联合概率密度
概率论与数理统计313 二维连续型随机变量及其联合概率密度
数f(x)的性质
概率密度函数f(x, y)的性质
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F(x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
解: 由规范性
f (x, y)dxdy 1
Ae(2x y)dxdy 1 A 2 00
二、联合概率密度函数的性质:
(3)设D是xOy平面上的任意一个平面区域,点(X ,Y ) 落在D内的概率为
P{(X ,Y) D} f (x, y) d x d y.
D
z
z f (x, y)
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解: P{1 X 1,1 Y 1}.
f (x, y) d x d y
D
1 2e 1 (2x y) d y d x 01 01
1
2 e1 2x dx 1ey)(1 e1).
y
1
O
D 1
x
1
(x,y)
求(X ,Y )的联合密度函数.
例3 设
Ae(2x y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解:
(1)由规范性
f (x, y)dxdy 1
y
o
D x
(3) 对于任意平面区域D R2,
第19讲 二元连续型随机变量,联合概率密度
1=
f (x, y)dxdy
－ －
y
dx
ke(2x3y)dy k e2xdx e3ydy
0
0
0
0
k
1 2
e2x
0
1 e3y 3
0
k
6
k 6
0
x
5
前面已得：
f
(x,
y)
6e ( 2 x 3
y)
,
0,
x 0，y 0 其他
2 F(x, y) P(X x,Y y) x
4.在f ( x, y)的连续点(x, y)，有 2 F ( x, y) f ( x, y). xy
4
例1：设二元随机变量( X ,Y )具有概率密度：
f
(
x,
y)
ke(2x3 y)
,
0,
x 0，y 0 其他
1求常数k；2求分布函数F (x, y)；
3求P(Y X )的概率.
解:(1)
第19讲 二元连续型随机变量, 联合概率密度
（一） 联合概率密度函数
定义：对于二元随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y,
如果存在非负函数f x, y ，使对于任意x, y，
有 F (x, y) x
y
f (u, v)dudv
称 X , Y 为 二 元 连 续 型 随 机 变 量 . 并 称 f x, y 为 二 元 随 机 变 量 X ,Y 的
(联合)概率密度（函数）。
2
概率密度的性质：
1. f x, y 0
2.
f (x, y)dxdy 1
注：在几何上，z f (x, y) 表示空间的一个顶曲 面 ，介 于 它 和 xoy平 面 的 空 间 区 域 的 体 积 为 1。
联合概率密度函数
反变换
X1=h1(y1, y2,…, yn)，…, Xn=hn(y1, y2,…, yn) 具有连续的一阶偏导数，则Y1, Y2,…, Yn 的联合密度函数为
1.1 概率分布与分布的特征
1.1.1 联合分布(Joint Distribution) 离散型：联合概率函数
p(x1, x2,…, xn)=P (X1= x1, X2=x2,…, Xn = xn)
连续型：联合概率密度函数 如果存在n维非负可积函数f (x1, x2,…, xn )，使得
F (x1, x2, , xn )
本章大纲
1.1 概率分布与分布的特征 1.2 常见的统计分布 1.3 样本与抽样分布
1.1 概率分布与分布的特征
(Probability distributions and distribution characteristics)
1.1.1 联合分布 1.1.2 随机变量函数的分布 1.1.3 条件数学期望 1.1.4 矩母函数
可以改记为
p(n1, n2 , , nr1)
P(N1 n1, N2 n2 , , Nr1 nr1, )
n!
n1!n2!
nr !
