2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
2 4
★解析：设底面对角线 AC，BD 交于点 O，过点 C 作直线 MN 的垂线，交 MN 于点 H。 由于 PO 是底面的垂线，故 PO⊥CH，又 AC⊥CH，所以 CH⊥平面 POC，故 CH⊥PC。 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段，又 CH
2 2 CN ，故异面直线 MN 与 PC 之间的距 2 4
n 2 n 1 2 3 n
(n 1)
) 2n n
a 2014 2 2013 2015 2015 2013 a1 a 2 ... a 2013 2 2013 2013
2014A 5、正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角 形， M , N 分别是边 AB, BC 的中点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离为 ◆答案：
2
PQ QR
的最小值。
★解析： （1）设 P 点的坐标为 ( a, b)(b 0) ，易知 a 0 。记两切点 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ，
( x 2 , y 2 ) ，则 PA ， PB 的方程分别为 yy1 2( x x1 ) yy 2 2( x x 2 )
2 2
★解析：记 f ( z ) ( z ) z ，则 f ( z1 ) f ( z 2 ) ( z1 ) z1 ( z 2 ) z 2
k 2
1 1 的值为 a b
k 3
，b 3
， a b 6 ，从而
k
1 1 ab 6k k 2 2 2 33 108 。 k 3 a b ab 2 3 3 b | 1 a b 2 中最大元素与最小元素分别为 M , N ，则 M N 的值为 a
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根据①、②可知，当 P P0 时，
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
2014A 8、设 A, B, C , D 是空间四个不共面的点，以
1 的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之 2
间是否连边是相互独立的，则 A, B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 ◆答案：
1 AP AB sin 2 sin( sin(
，故 3
①
1 ) cos 6 2 sin( ) 1 cos 6 2
3 sin cot 3 15 3 3 5 2 ② 2 3 cot 3 15 3 sin 2 S APB 3 5 的最大值为 2 S APC
2014A 7 、设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2 ，圆心为 I 。若点 P 满足 | PI | 1 ，则 APB 与
APC 的面积之比最大值为
◆答案：
3 5 2
★解析：由 PI=1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上。 设 BAP ，在圆 K 上取一点 P0 ，使得 取到最大值 0 ，此时 P0 应落在 IAC 内，且是 AP0 与 圆 K 的切点。由于 0 0
离是
2 。 4
2014A 6 、设椭圆 的两个焦点 F1 、 F2 ，过点 F1 的直线与 交于点 P, Q ，若 | PF2 | | F1 F2 | 且
3 | PF1 | 4 | QF1 | ，则椭圆 的短轴与长轴的比值为
◆答案：
2 6 7
★解析：不妨设 | PF1 | 4 ， | QF1 | 3 。记椭圆 的长轴，短轴的长度 分别为 2a ， 2b ，焦距为 2c ，则 | PF2 || F1 F2 | 2c ，且由椭圆的定义知，
2 2
3 3 b 2 5 ，当 a 1 ， b 2 时，得最大元素 M 5 ，又 a 1
f ( x) x 2 ax a 单调递增，等价于
a 0 ，即 a 0 ，因此实数 a 的取值范围是 [2,0] 2
a 1 ，即 a 2 。在 [0,1] 上， 2
tan a1 1 tan a m 1 3m 1 1 1 ，得 m 3333 。 3m 1 100
…………………20 分
由
2014A 11、 （本题满分 20 分）确定所有的复数 ，使得对任意的复数 z1 , z 2 （ z1 , z 2 1 ， z1 z 2 ） 均有 ( z1 ) z1 ( z 2 ) z 2 。
2 ( x 2) ，故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点（2，0） 。 …………8 分 b
b 2 b 2 与 ，由 PO AB 知， 1 ，故 a 2 。 ………4 分 a b a b
b b ，直线 PR 的斜率 k 2 。设 OPR ，则 为 2 4 b b 1 ( )( ) 2 2 1 k1k 2 | PQ | 1 2 4 | 8 b 2 8b 2 2 锐角，且 | || b b | QR | tan k1 k 2 2|b| 2|b| 2 4
（2）因为 a 2 ，故直线 PO 的斜率 k1 当 b 2 2 时，
| PQ | 的最小值为 2 2 。 ……………………16 分 | QR |
2014A 10、 （本题满分 20 分） 数列 a n 满足 a1 使得 sin a1 sin a 2 sin a n
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2(n 1) 2n 23 a1 2 n 1 (n 1) n n 1 2
