上海市长宁区、嘉定区2019届高三下学期二模数学试卷附答案解析
即“x＝2”是“x≥1”的充分不必要条件，故选 A．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
2．参数方程
x y
3t t2
24 2
（
t
为参数，且
0
t
3
）所表示的曲线是（
）
A．直线 B．圆弧 C．线段 D．双曲线的一支 【答案】C 【解析】根据题意，由参数方程中 t 的范围分析可得 x、y 的范围，结合参数方程消去参数可得 x﹣3y＝10， 结合 x、y 的范围分析可得答案． 【详解】
【详解】
①当点
P
在
AB
上时，如图：
y
1 2
x 1
1 2
x0
x
1
.
②当点 P 在 BC 上时，如图：
∵ PB x 1 ， PC 2 x ，∴ y S正方形ABCD S ADM S ABP S PCM
1
1 2
1 2
1 2
x
1
1 2
1 2
xnr
( 1 )r x
Cnr
xn2r
．
∵展开式中的第 3 项为常数项，
∴n﹣4＝0，得 n＝4．
故答案为 4．
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
7．已知复数 z 满足 z2 = 4 + 3i （ i 为虚数单位），则 z ____________．
轨迹方程为____________．
9．已知数列{an} 是首项为1，公差为
2
的等差数列，
Sn
是其前
n
项和，则
lim
n
Sn an2
__________．
1
x 1
10．设变量满足约束条件{x y 4 0 ，则目标函数 z 3x y 的最大值为
.
x 3y 4 0
3．点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动， M 是 CD 的中点，则当 P 沿 A B C M 运动时，点
P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 的函数 y f x 的图象的形状大致是图中的（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于题中三角形在三段线段上对应面积的表达式有区别，故应分 0 x 1，1 x 2 ，2 x 2.5 三段进行讨论，表示出对应的 APM 的面积与自变量 x 的关系式，再结合图形判断即可
轨迹方程为____________．
【答案】 y2 4x
【解析】根据已知条件利用抛物线的定义，即可写出动点 P 的轨迹方程． 【详解】
不超过收益的 20%．
（1）若建立函数 y f ( x) 模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数 f (x) 模型的基本要求，
并分析 y x 2 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； 150
（2）若该团队采用模型函数
f (x) =
10x x+
3a 2
作为奖励函数模型，试确定最小的正整数
∴ bn6 bn ，即数列 bn 的周期为 6．
∴ b2018 b33662 b2 8 ．
故选 D． 点睛：本题考查数列周期性的判定和应用，考查学生的应用意识和解决问题的能力，解题的关键是通过给出
的新定义结合列举得到数列 bn 的周期，然后再利用周期求值．
二、填空题
x 3t 2 4
解：根据题意，参数方程
y
t2
2
，若 0≤t≤3，
则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
又由参数方程
x
y
3t t2
24 2
，则
y+2
1 3
（x﹣4），即
x﹣3y＝10，
又由 4≤x≤31，﹣2≤y≤7， 则参数方程表示的是线段； 故选 C． 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的转化，注意消参时 t 的取值范围．
21．已知数列{an} 的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，且满足 4Sn an 1 2 ，若数列{bn} 满足
b1 = 2,b2 = 4 ，且等式 bn2 = bn- 1bn+ 1 对任意 n 2 成立． （1）求数列{an} 的通项公式； （2）将数列{an} 与{bn} 的项相间排列构成新数列 a1, b1, a2 , b2 ,L , an, bn,L ，设该新数列为{cn} ，求数列 {cn} 的通项公式和前 2n 项的和 T2n ； （3）对于（2）中的数列{cn} 前 n 项和 Tn ，若 Tn 匙λ cn 对任意 n N * 都成立，求实数 λ 的取值范围．
15．在
ABC
中，M
是
BC
的中点，A
120 ，AB
AC
1 2
，则线段
AM
长的最小值为___________
16．若实数 、 满足 4x + 4y = 2x+ 1 + 2y+ 1 ，则 S = 2x + 2 y 的取值范围是
．
三、解答题
17．已知函数
f (x) =
整数，如
INT
0.9
0
，
INT
3.14
3 ，已知
an
INT
2 7
10n
，b1
a1 , bn
an
10an1（ n
N*
，
且 n 2 ），则 b2018 ( )
A．2
B．5
C．7
D．8
二、填空题
5．已知集合 A = {1, 2, m}, B = {2, 4}，若 A B 1, 2,3, 4 ，则实数 m ____________．
6．
x
1 x
n
的展开式中的第
3
项为常数项，则正整数
n
____________．
7．已知复数 z 满足 z2 = 4 + 3i （ i 为虚数单位），则 z ____________．
8．已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P(x, y) 到定点 (1, 0) 的距离等于 P 到定直线 x 1 的距离，则点 P 的
11．将圆心角为 2 ，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_________. 3
12．三棱锥 P ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 PB 的长为____________．
13．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出
【答案】 5
【解析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z|． 【详解】
解：由 z2＝3+4i，得|z2|＝|z|2 42 32 5，
∴|z| 5 ．
故答案为 5 ．
【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘方运算，考查了复数模的概念，是基础题．
8．已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P(x, y) 到定点 (1, 0) 的距离等于 P 到定直线 x 1 的距离，则点 P 的
一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于 6，则中一等奖，等于 5 中二等
奖，等于 4 或 3 中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．
( ) 14．已知函数 f (x) = lg x2 + 1 + ax 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是____________．
4
解析
上海市长宁区、嘉定区 2019 届高三下学期二模数学试卷
一、单选题
1．“ x 2 ”是“ x 1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：当 x＝2 时，满足 x≥1，当 x＝3 时，满足 x≥1 但 x＝2 不成立，
5．已知集合 A = {1, 2, m}, B = {2, 4}，若 A B 1, 2,3, 4 ，则实数 m ____________．
【答案】 3
【解析】利用并集概念直接求参数即可. 【详解】
∵集合 A = {1, 2, m}, B = {2, 4}，且 A B 1, 2,3, 4 ，
3．点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 的边上运动， M 是 CD 的中点，则当 P 沿 A B C M 运动时，点
