282AD +=⨯+解得：AD =∵四边形ABCD 是平行四边形，12,8,AC BD ==∴BC AD ==6OA OC ==，142OB OD BD ===，如图所示，过点,E O 分别作BC 的垂线，垂足分别为,M G ，连接OF ，∵F 分别为BC 的中点，∴11422OF AB OB BD ====,∵OG BF ⊥，∴BG GF =12BF =，∵F 是BC 的中点，∴12BF BC =∴BG GF =1110242BF BC ===，∴CG BC BG =-=，在Rt OGC △中，OG BC ⊥，∴362OG ===，∵E 为AO 的中点，∴12OE OA =，∵AO OC =，∴12OE OC =，∴23OC EC =,12OE OC =,∵,EM BC OG BC ⊥⊥，∴EM OG ∥，∴12EO MG OC CG ==，∴131024MG CG ==，∴3101042MF MG GF =+=+=，∵EM OG ∥，∴COG CEM ∽，∴23OG OC EM EC ==，∴32EM OG ==在Rt EMF △中，EF ===．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。
2024年四川省达州市中考数学试卷(含答案)
2024年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．有理数2024的相反数是（ ）A．2024B．﹣2024C．D．2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（ ）A．2×109B．2×108C．0.2×108D．2×1073．下列计算正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．（a+2）2＝a2+2a+4C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9D．a12÷a6＝a24．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）A．热B．爱C．中D．国5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）A．平均数B．众数C．中位数D．方差6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）A．30°B．40°C．50°D．70°7．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（ ）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝D．﹣＝8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（ ）A．2B．C．D．39．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）A．b+c＞1B．b＝2C．b2+4c＜0D．c＜010．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（ ）A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题（每小题4分，共20分）11．分解因式：3x2﹣18x+27＝ ．12．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 ．13．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 ．14．如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠E n＝ 度．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 ．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；（2）解不等式组：．17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．18．（8分）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级A B C D分数段90﹣10080﹣8970﹣7960﹣69频数440280m40请根据表中提供的信息，解答下列问题：（1）此次调查共抽取了 名选手，m＝ ，n＝ ；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．19．（8分）如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）20．（8分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m ≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．22．（10分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？23．（10分）如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．24．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．∴AB2＝AO2+BO2又∵AC＝2AO，BD＝2BO，∴AB2＝ + ．化简整理得AC2+BD2＝ ．[类比探究]（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．[拓展应用]（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．参考答案一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．2．解：2亿用科学记数法表示为2×108，故选：B．3．解：a2+a3不能化简，故A选项错误；（a+2）2＝a2+4a+4，故B选项错误；（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，故C选项正确；a12÷a6＝a6，故D选项错误；故选：C．4．解：根据图示知：“我””与“爱”相对；“热”与“国”相对；“们”与“中”相对．故选：B．5．解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在30～40之间，四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误．众数也变化，选项B错误．中位数是28，不变，选项C正确．因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误．故选：C．6．解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3，∵∠1＝80°，∠2＝40°，∴∠3＝40°，故选：B．7．解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，根据题意得﹣＝．故选：D．8．解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，由题意可得：AE⊥BE，AE＝4，EC＝2，∴tan∠BCD＝tan∠ACE＝＝＝2，故选：B．9．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0）和（x2，0），且x1＜1，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，由根与系数的关系可得，﹣c﹣b+1＜0，∴b+c＞1，故选：A．10．