2 n 1
记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n 2 2 3 2 4 2 所以 2 S n 2 2 2 3 2 4 2 ( n 1) 将上面两式相减，得 S n 2 ( n 1) ( 2 2 2 2 故
2014A 4、数列 a n 满足 a1 2 ， a n 1 ◆答案：
a 2014 2( n 2) an ， （ n N ）则 n 1 a1 a 2 a 2013
2015 2013
★解析：由题设 a n
2(n 1) 2(n 1) 2n a n 1 a n2 n n n 1
3 4
6
★解析：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有 2 64 种情况。考虑其中 A，B 可用折线连接的情 况数。有 AB 边：共种 2 32 情况。 （1） 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A，B 可用折线连接当且仅当 A 与 C，D 中至少一点相连， 且 B 与 C，D 中至少一点相连，这样的情况数为 ( 2 1)( 2 1) 9 。 （2） 无 AB 边，也无 CD 边：此时 AC，CB 相连有 2 种情况，AD，DB 相连也有 2 种情况， 但其中 AC，CB，AD，DB 均相连的情况重复计了一次，故 A，B 可用折线连接的情况 数为 2 2 1 7 。 以上三类情况数的总和为 32+9+7=48，故 A，B 可用折线连接的概率为
①ห้องสมุดไป่ตู้
) 。由①得， tan 2 a n 1 sec 2 a n 1 tan 2 a n ，故 2 1 3n 2 tan 2 a n n 1 tan 2 a1 n 1 3 3
3n 2 。 3
…………………………10 分
即 tan a n
因此， sin a1 sin a 2 … sin a m
) sin 0 S APB sin 6 S APC 1 AP AC sin( ) sin( ) sin( 0 ) sin( ) 2 3 3 3 6 其中， 0 IAP0 6 IP 1 1 ，于是 cot 15 ，所以 由 AP0 I 知， sin 0 2 AI 2r 4
答案与评分细则(14年高中数学联赛四川试题)
2014年全国高中数学联赛（四川）参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、D2、B3、A4、B5、C6、C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、326 8、14 9、80 10、0 11、5 12、28 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知a 为常数，函数1()ln(1xf x ax x−=−+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若83a =−，求()f x 的极值．解：（1）函数()f x 的定义域为(1,1)−．()ln(1)ln(1)f x x x ax =−−+−，2112()111f x a a x x x −−′=−−=−−+− (5分) 因为11x −<<，故2221x−≤−−； ① 当2a >−时，()0f x ′<恒成立，故单调递减区间为(1,1)−； ② 当2a =−时，(1,0)x ∈−时()0f x ′<；0x =时()0f x ′=； (0,1)x ∈时()0f x ′<； 故单调递减区间为(1,1)−；③ 当2a <−时，由()0f x ′<知221a x−<−，即22a x a +>1x <<或者1x −<<；故单调递减区间为，(1,−． 综上所述，当2a ≥−时，单调递减区间为(1,1)−；当2a <−时，单调递减区间为，(1,−−年全国高中数学联赛（四川）试题（2）823a =−<−，由()0f x ′=知驻点为12x =−，或12x =； 于是: 112x −<<−时'()0f x <；1122x −<<时'()0f x >；112x <<时'()0f x <． （15分） 所以，()f x 有极小值14()ln 323f −=−+，有极大值14()ln 323f =−．（20分）14、已知不等式31cos 4cos sin 3222≤++−a x a x x 对一切R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．解：设31cos 4cos sin 3)(222−++−=a x a x x x f ，则28cos 4cos 4)(22−++−=a x a x x f 令x t cos =，则]1,1[−∈t故当]1,1[−∈t 时，22()44280g t t at a =−++−≤恒成立 二次函数()g t 的对称轴2a t =， ①当12a≤−，即2a ≤−时，()g t 在]1,1[−∈t 上单减， 故有()g t 的最大值2(1)4320g a a −=−−≤，解得42a −≤≤−； （5分）②当112a −<<，即22a −<<时，有()g t 的最大值2(22802ag a =−≤， 解得22a −<<； （10分） ③当12a≥，即2a ≥时，()g t 在]1,1[−∈t 上单增，故有()g t 的最大值2(1)4320g a a =+−≤，解得24a ≤≤； （15分） 综上可知，所求a 的取值范围是[4,4]−． （20分）15、已知k 为给定正整数，数列{}n a 满足13a =，2*211(31)3()k n n a S n −+=−+∈N ，其中n S 是{}n a 的前n 项和．令3121log ()()n n b a a a n n =∈"*N ,记213||2kk i i T b ==−∑．若k T ∈*N ,求k 的所有可能值．