4.1正态分布的概率密度与分布函数
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即有
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ( x) 1 ex t2 2dt .
2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; () 1; ( x) 1 ( x).
证明 Φ( x) 1 Φ( x) .
证明 Φ( x)
6
1 (l 170) 0.01 ,
6
即 (l 170) 0.99 . 查表得l 170 2.33 ,
6
6
故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 , .
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2) 问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
有
P{ x1
X
x2 }
P
x1
X
x2
Φ
x2
Φ
x1
.
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ) .
显然f ( x) 0 ,下面来证明 f ( x)dx 1 .
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
(k) [1 (k)]
2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 , .
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973.
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
则 P(X 0) ______.
解： 已知X ~ N(2 , 2) , 则有
P(2
X
4)
(4
2)
(2
2)
(2
)
(0)
( 2 ) 0.5
0.3
由此可得 ( 2 ) 0.8 , 从而
P( X
0)
P(
X
2
2)
( 2
有 P{ h X } P{ X h} .
2当x 时取到最大值 f ()
1.
2π
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 ,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定 . 称
小结
1.正态分布N( , 2)的概率密度：
f (x)
1
2 π
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
思考题
若随机变量 X ~ N(2 , 2) , 且 P(2 X 4) 0.3 ,
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
x
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 d x
x
1
e
x2 2
d
x，
2π
2π
1 Φ( x) .
[例1] 设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解（1）
P{ X
165}
P X
170 6
165 170
6
1 (0.83) (0.83) 0.7967.
(2)由题设知 X ~ N(170,62 ) ,
P{X l} 1 P{X l}
1
P
X
170 6
l
170
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦, σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
正态分布概率的计算
P{X x}F( x)
1 2πσ
e d t x
(
t μ)2 2σ2
原函数不是 初等函数
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N (, 2 ) , 则 Z X ~ N (0,1) .
证 Z X 的分布函数为
I 2 2π rer2 2drd 2π， 00
故有 I 2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1 .
2π
2π
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称 . 这表明对于任意h 0 ,
)
1
(2
)
1 0.8 0.2.
答：应填0.2.
P{Z
x}
P
X
x
P{ X
x}
1
x
e
(
t )2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
dt，
2π
令 t
u
,得
P{Z
x}
1 ex u2 2du Φ( x) 2π
由此知 Z X ~ N (0,1) .
[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1, x2 ] ,
令 ( x ) t , 得到
1
( x )2
e
2 2
dx
2
1 e t2 2dt，
2
记 I e t2 2dt , 则有I 2 e(t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
而I 0, 于是
(x) 1 ex2 2 ,
2π
Φ( x) 1 ex t2 2dt .
2π
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; () 1; ( x) 1 ( x).
证明 Φ( x) 1 Φ( x) .
证明 Φ( x)
6
1 (l 170) 0.01 ,
6
即 (l 170) 0.99 . 查表得l 170 2.33 ,
6
6
故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 , .
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
例3 设某城市成年男子的身高 X ~ N (170, 62 ) (单位 : cm) (1)求成年男子身高大于165cm的比例； (2) 问应如何设计公共汽车车门的高度 ,使男子与 车门顶碰头的几率小于0.01 ?
有
P{ x1
X
x2 }
P
x1
X
x2
Φ
x2
Φ
x1
.
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22) , 求概率 P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
得到的.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ) .
显然f ( x) 0 ,下面来证明 f ( x)dx 1 .
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
(k) [1 (k)]
2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 , .
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973.
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
则 P(X 0) ______.
解： 已知X ~ N(2 , 2) , 则有
P(2
X
4)
(4
2)
(2
2)
(2
)
(0)
( 2 ) 0.5
0.3
由此可得 ( 2 ) 0.8 , 从而
P( X
0)
P(
X
2
2)
( 2
有 P{ h X } P{ X h} .
2当x 时取到最大值 f ()
1.
2π
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 ,改变 的值 , 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定 . 称
小结
1.正态分布N( , 2)的概率密度：
f (x)
1
2 π
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
思考题
若随机变量 X ~ N(2 , 2) , 且 P(2 X 4) 0.3 ,
第四章 正态分布
§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
x
1
x2
e 2 dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 d x
x
1
e
x2 2
d
x，
2π
2π
1 Φ( x) .
[例1] 设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P(X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解（1）
P{ X
165}
P X
170 6
165 170
6
1 (0.83) (0.83) 0.7967.
(2)由题设知 X ~ N(170,62 ) ,
P{X l} 1 P{X l}
1
P
X
170 6
l
170
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦, σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
正态分布概率的计算
P{X x}F( x)
1 2πσ
e d t x
(
t μ)2 2σ2
原函数不是 初等函数
?
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N (, 2 ) , 则 Z X ~ N (0,1) .
证 Z X 的分布函数为
I 2 2π rer2 2drd 2π， 00
故有 I 2π , 即有 e t2 2dt 2π ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1 .
2π
2π
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称 . 这表明对于任意h 0 ,
)
1
(2
)
1 0.8 0.2.
答：应填0.2.
P{Z
x}
P
X
x
P{ X
x}
1
x
e
(
t )2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
dt，
2π
令 t
u
,得
P{Z
x}
1 ex u2 2du Φ( x) 2π
由此知 Z X ~ N (0,1) .
[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1, x2 ] ,
令 ( x ) t , 得到
1
( x )2
e
2 2
dx
2
1 e t2 2dt，
2
记 I e t2 2dt , 则有I 2 e(t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
而I 0, 于是