P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 的函数 y f x 的图象的形状大致是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在计算机语言中，有一种函数 y INT x 叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示 y 等于不超过 x 的最大
∴m 3， 故答案为 3
【点睛】
本题考查并集概念及运算，属于基础题.
6．
x
1 x
n
的展开式中的第
3
项为常数项，则正整数
n
____________．
【答案】 4
7
【解析】写出二项展开式的通项，结合已知可得 r＝2 时，x 的指数为 0，则答案可求．
【详解】
解： Tr1
2019届上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(解析版)
2019届上海市长宁区、嘉定区高三下学期教学质量检测（二模）数学试题一、单选题1．“2x =”是“1x ≥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：当x ＝2时，满足x ≥1，当x ＝3时，满足x ≥1但x ＝2不成立，即“x ＝2”是“x ≥1”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 2．参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数，且03t ≤≤）所表示的曲线是（ ） A ．直线B ．圆弧C ．线段D ．双曲线的一支【答案】C【解析】根据题意，由参数方程中t 的范围分析可得x 、y 的范围，结合参数方程消去参数可得x ﹣3y ＝10，结合x 、y 的范围分析可得答案．【详解】 解：根据题意，参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩，若0≤t ≤3， 则有：4≤x ≤31，﹣2≤y ≤7，又由参数方程22342x t y t ⎧=+⎨=-⎩，则y +213=（x ﹣4），即x ﹣3y ＝10， 又由4≤x ≤31，﹣2≤y ≤7，则参数方程表示的是线段；故选C ．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意消参时t 的取值范围．3．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图象的形状大致是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于题中三角形在三段线段上对应面积的表达式有区别，故应分01x ≤≤，12x <≤，2 2.5x <≤三段进行讨论，表示出对应的APM ∆的面积与自变量x 的关系式，再结合图形判断即可【详解】①当点P 在AB 上时，如图：()1110122y x x x =⨯⨯=≤≤. ②当点P 在BC 上时，如图：∵1PB x =-，2PC x =-，∴ADM ABP PCM ABCD y S S S S ∆∆∆=---正方形()()1111111222222x x =-⨯---⨯⨯-1344x =-+，∴()131244y x x =-+<≤. ③当点P 在CM 上时，如图，∵ 2.5MP x =-，∴()()1152.52 2.5224y x x x =-=-+<≤. 综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y 与x 的图形．只有A 的图象是三个一次函数，且在第二段上y 随x 的增大而减小， 故选：A ．【点睛】本题考查分段函数在几何图形中的应用，将图形关系转化成函数关系，结合几何关系表示出三角形面积是解题关键，属于中档题4．在计算机语言中，有一种函数()y INT x =叫做取整函数(也叫高斯函数)，它表示y 等于不超过x 的最大整数，如()0.90INT =， ()3.143INT =，已知2107n n a INT ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，111,10n n n b a b a a -==-（*n N ∈，且2n ≥），则2018b =( ) A ．2B ．5C ．7D ．8 【答案】D【解析】分析：根据题意得到数列{}n b 项，通过观察可得数列的周期性，然后根据周期性求值即可．详解：∵2107n n a INT ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，111,10n n n b a b a a -==-（*n N ∈，且2n ≥）， ∴11222,28,?281028a b a b ====-⨯=， 同理可得3456785,7,1,4,2,8,b b b b b b ======∴6n n b b +=，即数列{}n b 的周期为6．∴20183366228b b b ⨯+===．故选D ．点睛：本题考查数列周期性的判定和应用，考查学生的应用意识和解决问题的能力，解题的关键是通过给出的新定义结合列举得到数列{}n b 的周期，然后再利用周期求值．二、填空题5．已知集合{}{}1,2,,2,4A m B ==，若{}1,2,3,4A B =，则实数m =____________．【答案】3【解析】利用并集概念直接求参数即可.【详解】 ∵集合{}{}1,2,,2,4A m B ==，且{}1,2,3,4A B =，∴3m =，故答案为3【点睛】本题考查并集概念及运算，属于基础题. 6．1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为常数项，则正整数n =____________． 【答案】4【解析】写出二项展开式的通项，结合已知可得r ＝2时，x 的指数为0，则答案可求．【详解】 解：211()r n r r r n r r n n T C x C x x--+=⋅⋅=⋅． ∵展开式中的第3项为常数项，∴n ﹣4＝0，得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．已知复数z 满足243z i =+（i 为虚数单位），则z =____________．【解析】直接把等式两边求模，然后开方即可求得|z |．【详解】解：由z 2＝3+4i ，得|z 2|＝|z |2=5，∴|z |=【点睛】本题考查了复数代数形式的乘方运算，考查了复数模的概念，是基础题．8．已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为____________．【答案】24y x =【解析】根据已知条件利用抛物线的定义，即可写出动点P 的轨迹方程．【详解】解：∵动点P （x ，y ）到定点（1，0）的距离等于P 到定直线x ＝﹣1的距离，满足抛物线的定义，∴p ＝2，所以y 2＝4x所以动点P 的轨迹方程为：y 2＝4x ．故答案为y 2＝4x ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了抛物线的定义的应用，是基本知识的考查． 9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则2lim n n nS a →∞=__________． 【答案】14【解析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式和前n 项和公式，利用极限的定义进行求解即可．【详解】等差数列的通项公式a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，前n 项和公式S n ＝n ()12n n -+⨯2＝n +n 2﹣n ＝n 2， 则222221(21)4414n n n n nS n n lim lim lim a n n n →∞→∞→∞===--+， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查数列极限的求解，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式是解决本题的关键．10．设变量满足约束条件1{40340x x y x y ≥+-≤-+≤，则目标函数3z x y =-的最大值为 . 【答案】【解析】试题分析：作出平面区域如图，易知目标函数3z x y =-在A 处取得最大值，又由得，故A(2，2)，目标函数3z x y =-的最大值为【考点】线性规划11．将圆心角为23π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_________.