解：由条件知22121212(31)333k k k a +−−=−×+=，又 2211(31)3k n n a S −+=−+，2211(31)3k n n a S −−=−+（2n ≥） 故2211(31)k n n n a a a −+−=−，即22113k n n a a −+=．于是2223221212)3(2)n k n k k n a a n +−−−−==≥，显然1n =也符合．所以，数列{}n a 的通项公式22321()n k k n a n +−−=∈*N ． （5分）从而3121log ()n n b a a a n ="111(223)21ni i k n k ==⋅+−−∑1121n k −=+−．（10分） 于是1()32221n n k b k −+−=−，从而n k ≤时302n b −<；1n k ≥+时302nb −>． 所以222111333||()()22221kk kk i i i i i i k k T b b b k ===+=−=−+−=−∑∑∑． （15分） 因为k T ∈*N ，即2(21)|k k −，故2(21)|(411)k k −−+，于是(21)|1k − 故211k −=，解得1k =．所以所求k 的所有可能值为1k =． （20分）16、过椭圆22132x y +=的右焦点F 作两条垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）求证：直线MN 必过定点，并求出这个定点；（2）若弦AB 、CD 的斜率均存在，求△FMN 的面积的最大值． 解：（1）由题意知，(1,0)F ．① 当弦AB 、CD 的斜率均存在，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为1k−． 设:(1)AB y k x =−，代入椭圆方程22132x y +=，得2222(32)6(36)0k x k x k +−+−=，所以223232A B M x x k x k +==+，22(1)32M M k y k x k −=−=+，故点22232(,3232k kM k k −++．因为CD ⊥AB ，所以将点M 的坐标中的k 换为1k −，即得点2232(,)2323kN k k ++．（5分）（i ）当1k ≠±时，22222222332332332MNk kk k k k k k +++=−++24210(1)56633k k k k k +−==−−， 此时直线MN 的方程为222253()233323k ky xk k k −−=−+−+，则直线MN 过定点3(,0)5． （ii ）当1k =±时，易得直线MN 的方程为35x =，也过点3(,0)5． ② 当弦AB 或弦CD 的斜率不存在时，易知直线MN 为x 轴，也过点3(,0)5．综上可知，直线MN 必过定点E 3(,0)5． （10分）（2）由（1）知S △FMN =1||||2M N EF y y ⋅⋅− 2212253223k kk k −=−++2222(1)(32)(23)k k k k +=++ （15分） 不妨设0k >，则6424222222222212101012(12212)(1)(32)(23)(32)(23)k k k k k k S k k k k −−++−+−−′==++++ 由0S ′=知1k =．又(0,1)k ∈时，0S ′>; (1,)k ∈+∞时，0S ′<; 故当1k =时，S 有最大值为425．所以，△FMN 的面积的最大值是425． （20分）。
2014年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.4. 数列{}n a 满足21=a ，()()*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________.8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.二、解答题9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,.（1）证明R 是一个定点； （2）求QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π=a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得1001sin sin sin 21=⋅⋅⋅m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z ()2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.二试一、设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc .求证：412+<++abc ca bc ab .二、如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG 交于点N .求证：AN AM =.三、设{}100,,3,2,1Λ=S .求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.四、设整数201421,,,x x x Λ模2014互不同余，整数201421,,,y y y Λ模2014也互不同余. 证明：可将201421,,,y y y Λ重新排列为201421,,,z z z Λ，使得201420142211,,,z x z x z x +++Λ模4028互不同余.。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则(定稿)
