浙江省湖州市2019学年第一学期高三期末教学质量检测试数学试题及答案
S
CA B 的平面角的大小分别为 , , ( , ,
) ，则下面结论正确的是
2
A.
1 tan
1 tan
1 tan
的值可能是负数
B. 3 2
C.
D.
1 tan
1 tan
1 tan
的值恒为正数
1. 若集合 A x1 x 2 ，集合 B x | 2 2x 4 ，则 A B
A. 1，2
B. 1，2
C. 0，2
D. 0，2
2. 已知复数 z 4 2i （ i 为虚数单位），则复数 z 的模 z 1 2i
A．1
B． 2
3 2
sin
B
3 2
cos
B
4sin
B
6
.---------10 分
1
因为
ABC
为锐角三角形，所以
0 B 0 C
2
2 3
B
2
6
B
2
，------12
分
所以
B
6
，2 33
，所以 b c
求 b c 的取值范围．
解：(Ⅰ)
f
3
3 3 1 1 .----------2 分 2 2 42
f
x
sin
x
1 2
sin
x
3 2
cos
x
1 4
1 2
sin
2
x
3 2
sin
x
cos
x
1 4
1 cos 2x 4
3 4
sin
2x
1 4
22．(本小题满分 15 分)
已知函数 f x loga x2 x ln x a 1 .
（Ⅰ）求证： f x 在 1，+ 上单调递增；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 f x t 1在区间 0, 上有三个零点，求实数 t 的值；
（Ⅲ）若对任意的 x1, x2 a1, a ， f x1 f x2 e 1 恒成立（ e 为自然对数的底
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本小题满分 14 分)
已知函数 f x sin x sin x 1 x R.
3 4
(Ⅰ)求 f 的值和 f x 的最小正周期；
3
(Ⅱ)设锐角 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A，B ，C ，且 f A 1 ， a 2 ， 2 4
A0， 4 ，0，B 4 ，0 ，0 ，C 0 ，4 ，0 ，D
6 ，0 ，2
3
，所以 M
3，2 ，3
，所以 BM
7 ，2 ， 3
，
-----------12 分
又平面
ABC
的一个法向量为
n
0
，0
，1
，-------13
分
所以 BM 与平面 ABC 所成角的正弦值 sin nBM
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BOD 是二面角 D AC B 的平面角，所以 BOD 150 ，-----------8 分 而由 AC 平面 BOD 知平面 BOD 平面 ABC ，故在平面 BOD 内作 Oz OB ，则 Oz 平面 ABC ，故
可如图建系，又易得 OB 4 ，故在 BOD 中由余弦定理可得 OD 4 3 ，于是可得各点坐标为
14．设 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A，B ，C .
若 b2
3a2
c2
，则
tan C tan B
▲
，
tan A 的最大值是 ▲ .
15．现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个.若将其随机排
成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 ▲ .
数），求实数 a 的取值范围.
高三数学试题卷（共四页）——第 4 页
2019 学年第一学期期末高三调研测试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
B
C
B
C
A
D
D
二、填空题：
11. 56 ， 76 8 2 2
15.
5
12. 15 ， 4
16. 1
13. 10 ， 1 3
17. 1 5
16．对任意 x [1, e] ，关于 x 的不等式 x ln x a2 ax a ln xa R 恒成立，则实数 a 的
取值范围是 ▲ .
17．正方形 ABCD 的边长为 2 ，E, M 分别为 BC, AB 的中点，点 P 是以 C 为圆心，CE 为
半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则 PM PN 的最小值是 ▲ .
n BM
3 56
42 28
.--------15
分
另解：由(Ⅰ)知 BOD 是二面角 D AC B 的平面角，所以 BOD 150 ，------------8 分 作 DP BO 于 P ，则由 AC 平面 BOD 知 DP 平面 ABC ，且 DOP 30 ，又易得 OB 4 ，故在
.----------8
分
由 a b c sin A sin B sinC sin
c
2 3
B
2
sin
3
4 b 3
4 sin B ，c 3
4 sin 3
2 3
B
，所以
b c
4 3
sin
B
sin
2 3
B
4 3
三、解答题：
18．(本小题满分 14 分)
已知函数 f x sin x sin x 1 x R．
3 4
8
9
10
A
B
D
14.
2
，2 4
(Ⅰ)求 f 的值和 f x 的最小正周期；
3
(Ⅱ)设锐角 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A，B ，C ，且 f A 1 ， a 2 ， 2 4
C． 2
D． 4
3. 已知等差数列 an 的公差为 2 ，若 a1 ，a3 ，a4 成等比数列， 则 a2
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
y 1
4.
实数 x 、
y
满足约束条件
y
x
0
，则目标函数
z
y 1
x
0的取值范围是
y x 0
x
A. (2, 2)
B. (2, ) [0, 1) 4
D. (1 , 2) [0, ) 4
9. 已知实数 a ，b ，c 满足 a2 b2 2c2 1 ，则 2ab c 的最小值是
A.
3 4
B.
9 8
C. 1
D.
4 3
10. 在三棱锥 S ABC 中， ABC 为正三角形，设二面角 S AB C ， S BC A ，
5 14 28
，所以
BM
BM
1 2
BD BC
1 2
BD
2019 学年第一学期期末调研测试卷 高三数学
注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，全卷满分 150
分，考试时间 120 分钟．
第 Ⅰ 卷 （选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
n N
，数列bn 的前 n 项和为 Pn .
若
Pn
1
1 2020
，求正整数
n 的最小值.
21．(本小题满分 15 分)
已知点 F 是抛物线 C : y2 4x 的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P x0 , y0 （ y0 0 ），
连接 PF 交抛物线于另一点 A ，过点 P 作 l 的垂线交抛物线 C 于另一点 B . (Ⅰ)若 y0 1 ，求直线 l 的方程； (Ⅱ)求三角形 PAB 面积 S 的最小值.