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，由勾股定理得：AC＝＝，∴，∵AD＝CE，∴，∴，又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，∴△CAE∽△ABD，∴，故结论①正确；②∵△CAE∽△ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，故结论②正确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC 交⊙O于P，如下图所示：∴∠AOB＝90°，∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，∵∠DFE＝135°，∴点F在上运动，∵AB＝4，∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，∴AK＝OK＝2，在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，∴OA＝OH＝OB＝OP＝，∴KH＝OH﹣OK＝，∴S△ABH＝AB•KH＝＝，故结论③正确；④∵点F在上运动，∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，∴四边形OMBK为矩形，∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，∴CP＝CO﹣OP＝，即CF的最小值是，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．二、填空题（每小题4分，共20分）11．解：3x2﹣18x+27，＝3（x2﹣6x+9），＝3（x﹣3）2．故答案为：3（x﹣3）2．12．解：∴P＝，故答案为：．13．解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2解得：x＝，①当x＝2时分母为0，方程无解，即＝2，∴k＝2时方程无解；②当k+1＝0即k＝﹣1时，方程无解；故答案为：2或﹣1．14．解：由题意，，∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，由三角形的外角的性质得：β＝α+∠E 1，3β＝3α+∠C ，，同理可求：， ……，，即，故答案为：．15．解：过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，，∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，∵∠C ＝90°，AC ＝4，CD ＝1，∴AD ＝＝，∵∠DEA ＝90°，∠BAD ＝45°，∴AE ＝DE ＝AD •sin ∠EAD ＝，∵∠DEB ＝90°，∠C ＝90°，∴BE 2+DE 2＝BD 2，AC 2+BC 2＝AB 2，即BE 2+＝BD 2①，（BD +1）2+16＝（+BE ）2②，①变形得，BE ＝③，②化简得，BD 2+2BD +17＝+BE +BE 2④，将①、③代入④并化简得，15BD 2﹣34BD ﹣172＝0，（BD ＞0）解得：BD ＝，∴BC ＝，∴S △ABC ＝AC •BC ＝，故答案为：．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．解：（1）原式＝4﹣3+2×﹣1＝4﹣3+﹣1＝3﹣2；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤5，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5．17．解：原式＝•＝•＝•＝，∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，∴x可以取1，当x＝1时，原式＝＝2．18．解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名）；所以m＝800×5%＝40，所以n%＝＝5%，即n＝5；故答案为：800，40，5；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°；故答案为：126；（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．画树状图为：共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝＝．19．解：（1）如图，CF、AF、CE为所作；（2）四边形AECF平行四边形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，而AE∥CF，∴四边形AECF平行四边形．20．解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．由题意知，四边形CMNB是矩形．∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米，AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．在Rt△DMN中，∵tan∠DMN＝，∴DN＝tan∠DMN•MN＝tan30°×MN＝×6＝2（米）．在Rt△AEF中，∵sin∠AEF＝，∴AF＝sin∠AEF•EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．∵AF+DN＝AN+DF，∴DF＝2+2﹣4.8≈2×1.73+2×1.41﹣4.8＝3.46+2.82﹣4.8＝1.48≈1.5（米）．答：中轴上DF的长度为1.5米．21．解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，解得：a＝﹣3，m＝6，即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣3，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，则一次函数的表达式为：y＝x+1；（2）设点C（x，0），由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，∵∠BCA＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，解得：x＝3或﹣4（舍去），即点C（3，0）．22．解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，由题意得：25x+15（x+20）＝3500，解得：x＝80，∴x+20＝100，答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，由题意得：，解得：595≤m≤600，设收益为w元，由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．23．（1）证明：如图所示，连接OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，∴∠DAF＝∠OAB，∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠OAF＝90°，∴OA⊥AF，又∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，∵AB＝AC，OB＝OC，∴OA垂直平分BC，∴AG⊥BC，∴AG∥CH，∵∠OAF＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AHC＝90°，又∵∠ABE＝∠ACH，∴△ABE≌△ACH（AAS），∴AE＝AH，BE＝CH，∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，∴BD＝BE+DE＝5a，∴OA＝OD＝2.5a，∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，∴∴，∴，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADE，∴．24．解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC 交抛物线于点P，则点P为所求点，由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，∵DG∥AC，则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4，则点L（0，1），则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，解得：x＝1或﹣4，即点P（1，0）或（﹣4，5）；（3）存在，理由：设点N（﹣1，m），由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，当AC＝AN时，则18＝4+m2，则点N（﹣1，±）；当AC＝CN或AN＝CN时，则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．