p n1 1
p n2 2
p nr r
显然二项分布是多项分布的边缘分布
1.1.1 联合分布(Joint Distribution)
【例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79) 设F(x)和G(x)都是一维连续型分布函数（cdf）,可以
二维均匀分布的联合概率密度
二维均匀分布的联合概率密度摘要：I.引言- 介绍二维均匀分布的联合概率密度II.二维均匀分布的定义- 定义二维均匀分布- 二维均匀分布的概率密度函数III.联合概率密度的性质- 联合概率密度的性质- 联合概率密度的应用IV.求解联合概率密度- 求解二维均匀分布的联合概率密度- 实例演示V.总结- 总结二维均匀分布的联合概率密度正文：I.引言二维均匀分布是一种在二维空间中取值的概率分布，它假设两个随机变量在各个方向上都是均匀分布的。
对于这种分布，我们可以求出其联合概率密度，从而描述其概率分布的特征。
本文将介绍二维均匀分布的联合概率密度及其性质和应用。
II.二维均匀分布的定义二维均匀分布是指随机变量X和Y的联合分布，其中X和Y都在[0,1]区间内取值。
对于二维均匀分布，我们可以通过以下概率密度函数来描述：f(x, y) = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1其中，f(x, y)表示在点(x, y)处取值的概率密度。
可以看出，对于二维均匀分布，其联合概率密度在[0,1]×[0,1]的方形区域内是恒定的，且总和为1。
III.联合概率密度的性质二维均匀分布的联合概率密度具有以下性质：1.联合概率密度在[0,1]×[0,1]的方形区域内是连续的。
2.联合概率密度关于x和y都是均匀的，即对于任意的x和y，f(x, y) = f(x", y")，其中x"和y"是x和y的任意邻域。
3.联合概率密度具有对称性，即f(x, y) = f(1 - x, 1 - y)。
IV.求解联合概率密度要求解二维均匀分布的联合概率密度，我们可以使用以下方法：1.通过积分方法。
根据二维均匀分布的定义，我们可以通过如下积分求解联合概率密度：f(x, y) = ∫∫f(x", y")dx"dy"，其中积分范围为[0, 1]×[0, 1]。
二维高斯分布联合概率密度一般形式
二维高斯分布联合概率密度一般形式二维高斯分布是统计学中常用的一种分布模型，它是多维正态分布的特例。
在二维高斯分布中，两个随机变量的取值满足正态分布。
二维高斯分布的联合概率密度函数可以用于描述两个变量之间的关系，如相关性和联合概率。
二维高斯分布的联合概率密度函数的一般形式为：f(x, y) = (1 / (2π|Σ|)1/2) * exp(-1/2 (x-μ)T Σ-1 (x-μ))其中，x和y是两个随机变量的值，f(x, y)是联合概率密度函数，|Σ|是协方差矩阵Σ的行列式，μ是均值向量，Σ-1是协方差矩阵Σ的逆矩阵。
在二维高斯分布的联合概率密度函数中，协方差矩阵Σ描述了两个随机变量之间的关系。
协方差矩阵Σ是一个对称正定矩阵，它包含了两个随机变量之间的协方差和方差的信息。
二维高斯分布的均值向量μ表示两个随机变量的均值，它是一个二维向量，分别对应着两个随机变量的均值。
通过协方差矩阵Σ和均值向量μ，我们可以计算出在给定条件下两个随机变量的联合概率密度。
对于给定的x和y，我们可以通过代入x和y的值，计算出联合概率密度函数的值。
根据概率密度函数的定义，联合概率密度函数的值越大，表示x和y同时取某个特定值的概率越高。
二维高斯分布的联合概率密度函数具有一些重要的特性。
首先，它是一个关于x和y的二元函数，表示了两个变量之间的关系。
其次，联合概率密度函数是关于x和y的指数函数的乘积，这使得它具有指数衰减的特性。
当(x-μ)T Σ-1 (x-μ)的值增大时，联合概率密度函数的值会迅速下降。
这意味着离均值较远的值出现的概率较低。
二维高斯分布的联合概率密度函数还具有一些其他的重要性质。
例如，它是正态分布的特例，当协方差矩阵Σ为单位矩阵时，即变量之间没有关联时，二维高斯分布退化为独立的正态分布。
此外，当协方差矩阵Σ是对角矩阵时，即变量之间的关联是线性关系时，二维高斯分布可以简化为两个独立的一维正态分布的乘积。
总结来说，二维高斯分布的联合概率密度函数是用于描述两个随机变量之间关系的一种分布模型。
全体顺序统计量的联合概率密度函数
全体顺序统计量的联合概率密度函数全体顺序统计量是概率论和统计学中一个重要的概念，它在研究多个随机变量的顺序特性时发挥着关键的作用。
本文将深入探讨全体顺序统计量的联合概率密度函数，旨在帮助读者更深入地理解该概念。
1. 什么是全体顺序统计量？全体顺序统计量是指从一组随机变量中按照顺序选择k个变量，并记为X(1), X(2), ..., X(k)，其中X(1)为最小值，X(k)为最大值。
全体顺序统计量可以用来描述一组变量的顺序特性，如最小值、最大值等。
2. 联合概率密度函数的定义全体顺序统计量的联合概率密度函数描述了多个随机变量按照顺序排列时的概率密度分布。
