正态分布的概率密度与分布函数(修).
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1.正态分布的概率密度与分布函数
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
6讲分布函数及概率密度
d
x
d b
c a
.
3. 指数分布
定义：若随机变量 X 具有概率
密度
ex , x 0 ,
f (x)
( 0)
0, x0.
则称 X 服从参数为λ的指数分布，记成 X ~
E(λ)。
指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。
例2：设某电子管的使用寿命X(单位：小时) 服从参数λ=0.0002的指数分布，求电子管使 用寿命超过3000小时的概率。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则
x x
lim P(x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)，
X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰好是 X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长度△x 之比的极限。 如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中 的线密度。
F(x) 1
e dt, x
(t )2 2 2
x.
2
IV. 标准正态分布 称N(0, 1)为标准正态分布，其密度函数
和分布函数常用 (x) 和 (x) 来表示。(附录)
(x) 1 ex2 / 2 ， x ， 2
(x) x 1 et2 / 2d t .
h 170 7.69
0.99，
查表，得 (2.33） 0.9901 0.99，
所以， h 170 2.33，即 h 1.88. 7.69
故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与 车门碰头机会不超过0.01。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
6-正态分布
100个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
产品 尺寸 （mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
样本容量增大时 频率分布直方图
( .) 1 (.) . ..
例如
x
x
4.分位点/分位数的概念
标准正态分布N (0,1) 的“上 分位点”通常记成 z
定义 若 P{ X z } ( x )dx , 0 1,
z
称z 为X的上分位点 .
1 1 yb fY ( y ) f x ( ) a a a
1 e 2
yb a
2
( 2 2 )
,
1 2 a
e
[ y( a b )]2 [ 2( a ) 2 ]
,
故 Y ~ N (a b, (a )2 ).
(2) 在(1)中取
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x )
x
1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
例1 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}. 解
例3 设X ~ N (500,602 ), 求 () P{ X }
( ) P{| X | }
( 3) 若P{ X x} 0.1, 求x.
概率统计课程标准
《概率统计》（理工等，本）课程标准一、课程概述《概率统计》是理工科学生的一门基础理论课。
概率统计是研究随机现象客观规律性的一门学科，随着科学技术的发展以及人们对随机现象规律性认识的需要，概率随机现象规律性认识的需要，概率统计的思想方法正日益渗透到自然科学和社会科学的众多领域中。
通过本课程的学习，使学生掌握概率统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计分析和解决实际问题的能力。
本课程类型是必修课，基础理论课。
总学时是36学时，适用于理工类本科，先修课程为微积分和线性代数。
二、课程目标1、知道《概率统计》这门学科的性质、地位和作用，知道这门学科所研究的对象、研究方法和学科发展。
2、理解和掌握这门学科的主要概念、基本思想和基本方法。
3、要求学生理解并掌握随机事件与概率的计算，理解并掌握随机变量及概率分布的性质，掌握随机变量的数字特征，了解大数定律，会用中心极限定理求近似概率，了解树立统计的基本概念，掌握参数估计及假设检验的基本理论和方法，并会用这些方法解决一些实际问题。
4、知道如何把“数理统计”与“概率论”联系起来。
5、养成对发生在自己日常学习、生活和工作的事进行思考的习惯，看能否用概率论与数理统计的思想和方法来考虑问题。
三、课程内容与教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。
这四个层次的一般含义表述如下：知道----是指对这门学科和随机现象的认知。
理解----是指对这门学科涉及到的概念、思想、方法的说明和解释，能提示随机现象的特征。
掌握----是指运用已理解的概念、思想和方法类推同类问题。
学会----是指能模仿或在老师指导下独立完成有关的计算、推导和证明，或识别一般错误。
教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
本标准中打“﹡”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
(一)随机事件及其概率(二)随机变量及其分布(三)随机变量的数字特征(四)正态分布(五)数理统计的基本知识(六)参数估计(七)假设检验四、课程实施（一）课时安排与教学建议每周安排2课时，共36课时。
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x2 2
(0) 0.5;
( ) 1; ( x) 1 ( x).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例1] 设 X 服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X 1.96);
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t2 2
t2 2
t2 2
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4). 解：P(1.6 X 2.4) ( 2.4 1) ( 1.6 1) 2 2 (0.7) (1.3)
2.标准正态分布 N (0 ,1) 的概率密度与分布函数：
( x) 1 e
2π
x2 2
, x .
