1.正态分布的概率密度与分布函数
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界和人类社会中广泛存在，被用于描述各种现象的分布规律，从而对数据进行分析和预测。
本文将详细介绍正态分布的定义、性质以及应用。
一、正态分布的定义和性质正态分布是一种连续型的概率分布，可以通过其概率密度函数来描述。
这个函数的图像呈现出钟形曲线，其形状对称轴对称，且在均值处达到最大值。
正态分布的概率密度函数可由以下公式表示：f(x) = 1 / (σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布具有以下重要的性质：1. 对称性：正态分布的概率密度函数相对于均值呈现对称性，即左右两侧的曲线形状相同。
2. 峰度：正态分布的峰度为3，表示其曲线相较于正态分布的峰度更加平坦。
3. 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，所得的正态分布称为标准正态分布。
标准正态分布在统计学中具有重要的作用，经过适当的转换，可以将任何正态分布转化为标准正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在自然科学、社会科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 统计推断：由于正态分布具有丰富的性质和可靠的统计特征，在统计学中得到了广泛应用。
通过对观测数据的分析，可以利用正态分布进行参数估计和假设检验，从而得到关于总体的推断结果。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中有着重要的应用。
例如，在生产过程中，通过对产品质量数据的测量和分析，可以使用正态分布来确定产品是否合格以及如何调整生产过程，以确保产品符合规定的质量标准。
3. 金融市场：正态分布在金融领域中的应用广泛而重要。
许多金融市场价格变动的模型都基于正态分布。
例如，根据正态分布模型，可以计算股票价格的变动概率，评估投资风险，并进行资产配置和风险管理。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中的应用主要用于研究人口特征和人口变化规律。
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
正态分布的概率密度与分布函数
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念，它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$，其 中 $mu$ 是期望；对于连续随机变量，方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称， 即如果一个数据值在均值μ的左侧， 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时，无论数据的 来源和分布情况如何，只要符合 中心极限定理的条件，数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布，如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述， 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述， 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数，其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中，通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$，其中 $N$ 是样本大小，$x_i$ 是每个样
本值，$bar{x}$ 是样本均值。
正态分布
正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
常见分布的分布函数
常见分布的分布函数常见分布的分布函数在数学中，分布函数是描述一个随机事件的可能性的函数。
这个函数通常表示为F(x)，其中x表示一个随机变量，F(x)表示随机变量小于或等于x的概率。
常见的分布函数有：正态分布、均匀分布、伽马分布、Poisson分布等等。
1. 正态分布的分布函数正态分布是一种连续分布函数，它是不对称的，并且随着x的增大而变得更平坦。
正态分布的分布函数是一个积分式，这个积分式无法通过初等函数表达。
因此，我们通常用标准正态分布表来查看分布函数。
2. 均匀分布的分布函数均匀分布是一种连续分布函数，它的概率密度函数是一个常数。
均匀分布的分布函数可以用下面的公式来表示：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a表示区间的左端点，b表示区间的右端点。
3. 伽马分布的分布函数伽马分布是一种连续分布函数，它可以用来描述一些连续的非负变量的分布。
伽马分布的分布函数可以用下面的公式来表示：F(x) =I(α,x/β)，其中α和β是分布的参数，I表示不完全伽马函数。
4. Poisson分布的分布函数Poisson分布是一种离散分布函数，它通常用来描述一个时间段内某事件的发生次数。
例如，一天内某地区车祸的数量。
Poisson分布的分布函数可以用下面的公式来表示：F(x) = Σ(k=0,x)e^(-λ)λ^k/k! ，其中λ表示事件的平均发生率。
在实际应用中，我们需要了解这些分布函数的性质和应用场景，以便进行统计推断和概率计算。
正态分布通常用于描述一些具有平均值和标准差的实验数据，例如身高和体重等。
均匀分布通常用于描述一些随机取值的情况，例如在一个范围内随机选择一个数的情况。
伽马分布通常用于描述一些非负变量的分布，例如长度、时间和能量等。
Poisson分布通常用于描述一些事件的发生次数，例如一天内的车祸数量和银行内的交易数量等。
总之，分布函数是数学中非常重要的概念，它在实际应用中具有广泛的应用。
要学好分布函数，我们需要掌握它们的原理和应用，同时还需要了解一些统计学和概率学的知识，以便进行推断和计算。
正态分布分布函数公式fx
正态分布分布函数公式fx
正态分布是一个连续概率分布，其分布函数可以用数学公式表示为
fx，具体的公式如下：
fx = (1 / (σ √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))
其中，fx是正态分布的概率密度函数值。
μ是均值，σ是标准差。
在这个公式中，(x-μ)^2/(2σ^2)表示标准化的差异程度，即(x-μ)
除以标准差σ的比值。
e是自然对数的底，e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))表示
标准化的差异程度对应的指数函数值。
(1/(σ√(2π)))是一个常数，用来保证正态分布的概率密度函数的
积分是1、它是一个归一化常数，使得整个概率密度函数的面积等于1正态分布函数fx是一个关于x的函数，表示随机变量X的取值为x 时，其概率密度函数的值。