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．若x ≥2，则函数f (x )＝x ＋1x ＋1的最小值是 ．答案：73．2．已知函数f (x )＝e x ．若f (a ＋b )＝2，则f (3a )·f (3b )的值是 . 答案：8．3．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项a n ＝ ． 答案：2n －1．4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－3x ， x ≥0，－2x 2＋ax ，x ＜0是奇函数，则实数a 的值是_________． 答案：－3． 5．已知函数f (x )＝|lg|x －103||．若关于x 的方程f 2(x )－5f (x )－6＝0的实根之和为m ，则f (m )的值是 ． 答案：1．6．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ． 答案：2525．说明：若学生得出255或2525，255，本题得4分．7．四面体ABCD 中，AB ＝3，CD ＝5，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ． 答案：53．8．若满足∠ABC ＝π3，AC ＝3，BC ＝m 的△ABC 恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．答案：(0，3]∪{23}．9．设集合S ={1，2，…，8}，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中最大的数小于B 中的最小数，则这样的集合对(A ，B )的个数是 ． 答案：769．10．如果正整数m 可以表示为x 2－4y 2 (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ． 答案：881．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．已知a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．证明：设a x ＝b y ＝c z ＝p ＞0，则a ＝1xp ，b ＝1yp ，c ＝1zp ．…………………… 10分所以abc ＝1xp·1yp·1zp ＝111x y zp++． …………………… 15分因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以abc ＝0p ＝1． …………………… 20分12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，点B 的坐标为(0，b )，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若MF 2＝12F 1F 2，求双曲线C 的离心率．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距长为c ，则点F 1，F 2的坐标分别(－c ，0)，(c ，0)．从而直线F 1B 的方程为x －c ＋y b＝1，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0．联立⎩⎨⎧x －c ＋yb ＝1，x 2a 2－y2b 2＝0，消去y 得，b 2x 2－2a 2cx －a 2c 2＝0．由韦达定理得：线段PQ 中点的坐标(a 2c b 2，c 2b )． ………………………… 10分因此PQ 中垂线的方程是：y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb2)．在上式中，令y ＝0，得M (c ＋a 2cb 2，0)． ………………………… 15分另一方面，由MF 2＝12F 1F 2，则M (2c ，0)，或M (0，0)(舍去)，由此可得，c ＋a 2cb2＝2c ，即a ＝b ，故e ＝2． ………………………… 20分13．如图，已知△ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG ＝AE ．证明：连结BE ，CG ． 因为AB 为直径，所以∠AEB ＝90°，BG ⊥AC ． 又EH ⊥AB ，在△AEB 中，由射影定理得 AE 2＝AH ·AB ． 因为AC 为直径，所以∠AGC ＝90°．在△AGC 中，由射影定理得AG 2＝AD ·AC ． …………10分因为∠BDC ＝∠BHC ＝90°， 所以B ，C ，D ，H 四点共圆，从而由割线定理知AH ·AB ＝AD ·AC ． …………………… 15分 所以AE 2＝AG 2，即AE ＝AG ． …………………… 20分14．（1）正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2） 凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．ABCDEFABCDGE HABCDGEH解：（1）3条对角线分得4个三角形，相邻的两个涂色相异，则既有红 色三角形，又有蓝色三角形．不妨设红色三角形多于蓝色三角形．则蓝色三角形至少有1个，红色三角形最多3个，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差不超过3－1＝2．如图连接AC ，CE ，EA ，△ACE 涂蓝色，其余3个三角形涂红色，差为2． 故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2． …………………… 5分 （2）2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形．