【答案】3【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，223,33l l ππ=⨯∴=，又223,1,3rr ππ=⨯∴=∴圆锥的高是h ==∴圆锥的表面积是24S rrl πππ=+=，圆锥的体积是22111333V r h ππ==⨯⨯⨯=，故答案为3. 12．三棱锥P ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱PB 的长为____________．【答案】【解析】由主视图知CP⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CP长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BP的长．【详解】解：由主视图知CP⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CP＝4，BE＝在Rt△BCE中，BC==4，在Rt△BCP中，BP==．故答案为【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．13．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．【答案】7 16【解析】基本事件总数n＝4×4＝16，利用列举法求出顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有7种，由此能求出顾客抽奖中三等奖的概率．【详解】解：规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，基本事件总数n＝4×4＝16，顾客抽奖中三等奖包含的基本事件有：（0，3），（3，0），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2），共7种， ∴顾客抽奖中三等奖的概率为p 716=． 故答案为716． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】根据对数函数的真数大于0ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg ax ）的定义域为R ，ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ； 令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题． 15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________ 【答案】12【解析】由1()2AM AB AC =+平方得：2221(1)4AM AB AC =+-，再由AB AC ⋅uu u r uuu r 可得||||1AB AC ⋅=，进而利用基本不等式可得最小值.【详解】 由1()2AM AB AC =+平方得：2222211(2)(1)44AB A AM AB AC AB AC C =++=+-⋅. 又11||||cos120||||22AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，所以||||1AB AC ⋅=. 所以222221111(2)(1)(2||||1)4444AB AC AM AB AC AB AC AB AC ⋅=++=+-≥⋅-=.当且仅当||||1AB AC ==时，AM 取最小值12. 故答案为：12. 【点睛】 本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.16．若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ．【答案】24S <≤【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222x y S S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=。
2019学年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)
年开始，每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的
50%．现用 an （ n N* ）表示 A 型车床在
第 n 年创造的价值．
（1）求数列 { an} （ n N * ）的通项公式 an ；
（2）记 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和， Tn Sn ．企业经过成本核算，若 Tn 100 万元，则继
且 m 1 ，2 ，…，n ）时， f ( x) fm ( x) ．试研究关于 x 的方程 f ( x) kn x（ 0 ≤ x ≤ n ， n N* ）的实数解的个数（这里的 kn 是（ 2）中的 kn ），并证明你的结论．
— 4—
2019 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷（理科）
n 续使用 A 型车床，否则更换 A 型车床．试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床？
（已知：若正数数列 { bn } 是单调递减数列，则数列
b1 b2 n
bn 也是单调递减
数列）．
— 3—
22．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 6 分．
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 4 分．
[解 ]（ 1）解法一：设 BC 的中点 D ，联结 AD ， PD ，易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中，
PD BC ， AD BC ，故 PDA 为二面角 P BC A 的平面角．
1 11．
3 14． (4,6)
12． 14
二 、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
精品解析：【区级联考】上海市嘉定(长宁)区2019届高三第二次质量调研(二模)数学试题(解析版)
嘉定（长宁）区高2019届三第二次质量调研（二模）数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．6.已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．8.学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【解析】【分析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．10.在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．11.已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】【分析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．12.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知,则“”是“”的．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14..产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A. 年第三季度环比有所提高B. 年第一季度同比有所提高C.年第三季度同比有所提高D.年第一季度环比有所提高【答案】C 【解析】 【分析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确； 2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．15.已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模-数学(文)