25．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AB2＝AO2+BO2，又∵AC＝2AO，BD＝2BO，∴，化简整理得AC2+BD2＝4AB2，故答案为：AC2，BD2，4AB2；（2）AC2+BD2＝2AB2+2AD2理由如下，如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∴∠DAE＝∠CBF，在△DAE和△CBF中，∴△DAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE中，DB2＝DE2+BE2＝DE2+（AB﹣AE）2在Rt△CAF中，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2∴AC2+BD2＝DE2+（AB﹣AE）2+CF2+（AB+BF）2＝2DE2+AB2﹣2AB•AE+AE2+AB2+2AB•AE+AE2＝2（DE2+AE2）+2AB2＝2AD2+2AB2，∴AC2+BD2＝2AB2+2AD2；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BD＝8，AC＝12，∴由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2，∴122+82＝2×82+2AD2，解得：（负值舍去），∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，∴，OA＝OC＝6，，如图所示，过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，∵F分别为BC的中点，∴，∵OG⊥BF，∴，∵F是BC的中点，∴，∴，∴，在Rt△OGC中，OG⊥BC，∴，∵E为AO的中点，∴，∵AO＝OC，∴，∴，∵EM⊥BC，OG⊥BC，∴EM∥OG，∴，∵，∴，∵EM∥OG，∴△COG∽△CEM，∴，∴在Rt△EMF中，．故答案为：EF＝．。
中考复习数学真题汇编15：统计图表(含答案)
一、选择题1. （2015福建省福州市，5，3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ ） A.扇形图 B.条形图 C.折线图 D.直方图 【答案】A2. （2015浙江省温州市，3，4分）某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）A.25人B.35人C.40人D.100人【答案】C3. （2015内蒙古呼和浩特，8，3分）以下是某手机店1～4月份的两个统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）A. 4月份三星手机销售额为65万元B. 4月份三星手机销售额比3月份有所上升C. 4月份三星手机销售额比3月份有所下降D. 3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额 【答案】B4. （2015年江苏扬州市）如图是某校学生参加课外兴趣小组的人数占总人数比例的统计图，则参加人数最多的课外兴趣小组是 （ ）各月手机销售总额统计图三星手机销售额占该手机店 当月手机销售总额的百分比统计图A 、音乐组B 、美术组C 、体育组D 、科技组二、填空题 1.2. （2015四川省凉山州市，15，4分）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知A 型血的有20人，则O 型血的有 人 【答案】10. 【解析】总人数为20÷40%=50人，O 型血的有50×（1﹣40%﹣30%﹣10%）=10人，故答案是10.3. (2015广东省广州市，12，3分)根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM 2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图(如图4)，其中所占百分比最大的主要来源是 ．(填主要来源的名称)【答案】机动车尾气【解析】用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图．所以一看数据就知道是机动车尾气．4. （2015四川资阳，13，3分）某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成右图统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1~2（不含1）小时的学生有_________人．每周课外阅读时间（小时）0~11~2（不含1） 2~3（不含2）超过3 人 数 7 10 14 19【答案】240.21.7%11.5%20.6%19%8.2%8.6%10.4% 机动车尾气 工业工艺源 燃煤 其他 生物质燃烧 生活面源扬尘图41296301518181312b 3课时数 组）与 不等式（组）A一次方程 B 一次方程组C 不等式与不等式组 D二次方程 E分式方程图数与代数（内容） 课时数数与式 67 方程（组）与 不等式（组） a图实践与综合应用统计与概率空间与图形 数与代数 40%45%5%图5. （2014江苏省苏州市，13，3分）某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名．【答案】60【解析】最喜欢羽毛球的人数所占百分率比最喜欢乒乓球的人数所占百分率少10%，故被调查总人数为6÷105=60（人）.6. (2015年湖南衡阳，22，6分)为了进一步了解义务教育阶段学生体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分别为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（１）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ；（２）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；（３）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人. 【答案】（１）40%；（２）16；（３）128【解析】解：（１）总人数＝8÷16%＝50人，合格百分比：20100%50＝40%； （２）不合格的人数＝50×32%＝16人； （３）九年级不合格为数＝400×32%＝128人.三、解答题1. （2015浙江省丽水市，20，8分）某运动品牌店对第一季度A ，B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（第13题）20%30%40%乒乓球篮球羽毛球50606552销售量（双）A ，B 两款运动鞋销售量统计图6总销售额（万元）5A ，B 两款运动鞋总销售额统计图A B（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额＝销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议．【答案】解：（1）50×45＝40（双）．∴一月份B款运动鞋销售了40双．（2）设A，B两款运动鞋的销售单价分别为x元，y元．由题意可得504040000 605250000x yx y+⎧⎨+⎩＝＝．解方程组得400500xy⎧⎨⎩＝＝．∴三月份的总销售额为400×65＋500×26＝39000＝3.9（万元）．（3）答案不唯一，只要学生结合数据分析，言之有理即可．例如：从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月增加，比B款运动鞋销售量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款鞋．从总销售额来看，由于B款运动鞋销售量减少，导致总销售额减少，建议店里采取一些促销手段，增加B 款运动鞋的销售量．2.