1.正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念，它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$，其 中 $mu$ 是期望；对于连续随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称， 即如果一个数据值在均值μ的左侧， 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时，无论数据的 来源和分布情况如何，只要符合 中心极限定理的条件，数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布，如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述， 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述， 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数，其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中，通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$，其中 $N$ 是样本大小，$x_i$ 是每个样
本值，$bar{x}$ 是样本均值。
常用分布函数及特征函数
常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
1.正态分布的概率密度与分布函数
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
分布函数与正态分布
分布函数与正态分布分布函数是概率论和统计学中常用的一种工具，用来描述随机变量在一定范围内取值的概率分布情况。
正态分布是常用的概率分布之一，也称为高斯分布，由于其在自然界和社会科学中广泛存在，因此备受重视。
本文将介绍分布函数与正态分布的概念、公式及其应用。
一、分布函数1.1 概念分布函数是一种数学函数，用来描述随机变量 X 取值的概率分布情况。
分布函数F(x) 是 X 的一个实函数，表示X ≤ x 的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)P(X ≤ x) 表示随机变量 X 在取值范围内小于等于 x 的概率。
1.2 性质（1）0 ≤ F(x) ≤ 1，对所有 x 成立。
（3）右连续：F(x) 在任何 x 的右端点连续。
（4）左极限存在：F(x-) = lim(x→x-)(F(x)) 存在。
1.3 应用分布函数在实际应用中非常重要，可以用来计算概率密度函数、求期望、方差以及其他与随机变量有关的概率和统计量。
在统计学和概率论中，经常使用分布函数来描述数据的分布情况，例如正态分布、伽马分布、泊松分布等。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布，其分布函数呈钟形曲线。
正态分布是指具有均值μ 和标准差σ 的随机变量 X 的概率分布函数，记作N(μ, σ2)。
μ 表示分布的中心位置，σ2 表示分布的离散程度，即方差。
2.2 公式正态分布的概率密度函数可以根据上述定义得到，即：e 为自然常数，π 为圆周率。
（1）其分布函数呈钟形曲线，在μ 处取得最大值。
（2）根据 68-95-99.7 规则，约有 68% 的值在μ ± σ 的范围内，约有 95% 的值在μ ± 2σ 的范围内，约有 99.7% 的值在μ ± 3σ 的范围内。
（3）正态分布在很多自然界和社会科学现象中得到应用，例如身高、体重、智力、月收入、股票价格等。
（1）统计学：正态分布可以用来描述样本数据的分布情况，例如 t 分布、F 分布、卡方分布等。
正态分布的概率密度函数与累积分布函数
正态分布的概率密度函数与累积分布函数正态分布是统计学中一种重要的概率分布，它在自然界和人类社会的众多现象中都有广泛应用。
正态分布的概率密度函数和累积分布函数是对于正态分布进行描述和分析的重要工具。
本文将对正态分布的概率密度函数和累积分布函数进行详细介绍。
一、正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数可以用以下数学公式表示：f(f) = (1/√(2ff^2)) * f^(-(f−f)^2 / (2f^2))其中，f(f)表示随机变量f在某一取值上的概率密度，f表示正态分布的均值，f表示正态分布的标准差，f是一个常数，约等于3.14159。
概率密度函数在整个实数轴上都有定义，它表达了随机变量f取某一特定值的可能性大小。
概率密度函数曲线呈钟形，左右对称，中心峰值在f处。
二、正态分布的累积分布函数正态分布的累积分布函数可以用以下数学公式表示：f(f) = 1/2 * [1 + fff(f(f−f)/f)]其中，f(f)表示随机变量f在某一取值以下的累积概率，fff(f)表示标准正态分布（均值为0，标准差为1）下的累积分布函数，f(f)表示f的正负情况。
当f小于均值f时，f(f)取-1，当f大于均值f时，f(f)取1。
累积分布函数可以理解为随机变量f小于某一值的概率。
当f等于均值f时，累积分布函数的值为0.5。
当f远离均值f时，累积分布函数的值逼近于0或1。
三、正态分布的性质正态分布具有以下重要性质：1. 正态分布具有对称性：正态分布的概率密度函数和累积分布函数在均值f处对称，即f(f) = f(2f-f)，f(f) = 1 - f(2f-f)。
2. 正态分布的均值和标准差确定分布特征：均值f决定了分布的位置，标准差f决定了分布的形状。
当f越小，分布越集中；当f越大，分布越分散。