1 2
sin
2
x
6
.-----------5 分
所以 f x 的最小正周期为 .--------6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f
A 2
1 2
sin
A
6
1 4
sin
A
6
1 2
，因为
A 为 ABC
的内角，所以
A
6
6
，所
以
A
3
C． D( ) 先减小后增大
D． D( ) 先增大后减小
8.
已知函数Biblioteka f(x)
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年第一学期高三期中考试数学试题
5. 已知等差数列{������������ }的前 n 项和为������������ ，������5 = −5，������9 = −27，{������������ }为等比数列，且������3 = ������3，������5 = ������5，则������9的值 为( )
A. −9
浙江省杭州地区(含周边)重点中学 2018-2019 学年第一学期高三
期中考试数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 设全集������ = {0,1，2，3，4}，集合������ = {1,2，3}，集合������ = {1,4}，则(∁������������) ∪ ������ = ( )
A. {0} C. {0,1，4}
B. {0,4} D. {0,1，2，3，4}
【答案】C 【解析】解：∁������������ = {0,4}； ∴ (∁������������) ∪ ������ = {0,1，4}． 故选：C． 进行补集、并集的运算即可． 考查列举法表示集合的定义，以及并集和补集的运算．
而当������
������
>
1，时，例如取������
=
−2，������
=
−1，显然不能推出������
>
������
>
0．
故������
������
>
1是������
>
������
>
0的必要不充分条件．
第 1 页，共 13 页
故选：B．
������
>
������
>
0，可推出������������
2019-2020学年浙江省湖州市吴兴区八年级(下)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．以下四个商标中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列等式中，成立的是（）A．（）2＝5B．＝﹣3C．4﹣3＝1D．+＝3．若一个多边形的内角和等于1800度，则这个多边形是（）A．十二边形B．十边形C．九边形D．八边形4．对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，且他们的方差如下表所示：选手甲乙丙丁方差 1.560.60 2.500.40则在这四个选手中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝2606．在四边形ABCD中，AB∥CD，再添加下列其中一个条件后，四边形ABCD不一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A＝∠C7．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y18．如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：79．如图，菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P，若AE＝2BE，则六边形AEFCHG面积的是（）A．a2B．a2C．a2D．a210．如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线12，上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（）A．（22018，22018）B．（22017，22017）C．（22018，22018）D．（22018，22018）二．填空题（共6小题）11．代数式有意义时，x应满足的条件是．12．已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则x的值是．13．已知x＝1是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为．14．已知反比例函数y＝，是当y＜2时，x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边△ABO的边OB和菱形CDEO的边EO均在x轴上，点C在AO上，S△ABD＝4，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过A点，则k的值为．16．在矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点B的对应点为点F．（1）若点F恰好落在AD边上，则AD＝．（2）延长AF交直线CD于点P，若PD＝CD，则AD的值为．三．解答题（共8小题）17．二次根式计算（1）2+（﹣）．（2）（1﹣）2+÷．18．解下列一元二次方程（1）x2﹣25＝0．（2）x2﹣4x﹣5＝0．19．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）求AC的长；（2）在图中找一格点D，使得A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作垂线EF，与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AD＝8，AB＝4，求四边形EBFD的周长．21．在推进湖州市新冠疫情防控活动中，某社区为了了解居民掌握新冠防控知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：75757979797980808182828383848484【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：小区平均数中位数众数优秀率方差A75.179277B75.1777645%211根据以上信息，回答下列问题：（1）求A小区从左往右第四组居民成绩的中位数，以及A小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A小区500名居民成绩达到优秀的人数．（3）请选择2个合适的统计量，分析A，B哪个小区的居民对新冠防控知识掌握得更好．22．如图，一轮船以40km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）．（1）如果这艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？（2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？23．已知，在等腰直角三角形ABC中，BA＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC边上一动点，点E，F分别为AB、BC边上的动点，且BE＝AF．（1）如图1，当点D为BC中点时，试说明DE和DF的关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，如图2，当点E为AB中点时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（3）如图3，过点A作BC的平行线，交DF的延长线于点G，且满足AG＝BC＝4．若D点从B点出发，以1个单位长度每秒的速度向终点C运动，连结AD．设点D的运动时间为t秒（0≤t≤4），在点D的运动过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出整数t的值和对应全等三角形的对数；若不能，请说明理由．24．已知反比例函数y1＝（m＞0，x＞0）和y2＝﹣（x＜0），过点P（0，1）作x轴的平行线1与函数y1，y2的图象相交于点B，C．（1）如图1，若m＝6时，求点B，C的坐标；（2）如图2，一次函数y3＝kx﹣交l于点D．①若k＝5，B、C、D三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点，求m的值；②过点B作y轴的平行线与函数y3的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．2019-2020学年浙江省湖州市吴兴区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．以下四个商标中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：D．2．下列等式中，成立的是（）A．（）2＝5B．＝﹣3C．4﹣3＝1D．+＝【分析】根据二次根式的性质对A、B进行判断；利用二次根式的加减法对C、D进行判断．【解答】解：A、原式＝5，所以A选项的计算正确；B、原式＝3，所以B选项的计算错误；C、原式＝，所以C选项的计算错误；D、与不能合并，所以D选项的计算错误．故选：A．3．若一个多边形的内角和等于1800度，则这个多边形是（）A．十二边形B．十边形C．九边形D．八边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝1800，解得n＝12，所以这个多边形是十二边形．故选：A．4．对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，且他们的方差如下表所示：选手甲乙丙丁方差 1.560.60 2.500.40则在这四个选手中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【解答】解：∵2.50＞1.56＞0.60＞0.40，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁，故选：D．5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．6．在四边形ABCD中，AB∥CD，再添加下列其中一个条件后，四边形ABCD不一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A＝∠C【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，若AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意；B、∵AB∥CD，若AD＝BC，则四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B选项符合题意；C、∵AB∥CD，若AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，故C选项不符合题意；D、∵AB∥CD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意；故选：B．7．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣＝1；当x＝﹣2时，y2＝﹣＝；当x＝1时，y3＝﹣＝﹣3，所以y3＜y1＜y2．