第3章3 频域采样定理
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。
它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。
1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。
采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。
采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。
如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。
2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。
这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。
通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。
采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。
这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。
图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。
在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。
3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。
然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。
为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。
第3章 信号的采样与重构(1-2)
虽然自然界中存在离散时间信号，但是最 常见的还是连续时间信号。
采样
连续时间信号的处理分析往往经由对之采 样后的离散时间序列处理完成的。
计算机
利用离散处理后的结果往往需要在连续域 表达出来，便于接收和理解
重构
本章要解决的问题
采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？ 如何无失真恢复原始信号？ 时域采样导致了信号频域发生了何种变化？ 采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行 速率的变化？ 离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？ 如何提高信号处理的性能？
xc (nT ) (t nT )e
j ( T ) n
j t
dt
X ( j) | T X s ( j) X ( j) X s ( j) | / T
1 2k X ( j ) X c ( j j ) | / T T n T 1 ( 2k ) Xc( j ) T n T
跟踪滤波器
xn (t )
采样
xn (n)
f 0n
2n 1 B 2
f S 2B
当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就 先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所 感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混 叠，亦称之为抗混叠滤波器。 如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对 全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分 析，这正是软件无线电的根本出发点。
( n
0
)
1 Xs() Xc() * S () 2 1 Xc() * ( n 0 ) T 1 T
采样定理的内容
采样定理的内容
采样定理（Nyquist-Shannon采样定理）是指：如果一个连续时间信号的最高频率为f_{max}，则其采样频率F_s必须大于等于2f_{max}，否则会出现采样失真。
采样定理是数字信号处理中的基础知识，对于在离散时间上进行信号处理和传输的系统非常重要。
采样定理的主要内容包括以下两个方面：
1. 采样频率必须大于等于信号最高频率的两倍：如果采样频率不足以重建信号，则会出现混叠效应（aliasing），即高频部分出现在低频部分的重建信号中，从而导致数据失真。
2. 采样定理是一个必要条件，而不是充分条件：即使采样频率大于信号最高频率的两倍，仍可能存在失真，如过渡带波纹和时间延迟等问题。
因此，在实际应用中，需要进行滤波和插值等后处理来提高采样精度和信号重建质量。
