概率论第三章：二维随机变量及其联合分布

第三章 二维随机变量及其联合概率分布考试内容：二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求：1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。

2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。

掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。

3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。

4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。

5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。

一、知识要点1、二维随机变量的分布函数),(Y X 的联合分布函数 },{),(y Y x X P y x F ≤≤=， 性质:1),(0≤≤y x F ，单调不减，右连续，0),(=-∞-∞F ，0),(=-∞y F ，0),(=-∞x F ，1),(=+∞+∞F ； X 的边缘分布函数：),()(+∞=x F x F X ； Y 的边缘分布函数：),()(y F y F Y +∞=.2、二维离散型随机变量),(Y X联合分布律：ij j p y Y x X P ===),(1， ,2,1,=j i ，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：⋅===∑i jiji p px X P 记)(， ,2,1=ij iijj p py Y P ⋅===∑记)(， ,2,1=j .3、二维连续型随机变量),(Y X若⎰⎰∞-∞-=x yv u v u f y x F d d ),(),(，称),(y x f 为),(Y X 的联合密度函数；),(y x f 的性质:(1) 0),(≥y x f ；(2)1d d ),(=⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x f ；(3)若),(y x f 连续，则),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂； (4)⎰⎰=∈Dy x y x f D Y X P d d ),(}),{(；边缘密度: ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(；⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(；二维均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 , 0),( , 1),(Dy x S y x f D ，D S 为D 的面积；二维正态分布);,;,(222121ρσσμμN ：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122212)1(21exp 121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x y x f 其边缘分布分别为一维正态分布),(~211σμN X ，),(~222σμN Y .4、随机变量的独立性若)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=，称X 与Y 相互独立； 离散型：j i ij p p p ⋅⋅=. ， ,2,1,=j i ；连续型：)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=)()(y f x f Y X ⋅=，R y x ∈,.5、条件分布离散型：在j y Y =条件下X 的条件分布为jij j i p p y Y x X P ⋅===)|(， ,2,1=j .6、二维随机变量函数的分布主要研究Y X Z +=的分布： 连续型，卷积公式：⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(或⎰∞+∞--=y y y z f z f Z d ),()(；若Y X ,相互独立，则⎰∞+∞--=x x z f x f z f Y X Z d )()()(或⎰∞+∞--=y y f y z f z f Y X Z d )()()(；可加性定理：(1) 设),(~p m B X ，),(~p n B Y ，且Y X ,相互独立，则),(~p n m B Y X ++； (2) 设)(~1λP X ，)(~2λP Y ，且Y X ,相互独立，则)(~21λλ++P Y X ;(3) 设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且Y X ,相互独立，则有),(~222121σσμμ+++N Y X ;推广到有限多个，若),(~2i i i N X σμ，n i ,,2,1 =，且n X X X ,,,21 相互独立，则有∑∑∑====n i ni i i i i n i i i a a N X a Z 11221),(~σμ，称为正态分布的可加性.二、典型例题题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布【例1】 (研97) 设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：21}1{}1{=-==-=Y P X P ，21}1{}1{====Y P X P ，则下列各式成立的是 【 】(A)21}{==Y X P (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 41}0{==XY P【详解】 由X 和Y 相互独立知}1,1{}1,1{}{==+-=-===Y X P Y X P Y X P}1{}1{}1{}1{=⋅=+-=⋅-==Y P X P Y P X P 2121212121=⨯+⨯=。

而 }1,1{}1,1{}0{-==+=-===+Y X P Y X P Y X P}1{}1{}1{}1{-=⋅=+=⋅-==Y P X P Y P X P 2121212121=⨯+⨯=， 0}0{==XY P 。

【答案】 应选(A).【例2】 (研99) 设随机变量⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-412141101~i X )2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【 】(A )0(B )41(C )21(D )1【详解】 先求联合分布：由于1}0{21==X X P ，所以0}0{21=≠X X P ，即}1,1{21-=-=X X P }1,1{21=-==X X P }1,1{21-===X X P 0}1,1{21====X X P ，由联合与边缘分布的关系得 41====e d b a ，0=c ， 所以 000}{21=++==c X X P ， 【答案】 应选(A).【例3】 (研09) 设袋中有1个红球，2个黑球和3个白球。