故选：B．8．如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．【解答】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝DE，∵NM∥AG，AN＝DN，∴＝＝，∴NM＝AG＝PG，∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．故选：B．9．如图，菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P，若AE＝2BE，则六边形AEFCHG面积的是（）A．a2B．a2C．a2D．a2【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，∠BAD＝120°，AB＝BC＝a，AE＝，BE＝a，∠ABD＝30°，由折叠的性质可得EF⊥BP，∠BEF＝∠PEF，BE＝EP＝a，可证△BEF是等边三角形，△GDH是等边三角形，四边形AEPG是平行四边形，可得AG＝EP＝a，即可求DG的长，由面积和差关系可求解．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AE＝2BE，∴AC⊥BD，∠BAD＝120°，AB＝BC＝a，AE＝，BE＝a，∠ABD＝30°，∴AC＝AB＝BC＝a，BD＝a，∵将菱形ABCD沿EF，GH折叠，∴EF⊥BP，∠BEF＝∠PEF，BE＝EP＝a，∴EF∥AC，∴，∴BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF＝60°＝∠PEF，∴∠BEP＝∠BAD＝120°，∴EH∥AD，同理可得：△GDH是等边三角形，GP∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，∴AG＝EP＝a，∴DG＝a，∴六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△GDH＝•a•a﹣×（a）2﹣×（a）2＝a2，故选：C．10．如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线12，上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（）A．（22018，22018）B．（22017，22017）C．（22018，22018）D．（22018，22018）【分析】根据一次函数，得出OB1、OB2等的长度，继而得知B1、B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点B2020的坐标．【解答】解：∵l1与x轴所夹锐角为15°，12与y轴所夹锐角为30°，∴l1与12所夹锐角为45°，12与x轴所夹锐角为60°，∴△A1B1O，△A2B2O，△A3B3O，…都是等腰直角三角形，∴B1O＝20，B2O＝21，B3O＝22，…，B n O＝2n﹣1，∴点B2020的坐标为（22020﹣1×，22020﹣1×），即（22018，22018）．故选：A．二．填空题（共6小题）11．代数式有意义时，x应满足的条件是x≥﹣8．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x+8≥0．【解答】解：由题意，得x+8≥0，解得x≥﹣8．故答案是：x≥﹣8．12．已知一组数据5，4，x，3，9的平均数为5，则x的值是4．【分析】根据算术平均数的定义先列出算式，再进行求解即可．【解答】解：∵5，4，x，3，9的平均数为5，∴（5+4+x+3+9）÷5＝5，解得：x＝4，则x的值是4；故答案为：4．13．已知x＝1是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值为2．【分析】将x＝1，代入方程x2+mx﹣3＝0得到有关m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx﹣3＝0的一个根，∴将x＝1，代入方程x2+mx﹣3＝0得：1+m﹣3＝0，∴m＝2，故答案为：2．14．已知反比例函数y＝，是当y＜2时，x的取值范围是x＞3或x＜0．【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以得到当y＜2时，x的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当y＜2时，x＞3或x＜0，故答案为：x＞3或x＜0．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边△ABO的边OB和菱形CDEO的边EO均在x轴上，点C在AO上，S△ABD＝4，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过A点，则k的值为4．【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠ABO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△BOD，推出S△AOB＝S△ABD＝4，过A作AH⊥OB于H，由等边三角形的性质得到OH＝BH，求得S△OAH＝2，于是得到结论．【解答】解：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE∥OA，∴∠DEO＝∠AOB＝60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE＝∠ABO＝60°，∴OD∥AB，∴S△ADO＝S△BOD，∵S四边形ABOD＝S△BDO+S△ABD＝S△ADO+S△AOB，∴S△AOB＝S△ABD＝4，过A作AH⊥OB于H，∴OH＝BH，∴S△OAH＝2，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k的值为4，故答案为：4．16．在矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点B的对应点为点F．（1）若点F恰好落在AD边上，则AD＝4．（2）延长AF交直线CD于点P，若PD＝CD，则AD的值为2或2．【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由折叠的性质得出∠BAE＝∠F AE，由平行线的性质得出∠F AE＝∠BEA，推出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，即可得出结果；（2）①当点F在矩形ABCD内时，连接EP，由折叠的性质得出BE＝EF，∠B＝∠AFE ＝90°，AB＝AF，由矩形的性质和E是BC的中点，得出AB＝CD＝2，BE＝CE＝EF，∠C＝∠EFP＝90°，由HL证得Rt△EFP≌Rt△ECP，得出FP＝CP，由PD＝CD，可得CP＝FP＝PD＝1，AP＝3，由勾股定理即可求出AD；②当点F在矩形ABCD外时，连接EP，由折叠的性质得出BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，由矩形的性质和E是BC的中点，得出AB＝CD＝2，BE＝CE＝EF，∠C＝∠EFP＝90°，由HL证得Rt△EFP≌Rt△ECP，得出CP＝PF，由PD＝CD，可得PD ＝1，CP＝3＝PF，由勾股定理得出AP2﹣PD2＝AD2，即（AF+PF）2﹣12＝AD2，即可求出AD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，由折叠的性质可知，∠BAE＝∠F AE，如图1所示：∵AD∥BC，∴∠F AE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵E是BC的中点，∴BC＝2AB＝4，∴AD＝4，故答案为：4；（2）①当点F在矩形ABCD内时，连接EP，如图2所示：由折叠的性质可知，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF，∵四边形ABCD是矩形，E是BC的中点，∴AB＝CD＝2，BE＝CE＝EF，∠C＝∠EFP＝90°，在Rt△EFP和Rt△ECP中，，∴Rt△EFP≌Rt△ECP（HL），∴FP＝CP，∵PD＝CD，∴CP＝FP＝PD＝1，AP＝AF+FP＝1+2＝3，∴AD＝＝＝2；②当点F在矩形ABCD外时，连接EP，如图3所示：由折叠的性质可知，BE＝EF，∠B＝∠AFE＝90°，AB＝AF＝3，∵四边形ABCD是矩形，E是BC的中点，∴AB＝CD＝2，BE＝CE＝EF，∠C＝∠EFP＝90°，在Rt△EFP和Rt△ECP中，，∴Rt△EFP≌Rt△ECP（HL），∴CP＝PF，∵PD＝CD，∴PD＝1，CP＝3＝PF，∴AP2﹣PD2＝AD2，即：（AF+PF）2﹣12＝AD2，（3+2）2﹣1＝AD2，解得：AD1＝2，AD2＝﹣2（不合题意舍去），综上所述，AD＝2或2，故答案为：2或2．三．解答题（共8小题）17．二次根式计算（1）2+（﹣）．（2）（1﹣）2+÷．【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+﹣3＝﹣；（2）原式＝1+2﹣2+2＝3．18．解下列一元二次方程（1）x2﹣25＝0．（2）x2﹣4x﹣5＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣25＝0，∴x2＝25，则x＝±5；（2）∵x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，则x﹣5＝0或x+1＝0，解得x＝5或x＝﹣1．19．如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．请回答下列问题：（1）求AC的长；（2）在图中找一格点D，使得A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形．【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）根据平行四边形的判定画出图形即可．【解答】解：（1）AC＝＝．（2）如图，四边形ABCD即为所求．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作垂线EF，与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AD＝8，AB＝4，求四边形EBFD的周长．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）由EF垂直平分BD，得到EB＝ED，由AD﹣ED＝AE，在直角三角形ABE中，设AE＝x，表示出BE，再由AB的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长．则DE的长也可求出，进而可求出四边形EBFD的周长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，∵∠EOD＝∠BOF，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形；（2）∵四边形EBFD是菱形，∴ED＝EB，设AE＝x，则ED＝EB＝8﹣x，在Rt△ABE中，BE2﹣AB2＝AE2，即（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴AE＝3．∴DE＝5，∴四边形EBFD的周长＝4×5＝20．21．在推进湖州市新冠疫情防控活动中，某社区为了了解居民掌握新冠防控知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：75757979797980808182828383848484【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：小区平均数中位数众数优秀率方差A75.1757940%277B75.1777645%211根据以上信息，回答下列问题：（1）求A小区从左往右第四组居民成绩的中位数，以及A小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A小区500名居民成绩达到优秀的人数．（3）请选择2个合适的统计量，分析A，B哪个小区的居民对新冠防控知识掌握得更好．【分析】（1）根据中位数的求法，分别求出A小区从左往右第四组居民成绩的中位数，以及A小区50名居民成绩的中位数；、（2）A小区抽查的50名居民成绩的优秀率，于是估计总体的优秀率，进而求出总体的优秀人数；（3）从中位数、众数两个方面进行分析解答．【解答】解：（1）A小区从左往右第四组16位居民成绩，从小到大排列后处在第8、9位的两个数的平均数是＝80.5，将A小区50名居民成绩从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的都是75，因此中位数是75；答：A小区从左往右第四组居民成绩的中位数是80.5，A小区50名居民成绩的中位数是75；（2）500×＝200（人），答：A小区500名居民成绩达到优秀的人数为200人（3）从中位数上看，A小区的中位数是75，B小区的中位数是77，B小区的成绩较好；从众数上看，A小区的众数是79，而B小区的众数；是76．A小区的成绩较好．22．如图，一轮船以40km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）．（1）如果这艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？（2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出轮船与台风中心距离；（2）利用勾股定理结合一元二次方程解法得出轮船受到台风影响时间．【解答】解：（1）∵CB＝500km，AB＝300km，∴AC＝＝400（km），＝40（km），∵40＜200，∴此时，轮船受到台风影响；（2）由题意得：（400﹣40t）2+（300﹣20t）2＝2002，解得：t1＝7，t2＝15，轮船受到台风影响时间：15﹣7＝8（小时），答：轮船受到台风影响一共8小时．23．已知，在等腰直角三角形ABC中，BA＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC边上一动点，点E，F分别为AB、BC边上的动点，且BE＝AF．（1）如图1，当点D为BC中点时，试说明DE和DF的关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，如图2，当点E为AB中点时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（3）如图3，过点A作BC的平行线，交DF的延长线于点G，且满足AG＝BC＝4．若D点从B点出发，以1个单位长度每秒的速度向终点C运动，连结AD．设点D的运动时间为t秒（0≤t≤4），在点D的运动过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出整数t的值和对应全等三角形的对数；若不能，请说明理由．【分析】（1）连接AD，证明△BDE≌△ADF，得到DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，求出∠EDF＝90°，证明结论；（2）根据等腰三角形的性质得到DE⊥AB，根据正方形的判定定理证明；（3）分t＝0、t＝2、t＝4三种情况，根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】解：（1）DE＝DF，DE⊥DF，理由如下：如图1，连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，点D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝DB，∠B＝∠BAD＝∠DAC＝∠C＝45°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，综上所述，DE＝DF，DE⊥DF；（2）四边形AEDF为正方形，理由如下：∵DA＝DB，点E为AB中点，∴DE⊥AB，∵DE⊥AB，∠BAC＝90°，DE⊥DF，∴四边形AEDF为矩形，∵DE＝DF，∴四边形AEDF为正方形；（3）当t＝0时，△CBF≌△AGF，共1对，当t＝2时，△ADE≌△CDF，△BED≌△AFD，△ABD≌△ACD，共3对，当t＝4时，△AGC≌△CBA，共1对．24．已知反比例函数y1＝（m＞0，x＞0）和y2＝﹣（x＜0），过点P（0，1）作x轴的平行线1与函数y1，y2的图象相交于点B，C．（1）如图1，若m＝6时，求点B，C的坐标；（2）如图2，一次函数y3＝kx﹣交l于点D．①若k＝5，B、C、D三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点，求m的值；②过点B作y轴的平行线与函数y3的图象相交于点E．当m值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．【分析】（1）将y＝1代入y1＝和y2＝﹣＝，即可求解；（2）①分点B是CD的中点、点D为BC中点两种情况，利用中点公式即可求解；②点B（m，1），则点E（m，mk﹣m），则BC＝，BE＝|mk﹣m﹣1|，d＝BC+BE，即可求解．【解答】解：（1）∵m＝6，将y＝1代入y1＝＝1，解得：x＝6，故点B（6，1），将y＝1代入y2＝﹣＝＝1，解得：x＝﹣3，故点C（﹣3，1）；（2）①当y＝1时，点B、C的坐标分别为：（m，1）、（﹣m，1），当k＝5时，y3＝kx﹣＝5x﹣＝1，解得：x＝，故点D（，1），当点B是CD的中点时，由中点公式得：＝+2m，解得：m＝；当点D为BC中点时，同理：m﹣m＝2×，解得：m＝；综上，m＝或；②点B（m，1），则点E（m，mk﹣m），则BC＝，BE＝|mk﹣m﹣1|，d＝BC+BE＝+mk﹣m﹣1＝（k+1）m﹣1，当k＝﹣1时，d＝﹣1＜0，舍去；d＝BC+BE＝﹣mk+m+1＝（2﹣k）m+1，∵BC+BE为定值，故k＝2，此时d＝1，故此时k的值为2，定值d为1．。
2018-2019学年浙江省湖州市南浔区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省湖州市南浔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B．抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C．在标准大气压下，气温为5℃时，冰能熔化为水D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品2．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，2）B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．（3分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（）A．3B．4C．5D．64．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定5．（3分）如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b＝c•cos B B．b＝a•tan B C．b＝c•sin B D．a＝b•tan A 7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 8．（3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸9．（3分）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP 长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8D．2≤CP＜810．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）A．B．C．2D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有只．12．（4分）b和2的比例中项是4，则b＝．13．（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72°，那么它是正边形．14．（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是m．15．（4分）如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝．16．（4分）如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是△ABC的内心，若⊙O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：（1）已知＝，求的值；（2）6cos245°﹣2tan30°•tan60°．18．（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．19．（6分）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A，B，C（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）若点D，E也是网格中的格点，画出△BDE，使得△BDE与△ABC相似（不包括全等），并求相似比．20．（8分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒．已知∠B＝45°，∠C＝30°．（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据；≈1.7，≈1.4）21．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）．22．（10分）“辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条．此产品在网上的月销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y＝﹣0.2x+10（由于受产能限制，月销售量无法超过4万件）．（1）若该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件．为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w为多少万元？23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．