每个三角形区域涂红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．设红色三角形多于蓝色三角形．每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线，即三条边中对角线的条数只能为1、2或3．每条对角线只属于一个蓝色三角形．设边中恰含k (k =1,2,3)条对角线的蓝色三角形的个数为m k ，则对角线条数m 1+2m 2+3m 3=2013， 蓝色三角形个数m 1+m 2+m 3=3m 1+3m 2+3m 33≥m 1+2m 2+3m 33= 20133 =671，红色三角形个数≤2013－671=1343，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差≤1343－671=672． ……………………10分 注意到凸6边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2，此时6边形的边均为红色； 假定凸3k 边形中，红色三角形个数与蓝色三角形个 数之差的最大值为k 且凸3k 边形的边均为红色．则凸3(k +1)边形A 1A 2A 3…A 3k A 3k +1A 3k +2A 3k +3中的凸3k 边形A 1A 2A 3…A 3k 按假定涂色，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为k 且边A 1A 3k 为红色．如图，则△A 1A 3k A 3k +2区域涂蓝色，△A 3k A 3k +1A 3k +2区域涂红色，△A 1A 3k +2A 3k +3区域涂红色，凸3(k +1)边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为k +2－1= k +1．即按上述方法涂色，凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差为20163 = 672．所以凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为672．……………………20分ABCDEFA 1A 3k +1A 3kA 3k +2A 3k +3。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2014B 10、（本题满分 20 分）设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
⑴已知 x1, x2 , x3 都落在区间 5,5 之中，求这三个根的整数部分；（5 分）
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷） 第 4 页 共 10 页
以得到 an3 an 12 ，说明 a3k1,a3k ,a3k1分别是公差为12 的等差数列，首先分别为 a2 5 ， a3 9 ， a4 13 。又 a1, a2 , a3 , a4 成公差为 4 的等差数列，所有 an 也是公差为 4 的等差数列，
an 4n 3。
由过
AD
，
BE
交点的直线系方程为
x0 (x 2) 2(2 x0 2 y0
)
y
x 2
2y0 ( 2 x0
y 1) 2y0
0
，
把 C(2,1)
代入可得
1，此时直线系就变为
x0 (x 2(2 x0
2) 2y0
)
y
x
2
件 A 共包含 45 C153 。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为 C552 ，于是事件 A 发生的概率
为 45 C153
C
5 52
0.5071，从而 P( A) 1 0.5071 0.4929 。
2014B 8、设 g(x) x(1 x) ，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数 y xg (x) 的图像与 x
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高一)
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。
直接将答案写在横线上。
） 1. 若非空集合{|3254}A x a x a =+≤≤-，{|531}B x x =≤≤，则能使A A B ⊆成立的所有a 的集合是{|37}a a ≤≤.2. 在四边形ABCD 中，32-=，则△ADC 与△ABC 的面积之比为13．3. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，2)1(=f ，且对任意的R x ∈都有(5)f x +()f x ≥＋5，1)()1(+≤+x f x f ．则=)2014(f 2015 ．4．在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．5．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .6．在单调递增数列}{n a 中，已知：12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．那么，100a = 2601 .7．去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第 1961 项.8. 若函数)23(log )(2+-=x ax x f a 在区间]2,1[上递增，则a 的取值范围是11(,](1,)84+∞.9．若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 已知20παβ<≤≤，且βαtan 3tan =，则βα-=u 的最大值为6π．二、解答题（本题满分60分，每小题20分。