上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模-数学（文）上海市长宁、嘉定区2018届高三下学期二模数学〔文〕试题一、填空题〔本大题总分值56分，共14小题，每题4分〕1、函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________、2、假设关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，那么实数=m _________、3、〔文〕集合{}{}Z x x B a A x ∈<<=-=,931,,0,1，假设AB ≠∅，那么实数a 的值 是 、4、复数z 满足1i z -＝3，那么复数z 的实部与虚部之和为__________、5、求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________、6、向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过57、设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，那么a = 、8、〔文〕135sin ,53)cos(-==-ββα，且 )0,2(),2,0(πβπα-∈∈，那么=αsin _____、9、〔文〕如图是一个算法框图，那么输出的k 的值是____________、 10、〔文〕设函数21x y -=的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________、11、〔文〕从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，那么选出3人中至少有名女生的概率是__________、12、〔文〕函数x x x x f 4|4|)(22-+-=的单调递减区间是___________、 13.〔文〕 变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 假设目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，那么实数a 的取值范围_______________.14、〔文〕设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，假设自然数,...,...,21k n n n 文第9题满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，那么k n =_______________.二、选择题〔本大题总分值20分，共4小题，每题5分〕15. ),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，那么OA OB ⊥的充要条件是 〔 〕A 、12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = A 、假设,,//m l =⋂βαα那么m l //B 、假设,//,ααm l ⊥那么m l ⊥C 、假设,//,//ααm l 那么m l //D 、假设l m l ⊥,//α，那么α⊥m17.过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线〔〕A 、存在一条，且方程为210x y --=B 、存在无数条C 、存在两条，方程为()210x y ±+=D 、不存在18.〔文〕函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x 〔〕A 、有最小值0，无最大值B 、有最小值1-，无最大值C 、有最大值1，无最小值D 、无最小值，也无最大值三、解答题〔本大题总分值74分，共5小题〕19.〔文〕〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的表面积为24π，2OA =，120AOP ∠=︒、〔1〕求三棱锥1A APB -的体积；〔2〕求异面直线1A B 与OP 所成角的大小、〔结果用反三角函数值表示〕、20.〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列、〔1〕求证：03B π<≤； 〔2〕求1sin 2sin cos B y B B+=+的取值范围、 21.〔此题总分值14分，第1小题总分值4分，第2小题总分值10分〕设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数、1A 1A〔1〕求k 的值；〔2〕〔文〕假设0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围、22.〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题总分值6分〕如图，点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕〔文〕过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作方向向量为)1,(a d =→的直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，问是否存在实数a 使得FB FA ⊥？假设存在，求出a 的范围；假设不存在，请说明理由；〔3〕〔文〕在问题〔2〕中，设线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围、23、〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题6分〕〔文〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对于任意*N ∈n ，总有)1(2-=n n a S 、 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成等差数列，当公差d 满足43<<d 时，求n 的值并求这个等差数列所有项的和T ；〔3〕记)(n f a n =，如果)log (2m n f n c n ⋅⋅=〔*N ∈n 〕，问是否存在正实数m ，使得数列}{n c 是单调递减数列？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由、参考答案【一】填空题〔每题4分，共56分〕1、π2。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案
2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I 【答案】{2}【解析】本题考察了集合的交集问题 2. 线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】125318-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】本题考察了增广矩阵的概念3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于 【答案】4π【解析】圆柱的侧面积24S rl ππ==4. 在5(2)x -的二项式展开式中，3x 的系数为【答案】40【解析】含3x 的项为23235(2)40C x x -=5. 若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为【答案】3【解析】由线性规划画图可得：(2,1)时z 取得最大值为3 6. 已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于 【答案】43π 【解析】由主视图的面积是π，可得1r =，则体积34433V r ππ== 7、设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，11a =,236a a +=,则6S = 【答案】63【解析】()()6261126026312q q q q S -+=>⇒=⇒==-8、 已知函数()()2log a f x x =+0a >（，且1)a ≠的反函数为()1y f x -=，若()13f -2=，则a = 【答案】2【解析】()()()()11323232log22af ff f a --=⇒=⇒=+⇒=9、设z C ∈,290z +=，则4z -= 【答案】5【解析】345z i z =±⇒-=10、从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 【答案】47【解析】33438247C C =g 11、设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线{3cos sin x t y t θθ=+=t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u r g 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=12、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若222sin a b c A ++=，则A =____ 【答案】3π【解析】31)3sin(2)3sin(2sin 32cos 2222222222πππ=⇒=+∴≥+=+∴=++-+=++A A bcc b A bc Abc c b A bc c b c b a ）（二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x R ∈，则1x ‘＞’是21x -‘＜’的（ ） 【A 】充分非必要条件 【B 】 必要非充分条件 【C 】 充要条件 【D 】 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解不等式由子集与推出关系可得14.