24．（12分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．2018-2019学年浙江省湖州市南浔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B．抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C．在标准大气压下，气温为5℃时，冰能熔化为水D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．【解答】解：A、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件；B、抛掷一枚硬币2次都是正面朝上是随机事件；C、在标准大气压下，气温为5℃时，冰能熔化为水是必然事件；D、从车间刚生产品中任意抽一个，是次品，是随机事件；故选：C．【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，2）B．对称轴是直线x＝1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，开口方向，最值及增减性．【解答】解：由抛物线y＝（x﹣1）2+2可知，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，函数有最小值为2，x＞1时y随x增大而增大，∴A、B、C判断正确，D错误．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是熟练掌握顶点式与抛物线开口方向，增减性，顶点坐标及最大（小）值之间的联系．3．（3分）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由DE∥BC可证△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴BC＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解题的关键．4．（3分）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】圆心O到直线l的距离d＝3，而⊙O的半径R＝4．又因为d＜R，则直线和圆相交．【解答】解：∵圆心O到直线l的距离d＝3，⊙O的半径R＝4，则d＜R，∴直线和圆相交．故选A．【点评】考查直线与圆位置关系的判定．要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系．5．（3分）如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC 的度数．【解答】解：∵＝，∠AOB＝60°，∴∠BDC＝∠AOB＝30°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b＝c•cos B B．b＝a•tan B C．b＝c•sin B D．a＝b•tan A【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tan A＝，tan B＝，cos B＝，tan B＝；因而b＝c•sin B＝a•tan B，a＝b•tan A，错误的是b＝c•cos B．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【分析】函数值y＝0对应的自变量值是：﹣1、3，在它们之间的函数值都是正数．由此可得y＞0时，x的取值范围．【解答】解：从表格可以看出，二次函数毒刺横轴为直线x＝1，故当x＝﹣1或3时，y ＝0；因此当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．【点评】此题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题．8．（3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A．5寸B．8寸C．10寸D．12寸【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有r2＝42+（r﹣2）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O的直径为10寸，故选：C．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP 长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8D．2≤CP＜8【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD ∽△BCA或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠B交AC于G，则△CPG∽△CAB，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．10．（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）A．B．C．2D．【分析】如图，取点H（6，0），连接PH，由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得⊙C半径为4，由三角形中位线的定理可求OD＝PH，当点C在PH上时，PH有最大值，即可求解．【解答】解：如图，取点H（6，0），连接PH，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x∴顶点C（﹣3，4），∴⊙C半径为3，∵AO＝OH＝6，AD＝BD，∴OD＝PH，∴PH最大时，OD有最大值，∴当点C在PH上时，PH有最大值，∴PH最大值为＝3+＝3+，∴OD的最大值为：，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有1800只．【分析】用这批口罩的只数×合格口罩的概率，列式计算即可得到合格的只数．【解答】解：2000×0.9＝2000×0.9＝1800（只）．故答案为1800．【点评】考查了用样本估计总体，生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法．12．（4分）b和2的比例中项是4，则b＝8．【分析】根据题意，b与2的比例中项为4，也就是b：4＝4：2，然后再进一步解答即可．【解答】解：根据题意可得：b：4＝4：2，解得b＝8，故答案为8．【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答．13．（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72°，那么它是正5边形．【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故答案为：5【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．14．（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是6m．【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5米，tan A＝1：；∴AC＝BC÷tan A＝3米，∴AB＝＝6米．故答案为：6．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．15．（4分）如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝．【分析】如图，连接BC，构造直角三角形ABC，由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质，得出∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，从而α+β＝∠ACB，分别求出△ABC的边长，利用正弦函数的定义可得答案．【解答】解：如图，连接BC∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形∴∠BCD＝α＝30°，∠ABC＝90°，∴α+β＝∠ACB∵每个小正三角形的边长均为1∴AB＝2，在Rt△DBC中，＝＝tan60°＝∴BC＝∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝＝＝故答案为：．【点评】本题考查了构造直角三角形求三角函数值，正确作出辅助线，明确正弦函数的定义，是解题的关键．16．（4分）如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是△ABC的内心，若⊙O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是π．【分析】如图，连接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA 为半径作⊙T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BG．证明∠AIB+∠G＝180°，推出A，I，B，G四点共圆，退出点I的运动轨迹是即可解决问题．【解答】解：如图，连接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA为半径作⊙T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BG．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠AIB＝135°，∵OT⊥AB，OA＝OB，∴TA＝TB，∠ATB＝90°，∴∠AGB＝∠ATB＝45°，∴∠AIB+∠G＝180°，∴A，I，B，G四点共圆，∴点I的运动轨迹是，由题意＝＝，∴∠MTM＝30°，易知TA＝TM＝3，∴点I随之运动形成的路径长是＝π，故答案为π．【点评】本题考查了轨迹，垂径定理、圆周角定理、三角形的内心和等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：（1）已知＝，求的值；（2）6cos245°﹣2tan30°•tan60°．【分析】（1）先把化成+1，再代入计算即可；（2）根据特殊角的三角函数进行计算即可得出答案．【解答】解（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝；（2）6cos245°﹣2tan30°•tan60°＝6×（）2﹣2××＝6×﹣2＝1．【点评】此题考查了比例的性质和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握比例的性质和几个特殊角的三角函数值．18．（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，6．