采样定理的应用范围非常广泛，例如，它是数字音频、图像和视频信号处理中的重要原理之一，也是无线通信系统中频谱分析和调制解调等技术的基础。
时域采样与频域采样定理的验证实验
实验一 时域采样与频域采样定理的验证实验1. 实验目的(1) 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；(2) 要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
2. 实验原理与方法时域采样定理的要点是：① 对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱 会以采样角频率Ωs （Ωs=2π/T ）为周期进行周期延拓。
公式为② 采样频率Ωs 必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便在计算机上进行实验。
理想采样信号 和模拟信号()a x t 之间的关系为：对上式进行傅里叶变换，得到：上式中，在数值上x a (nT)＝x(n)，再将ω=ΩT 代入，得到：上式的右边就是序列的傅里叶变换，即上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用ΩT 代替即可。
频域采样定理的要点是：① 对信号x(n)的频谱函数在［0，2π］上等间隔采样N 点，得到:ˆ(j )a X Ωa a a s 1ˆˆ(j )FT[()](j j ) k X xt X k T ΩΩΩ∞=-∞==-∑a ˆ()x t a a ˆ()()()n xt x t t nT δ∞=-∞=-∑j a aˆ(j )[()()]e d t n X x t t nT t ΩΩδ∞∞--∞=-∞=-∑⎰j a ()()e d t n x t t nT tΩδ∞∞--∞=-∞-∑⎰＝j aaˆ(j )()enTn X x nT ΩΩ∞-=-∞=∑j aˆ(j )(e )TX X ωωΩΩ==j 2π()(e ), 0,1,2,,1N kNX k X k N ωω===-则N 点IDFT ［X N (k)］得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为② 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT ［X N (k)］得到的序列x N (n)就是原序列x(n), 即x N (n)=x(n)。
关于频域采样定理的理论证明和验证
关于频域采样定理的理论证明和验证作者：陈艾伦来源：《中国新通信》2012年第14期1引言采样的理论基础是采样定理。
它在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁，为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了依据。
而采样定理又分为时域采样定理和频域采样定理。
时域采样定理大家都比较熟悉，笔者发现频域采样定理对于初学者较为陌生，因此在这里着重证明和验证频域采样定理。
2频域采样定理的理论证明我们以冲激取样为例，设有一个信号f（t）为有限时间信号（简称时限信号），我们假设它在时间区间（-tm，tm）以外为零。
f（t）的频谱函数为F（jw），且为连续谱。
我们对连续谱F（jw）进行间隔为ws的冲激采样，抽样函数的数学形式为：啄ws（w）=∑∞n=-∞δ（w-nws）取样后信号fs（t）的频谱函数为：Fs（jw）= F（jw）∑∞n=-∞δ（w-nws）=∑∞n=-∞F（jnws）δ(w-nws)有限时间信号f（t）的频谱函数在被间隔为ws的冲激序列采样之后，则被采样之后的频谱函数Fs（jw）所对应的时域信号fs（t）以Ts为周期而重复。
所以为了从fs（t）中无失真地恢复f（t），我们在时域上选择一个理想的低通滤波器与fs（t）相乘，得到其在区间（-Ts/2，Ts/2）的一个周期。
在这里我们设理想低通滤波器的频率响应的幅度为ws，截止时间为tm（tm≤Ts/2），即3频域采样定理最后我们可以得到著名的频域采样定理：一个在时间区间（-tm，tm）以外为零的有限时间信号f（t）的频谱函数F（jw），可唯一地由其在均匀频率间隔fs（fsF（jw）=∑∞n=-∞F（jnπ/tm）·Sa（w·tm-nπ）其中tm=1/（2fs）。
4频域采样定理的matlab验证对频谱函数X（ej棕）=FT[x（n）]在区间[0，2仔]上等间隔32点采样，得到X32（k）。
再对X32（k）进行32点IFFT。
分别画出X（ej棕）、X32（k）的幅度谱，并绘图显示x（n）、X32（n）的波形。
采样定理的内容
采样定理的内容
采样定理（Nyquist-Shannon采样定理）是指在进行离散化的
信号处理时，必须保证采样频率不小于信号最高频率的二倍，才能避免信号失真。
具体内容如下：