现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以Z Y X ,,分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数. (1) 求}0|1{==Z X P ；(2) 求二维随机变量),(Y X 的概率分布.【详解】 (1) }0|1{==Z X P 表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故94}0|1{13131212=⋅⋅===C C C C Z X P .(2) Y X ,的取值为0，1，2，且41}0,0{16161313=⋅⋅===C C C C Y X P ，61}0,1{16161312=⋅⋅===C C C C Y X P ，3611}0,2{1616=⋅===C C Y X P ，31}1,0{1616131212=⋅⋅⋅===C C C C C Y X P ， 91}1,1{16161212=⋅⋅===C C C C Y X P ，91}2,0{16161212=⋅⋅===C C C C Y X P ，0}2,2{}2,1{}1,2{=========Y X P Y X P Y X P ， 故二维随机变量),(Y X 的概率分布如下：题型2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布【例1】 设随机变量),(Y X 的分布函数为)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=，试求：(1) 系数C B A ,,；(2) ),(Y X 的概率密度；(3) 边缘密度函数；(4) }3,20{<<≤Y X P .【详解】 (1) )2)(2(),(1ππ++=∞++∞=C B A F ，)2)(2(),(0ππ+-=∞+-∞=C B A F ，)2)(2(),(0ππ-+=∞-+∞=C B A F ，2π==⇒C B ，21π=A .(2) ),(Y X 的联合概率密度函数为 yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2)9)(4(6222y x ++=π. (3) ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞+∞-++=y y x d )9)(4(6222π)4(22x +=π，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(⎰∞+∞-++=x y x d )9)(4(6222π)9(32y +=π， 或解：边缘分布函数分别为)2arctan 2(1),()(x x F x F X +=∞+=ππ，)3arctan 2(1),()(yy F y F Y +=+∞=ππ， 求导得边缘密度函数分别为)()(x F x f XX '=)4(32x +=π，)()(y F y f Y Y '=)9(32y +=π.(4) }3,20{<<≤Y X P ⎰⎰∞-=203d d ),(y x y x f ⎰⎰∞-++=3220229d 4d 6yyx x π 32023arctan312arctan 216∞-⋅⋅=yx π163=. 【例2】 (研92) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他, 00 , e ),(yx y x f y ， (1) 求X 的边缘密度)(x f X ；(2) 求概率}1{≤+Y X P . 【详解】(1) ⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(，当0≤x 时， 0)(=x f X ； 当0>x 时， x x-y X y x f -∞+==⎰e d e )(，所以⎩⎨⎧≤>=-0, 00, e )(x x x f x X . (2) }1{≤+Y X P ⎰⎰≤+=1d ),(y x y x f σ⎰⎰--=x xy yx 12/10d e d 21e 2e11--+=. 【例3】 (研95) 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他 , 0 10,10 , 4),(y x xy y x f ， 求),(Y X 的联合分布函数. 【详解】 ⎰⎰∞-∞-=x yv u v u f y x F d d ),(),(，分块计算，当0<x 或0<y 时，显然0),(=y x F ； 当10≤≤x 且10≤≤y 时，2200d d 4),(y x v u uv y x F x y==⎰⎰；当1>x 且10≤≤y 时，2100d d 4),(y v u uv y x F y==⎰⎰；当1>y 且10≤≤x 时，201d d 4),(x v u uv y x F x ==⎰⎰；当1>x 且1>y 时，1d d 4),(101==⎰⎰v u uv y x F ，综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>≤≤>≤≤≤≤<<=11 , 1 101 , 101 , 10,10 , 00, 0 ),(2222y x y x y x y x y x y x y x y x F 且且且或.题型3：二维随机变量函数的分布【例1】 (研01) 设二维随机变量),(Y X 在正方形}31,31|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求随机变量||Y X U -=的概率密度函数)(u p . 【详解】 由题设知， ),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f ),( , 0),( , 4/1),(， 先求||Y X U -=的分布函数}{)(u U P u F ≤=， 当0≤u 时，0)(=u F ；当2≥u 时，1)(=u F ； 当20<<u 时，⎰⎰≤-=≤-=u y x y x f u Y X P u F ||d ),(}||{)(σ⎰⎰≤-=uy x ||d 41σ]}1)3[()]1(3[4{41--⨯+--=u u ])2(4[412u --=2)2(411u --=， 于是⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=其他, 0 20 , )2(21)()(u u u F u p .【例2】 (研03) 设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g .【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设)(y F 是Y 的分布函数，则由全概率公式，知Y X U +=的分布函数为}{)(u Y X P u G ≤+=}2|{7.0}1|{3.0=≤++=≤+=X u Y X P X u Y X P}2|2{7.0}1|1{3.0=-≤+=-≤=X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 相互独立，可见}2{7.0}1{3.0)(-≤+-≤=u Y P u Y P u G )2(7.0)1(3.0-+-=u F u F ， 由此，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g )2(7.0)1(3.0-+-=u f u f .【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性。