下列函数中，既是()0+∞，上的增函数，又是偶函数的是（ ） 【A 】1y x=【B 】2x y = 【C 】1y x =- 【D 】lg y x = 【答案】D【解析】 A 在()0+∞，内是增函数也是奇函数，B 非奇非偶，C 单调递减，D 符合题意 15、如图，若正方体1111D C B A ABCD -的侧面11B BCC 内动点P 到棱11B A 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为( )【A 】椭圆 【B 】双曲线 【C 】抛物线 【D 】圆 【答案】C【解析】由图易知，1PB 就是点P 到直线11B A 的距离，现在问题转化成在平面内到定点的距离与到定直线距离距离相等点的轨迹，选C16、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是2和n a 的等差中项，若对任意的*∈N n ,都有[]t s S S nn ,12∈-，则s t -的最小值是 （ ）【A 】32 【B 】49 【C 】21 【D 】61 【答案】B 【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈→-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=---23,342,23)31(212364646411111n n n n n n n n S n S n S a S a S a S 为偶数，为奇数， 4921234134313)(=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=-⨯=⇒-=s t t s S S S f n n n 单调递增三．解答题（本题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第一题满分6分，第二题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ABCD ⊥. （1）求四棱锥P ABCD -的体积.（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【答案】（1）12 （2）5arctan3【解析】因为，所以DC PD ⊥． 又因为 5,3==PC DC ，所以422=-=DC PC PD ，……………………2分所以四棱锥ABCD P -的体积为124333131=⨯⨯⨯=⋅=PD S V ABCD ．……………………………………………………6分（2）解法1：由题意得 AD ∥BC ，所以直线BC 与所成的角就是异面直线与所成的角．………2分PD ABCD ⊥平面BP AD BP……………5分 在中，35tan ==∠BC PC PBC ，35arctan =∠PBC ．所以异面直线与所成角的大小为35arctan ．…………………………8分 解法2：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,0(D ，)0,0,3(A ，)0,3,3(B ，)0,3,0(C ，)4,0,0(P ． …………………2分所以)0,0,3(-=AD ，）（4,3,3--=BP ．……………4分 设异面直线AD 与BP 所成的角为θ，向量AD 与BP 所成的 角为ϕ，因为3434334340)3(0)3(3cos =⨯⨯+-⨯+-⨯-=⋅⋅=BPAC BP AC ϕ，……………6分又 34343cos cos ==ϕθ，所以 34343arccos =θ． 即所求异面直线AC 与D C 1所成角的大小为 34343arccos ．………………………8分18．（本大题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分） 设常数a R ∈，函数2()3sin 2cos f x x a x =+（1） 若(x)f 为奇函数，求a 的值；（2） 若()36f π=，求方程()2f x =在区间[]0,π上的解。
2019届长宁嘉定区高三二模数学Word版
上海市长宁嘉定区2019届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{|26}B x x =<<，则AB =________2. 已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则||z =________3. 已知线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，解为11x y =⎧⎨=⎩，则m n +=________ 4. 在7(1)x +的二项展开式中，5x 项的系数为________ 5. 已知圆锥的主视图为图所示，则该圆锥的侧面积是________6. 已知实数x 、y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为________7.设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务 活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________（结果用数值表示） 9. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________10. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________11. 已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 所有项的和为(1)S ，第二及以后所有项的和 为(2)S ，⋅⋅⋅ ，第n （1n m ≤≤）及以后所有项的和为(2)S ，若(2)S 是首项为1公差为2 的等差数列前n 项的和，则当1n m ≤<时，n a =________12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“11x>”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折 线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（ ）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高 15. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分 16. 对于△ABC ，若存在△111A B C ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称△ABC 为“V 类三角形”，“V 类三角形”一定满足（ ）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1A B 与底面ABCD 所成角为4π. （1）求三棱锥1A BCD -的体积； （2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 在[0,]2π上的递减区间.19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用 为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱20. 