1. 模拟信号的采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍，即 $f_s \geq 2f_{max}$。
2. 若采样频率等于最高频率的两倍，则可完全重构模拟信号。
3. 若采样频率小于最高频率的两倍，则会产生混叠现象，引入新的频率成分，导致信号失真。
4. 信号失真的程度取决于混叠现象引入的新频率成分的强度和分布情况。
5. 采样定理是数字信号处理中非常重要的基础原理之一，它对于数字滤波、信号重构等领域都具有重要的影响和指导作用。
采样定理的证明与推导
采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。
设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。
所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。
从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。
采样定理由此证毕。
采样定理简介
关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
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3.3 频域采样定理
三、x N (n) 与 x(n) 的关系
xN (n) = IDFT[X (k )],
x N ( n) = ~ ( n) ⋅ R N ( n ) = x
∞
n=0,1,⋯ , N − 1
r = −∞
∑ x(n + rN ) ⋅ R
N
( n)
x N (n)与 x(n) 的关系为： 的关系为：
线性卷积与循环卷积
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算线性卷积 2、用DFT计算线性卷积
h(n) 补 L－ N 个 零 点 L 点 DFT
L点 IDFT x(n) 补 L－ M 个 零 点 L 点 DFT
y(n)
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
k =0 +∞
=
∑ h ( n ) *[ x ( n ) ⋅ R
k =0
+∞
M
( n −kM )] =
∑y
k =0
+∞
k
(n)
3.4 离散傅立叶变换的应用
h(n) 0 n N x 0(n) M y 0(n) N＋ M－ 1
N－ 1
x 1(n) M
x 2(n) M
n
n
y 1(n) N＋ M－ 1 y 2(n) N＋ M－ 1 y(n)＝ y 0(n)＋y 1(n)＋y 2(n)＋ … 2M 3M ＋ N － 1 M
序列的循环卷积定理： 序列的循环卷积定理：
若Y (k ) = X (k ) ⋅ H (k ) 则y (n) = x(n) ⊗ h(n)
本次课的主要内容
本次课的主要内容： 本次课的主要内容：
频域采样定理； 频域采样定理； 利用DFT计算序列的线性卷积。 DFT计算序列的线性卷积 利用DFT计算序列的线性卷积。
h(n)
x(n)
重 叠 保 留 法
小
结
频域采样定理； 频域采样定理； 用DFT计算序列的线性卷积 DFT计算序列的线性卷积 重叠相加法、 重叠相加法、重叠保留法
小
作业
结
P93： ： 13、 、
14、 、
18
第3章 章 离散傅立叶变换
回顾上次课的主要内容
序列的循环移位性质： 序列的循环移位性质：
若只观察区间0≤n≤N- 这一主值区间时， 若只观察区间0≤n≤N-1这一主值区间时， 当序列移位ｍ位时， 当序列移位ｍ位时，从一端移出主值区间的序 列值，又从另一端按顺序依次移进主值区间内。 列值，又从另一端按顺序依次移进主值区间内。
n
n
0
n
h(n)
x(n)
重 叠 相 加 法
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
3、无限长序列的线性卷积 (2)重叠保留法： (2)重叠保留法： 重叠保留法 步骤： 步骤： 将x(n)分段，各段长M，前一段与后一段有N-1 x(n)分段，各段长M 前一段与后一段有N 分段 点重叠； 点重叠； 以每段的起点为原点作L=N+M 点循环卷积； L=N+M以每段的起点为原点作L=N+M-1点循环卷积； 各段前(N 1)个点丢掉 第一段除外) 后面(N (N- 个点丢掉( (N各段前(N-1)个点丢掉(第一段除外)，后面(N-1) 个也丢掉(最后一段除外) 相加得：h(n)*x(n)。 个也丢掉(最后一段除外)，相加得：h(n)*x(n)。
目的要求： 目的要求：
理解频域采样定理； 理解频域采样定理； 了解用DFT计算线性卷积的方法。 DFT计算线性卷积的方法 了解用DFT计算线性卷积的方法。
3.3 频域采样定理
回顾时域采样定理
连续信号与理想采样信号频谱之间的关系： 连续信号与理想采样信号频谱之间的关系：
1 ∞ ˆ X a (jΩ ) = ∑ X a (jΩ − jkΩ s ) T k = −∞
