【雨神初三全3】二次函数手写大招笔记-2(终结篇)
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
(完整word版)初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤: 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2。
平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
初三数学二次函数知识点归纳
初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。
学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。
下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。
一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。
2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。
当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。
3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。
5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。
二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。
2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。
当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。
初三数学二次函数知识点总结.docx
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念： 一般地，形如 y ax 2bx c a ，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这（里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax 2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y a x h2k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成y ax 2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y ax2bx c 变成y a( x m)2b(x m) c （或 y a(x m) 2b( x m ) c ）四、二次函数 y a x2k 与 y2bx c 的比较h ax从解析式上看，y a x h 2ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 y2b2b，k4ac b 2者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1，0， x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 随 x 的增大而增大；当x b时， y 有最小2a2a2a值4ac b24a．2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．当 x b时， y 随2a2a4a2ax的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4ac b2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax 2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；2.顶点式：y a(x h)2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中，a作为二次项系数，显然 a 0 ．a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，在y轴的右侧则 ab0 ，概括的说就是在 y 轴左边则ab2a“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1 b 24ac .②当0 时，图象与x轴只有a一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点 .1'当 a0时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0； 2' 当a 0时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有y 0．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx 2bx 1 的图像大致是（）y y y y110x-1 o x0 x0 1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)
九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。
当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。
Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。
五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
(精校版)九年级上册数学二次函数知识点汇总(2)
② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 xx2 2
x1 x2 2 4x1x2
b 2 4c a a
b2 4ac
a
a
知识点四：利用二次函数解决实际问题
7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利
用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研
二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、 x2 ,是对应一元二次方 程 ax2 bx c 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. （4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点。当有 2 个交点时,两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax2 bx c k 的两个实数根。
的图象
的解
方程有两个相等实数 方程有两个不等实数
解 解
方程没有实数解
6。拓展：关于直线与抛物线的交点知识
(1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为 (0, c) 。 (2)与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交点（ h ， ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点
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初三数学二次函数知识点总结一、 二次函数概念：21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c( a ,b ,。
是常数，a 0)的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b , c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2.二次函数y ax 2 bx c 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2.⑵a ,b ,c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.二、 二次函数的基本形式2二次函数的基本形式 y ax h k 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h , k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： ⑴y ax 2bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y y=ax 2向右(h>0)【或左(h<0)]平移|k|个单位y=a(x h)22y=a (x-h)2+k2 ax bx c 变成向上(k>0)【或下(k<0)] 向右(h>0)【或左(*0)]平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下y2ax bx cm (或y 2ax bx cm )⑵ y ax 2bxc 沿轴平移:向左（右）平移 m个单位，yax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m)c (或 y a(xm)2b(x m) c )x 的增大而增大；当 x 一时，y 随x 的增大而减小；当x2a七、 二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）; 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式：y a （x xj （x X 2） （ a 0 ,论,x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标）•注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化•八、 二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax 2 bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 . a 决定了抛物线开口的大小和方向，a四、二次函数y 2a x hk 与 y ax 2bx从解析式上看， y a x h $ k 与 y2ax 者, 即 y a x —24ac b ，其中h b2a4a2ac 的比较 C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前24ac b 4a二次函数 y axbx c 图象的画法五点绘图法： 对称轴及顶点坐标， 的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）利用配方法将二次函数 y然后在对称轴两侧，2 2ax bx c 化为顶点式y a （x h ）左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为：2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，k ，确定其开口方向、顶点、与y 轴 0 （若与x 轴画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、 二次函数y ax 2 bx c 的性质1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为诗，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4ax —时，y 随x 的增大而减小；当 2a 值4ac 『.4a舟时，y 随x 的增大而增大；当—2a时，y 有最小2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为—，顶点坐标为 2ab 4ac b 2 2a' 4a一时，y 随 2ay 有最大值4ac b 2 4abx 2，k的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴.b、ab 的符号的判定：对称轴 x在y 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是2a“左同右异” 3. 常数项cc 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.总之，只要a, b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点, 0 , B x ?, 0 （论x ?），其中的人,x ?是一元二次方交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x 为自变量的二次函数 y （m 2）x 2 m 2 m 2的图像经过原点，则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如：程 ax 2 bx c0的两根.这J b 2 4ac .②0时，图象与x 轴只有一个交点；③0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时,图象落在 x 轴的上方，无论x 为任 何实数，都有0 ； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数，都有2. 抛物线y3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位置判断二次函数断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 2axbx c 的图象与2ax bx c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ，b ， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与c 的符号判 x 轴的一个如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是（3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点九年级
二次函数知识点九年级
二次函数是初中数学中的重要内容之一，以下是九年级二次函数知识点的总结：
1. 二次函数的定义：形如f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)的函数称为二次函数。
其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状由
a、b、c的值决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的性质：二次函数具有以下性质：对称轴为x=-frac{b}{2a};顶点坐标为(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a});最大值或最小值为f(\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
4. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有很多应用，例如计算物体的最大高度、最远距离等。
此外，二次函数还可以用于解决一些实际问题，例如求最大利润、最小成本等。