正态分布函数具有以下特性：
1.在均值μ处，概率密度函数取得最大值。
2.标准差σ越小，概率密度函数的峰值越高，曲线越陡峭。
3.当标准差σ趋近于0时，正态分布的概率密度函数趋近于0，曲
线趋近于一个尖锐的峰。
4.当标准差σ趋近于无穷大时，正态分布的概率密度函数趋近于0，曲线趋近于x轴。
正态分布函数在统计学中具有广泛的应用。
它可以描述许多自然现象和随机过程的分布情况。
由于正态分布具有对称性、稳定性和可加性等特点，因此在统计学中经常被作为假设和近似，用来分析和解释各种数据。
正态分布函数的计算可以通过数值计算或者使用统计软件实现，一般情况下，可以利用现成的数学函数库或者统计函数库来计算正态分布函数的值。
正态分布相关公式
正态分布相关公式
1. 正态分布的概率密度函数：
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \] \( \mu \) 代表均值，\( \sigma \) 代表标准差。
2. 正态分布的累积分布函数：
\[ F(x) = \frac{1}{2}\left(1+ \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma
\sqrt{2}}\right)\right) \]
erf(x) 是被称为误差函数的数学函数。
3. 正态分布的期望值（均值）：
\[ \mathrm{E}(X) = \mu \]
这表示正态分布的均值即为其期望值。
4. 正态分布的方差：
\[ \mathrm{Var}(X) = \sigma^2 \]
方差表示正态分布中数据的离散程度。
5. 正态分布的标准差：
\[ \mathrm{SD}(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sigma \]
标准差是方差的平方根，也表示数据的离散程度。
请注意：以上公式中的符号与其含义相符，但没有提及具体名称以满足您的要求。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
正态分布的概率密度函数表达式为：$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
正态分布在实数轴上对称分布，其 概率密度函数关于均值$mu$对称。
参数解释
1 2
均值（$mu$） 正态分布的对称轴，决定了分布的位置。
正态分布在统计学中的应用
在回归分析中的应用
线性回归分析
正态分布是线性回归分析中误差分布的常用假设，它有助于估计未知参数和预测 未来观测值。
逻辑回归分析
在逻辑回归分析中，正态分布用于解释分类变量与连续变量之间的关系，通过概 率转换实现分类目的。
在质量管理中的应用
控制图
正态分布用于制作均值和标准差控制 图，监控生产过程中的产品质量波动。
与t分布的关系
01
t分布是正态分布在样本量较小或数据变异较大时的
近似分布。
02
t分布的形状由自由度决定，当自由度逐渐增大时，t
分布趋近于正态分布。
03
在统计推断中，t检验和t分布经常用于分析小样本数
据或异常值较多的数据集。
与F分布的关系
1
F分布是两个正态分布的比值的分布，常用于方 差卡尔·弗里德里希·高斯 （Carl Friedrich Gauss）在1809 年首次对正态分布进行了系统研究， 并将其应用于误差分析。
后续发展
随着统计学和概率论的不断发展， 正态分布在各个领域得到广泛应用， 成为概率论和统计学中的基础分布 之一。
定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率 密度函数（pdf）呈钟形曲线。
正态分布的分布函数形式为：$F(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{(tmu)^2}{2sigma^2}} dt$，其中$mu$和$sigma$分别为均值 和标准差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
先求随机变量Y的分布函数：
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y).
1
2 π
e
(
x )2 2 2
1 0.9973 0.0027 0.003.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π
0,
y 0; y 0.
所得的分布称为自由度为1的 2分布.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
2 π
( x2 ) ( x1 ).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例2. 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22 ) , 求概率
P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
得到的.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
定义. 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 0 都是常数，则称随机变量 X 服从正态
分布(或高斯分布). 记作：
第四章 正态分布
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
X ~ N ( , 2 ).
特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为：
X ~ N (0 ,1).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2πσ
1.关于直线 x 对称；
σ 1
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
σ 1.5
概率论与数理统计
σ3
σ 7.5
o
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F (x) 1
x
e
(
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F ( x)
1
0 .5
o
x
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
o
μ
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
(k) [1 (k)]
2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973. 说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例3. 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.