（2015四川省巴中市，26，10分）“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛．已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】解：（1）根据统计图，可知A等级的有3人，占15%，∴参加比赛的共有3÷15%=20（人）．∴C等级所占百分比为8=40%20，D等级所占百分比为4=20%20．∴m=40，D等级所占百分比为360°×20%=72°．（2）由题意，B等级所占百分比为1－15%－40%－20%=25%，∴B等级人数为20×25%=5（人），补全统计图如下所示．3.（2015山东省青岛市，17，6分）某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：(1)补全条形统计图；(2)求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；(3)若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？【答案】解：(1)∵10÷25%=40，∴B的人数为40-10-14-3-1=12.补全条形统计图如下：(2)∵1-25%-30%-35%-2.5%=7.5%，∴360°×7.5%=27°.∴扇形统计图中扇形D 的圆心角的度数为27°. (3)∵2000×35%=700，∴该中学有2000名学生中有700名学生能在1.5小时内完成家庭作业.4. （2015重庆B 卷，22，10分）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A ）、音乐类（记为B ）、球类（记为C ）、其他类（记为D ）.根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画.班主任现从A 类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率.类别人数22题图”我最喜欢的课外活动“各类别人数占全班总人数的百分比的扇形统计图DCB25%A“我最喜欢的课外活动”各类别人数条形统计图141242018161412108642【答案】（１）48，105；（２）23【解析】解：(1)总人数＝12÷25%＝48人；D 类对应的圆心角的度数＝360°×1448＝105°. 类别人数18“我最喜欢的课外活动”各类别人数条形统计图141242018161412108642，则可列下表： A 1 A 1 A 2 A 2A 1 √ √ A 1 √ √ A 2 √ √ A 2√√∴由上表可得：82(123P =一名擅长书法一名擅长绘画)=5. 小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位:t ）,并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）. 月均用水量（单位：t ）频数 百分比23x ≤<2 4% 34x ≤< 12 24% 45x ≤< 56x ≤< 10 20% 67x ≤< 12% 78x ≤<3 6% 89x ≤<24%（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t 且小于7t ”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在23x ≤<，89x ≤<这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率。
2014-2015年达州市达县XX中学九年级上期中数学试卷及答案
①绕点 B 顺时针旋转 90°得到月牙②，则点 A 的对应点 A′的坐标为(
)
A．（2，2） B．（2，4） C．（4，2） D．（1，2） 6．如图，P 为正三角形 ABC 外接圆上一点，则∠APB=( )
A．150° B．135° C．115° D．120°
7．如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD=
为(
)
，BD= ，则 AB 的长
)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．沒有实数根
4．用配方法解一元二次方程 x2﹣ 4x+3=0 时可配方得( ) A．（x﹣ 2）2=7 B．（x﹣ 2）2=1 C．（x+2）2=1 D．（x+2）2=2
5．如图所示，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（﹣ 2，0）和（2，0）．月牙
2014-2015 学年四川省达州市达县九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每题 3 分，共 30 分，每小题恰有一项是符合题目要求的）源自1．方程 x2=x 的解是(
)
A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣ 1，2x =0
2．下列各式中，是最简二次根式的是(
)
A． B．
C．
D．
3．方程 2x2+3x+2=0 的根的情况是(
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四川省达州市2015年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． B ． ﹣C 2．（3分）（2015•达州）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）． B ． C ． D ．形．解答：解：根据所给出的图形和数字可得： 主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，则符合题意的是D ；故选D ．4．（3分）（2015•达州）2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．解答：解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m，∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m；∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m，∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m；综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m，众数是1.60m．故选：C．点评：（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①．两边和一角对应相等的两个三角形全等．分式方程+1=可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5．多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t考点：命题与定理．分析：根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解．解答：解：A、矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；C、分式方程+1=两边都乘以（2x﹣1），可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5是真命题，故本选项正确；D、多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t错误，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断6．（3分）（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）故选：A．点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7．（3分）（2015•达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．12πB．24πC．6πD．36π考点：扇形面积的计算；旋转的性质．