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人抽取相同数字的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据概率公式求出两人抽取的数字和为4的倍数以及和为奇数的概率，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中两人抽取相同数字的有3种，则两人抽取相同数字的概率是＝；（2）∵共有9种等情况数，其中两人抽取的数字和为4的倍数有4种，抽取的数字和为奇数的有4种，∴P （和为4的倍数）＝，P （和为奇数）＝，∴这个游戏公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A ，B ，C（1）画出△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）若点D ，E 也是网格中的格点，画出△BDE ，使得△BDE 与△ABC 相似（不包括全等），并求相似比．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用相似图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图1所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图2所示：△BDE ，即为所求，相似比为：：2．【点评】此题主要考查了相似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒．已知∠B＝45°，∠C＝30°．（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据；≈1.7，≈1.4）【分析】（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位．【解答】解：（1）如图作AD⊥BC于D．则AD＝10m，在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴tan30°＝，∴CD＝AD＝10m，∴BC＝BD+DC＝（10+10）m．（2）结论：这辆汽车超速．理由：∵BC＝10+10≈27m，∴汽车速度＝＝20m/s＝72km/h，∵72km/h＞70km/h，∴这辆汽车超速．【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【分析】（1）根据切线的判定定理即可证明；（2）根据三角形的面积与扇形面积的差即可求解．【解答】解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴直线BC与⊙O相切．（2）∵l＝，AE＝6，劣弧DE的长为π，∴∠DOE＝60°．∵∠ODB＝90°，∴BD＝OD＝3，＝BD•OD＝．∴S△BODS＝＝．扇形DOE答：BE与劣弧DE所围成的部分的面积为﹣．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、弧长计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是综合运用相关知识．22．（10分）“辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条．此产品在网上的月销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y＝﹣0.2x+10（由于受产能限制，月销售量无法超过4万件）．（1）若该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件．为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w为多少万元？【分析】（1）根据题意销售量与售价的关系式代入值即可求解；（2）根据月利润等于销售量乘以单件利润即可求解；（3）根据根据（2）中的关系利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得当x＝30时，y＝﹣0.2×30+10＝4，4×10＝40答：该月的利润为40万元．（2）25＝（x﹣20）（﹣0.2x+10），解得x1＝45，x2＝25（月销售量无法超过4万件，舍去）．答：该产品第一个月的售价是45元．（3）∵由于受产能限制，月销售量无法超过4万件，且公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．∴30≤x≤45，w＝y（x﹣18）﹣25＝（﹣0.2x+10）（x﹣18）﹣25＝﹣0.2x2+13.6x﹣205＝﹣0.2（x﹣34）2+26.2．当30≤x≤45时，2≤w≤26.2．当x取45时，w有最小值是2．答：该公司第二个月通过销售产品所获的利润w至少为2万元，最多获利润26.2万元..【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题各个量之间的关系并熟练运用二次函数．23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，即可求解；（2）分∠MAO＝45°、∠M′AO＝45°两种情况，分别求解即可；（3）分当BD是矩形的边、BD是矩形的边两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB ＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、图形的全等和相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．24．（12分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD＝90°即可解决问题．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA．②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC＝90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠A+2∠ABD＝90°，∴△ABD为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°，∴∠ABE+2∠A＝90°，∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE，∴△ABC∽△BEC，∴＝，∴CE＝＝，（2）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝6，AB＝10，∴BD＝＝＝8，①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD，∴∠CAD+∠DAF＝180°，∴C，A，F共线，∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF，∴△FAB∽△FBC，。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．3．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-4．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40405．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 6．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <11．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 2．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6133．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB C D4．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12x π=，将函数()f x 的图象向右平行移动4π个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12g x x π=- B ．()2sin(2)12g x x π=+C ．()2sin(2)6g x x π=-D ．()2sin(2)6g x x π=+5．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2536．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-7．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．988．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．329．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤< 11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
浙江省温州市2019-2020学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(A)(PDF版)
a
10
5
15．250；
16．
；
17．16
15
三、解答题
A2
18．解：（1）由题知：
………………………………………………………………1分
3
2
4
T716,T8
，
…………………………………………………2分
4
4
4
2
f(x)
(1,2)
f(1)2sin(
)2
kkZ
=+2,
函数
的图像经过点
2
4
||
…………………………………………………………………………3分
2020年1月温州市高一期末教学质量统一检测
数学试题卷(A)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号
答案
1
B
2
A
3
C
4
D
5
C
6
D
7
D
8
A
9
C
10
B
二、填空题
3
b
2
4
3
1
8
，
11．，
；
12．15，；
13．
；
14．
，27；
…………………11分
2
2
3
3
0
0
c
a
x
cos,y
sin,[0,2]
设
∴
3
3
0
0
c
2a
AECFx(x)(ya)(y
)
3
湖州衢州丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学试题及答案
湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学试题卷本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}(0M x x =-≥，{}(3)(1)0N x x x =--≥，则M N =I A.{}3x x ≥ B.{1x x ≤或}3x ≥ C.{1x x =或}3x ≥ D.{1x x =或}3x =2.已知i 1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=A.1- B.1C.i- D.i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则22MA MB MC MD +++=uuu ruuu ruuu ruuu rA.ABuuu rB.CDuuu r C.2ABuuu r D.12CD uuu r 4.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是A.16B.19C.536D.7365.已知函数()cos f x a x ω=（0a ≠，0ω>）.若将函数()y f x =的图象向左平移π6ω个单位长度后得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x =在7π[0,12上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是A.1024,)77[B.[16,4)7C.[10,4)7D.1624,)77[6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得45BCD ∠=o ，105BDC ∠=o ，100CD =米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角28ACB ︒∠=，则酒店的高度约是(参考数据： 1.4≈2.4≈，tan 280.53≈o )A.91米 B.101米C.111米D.121米7.已知(1,0)A 是圆O ：222x y r +=上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B 在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是A.4-B.2-C.D.-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1y x x=+的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数12y x x=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是B.52-C.10-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知α，β为两个平面，m ，n 为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是A.若//m n ，则//αβB.若m ，n 为异面直线，则α与β相交C.若α与β相交，则m ，n 相交D.若αβ⊥，则m n⊥10.若实数a ，b 满足1a ≤且100a b +≤，则A.ab 的最小值是100- B.ab 的最大值是99C.a b ab ++的最小值是201- D.a b ab ++的最大值是200（第6题图）11.已知正方形ABCD 中，2AB =，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥P ABC -的体积为V ,则下列命题正确的是A.若PA PC +=，则α的最大值是4π B.若PA PC +=，则V 的最大值是13C.若224PA PD +=，则V 的最大值是23 D.若224PA PD +=，则α的最大值是4π12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足DB EB OB ADAE==（O 为坐标原点），分别过D ，E 作x 轴平行线交抛物线C 于P ，Q 两点，则A.sin sin AOD BOD ∠=∠ B.OD OE⊥C.直线PQ 过定点1(,0)2D.五边形DPFQE 的周长7l >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.8()()x y x y -+的展开式中72x y 的系数是▲.14.定义在R 上的非常数函数()f x 满足：()()f x f x -=，且(2)()0f x f x -+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x =▲.15.已知数列1，1，3，1，3，5，1，3，5，7，1，3，5，7，9，...，其中第一项是1，接下来的两项是1，3，再接下来的三项是1，3，5，依此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400n S >成立的最小正整数n 的值是▲.16.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）离心率为12e =，F 为椭圆C 的右焦点，A ，B是椭圆C 上的两点，且FA FB λ=.若FA FB ⊥，则实数λ的取值范围是▲.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*N n ∈，11222nn n n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数，，是偶数.（1）求2a ，3a 的值，并证明数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列；（2）设12-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.（1）求证：111B C A D ⊥；（2）若2AB =且二面角11A BC B --的余弦值为35，求点1A 到侧面11BB C C 的距离.19.（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B--=，且A C ≠.（1）求证：2B C =；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4a =，求线段BD 长度的取值范围.（第18题图）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p（01p<<），且每道题的作答情况相互独立.（i）记丙在一道抢答题中的得分为X，求X的分布列与数学期望；（ii）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p的取值范围.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中a b c d n+++=.()2P K k≥0.150.100.050.025 0k 2.072 2.706 3.841 5.024已知双曲线C ：2214x y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为(4,0).（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()e sin x f x a x bx =-+（0a >）.（1）当0b =时，函数()f x 在(0,)2π上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0b <时，设0x 是函数()f x 的极值点，证明：()0ln(2bf x b ≥--.（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2014．cos2y x π=(本题为开放题，只要满足图象中点()0,1为其对称中心，y 轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以)15．5916．⎦⎤⎢⎣⎡+-374,374四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*N n ∈，11222nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数，，是偶数.（1）求2a ，3a 的值，并证明数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列；（2）设12-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ．解（1）1212a a ==，3322210a a =+=．------------------------------------------------------2分题号12345678答案CDACBBCD题号9101112答案ABDBCACABD由题意得2121212+1221212128882+2244332333n n n n n n n n a a a a a ++----⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128+033a =≠，所以数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列．---------------------------------------5分（若用数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分）（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b ．---------------------------------------------------7分运用分组求和，可得()n T n n 321498--=．-----------------------------------------10分18．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =．（1）求证：111B C A D ⊥；（2）若2AB =且二面角11A BC B --的余弦值为35，求点1A 到侧面11BB C C 的距离．解；（1）取AB 的中点O ，11B C 的中点E ，连接,,,AO OD AE DE ．因为3CD DB =，在三棱柱111ABC A B C -可得111A E B C ⊥，四边形1A ODE 为梯形，且//OD AE ，12OD AE =．因为2OB BD =，且60OBD ∠=o ，所以OD BC ⊥．------------------------------2分因为11A A A B =，所以1A O AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC I 平面11AA B B AB=所以1AO ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥．----------------------------------------4分因为OD BC ⊥，1A O BC ⊥，1A O OD O =I ，所以BC ⊥平面1A ODE ，所以1BC A D ⊥．又11//B C BC ，所以111B C A D ⊥．--------------------------------------------------6分（2）由（1）知BC ⊥平面1A ODE ，所以BC DE ⊥，又1BC A D ⊥，所以1A DE ∠是二面角11A BC B --的平面角．------------------------------9分所以13cos 5A DE ∠=．作1A G DE ⊥，由（1）知1A G ⊥平面11BCC B ，设1A O h =，则1A A =，在1A DE ∆中，1A D =，在平行四边形11BCC B 中，ED =，又1A E =在等腰三角形1A DE 中，解得h =，所以15A G =．---------------------------------------------------------------------------12分19．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B --=，且A C ≠．