1 Φ ( x) e dt. 2π
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t2 x 2
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
3.标准正态分布分布函数的性质： ( x) 1 ( x). 4.利用 ( x )求正态变量落在某区间内的概率：
若 X ~ N ( , 2 ), 则
P( x1 X x2 ) (
x2
) (
x1
).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
补充例题
[例1] 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X (m) 具有概率密度 ( x 20 ) 2 1 f ( x) e 3200 , 40 2 π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过 30 m 的概率. 解：按题意， 每次测量时发生的随机误差 X (m) 服从 正态分布 N (20 ,402 ) , 于是
F ( x)
1
e
( x )2 x 2 2
dx , x .
0.5
O
x
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
标准正态分布的概率密度：
1 ( x) e , x ; 2π 标准正态分布的分布函数： 1 Φ ( x) e dt . 2π ( x) 的性质：
y 0; y 0.
所得的分布称为自由度为 1的 2分布.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
小 结
1.正态分布 N ( , 2 )的概率密度：
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 π
, x .
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例6] 设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度. 解：已知随机变量 X 的概率密度
1 f X ( x) e , x . 2π 先求随机变量Y的分布函数：
(2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
( 2) P(1.6 X 2.5) (2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6)
t
x
P( x1 X x2 )
x2
1 2
x2
x
x2
1
e
( x )2 2 2
dx
x1
1 1 1 e dt e dt e dt 2 π x1 2 π 2 π x2 x1 ( ) ( ).
0.9938 1 0.9452 0.9390.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
一般正态分布的概率计算 [定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则 x2 x1 P( x1 X x2 ) ( ) ( ). 证：
f ( x)
分布曲线的特征： 1.关于直线 x 对称；
1 2
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
O
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
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返回Leabharlann 结束§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变 其形状. 曲线的形状与一尖塔相似； 当 值增大时，
和近似地服从正态分布；
4. 数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导 得到的.(2) 统计推断中常用正态分布的统计量.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
[定义] 若随机变量 X 的概率密度为
1 f ( x) e , x , 2 π 0. 则称随机变量 X 服从 其中 及 都是常数，
所以， 在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
30 m 的概率
p 1 (1 0.4931)3 0.8698.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例2] 已知某机械零件的直径 (mm) 服从正态分布 N (100 ,0.62 ) , 规定直径在 100 1.2(mm) 内为合格品. 求这种机械零件的不合格品率.
内为正品，求产品的正品率。 解
X ~ N (10.05, 0.06 2 ) P( x 10.05 0.12) x 10.05 P( 2) 0.06 (2) (2) 2(2) 1 0.9544
故产品的正品率为0.9544
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(k ) (k )
(k ) [1 (k )] 2 (k ) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973.
正态分布(或高斯分布). 记作： X ~ N ( , 2 ). 当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为： 特别，
( x )2 2 2
X ~ N (0 ,1).
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数 正态分布 N ( , 2 ) 的概率密度 f ( x) 的图形：
( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值
区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
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[例4] 某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布
N (10.05, 0.06 2 ) ,规定长度在范围 10.05 0.12
FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y).
x2 2
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
FY ( y ) P( y X
y 1 e y 2π x2 2
y
y)
y
dx
y
O
所以， Y 的分布函数为
FY ( y )
y
x
2 y e dx , 2π 0 0,
x2 2
y 0; y 0.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y )
y 1 1 y 2 e 2, 2π 0,
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 (1 0.9032 ) 0.6612.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量 X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,. 解： P( X k ) P( k X k ) k k ( ) ( )
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( X 3 ) 1 P( X 3 )