已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过2F 的直线l 与椭圆Γ交于 P 、Q 两点.（1）求△1F PQ 的周长；（2）设点A 为椭圆Γ的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上，若1123F M F P =，求点P 的横坐标；（3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴的对称点，直线QR 与x 轴交于点N . 求△2QF N 面积的最大值.21. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=. （1）若23nn a n =-，写出1b 、2b 、3b 、4b 的值；（2）设2nn a n λ=-，若33b =-，求λ的值，及4n ≥时数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：“数列{}n a 是等差数列”的充要条件是“数列{}n b 是等差数列”.参考答案一. 填空题1. {3,4}2. 53. 34. 215. 3π6. 27. 1x =8.7109. 8 10. 4311. 21n -- 12. [0,3]二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 解：（1）因为1111ABCD A B C D -是正四棱柱，所以底面ABCD 为正方形，1A A ⊥平面ABCD ， ………………1分 所以1A BA ∠就是1A B 与底面ABCD 所成角，即14A BA π∠=. ………………3分进而得11A A =， ………………4分111136A BCD BCD V A A S -∆=⨯⨯= ………………8分（2）因为11//A D B C ，所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成角， ……………………2分由11A D DB A B ===13BA D π∠=所以异面直线1A B 与1B C 所成角为3π……………………………4分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为02πα<<，且sin 2α=，所以cos α==， ………………3分所以()1122222f α=+-= ………………6分 （2）()21sin cos cos 2f x x x x =+-11sin 2cos 222x x =+ ………………1分)24x π=+ ………………3分 所以()f x 的最小正周期为π ………………5分 当02x π≤≤时，52444x πππ≤+≤， 再由52244x πππ≤+≤得，82x ππ≤≤， 函数()f x 在[]0,π上的递减区间为[,]82ππ………………7分19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元．……2分 设隔热层建造厚度为x 毫米，则()40800()20660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++ ………………………7分 （2）()800(610)10107035f x x x =++-≥=+ …………………3分 当80061035x x =++，即5x =时取等号所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元. …………………5分 如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元. …………………7分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）椭圆22:143x y Γ+=的长轴长为4， 由椭圆定义知，1F PQ ∆的周长为8； ………………4分 （2）由椭圆方程得(A ，()11,0F -，()20,1F ， ………………2分 设()11,P x y ，()22,M x y ， 由1123F M F P =，得()212113x x +=+，2123y y =， ① ………………3分 点M 线段2AF 上，所以22,x y满足方程为)221y x =- ………………4分将①式代入，得)112y x =-， ………………5分代入椭圆方程，得21156120x x -+=，因为10x >，所以165x =. ………………6分 （3）设()11,P x y ，()33,Q x y ，(),0N n ，直线l 的方程为()1y k x =-. 则点R 的坐标为()11,x y -，直线QR 的方程为()313331y y y x x y x x +=-+-，()()33113133113331311322y x x x x x x x y x y n x y y y y x x --++=-==+++- …………3分 将直线方程代入椭圆方程得：()22223484120k x k x k +-+-=，则2132834k x x k +=+，213241234k x x k-=+，所以2222222(412)8343448234k k k k n kk--++==-+ ， ………………5分 ()131412QF N S y ∆=⨯-⨯≤所以2QF N ∆面积的最大值为2. ………………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）因为23nn a n =-，所以11a =-，22a =-，31a =-，44a =.所以11b =-，232b =-，332b =-，41b =. ………………4分 （2）12a λ=-，242a λ=-，383a λ=-. 当2λ≤时，123a a a ≤<，13332a a b +==-，无解； 当23λ<≤时，213a a a <≤，23332a ab +==-，无解； 当34λ<≤时，231a a a ≤<，12332a ab +==-，解得4λ=； 当4λ>时，321a a a <<，13332a ab +==-，无解. ………………2分 此时24nn a n =-，12a =-，24a =-，34a =-，40a =，当4n ≥时，1240nn n a a +-=->，所以当4n ≥时{}n a 递增，132222n nn a a b n -+==--， ………………4分 12b =-，23b =-，33b -，42b =-，所以当4n ≥时，2232n n S n n =--+ ………………6分（3）必要性：数列{}n a 是等差数列，设其公差为d .当0d >时{}n a 是递增数列；当0d =时{}n a 是常数列；当0d >时，{}n a 是递减数列； 都有12n n a a b +=，1111222n n n n a a a a db b -+++-=-=，所以数列{}n b 是等差数列. ………………2分 充分性：数列{}n b 是等差数列，设其公差为*d . 则*11122n n n nn n M M m m b b d +++---=+=， 由题意知，1n n M M +≥，1n n m m +≤. .…………3分 当*0d >时，1n n M M +>对任意*n N ∈都成立， 即11n n n n M a M a ++=>≥，所以{}n a 是递增数列，n n M a =，1n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 .………5分 当*0d <时，1n n m m +<，进而11n n n n m a m a ++=<≤， 所以{}n a 是递减数列，1n M a =，n n m a =，*111222n n n n n nM M m m a a d +++---=+=，所以{}n a 是公差为*2d 的等差数列 ……………6分 当*0d =时，11022n n n nM M m m ++--+=， 因为1n n M M +-与1n n m m +-中至少有一个为0，所以二者都为0. 进而得{}n a 为常数列.综上，充分性成立. ……………8分。
【上海长宁、嘉定二模】上海市长宁、嘉定区高三下学期二模数学(理)试题 Word版含答案[ 高考]