分析：根据题意得出AB=AB′=12，∠BAB′=60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S=+π×122﹣π×122，求出即可．解答：解：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O=+π×122﹣π×122=24π．故选B．点评：本题考查的是扇形的面积及旋转的性质，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图8．（3分）（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围．m＞B．m≤且m≠2C专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．解答：解：根据题意得，解得m≤且m≠2．故选B．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下9．（3分）（2015•达州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断10．（3分）（2015•达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④正确．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠ED O=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，∠A=∠B=90°，∴△AOD∽△BOC，∴===，选项③正确；同理△ODE∽△OEC，∴，选项④正确；故选D．点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定二、填空题（本题6个小题，每小题3分，為18分．把最后答案直接填在题中的横线上）11．（3分）（2015•达州）在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中，最小的是﹣2．一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，即可得出结果．解答：解：在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中，最小的是﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．12．（3分）（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为2cm．三角函数的定义求解即可．解答：解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，解得：AO=2．．故答案为：2．13．（3分）（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为（40﹣x）（20+2x）=1200．专题：销售问题．分析：根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案．解答：解：设每件童裝应降价x元，可列方程为：14．（3分）（2015•达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为．分析：先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可．解答：解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，设BF=x，则FC=FC′=9﹣x，∵BF2+BC′2=FC′2，∴x2+32=（9﹣x）2，解得：x=4，∵∠FC′M=90°，∴∠AC′M+∠BC′F=90°，又∵∠BFC′+BC′F=90°，∴∠AC′M=∠BFC′∵∠A=∠B=90°∴△AMC′∽△BC′F∴∵BC′=AC′=3，∴AM=．故答案为：．点评：本题主要考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质，能够发现△AMC′∽△BC′F是15．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是4≤a＜5．专题：新定义．分析：利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的范围即可．16．（3分）（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S1、S2、S3、…S n，则S n的值为22n ﹣3（用含n的代数式表示，n为正整数）．得A4B3=A3B3=2，得出规律，根据三角形的面积公式即可求出S n的值．解答：解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，∴OA1=1，OD=1，∴∠ODA1=45°，∴∠A2A1B1=45°，∴A2B1=A1B1=1，∴S1=×1×1=，∵A2B1=A1B1=1，∴A2C1=2=21，∴S2=×（21）2=21同理得：A3C2=4=22，…，S3=×（22）2=23∴S n=×（2n﹣1）2=22n﹣3故答案为：22n﹣3．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方三、解答题，解答对应必要的文字说明，证明过程及盐酸步骤17．（6分）（2015•达州）计算：（﹣1）2015+20150+2﹣1﹣|﹣|指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣1+1+﹣+=1﹣．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（7分）（2015•达州）化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•+=+===，∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，∴1＜a＜5，即a=2，3，4，当a=2或a=3时，原式没有意义，则a=4时，原式=1．点评：此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关四、解答题（共2小题，满分15分）19．（7分）（2015•达州）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）参加演讲比赛的学生共有40人，扇形统计图中m=20，n=30，并把条形统计图补充完整．（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），∵n%=×100%=30%，∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，∴m=20，n=30；如图：故答案为：40，20，30；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．20．（8分）（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．解答：解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意得：，解得：，则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，根据题意得：，解得：37.03≤x≤40，正整数x的值为38，39，40，当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，方案1：购买平板电脑38台，学习机62台，费用为114000+49600=163600（元）；方案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费用为117000+48800=165800（元）；方案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+48000=168000（元），则方案1最省钱．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量五、解答题（共2小题，满分15分）21．