为了唯一、不失真地恢复原连续信号， 为了唯一、不失真地恢复原连续信号，采样 频率与信号最高截止频率之间的关系： 频率与信号最高截止频率之间的关系：
Ω s ≥ 2Ω c
3.3 频域采样定理
两个问题： 两个问题：
1.原时域序列和由频域采样信号恢复地时 1.原时域序列和由频域采样信号恢复地时 域序列的关系是什么？ 域序列的关系是什么？ 2.为了唯一、不失真地恢复原时域序列， 2.为了唯一、不失真地恢复原时域序列， 为了唯一 采样速率与原信号时宽的关系是什么？ 采样速率与原信号时宽的关系是什么？ 即时域采样点数和频域采样点数之间的 关系？ 关系？
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理
2、说明 时域采样定理和频域采样定理具有对偶性： 时域采样定理和频域采样定理具有对偶性： 一个域的采样，导致另一个域的周期延拓； 即：一个域的采样，导致另一个域的周期延拓； 为了不失真地恢复原信号， 为了不失真地恢复原信号，时域采样要求信 有限带宽，频域采样要求信号有限时宽 有限时宽； 号有限带宽，频域采样要求信号有限时宽； 根据时宽----带宽不确定原理：时宽×带宽=1 =1， 根据时宽----带宽不确定原理：时宽×带宽=1， 时宽----带宽不确定原理
3、无限长序列的线性卷积 将长序列分段计算：重叠相加法、 将长序列分段计算：重叠相加法、重叠保留法 (1)重叠相加法： (1)重叠相加法： 重叠相加法 x(n)均匀分段 每段长度取M 均匀分段， 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则：
y ( n ) = h ( n ) * x ( n ) = h ( n ) * ∑ xk ( n )
采样信号X (k ) 的反变换 x N (n) 实际上是原序 以周期Ｎ 列 x(n) 以周期Ｎ进行周期延拓得到的周期序列 的主值序列。 的主值序列。
3.3 频域采样定理
3.3 频域采样定理
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理 回答上述两个问题： 回答上述两个问题：
(1)对一个频域采样信号，其对应的时域信号是 (1)对一个频域采样信号， 对一个频域采样信号 原时域信号周期延拓形成的； 原时域信号周期延拓形成的； 周期延拓形成的 (2)采样后若能不失真地恢复原信号， (2)采样后若能不失真地恢复原信号，采样速率 采样后若能不失真地恢复原信号 必须大于或等于原信号的时宽； 必须大于或等于原信号的时宽；即频域采样 点数必须大于时域采样点数； 点数必须大于时域采样点数；
3.4 离散傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算循环卷积 1、用DFT计算循环卷积 由时域循环卷积定理
y ( n ) = x1 ( n ) ⊗ x2 ( n ) ⇔ Y ( k ) = X 1 ( k ) ⋅ X 2 ( k )
用DFT计算循环卷积 DFT计算循环卷积
3.4 离散傅立叶变换的应用
3.3 频域采样定理
四、频域采样定理
1、频域采样定理的内容 列长为Ｍ，对它的ｚ Ｍ，对它的 对于有限长序列 x(n) ，列长为Ｍ，对它的ｚ 变换在单位圆上等间隔采样Ｎ点，得到 X (k ) ，只 变换在单位圆上等间隔采样Ｎ 有当Ｎ Ｍ 有当Ｎ≥Ｍ时， x N (n) = IDFT[ X (k )] = x(n) 即可以由频域采样恢复原序列 x(n) ，否则产 生时域混叠现象。 生时域混叠现象。
3.3 频域采样定理
二、频域采样信号
DFT与ZT的关系 的关系： 由DFT与ZT的关系：
X (k ) = X (z )
z =e
2π = j k N
n =−∞
∑
∞
x(n)WNkn ,
k = 0,1,⋯ , N − 1
就是对 x(n) 的频谱 X (e jω ) 在区间 X(k) 上进行Ｎ点等间隔采样得到的频域 上进行Ｎ点等间隔采样得到的频域 [0 , 2π ) 采样信号； 采样信号；3.4 离Fra bibliotek傅立叶变换的应用
一、用DFT计算线性卷积 计算线性卷积
DFT计算线性卷积 2、用DFT计算线性卷积 h(n)和x(n)都是有限长序列 长度分别是N 都是有限长序列， 设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M
yl ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) =
L −1
m = −∞ ∞
∑ h(m) ⋅ x(n − m)
yc ( n ) = x ( n ) ⊗ h( n ) = ∑ h( m) x (( n − m )) L ⋅ RL ( n )
关系： 关系： yc ( n ) =
q = −∞
∑ y (n + qL) ⋅ R (n)
l L
+∞
m =0
两者相等的条件： 两者相等的条件： L ≥ N + M − 1