设X(1), X(2), ..., X(k)是一组随机变量的全体顺序统计量，则联合概率密度函数可以表示为：f(x(1), x(2), ..., x(k)) = n! / ((k-1)!(n-k)!) * [F(x(1))]^(k-1) * [1 -F(x(k))]^(n-k) * f(x(1)) * f(x(2)) * ... * f(x(k))其中，n为随机变量的个数，f(x)为随机变量X的概率密度函数，F(x)为随机变量X的累积分布函数。
3. 解读联合概率密度函数联合概率密度函数中的第一项n! / ((k-1)!(n-k)!)表示了选择k个变量的排列方式数目。
接下来的两项 [F(x(1))]^(k-1) 和 [1 - F(x(k))]^(n-k) 表示了选择的k个变量在对应位置上的概率。
最后一项 f(x(1)) * f(x(2)) * ... * f(x(k)) 表示了每个变量自身的概率密度。
通过联合概率密度函数，我们可以计算在给定条件下全体顺序统计量的概率分布。
这对于理解随机变量的排列顺序以及建立推断统计模型等问题具有重要意义。
4. 观点和理解全体顺序统计量的联合概率密度函数是概率论和统计学中一个重要的研究工具。
它可以帮助研究人员描述和分析多个随机变量的顺序特性，并为统计推断提供理论基础。
概率论与数理统计3.1.3 二维连续型随机变量及其联合概率密度
一、二维连续型随机变量的定义及联合概率密度 二、联合概率密度函数的性质
一、 二维连续型随机变量的定义及联合概率密度函数
一维连续型随机变量X F(x)为随机变量X的分布
函数，若存在非负可积函数 f(x)，使得
F(x) P{X x}
x
f (t)dt ( x )
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F (x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
(x,y)
用来求待定常数的方法
y
曲线下x轴上
所围面积为1
连续型随机变量（X,Y）联合 概率密度函数f(x, y)的性质
(1) 非负性： f (x, y) 0;
(2) 规范性：
f (x, y)dxdy 1
F(， ).
f (x, y)
用来求待定 常数的方法
曲面下xoy平 面上所围体积
o
(x, y)
X
x
x
X
y
Y
(x, y)
推断：设D是xOy平面上的 一个区域,点( X ,Y )落在D内 的概率为
P{(X ,Y ) D}
f (x, y) d x d y.
D
二、联合概率密度函数的性质:
连续型随机变量X的概率密度函 数f(x)的性质
(1) f(x)≥0； (2) f(x)dx 1 F().
二维随机变量的联合概率密度
二维随机变量的联合概率密度
代表的是fx先对x求偏导再对y求偏导，因为二位连续型随机变量的密度fx求二重
积分得到其分布函数fx，同时因为x和y都是变量，所以fx已知时候对x再对y求偏导
数就得到密度fx了。
离散变量函数值,对应自变量p和，连续变量函数密，定域画线变分布。
二维联合变
量积,非负无穷和为l;联合概率另变量，无穷求和边缘p。
联合分布区域p,2个不等4等式;联合分布另变量，无穷极限是边缘。
随机变量在相同的条件下由于偶然因素影响，可能将挑各种相同的值，故其具备不确
定性和随机性，但这些值域落到某个范围的概率就是一定的，此种变量称作随机变量。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
如分析测试中的测定值就是一个以概
率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之
前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。
联手原产函数定义:
设(x,y为一二维随机变量，则对r2的任意的x, y,称事件x≤x与y≤y都发生的概
率为x,y)的联合分布函数,
f(x,y)=p(x ≤x, y ≤y)= p[(x≤x)n(y≤y)]
所以，联合分布也是变量(事件）积的概率。
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X Y
x1
x2
…
xi
…
y1
p11
p 21
…
p i1
…
y2
p12
p22
pi 2
…
yj
p1 j
p2 j
…
p ij
…
10/102
§3.1 二维随机变量
❖ 例1：设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一 个值，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值。 试求(X,Y)的分布律。
❖ 解：Y的取值与X的取值有关， i=1，2，3，4，j取不大于i 的正整数，由乘法定理 P{X=i,Y=j}＝P{Y=j|X=i}P{X=i} ＝(1/i)(1/4)，i=1，2，3，4，1ji
,
P{ X
1,Y
0}
13
3 1
8 2
9, 28
P{X 2,Y 0}
3 2
82
3 28
.