） 11. 求函数232+-=x x x y 的值域．解 函数的定义域为2|{>x x 或}1<x ，当0=x 时0=y ．当0≠x 时，令x t 1=，记81)43(2231232222--=+-=+-=t t t x x x u . ………………5分若2>x ，则210<<t ，故)1,0(∈u ，从而可得),1(1+∞∈=uy ； ……………… 10分 若10<<x ，则1>t ，故),0(+∞∈u ，从而可得),0(1+∞∈=uy ； ………………15分 若0<x ，则0<t ，故),1(+∞∈u ，从而可得)0,1(1-∈-=uy ． 综合可知：),1(+∞-∈y ，即函数的值域为),1(+∞-． ………………20分12. 已知数列}{n a 满足：31=a ，211332,(1)*n n a a n n n n n +=+++-∈+N ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）证明：2111121<+++n a a a ． 解 （1）因为)111(23321+--++=-+n n n n a a n n ，所以 ∑∑∑-=-=-=++--+++=-+=111121111)111()233(3)(n k n k n k k k n k kk k a a a a)11()1(22)1(3)12()1(6133n n n n n n n ---+-⨯+--⨯+=nn n 13++=．…………………10分（2）因为422222211(1)(1)(1)n n n na n n n n n n n n ===+++-++-+22111()211n n n n =--+++， 所以 22111111111()[1]2112(1)12nn k k ka k k k k n n ===-=-<-+++++∑∑． …………………20分13. 已知函数12sin |cos ||sin |)(--+=x x x x f ， （1）求函数)(x f 的最值；（2）如果函数)(x f 在),0(πM 上恰有2014个零点，求M 的取值范围.解 （1）因为)()(x f x f =+π，所以)(x f 是以π为周期的函数，故只需考虑)(x f 在],0[π上的最大值.①当[0,]2x π∈时，令sin cos )4t x x x π=+=+，则[1,t ∈，2()()f x t t u t =-+=，易知()u t 在区间上单调递减，所以，)(x f 的最大值为(1)0u =，最小值为2u =.②当(,]2x ππ∈时，令sin cos )4t x x x π=-=-，则[1,t ∈，2()2()f x t t v t =+-=，易知()v t 在区间上单调递增，所以，)(x f 的最大值为v =(1)0v =.综合可知：函数)(x f 2. …………………10分 （2）因为)(x f 是以π为周期的函数，可以先研究函数)(x f 在(0,]π上的零点个数，易知()0f π=.当(0,]2x π∈时，令2()()f x u t t t ==-+＝0，解得0t =或1.)04t x π=+=在(0,]2π上无解，)14t x π=+=在(0,]2π上仅有一解2x π=.当(,)2x ππ∈时，令()f x =2()20v t t t =+-=，解得2t =-或1.)24t x π=-=-在(,)2ππ上无解，)14t x π=+=在(,)2ππ上也无解.综合可知：函数)(x f 在(0,]π上有两个零点，分别为2x π=和x π=.又因为)(x f 是以π为周期的函数，所以，若*n N ∈，则)(x f 在(0,]n π上恰有2n 个零点. 又已知函数)(x f 在(0,)M π上恰有2014个零点，所以10071007.5M <<. …………………20分。
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及参考答案(高二)
2014年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）一、填空题（本题满分90分，每小题9分。
直接将答案写在横线上。
）1. 已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *N ．若15711=a ，则1a = 3 .2. 函数x x x x y 22cos 2cos sin sin -+=的值域为11[22---+.3. 在△ABC 中，︒=30A ，232=⋅，则△ABC 的最大角的余弦值为12-．4．在直角坐标平面内，曲线3|||1||1|=+++-y x x 围成的图形的面积是 5 .5．若2113>+--a a 恒成立，则a的取值范围是[1,1-.6. 去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*N }中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 2068 .7． 在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为10.8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为25.9. 若A a ∈且A a A a ∉+∉-1,1，则称a 为集合A 的孤立元素.那么，集合{M =1，2，3，4，5，6，7，8，9}的无孤立元素的4元子集有 21 个.10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则2111e e +的最大值为52.二、解答题（本题满分60分，每小题20分。