上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟数学（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ． 4．已知复数z 满足1iz -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________．6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ．8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值是 _______． 9．（理）已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则 ______sin =α．10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________． 理第8题，13.（理）函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是 （ ） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是 ( )三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值； （2）（理）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a xg xx ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．（文）若0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD为等边AB CD三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．数学理（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。
2019届上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研(二模)数学试题(解析版)
2019届上海市嘉定（长宁）区高三第二次质量调研（二模）数学试题一、单选题1．已知,则“”是“”的．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解不等式简化条件，结合充分必要性定义即可作出判断.【详解】解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的解法、充分必要性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的年至年第季度我国工业产能利用率的折线图（％）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年第二季度与年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如二季度与年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )A．年第三季度环比有所提高B．年第一季度同比有所提高C．年第三季度同比有所提高D．年第一季度环比有所提高【答案】C【解析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．【详解】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．3．已知圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆两点，点在点与点之间。
过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】C【解析】根据题意可得PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．【详解】解：可得圆（x﹣2）2+y2＝9的圆心为C（2，0），半径为R＝3．如图，∵CB＝CA＝R＝3，∴∠CBA＝∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA＝∠CAB＝∠PMA，∴PM＝PB＝PC+BC⇒PM﹣PC＝BC＝3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了定义法求轨迹方程，考查了数形结合思想，属于中档题.4．对于，若存在，满足，则称为“类三角形”.“类三角形”一定满足（）A．有一个内角为B．有一个内角为C．有一个内角为D．有一个内角为【答案】B【解析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，A，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C，即：tan C＝1，解得：C＝45°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．二、填空题5．已知集合，则__________．【答案】【解析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．6．已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7．若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．8．在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，考查了计算能力，属基础题．10．已知实数满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，﹣1）．化z＝x+2y为y x，由图可知，当直线y x过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝0+2×（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．设函数(其中为常数)的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为__________．【答案】【解析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a＝1．∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．故答案为：x＝1．【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．12．学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为____________(结果用数值表示)【答案】【解析】基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．【详解】解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．已知直线（为参数）与抛物线相交于两点，若线段中点的坐标为，线段的长为__________．【答案】【解析】化简直线的参数方程为普通方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出m，通过弦长公式求解即可．【详解】解：直线（t为参数），可得直线的方程y＝k（x﹣1），k＝tanα，把直线的方程代入抛物线方程可得：ky2﹣4y﹣4k＝0，直线（t为参数）与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，设A（，），B（，），线段AB中点的坐标为（m，2），可得+＝4，解得k＝1，y2﹣4y﹣4＝0，＝﹣4，线段AB的长：•8．故答案为：8．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．14．在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为__________．【答案】【解析】利用A，P，D三点共线可求出m，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．【详解】解∵∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴，又∵．∴，即CA•CB＝8．∴∴．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15．已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为第项及以后所有项和为，若是首项为，公差为的等差数列的前项和，则当时，__________．