高中数学直线与椭圆-弦长公式
（1）过 轴上一定点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求
（2）过 轴上一定点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求
（3）弦任意，点任意 弦长×点线距
三、弦的中点问题
（1）中点弦所在直线方程问题（2）平行弦中点轨迹
（3）共点弦中点轨迹（4）其他问题
【例题解析】例1：设 导
学
设
计
例2：已知椭圆方程为 ，内有一条以点 为中点的弦 ，求 所在的直线 的方程及 的弦长。
例3：点 是椭圆 上一点，以点 及焦点 为顶点的三角形的面积为8，求点 的坐标.
课题：《直线与椭圆——弦长》日期：11月26日（编号）
姓名班级
导
学
设
计
学习目标：
1.理解直线和椭圆位置关系并能求相交时弦长。
2.会求椭圆的切线方程和弦长及三角形有关问题
3.理解点差法在解决与弦中点和斜率有关问题中所表现出的“设而不求”思想
问题探究：
一、直线和椭圆相交时的弦长问题
弦长公式
注： 而 和 可用韦达定理解决，不必求出 和 的精确值，“设而不求”思想初现。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
《直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题》xx年xx月xx日•直线与椭圆的位置关系•弦长公式•弦中点问题•应用实例目录01直线与椭圆的位置关系直线与椭圆在平面上有三种位置关系：相离、相切和相交。
定义椭圆的离心率e决定了直线与椭圆的位置关系。
e越大，直线与椭圆越远离；e越小，直线与椭圆越接近。
当e=0时，直线与椭圆相切；当0<e<1时，直线与椭圆相离；当e=1时，直线与椭圆相交。
性质定义与性质分类根据直线与椭圆的交点个数，可以分为三类：无交点、一个交点和两个交点。
判定使用代数方法（如解方程）或几何方法（如画图）来判断直线与椭圆的交点个数。
分类与判定方法解决直线与椭圆的问题主要采用代入法、坐标法、参数法等。
技巧根据题目条件选择合适的方法，注意数形结合，转化已知条件为数学方程，通过解方程得到结果。
解题方法与技巧02弦长公式定义与性质弦长公式定义弦长公式是指连接椭圆上两点的线段的长度。
在直角坐标系中，设椭圆上两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则弦AB的长度为$|AB|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$。
性质弦长公式具有普遍性，可以用于计算任何连接椭圆上两点的线段的长度。
直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
判定方法：利用直线方程和椭圆方程联立，消去其中一个变量，得到关于另一个变量的二次方程，通过判断二次方程的根的情况来确定直线与椭圆的位置关系。
分类与判定解题方法利用弦长公式直接计算。
解题技巧对于较复杂的题目，可能需要先化简，再代入数值进行计算。
解题方法与技巧03弦中点问题定义弦中点问题是指关于直线与椭圆交汇点以及中点的问题。
性质弦中点问题涉及直线与椭圆的相交、平行、中点等性质，以及弦长、中点坐标等计算。
定义与性质根据直线与椭圆的位置关系，弦中点问题可分为相交型、平行型和中点型三种类型。
分类判定弦中点问题主要依据直线与椭圆的交点坐标、中点坐标计算公式以及相关的几何性质。
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线的弦长公式
椭圆和直线弦长公式：
I、椭圆弦长公式
1. 直线弦长公式
(1) 直线弦长：L=∣x2-x1∣
(2) 水平线弦长：L=纵坐标差值；
(3) 竖线弦长：L=横坐标差值；
II、椭圆弦长公式
(1) 椭圆弦长公式：L=2√ (a*E-b*F)
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
b=∣y2-y1∣/2 ；F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
(2) 椭圆周长公式：C=4aE(1-b²/(a²))^1/2
其中：a=∣x2-x1∣/2 ；
b=∣y2-y1∣/2 ；
E=(x2-x1)^2 / (x2-x1)^2
F=(y2-y1)^2 / (y2-y1)^2
III、注意事项
(1) 弦长公式只适用于有起点和终点坐标的圆或者椭圆；
(2) 直线两点坐标不同，求直线弦长时可以使用上述公式；
(3) 椭圆起点和终点坐标如果相等，无论对弦长还是周长的求解公式均不适用；
(4) 由于公式中有按quadrature计算，所以计算结果可能会存在误差，应留有余量。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系(2课) 椭圆弦长公式)
（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）
|AB|= 1 k2 ·x1 x2 1 k2 ·（x1 x2）2 4x1x2
1 = 1 k 2 ·y1 y2
1
1 k2
·（y1
y2）2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y1
y2
3、弦中点问题的两种处理方法： 1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； 2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
（A、B不是左右顶点），且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标
9. 试 确 定 实 数 m 的 取 值 范 围 , 使 得 椭 圆
x2 y2 1 上存在关于直线 y 2x m 对称的 43
点.