（1）求证：2B C =；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4a =，求线段BD 长度的取值范围．解：（1）由题意得222sin sin sin sin sin sin A C A CC B--=,即21sin sin sin sin A C C B+=．由正弦定理得22b c ac =+，--------------------------------------------------------------2分又由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，---------------------------------------------4分所以2cos c a c B =-，故sin sin 2sin cos C A C B =-，故sin sin()2sin cos C B C C B =+-，整理得sin sin()C B C =-，又ABC ∆为锐角三角形，所以C B C =-，因此2B C =．------------------------------6分（2）在BCD ∆中，由正弦定理得4sin sin BDBDC C=∠，所以4sin sin BDBDC C=∠．-------------------------------------------------------------------8分所以4sin 4sin 4sin 2sin sin 2sin 2cos C C C BD BDC C C C=====∠，因为ABC ∆为锐角三角形，且2B C =，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64C ππ<<．-------------------------------------10分故cos 22C <<，所以3BD <<因此线段BD长度的取值范围(,3．---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛．该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分．两个环节结束后，累计总分高者获胜．由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变．（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况．请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p （01p <<），且每道题的作答情况相互独立．（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p 的取值范围．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=．解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()()()()()()222206194 2.4 3.8411051015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K ≥=；故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关．------------------------------------4分（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，丙在一道抢答题中的得分X 可能为1-，0，2．(1)0.60.20.12P X =-=⨯=，4(0)0.P X ==，(2)0.60.80.48P X ==⨯=故可列出X 的分布列如下：X1-02P0.120.40.48因此()10.1220.480.84E X =-⨯+⨯=．--------------------------------------------------------8分（ii ）在旧赛制下，丙的期望得分为330.84 2.523p p ⨯+⨯=+；在新赛制下，丙的期望得分为420.84 1.684p p ⨯+⨯=+．由题意得0.840.1p -≤，解得p 的取值范围为[0.74,0.94]．-------------------------------------------------------12分21．（本题满分12分）已知双曲线C ：2214x y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为(4,0)．（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.()20P K k ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.024旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020解：（1）由题意得，渐近线的斜率为12±．---------------------------------------1分可得直线PR 的方程为1(4)2y x =-，由221(4)244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩解得53(,24R -，同理53(,)24S ．----------------------------------3分所以直线RS 的方程为52x =．--------------------------------------------------------4分（2）直线MN 过定点．--------------------------------------------------------5分设直线AD ，AE 的直线方程分别为12x t y =-和22x t y =-．由122244x t y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2211(4)40t y t y +-=，解得12144D t y t =+，则2121284D t x t -=+．同理22244E t y t =+，则2222284D t x t -=+．--------------------------------------------------------7分又P ，D ，E 三点共线，而21122112244(,)44t t PD t t --=++uuu r ，22222222244(,)44t t PE t t --=++uuu r 故221221222212212244224404444t t t t t t t t ----⨯-⨯=++++，解得1212t t =．-------------------------9分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程y kx m =+，所以1212122212x x t t y y ++=⋅=．即121212(2)(2)1212()()x x y y kx m kx m ++==++（*）由2244y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得222(14)8440k x kmx m ----=，故212221221408144414k km x x k m x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=-⎪⎪--⎪⋅=-⎩代入（*）化简解得2220m mk k --=，即()(2)0m k m k +-=，故m k =-或2m k =．-------------------------------------------11分当2m k =时，2y kx m kx k =+=+，经过点(2,0)-，不合题意，当m k =-时，y kx m kx k =+=-，经过点(1,0)，满足题意．因此直线MN 过定点(1,0)．-----------------------------------------------------------12分22．（本题满分12分）已知函数()e sin x f x a x bx =-+（0a >）．（1）当0b =时，函数()f x 在(0,)2π上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0b <时，设0x 是函数()f x 的极值点，证明：()0ln(2bf x b ≥--．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）解：（1）由题意知()e sin x f x a x =-在(0,)2π上有极小值，则()e cos 0x f x a x '=-=在(0,2π有解，．---------------------------------2分故e cos x a x =，设e ()cos x g x x =（(0,)2x π∈），显然e ()cos xg x x=在(0,)2π单调递增，又(0)1g =，2lim ()x g x π→=+∞，所以1a >．--------------------------------4分当1a >时，()e cos x f x a x '=-在(0,)2π单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知(0,2πα∃∈，且()0='αf ，此时当(0,)x α∈时，()0f x '<，当(,2x πα∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)α上单调递减，()f x 在(,2πα上单调递增，故()f x 在(0,2π上有极小值点．因此实数a 的取值范围1a >．--------------------------------------------------------6分（2）由题意知()e cos xf x a x b '=-+，故000()e cos 0x f x a x b '=-+=．()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=-----------------------------8分00000002e (sin cos )2e sin(4x xa x x bxb x bx bπ=-+++=-+++002e x bx b ≥++-．---------------------------------------------------------------10分设()2e x h x bx b =++-（R x ∈），则()2e x h x b '=+，当(,ln(2bx ∈-∞-时，()0h x '<，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,2ln b x 时，()0h x '>，所以()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2ln ,b 上单调递减，()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2ln b 上单调递增，所以()(ln())ln()22b bh x h b ≥-=--．因此()0ln()2bf x b ≥--成立．---------------------------------------------------------12分。