3. 正态分布的标准化：对于任何正态分布，都可以通过标准化转化为标准正态分布。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其对应的概率密度函数和累积分布函数已经在数学中进行了精确定义和计算。
正态分布相关公式
正态分布相关公式
1. 正态分布的概率密度函数：
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] \( \mu \) 代表均值，\( \sigma \) 代表标准差。
2. 正态分布的累积分布函数：
\[ F(x) = \frac{1}{2}\left(1+ \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma
\sqrt{2}}\right)\right) \]
erf(x) 是被称为误差函数的数学函数。
3. 正态分布的期望值（均值）：
\[ \mathrm{E}(X) = \mu \]
这表示正态分布的均值即为其期望值。
4. 正态分布的方差：
\[ \mathrm{Var}(X) = \sigma^2 \]
方差表示正态分布中数据的离散程度。
5. 正态分布的标准差：
\[ \mathrm{SD}(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sigma \]
标准差是方差的平方根，也表示数据的离散程度。
请注意：以上公式中的符号与其含义相符，但没有提及具体名称以满足您的要求。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
正态分布的概率密度函数表达式为：$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
正态分布在实数轴上对称分布，其 概率密度函数关于均值$mu$对称。
参数解释
1 2
均值（$mu$） 正态分布的对称轴，决定了分布的位置。
正态分布在统计学中的应用
在回归分析中的应用
线性回归分析
正态分布是线性回归分析中误差分布的常用假设，它有助于估计未知参数和预测 未来观测值。
逻辑回归分析
在逻辑回归分析中，正态分布用于解释分类变量与连续变量之间的关系，通过概 率转换实现分类目的。
在质量管理中的应用
控制图
正态分布用于制作均值和标准差控制 图，监控生产过程中的产品质量波动。
与t分布的关系
01
t分布是正态分布在样本量较小或数据变异较大时的
近似分布。
02
t分布的形状由自由度决定，当自由度逐渐增大时，t
分布趋近于正态分布。
03
在统计推断中，t检验和t分布经常用于分析小样本数
据或异常值较多的数据集。
与F分布的关系
1
F分布是两个正态分布的比值的分布，常用于方 差卡尔·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss）在1809 年首次对正态分布进行了系统研究， 并将其应用于误差分析。
后续发展
随着统计学和概率论的不断发展， 正态分布在各个领域得到广泛应用， 成为概率论和统计学中的基础分布 之一。
定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率 密度函数（pdf）呈钟形曲线。
正态分布的分布函数形式为：$F(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{(tmu)^2}{2sigma^2}} dt$，其中$mu$和$sigma$分别为均值 和标准差。
分布函数与概率密度函数分析：概率密度函数的数学性质
分布函数与概率密度函数分析：概率密度函数的数学性质概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述随机变量连续型分布的函数。
在概率论和统计学中，概率密度函数常常与分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）一起使用，以便分析和描述随机变量的数学性质。
一、概率密度函数的定义概率密度函数是描述连续型随机变量X在某一取值x附近的概率分布情况的函数。
设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则对于任意的x，有以下性质：1. 非负性：概率密度函数f(x)始终大于等于零，即f(x)≥0。
2. 归一性：概率密度函数f(x)的积分（面积）等于1，即∫f(x)dx=1。
二、概率密度函数与分布函数的关系概率密度函数和分布函数是两个相互关联的概念。
分布函数F(x)表示随机变量X取值小于或等于x的概率，可用概率密度函数f(x)表示为：F(x) = ∫f(t)dt，其中t为X的取值范围。
根据概率密度函数的定义可知，概率密度函数是分布函数的导数。
即概率密度函数f(x)等于分布函数F(x)的导数：f(x) = dF(x)/dx三、概率密度函数的数学性质1. 区间概率：概率密度函数f(x)在区间[a, b]上的积分表示随机变量X落在该区间内的概率：P(a≤X≤b) = ∫[a,b]f(x)dx2. 期望值：随机变量X的期望值E(X)可以通过概率密度函数f(x)计算得出：E(X) = ∫xf(x)dx3. 方差：随机变量X的方差Var(X)可以通过概率密度函数f(x)计算得出：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx四、案例分析以正态分布为例，其概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ为期望值，σ为标准差。
根据正态分布的概率密度函数可推算出一些重要的数学性质：1. 正态分布的概率密度函数关于平均数μ对称，即f(x) = f(μ+x)。
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1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
3.标准正态分布分布函数的性质：
(x) 1 (x).