YX 0 1 2
故所求分布律为 0 1
3 28 3 14
9 28 3 14
3 28 0
2 1 28 0
•e
• X (e) •Y (e)
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实例1 炮弹§的弹3.着1点二的位维置随(X,机Y) 变量 就是一个二维随机变量
实例2 考查某一地 区学前儿童的 发育情况 , 则儿童的身高 H 和 体重 W 就构成二维随机变量 (H,W)
❖ 两个分量是有内在联系的，因 此要将X,Y作为整体来研究
其性质与X、Y及X,Y之间的关系 均有关，逐个研究X,Y的性质是不 够的。
❖ 分布函数 定义 设(X1,X2, …,Xn)是n维随机变量，对于n个任意实数 x1，x2，…，xn，n元函数： F(x1，x2，…，xn)=P{ X1x1,X2x2, …,Xnxn} 称为n维随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数，或称为随机 变量X1,X2, …,Xn的联合分布函数。
❖ 4°对于任意点(x1,y1)，(x2,y2)，x1<x2，y1<y2， 下述不等式成立：
F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)＋F(x1,y1)≥0 矩形区内的概率，及概率非负性
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§3.1 二维随机变量
❖ 推广到n维： 定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝ {e}，设X1＝X1(e)，X2＝X2(e)，…，Xn＝Xn(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2, …,Xn) 叫做n维随机向量，或n维随机变量
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), (2,0).
P{X 0,Y 0} 23
8 2
3 28
,
P{ X
0,Y
1}
2 1
13
8 2
3 14
,
12/102
§3.1 二维随机变量
P{ X
1,Y
1}
13
2 1
82
3 14
,
P{X 0,Y 2} 22
8 2
1 28
分布函数的性质：
1°F(x,y)是变量x，y的不减函数
对任意的y，当x2>x1时F(x2,y)≥F(x1,y)
2°0≤F(x,y)≤1且
对任意的x，当y2>y1时F(x,y2)≥F(x,y1)
❖ 对任意固定的y，F(－∞，y)＝0
(边界无限向左，趋于不可能事件)
❖ 对任意固定的x，F(x, －∞)＝0
Y X1 2
3
4
1 1/4 1/4(1/2) 1/4(1/3) 1/4(1/4)
2 0 1/4(1/2) 1/4(1/3) 1/4(1/4)
3 0 0 1/4(1/3) 1/4(1/4)
400
0 1/4(1/4)
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§3.1 二维随机变量
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求( X,Y )的分布律. 解 ( X,Y ) 所取的可能值是
❖ 第§3三.1 二章维多随机维变随量机变量及其分布
❖ §3.2 边缘分布 ❖ §3.3 条件分布 ❖ §3.4 相互独立的随机变量 ❖ §3.5 两个随机变量的函数的分布
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§3.1 二维随机变量
❖ 定义2.3： 设E是一个随机试验，它的样本空间是 S＝{e}，设X＝X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随 机向量，或二维随机变量
随机点落在矩形区域的概率：
❖ P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}= F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)＋F(x1,y1)
y
o
(x, y) •
y
(x1 , y2) y2
(X, Y )
y1 (x1 , y1)
xo
x1
(x2 , y2)
(x2 , y1)
x
x2
5பைடு நூலகம்102
§3.1 二维随机变量
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§3.1 二维随机变量
二维随机变量分布函数的定义 ❖ 定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，
二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}，记做P{X≤x，Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数。
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❖ 二维随机变§量分3布.1函二数的维意义随机变量 将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y) 在点(x,y)处的函数值是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点 的左下方的无穷矩形区域内的概率
记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有：
pij≥0，
＝1
则称P{X=xi,Y=yj}=pij， i， jp＝ij 1,2,…为二维离散型随机变
量(X,Y)的分布律，或i随1 机j1 变量X和Y的联合分布律。
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❖ 也可以用§表格3的.1形二式给维出随： 机变量
❖ 具有同二维类似的性质。
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❖ 二维离散型§的随3机.1变二量：维随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量
❖ 二维离散型随机变量的分布律：
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i， j＝1,2,…,
y
(边界无限向下，趋于不可能事件)
❖ F(－∞, －∞)＝0，
(边界无限向左下，趋于不可能事件) ❖ F(∞, ∞)＝1，
o
x
(边界无限向右上，趋于必然事件)
6/102
§3.1 二维随机变量
❖ 3°F(x,y)＝F(x+0,y)，F(x,y)＝F(x,y+0)
F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续