1m 1
2
2
思考:已知椭圆
x2 9
y2 5
1 的焦点为 F1 , F2 ,在
例 4:已知椭圆 x2 8 y2 8 ,直线 x y 4 0 ,求椭圆 上的一点 P 到直线 l 的最小距离?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 x y 4 0 的距离的表达式.
d x0 y0 4 且 x02 y02 1
2
81
尝试遇到困难怎么办?
代数法
----求解直线与二次曲线有 关问题的通法。
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
例1： 直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断位置关系。
2
解：联立方程组
高中数学椭圆秒杀技巧弦长
高中数学椭圆秒杀技巧弦长引言椭圆作为高中数学中的一个重要的曲线，对于很多学生来说是一个相对陌生的概念。
然而，在解题过程中，理解和掌握椭圆的性质和技巧是至关重要的。
本文将介绍高中数学椭圆秒杀技巧之弦长。
什么是椭圆在了解椭圆的弦长之前，首先需要了解什么是椭圆。
椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义是到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
椭圆的形状取决于焦点之间的距离和离心率。
椭圆的弦长公式在椭圆上，弦是任意两点之间的线段，可以是水平的，也可以是斜的。
椭圆的弦长公式可以通过以下步骤推导而来：1.设椭圆的方程为：$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b分别是x轴和y轴上的半长轴。
2.假设弦的两个端点分别是(x1,y1)和(x2,y2)。
3.根据直线的斜率公式，可以得到直线的斜率：$k = \\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。
4.将直线的斜率带入椭圆的方程，可以得到：$\\frac{x_1^2}{a^2} +\\frac{y_1^2}{b^2} = 1$和$\\frac{x_2^2}{a^2} + \\frac{y_2^2}{b^2} = 1$。
5.将上述两个方程相减，并整理得：$\\frac{y_2^2-y_1^2}{b^2} =\\frac{x_2^2-x_1^2}{a^2}$6.根据两点距离公式，可以得到弦的长度：$d = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
7.带入步骤5的结果，可以得到弦的长度公式：$d =\\sqrt{a^2(k^2+b^2)}$。
椭圆弦长实例为了更好地理解椭圆的弦长公式，我们举一个实例来演示计算过程。
假设有一个椭圆，其方程为$\\frac{x^2}{16} + \\frac{y^2}{9} = 1$。
已知椭圆上有两个点A(4, 3)和B(2, -3)，我们要求解弦AB的长度。
直线与椭圆的位置关系弦长公式
则弦长 |AB|= _______ , 5
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
练习：
1、如果椭圆被
A、x-2y=0
的弦被（4，2）平分，那 么这弦所在直线方程为（ D ）
x2 y2 1 36 9
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2 2 x y 2、y=kx+1与椭圆 5 m 1 恰有公共点，则m的范围
（C ）
A、（0，1）
B、（0，5 ） D、（1，+ ∞ ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
0的直线， 3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 30 16
2 2 12 12 2 12 2 12 1 2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
2 2 |AB|= 1 k · （ x x ） 4 x x 1 2 1 2
=
1 1 2· （ y y ） 4 y y 1 2 1 2 （适用于任何曲线） k
2.2.2椭圆简单几何性质(第4课时)(直线与椭圆的弦长公式)
条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
2、若P(x,y)满足 大值、最小值.
解：
,求
的直 的最
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
其中
、
可以由韦达定理求得
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
为：
一、直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
回忆：直线与圆的相交弦长 弦长公式：
椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式Байду номын сангаас
要点·疑点·考
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
汇报人： 日期:
目录
• 直线与椭圆的位置关系 • 弦长公式 • 弦中点问题
01
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的基本定义
直线的定义
直线是无限延伸的，没有起点和 终点。在平面几何中，直线通常 用两点间的连线表示。
椭圆的定义
椭圆是一种平面曲线，其定义是 固定两点（焦点）的距离之和等 于常数的点的轨迹。
通过观察直线与椭圆的交点个数来判 断位置关系。
02
弦长公式
弦长的定义及计算方法
Байду номын сангаас弦长定义
弦长是指连接圆内任意两点间的线段 长度。
计算方法
通过利用勾股定理和圆的基本性质， 可以计算出连接圆内两点的线段长度 。
弦长公式的推导过程
勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。
圆的基本性质：圆内任意两点间的距离平方等于 这两点与圆心距离的平方和。
直线与椭圆的位置关系分类
相交
直线与椭圆有两个不同的交点。
相切
直线与椭圆只有一个交点。
相离
直线与椭圆没有交点。
判断直线与椭圆位置关系的常用方法
代数法
通过联立直线和椭圆的方程，消元后 得到一元二次方程，然后根据判别式 的值判断直线与椭圆的位置关系。
几何法
参数法
通过引入参数来表示直线的方程，然 后代入椭圆的方程进行求解，根据解 的情况判断位置关系。
弦中点的性质
弦中点与椭圆中心连线段与弦AB垂直，且该线段等于A、B两点到椭圆中心的距 离之和的一半。
弦中点问题的求解方法
利用定义求解
根据弦中点的定义，可以求出弦中点的坐标。
利用几何性质求解