）11. 当1||≤x 时，不等式2210px qx p +-+≥恒成立，试求q p +的最大值． 解法1 令]1,1[,12)(2-∈+-+=x p qx px x f . （1）先考虑0p >时的情况，①若114q p -≤-≤，即44p q p -≤≤，则由题意知()04qf p-≥，即 22()()1044q q p q p p p ⋅-+⋅--+≥，整理得2218()22q p +-≤.设cos q r θ=，12p -=，其中0r ≤≤，[0,2]θπ∈，则1sin cos )2p q r θθ+=++.设(0,)2πϕ∈，且tan ϕ= 1(sin cos cos sin )2p q r θϕθϕ+=++1sin()2r θϕ=++1122≤+=，等号成立的条件是：r =1sin 3θ=，cos 3θ=，即23p =，43q =. …………………10分②若14qp-<-，即4q p >，则由(1)10f p q -=-+≥得1q p ≤+，所以41p q p <≤+，从而可得13p <，此时52123p q p +≤+<<； ③若14qp->，即p q 4-<，则302p q p +≤-<<； …………………15分 （2）当0p ≤时，由(1)2110f p q p p q -=--+=-+≥得1q p ≤+，故212p q p +≤+<. 综合可知：q p +的最大值为2． …………………20分 解法二 特殊值法.在不等式2210px qx p +-+≥中取特殊值21-=x ，得2≤+q p ． …………………10分 当且仅当34,32==q p 时，0)21(3431343412222≥+=++=+-+x x x p qx px ．所以，q p +的最大值为2． …………………20分12. 设B A ,是双曲线λ=-222y x 上的两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于D C ,两点．（1）确定λ的取值范围；（2）试判断D C B A ,,,四点是否共圆？并说明理由．解 （1）依题意，可设直线AB 的方程为2)1(+-=x k y ，代入双曲线方程并整理得222(2)2(2)[(2)2]0k x k k x k λ-+---+= ①设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程①的两个不同实根，于是可知22224(2)4(2)[(2)2]0k k k k λ∆=-+--+> ②且2212)2(2kk k x x --=+．又)2,1(N 是线段AB 的中点，故12)2(2=--k k k ，解得1=k ，故直线AB 的方程为1(1)2y x =⋅-+，即1y x =+．将1=k 代入②，得0)21(44>++λ，解得1->λ．又CD 是线段AB 的垂直平分线，故CD 所在直线的方程是)1(2--=-x y ，即3+-=x y ，将其代入双曲线方程，整理得09262=--+λx x ③由题意，方程③也有两个不同实根，所以2164(29)0λ∆=--->，解得9λ>-．又0λ≠，于是可得：λ的取值范围为(1,0)(0,)-+∞． …………………10分（2）设),(),,(4433y x D y x C ，线段CD 的中点为),(00y x M ，则43,x x 是方程③的两根，所以643-=+x x ，9243--=λx x ，于是32430-=+=x x x ，6300=+-=x y ． 于是，由弦长公式可得34|||CD x x =-===.又方程①即01222=---λx x ，同理可得||AB ==.显然||||CD AB <，又CD 是线段AB 的垂直平分线，假设存在(1,0)(0,)λ∈-+∞使得D C B A ,,,四点共圆，则CD 必为该圆的直径，点M 为圆心．又点M 到直线AB 的距离为d ===222222||||||()3642AB MA MB d λ==+=+=+．又 22||()3642CD λ==+，所以2222||||||||MD MC MB MA ===．故当(1,0)(0,)λ∈-+∞时，D C B A ,,,四点均在以(3,6)M -为圆心、为半径的圆上．…………………20分13. 在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ． 解 （1）因为数列{}n a 为单调递增数列，120a =>，所以0n a >（*n ∈N ）. 由题意得221212n n n a a a -+=+，221222n n n a a a ++=，于是+=-n n n a a a 22222222+n n a a ，化简得+=-2222n n a a 22+n a，所以数列为等差数列.又32126a a a =-=，23429a a a ==，所以数列2=，公差为1d =1n =+，从而22(1)n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得21(1)n a n n -=+.因此，当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++. 所以数列}{n a 的通项公式为211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++.…………………10分（2）因为n a 22217(1)1(2)11(2)(3)48444n n n n n n n n +-+=++≤++=<++，所以 14114()(2)(3)23n a n n n n >=-++++， 11a S n =21a +31a + +n a 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++ 1144()333(3)nn n =-=++，所以43(3)n n S n >+，*n ∈N ． …………………20分。
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年全国高中数学联赛试题及解答