（7分）（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）解直角三角形的应用考点：分析：首∴AH=HF•tan∠AFH，即x=（x+300）•，解得x=150（+1）．∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411（米）答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，22．（8分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x 轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．考点：反比例函数综合题．分析：（1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE=OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB==，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA=x=，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y=，求出k2的值即可；（3）由题意得出方程组无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，即可求出b的取值范围．解答：解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：∴BE=OE=OB，OB⊥AC，∴∠AEO=90°，∴tan∠AOB==，∴OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得：OA=x=，∴x=1，∴AE=1，OE=2，∴OB=2OE=4，∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k1x+b得：，解得：k1=，b=2，∴一次函数的解析式为：y=x+2；∵D是OA的中点，A（﹣2，1），∴D（﹣1，），把点D（﹣1，）代入反比例函数y=得：k2=﹣，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=x+b，∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点，∴方程组无解，即x+b=﹣无解，整理得：x2+2bx+1=0，∴△=（2b）2﹣4×1×1＜0，b2＜1，解得：﹣1＜b＜1，∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，b的取值范围是﹣1＜b＜1．点评：本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求六、解答题（共2小题，满分17分）23．（8分）（2015•达州）阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2（当a=b时取等号）．阅读2：若函数y=x+；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=2时，周长的最小值为8；问题2：已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=x2+2x+10（x＞﹣1），当x=2时，的最小值为6；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）考点：二次函数的应用．分析：问题1：根据阅读2得到x+的范围，进一步得到周长的最小值；问题2：将变形为（x+1）+，根据阅读2得到（x+1）+，的范围，进一步即可求解；问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再根据阅读2得到范围，从而求解．解答：解：问题1：x=（x＞0），解得x=2，x=2时，x+有最小值为2×=4．故当x=2时，周长的最小值为2×4=8．问题2：∵函数y1=x+1（x＞﹣1），函数y2=x2+2x+10（x＞﹣1），∴=（x+1）+，x+1=，解得x=2，x=2时，（x+1）+有最小值为2×=6．问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入==10+0.01x+=10+0.01（x+），x=（x＞0），解得x=700，x=700时，x+有最小值为2×=1400，故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．故答案为：2，8；2，6．点评：考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．24．（9分）（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；（2）由DB=DA，可得=，即可得=，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD 是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．解答：解：（1）DB=DA．理由：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，∴∠MCD=∠BAD，∴∠ACD=∠BAD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAD，∴DB=DA；（2）证明：∵DB=DA，∴=，∵=，∴AF=BC，=，∴CD=FD，在△BCD和△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（SSS）；（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，∵DB=DA，∴=，∴DN⊥AB，∵∠ACM=120°，∴∠ABD=∠ACD=60°，∵DB=DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠OBA=30°，∴ON=OB=×5=2.5，∴DN=ON+OD=7.5，∴BD==5，∴AD=BD=5，∵=，∴=，∴∠ADC=∠BDF，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACD∽△EBD，∴，∴，∴DE=12.5．七、解答题（共1小题，满分12分）25．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．解答：解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得，解得．故二次函数的表达式y=x2﹣x+4；（2）如图：延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F 点，交y轴于G点，GD=GD′EF=E′F，（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE，由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．由勾股定理，得DE==，D′E′==，（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；（3）如下图：OD=．∵S△ODP的面积=12，∴点P到OD的距离==3．过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，在Et△OGF中，OG===6，∴直线GF的解析式为y=x﹣6．将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，解得：，，将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2=∴点P1（，），P2（，）如下图所示：过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，在Rt△PFO中，OG==6∴直线FG的解析式为y=x+6，将y=x+6代入y=得：x+6=解得：，y1=x1+6=，y2=x2+6=∴p3（，），p4（，）综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得。