4.利用 (x)求正态变量落在某区间内的概率：
3. 若随机变量 X ~ N(2 , 2) , 且 P(2 X 4) 0.3 ,
则 P(X 0) ______.
解：已知X ~ N(2 , 2) , 则有
P(2
X
4)
(4
2)
(2
2)
(2
)
(0)
( 2 ) 0.5
0.3
由此可得 ( 2 ) 0.8 , 从而
P(
X
0)
P(
2π
1
3
y2
e y 2
dy.
2π 0
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
置换积分变量 y t , y 2t , 得 2
E(Y 2 )
4
t
3 2
et
dt
π0
4 (5) π2
于是
4 3 1 (1) 4 3 1 π 3, π22 2 π22
D(Y ) E(Y 2) [E(Y )]2 3 12 2.
若 X ~ N( , 2),则
P( x1
X
x2
)
(
x2
)
( x1
).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
思考题
1测. 量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m)
具有概率密度
f (x)
1
( x20)2
e 3200 ,
40 2 π
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
o
μ
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
小结
若 X ~ N( , 2) ,则 E( X ) , D(X ) 2, (X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
思考题
1. 已知连续随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 exp(x2 2x 1), x . π
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2
π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：源自Φ(x) 1x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
的概率密度、数学期望与方差.
解： 已知 X ~ N(0 , 2) , 则 X 的概率密度为
f X (x)
1
x2
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
第四章 正态分布
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
30 m 的概率.
解：按题意，每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 正态分布N(20 ,402) , 于是
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
§4.2 正态分布的数字特征
例1.设 X ~ N (0 ,1) ,求Y X 2 的数学期望与方差. 解： E( X ) 0 , D(X ) 1. 所以，
E(Y ) E(X 2) D( X ) [E( X )]2 1 02 1.
E(Y 2)
y2 0
1
y e dy 1 y 22
1 0.9973 0.0027 0.003.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
得到的.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
定义. 若随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 0 都是常数，则称随机变量 X 服从正态
分布(或高斯分布). 记作：
σ 1
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
σ 1.5
概率论与数理统计
σ3
σ 7.5
o
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
x
(
e
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F ( x)
1
0 .5
o
x
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
k ( X ) 0 ,k 1 ,3 ,5 ,;
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
当k是偶数时，
k ( X )
2 k
2π
t k et2 2dt,
0
t2 2u
2k 2 k
k 1
u
2
eu du
2k
2
k
(k
1)
π0
π2
(k 1)!! k , k 2 ,4 ,6 ,.
概率论与数理统计
X ~ N ( , 2). 特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为：
X ~ N (0 ,1).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2πσ
1.关于直线 x 对称；
则 X 的数学期望为 _____ , 方差为 ______.
解： X 的概率密度可以写为
f (x)
1 2π
1
exp[
(x 2(
1)2 1 )2
]
2
2
由此可知，X ~ N (1 , 1) . 于是有，E( X ) 1 , D( X ) 1.
2
2
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
2.设随机变量X ~ N(0 , 2) , 求随机变量函数Y X
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2的概率密度.
解：已知随机变量 X 的概率密度