全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．全国高中数学联赛试题及解答加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。
2014全国高中数学联赛贵州省初赛(答案)
2014全国高中数学联赛贵州省初赛试题及答案本卷考试时间：150分钟 满分：120分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1．在ABC ∆中，已知2AB AC AB CB =，若4cos 5A =，则tan B = . 解：32依题意，有cos 2cos cb A ca B =，即cos 2cos b A a B =由正弦定理，得sin cos 2sin cos B A A B =，即tan 2tan B A =又4cos 5A =， 所以 33sin , tan 54A A == 故33tan 242B =⨯=. 2．桌面上放着3个半径为2014的球，两两相切，在它上方的空隙里放入一个球使其顶点（最高处）恰巧和3个球的顶点在同一平面上，则该球的半径等于 . 解：20143显然，开始的3个球的球心位于边长为4018的正三角形的顶点处. 若在上方空隙里放入半径为x 的小球，与它们相切，则其球心位于一正三棱锥的顶点，侧棱长为2014x +.于是该三棱锥的高h 满足2222(2014)3h x ⎛=+-⋅ ⎝=222014314028⋅-+x根据题意，得()22220143140282014⋅-+=-x x解得 20143x =3.已知函数2014()2014log 1x f x x =+-（2n ≥且*n N ∈），则11n i i f n -=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.解：2014(1)n -.依题意得()f x 的定义域为(0,1)，且()(1)4018f x f x +-=.则111124018(1)n n i i i i n i f f f n n n n --==⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.故112014(1)n i i f n n -=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑. 4. 某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25.则开关第3次闭合后出现红灯的概率是 . 解:107225开关第1次闭合后出现红灯的概率是12开关第2次闭合后出现红灯的概率是11137232515⨯+⨯=所以， 开关第3次闭合后出现红灯的概率是7183107153155225⨯+⨯=5. 已知,,[0,1].a b c ∈则111a b cbc ca ab +++++取值范围是 . 解：[0,2].显然，所求代数式的最小值为0，当且仅当0a b c ===时取到. 当0a b c ++>时，12(1)a b c b c bc ++≤++≤+. 于是21a abc a b c≤+++. 同理：21b b ca a b c ≤+++，21c cab a b c≤+++. 以上三式相加即得2111a b cbc ca ab ++≤+++.6.已知(0,)2x π∈，则函数342sin cos y x x =+的最小值是 . 解：1316设,a b R +∈，使3322sin 3sin x a a x +≥= 422cos 2cos x b b x +≥所以，3422322sin cos 3sin 2cos y x x a x b x a b =+≥+--由3342sin ,cos x a x b ==，则 sin ,cos x a x ==所以，21a b += 又令32a b =，则13,24a b ==所以，当1sin ,cos 2x x ==，即6x π=时， 函数342sin cos y x x =+的最小值是3213316y a a b =--=7.已知函数2()xf x x e =与()2xg x xe a =+的图象有且只有三个交点，则实数a 的取值范围 .解：0(2a e <<+令2()(2)xh x x x e =-2()(2)x h x x e '∴=-()h x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，在(上单调递减当x <()0h x >，且lim ()0x h x →-∞= ，lim ()x h x →+∞=+∞由((20,(20h e h =+>=-<所以，0(2a e <<+8.对任意*n N ∈，任意[]1,2a ∈，都有21(1)23n ax x e a n+≤-+-恒成立（注：e 为自然对数的底数），则实数x 的取值范围 .解：132x x -≥≤或11111(1)=(1)(1)(1)(1)1n n n n n n++⋅+⋅++⋅由1111111111()1n nn n n n +++++++++<+11111()(1)11n n n n n ++++==+++()1*11(1)(1)1n n n N n n +∴+<+∈+又1lim (1)n x e n→+∞+=由对任意*n N ∈，任意[]1,2a ∈，都有21(1)23n ax x e a n+≤-+-恒成立 即任意[]1,2a ∈，223e ax x e a ≤-+-恒成立 也即是任意[]1,2a ∈，2230ax x a --≥恒成立 令[]22()23(3)2,1,2f a ax x a a x x a =--=--∈所以，22(1)230,(2)2260fx x f x x =--≥=--≥即31x x x x ≥≤-⎧⎪⎨⎪⎩或 所以，132x x ≥≤或二、填空题：本大题共3小题，共56分。