【答案】【解析】设数列{}的前n项和为T n，则S（n）＝T m﹣T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到的表达式．【详解】解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）＝n n2，则＝S（n）﹣S（n+1）＝n2﹣（n+1）2＝﹣2n﹣1，故填：﹣2n﹣1．【点睛】本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若对于属于都有，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．【详解】解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．设g（x），若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）∈[，]．故g（x）∈[，]．①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t，]⊆[，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t﹣1，]⊆[，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t]⊆[，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．三、解答题17．已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）（2）【解析】（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA，进而AA1＝AB＝1，由此能求出三棱锥A1﹣BCD的体积；（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小．【详解】解：（1）因为是正四棱柱，所以底面为正方形，平面，所以就是与底面所成角，即，进而得，，（2）因为,所以就是异面直线与所成角，由知，所以异面直线与所成角为.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知函数，(1)若，且，求的值；(2)求函数最小正周期及函数在上单调递减区间.【答案】（1）（2）周期为，【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值；（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．【详解】解：（1）因为，且,所以，所以（2），，所以的最小正周期为当时，，再由得，，函数在上的递减区间为【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．19．为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚万元，且每年的能源消耗费用(万元)与隔热层厚度(毫米)满足关系，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.(1)请解释的实际意义，并求的表达式;(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少?并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱?【答案】（1）（2）90【解析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．【详解】解：（1）表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元，设隔热层建造厚度为毫米，则，（2）当，即时取等号所以当隔热层厚度为时总费用最小万元，如果不建隔热层，年业主将付能源费万元，所以业主节省万元.【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于（1）求的周长（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴对称点，直线与轴交于点求面积的最大值.【答案】（1）8（2）（3）【解析】（1）由椭圆定义可得结果；（2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标；（3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果.【详解】解:（1）椭圆的长轴长为由椭圆定义知，的周长为；（2）由椭圆方程得，设，由，得，①点线段上，所以满足方程为②将①式代入②，得，代入椭圆方程，得，因为，所以（3）设，直线的方程为，则点的坐标为，直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程得：，则，所以，，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题．21．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令求(1)若，写出的值;(2)设，若，求的值及时数列的前项和；(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列 .【答案】（1），（2）见解析（3）见解析【解析】（1）分别计算出，，，结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d为何值，始终有b n，即可证得结果，必要性须分类证明．【详解】解：（1）因为，所以，所以，（2），当时，，无解；当时，，无解；当时，,解得；当时，无解，此时，当时，，所以当时递增，，所以当时，（3）必要性：数列是等差数列，设其公差为.当时是递增数列；当时是常数列；当时，是递减数列；都有，所以数列是等差数列.充分性：数列是等差数列，设其公差为则，由题意知，，当时，对任意都成立，即，所以是递增数列，，所以是公差为的等差数列，当时，，进而所以是递减数列，，，所以是公差为的等差数列当时，，因为与中至少有一个为，所以二者都为，进而得为常数列，综上，充分性成立.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。
2019届上海市嘉定(长宁)区高三二模考试数学试卷及解析
2019届上海市嘉定（长宁）区高三二模考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则__________．【答案】【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2.已知复数满足（是虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由i＝3+4i，得，∴|z|＝||．故答案为：5．3.若线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则__________．【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值，从而求出结果．【详解】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值而线性方程组的增广矩阵为，可直接写出线性方程组为即把x＝1，y＝1，代入得，解得＝3．故答案为：4.在的二项展开式中，常数项的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出【详解】解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1x4﹣r x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴常数项6．故答案为：6．5.已知一个圆锥的主视图(如图所示)是边长分别为的三角形，则该圆锥的侧面积为_________.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π再代入侧面积公式可得．【详解】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以底面周长为4π，侧面积为5×4π＝10π，故答案为：10π．。