复变函数练习题习题
复变函数练习题
复变函数练习题
1. 计算复数z=3+4i的模长和辐角。
2. 证明复数的加法满足交换律和结合律。
3. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=(1+i)^n，求当n趋向无穷大时的极限。
4. 证明欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx。
5. 解复变方程(z-1)(z-2)=0。
6. 计算复数z=1-i的共轭复数。
7. 证明复数的乘法满足分配律。
8. 给定复变函数f(z)=z^2+1，求其在z=2处的导数。
9. 证明复数的除法满足结合律。
10. 已知复变函数f(z)=1/(z-1)，求其在z=2处的值。
11. 证明复数z=a+bi的实部和虚部满足a^2+b^2=|z|^2。
12. 解复变方程z^2+z+1=0。
13. 证明复数的乘法满足交换律。
14. 计算复数z=2+3i的逆元，并验证乘积等于1。
15. 证明复数的倒数是其共轭复数除以其模长的平方。
16. 给定复变函数f(z)=z^3-3z^2+2z+1，求其在z=1处的值。
17. 证明复数的模长是非负的。
18. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=1/n，求其和的极限。
19. 证明复数的乘积的模长等于各自模长的乘积。
20. 给定复变函数f(z)=(z-1)/(z+1)，求其在z=i处的值。
复变函数_习题集(含答案)
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1．)0(=z z 的辐射角情况为（ ）。
A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2．如果21z z e e =则（ ）。
A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3．设}{k a 为复数列，k k k k z b z a Im ,Re ==，则（ ）。
A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4．nz w =4的支点是（ ）。
A 0B ∞C 0及∞D 不确定5．设f (z)及g (z)都在区域D 内解析，且在D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D 内（ ）。
A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6．方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为（ ）。
A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7．设i z cos =，则（ ）。
A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8．设W=Ln(1-I)则Imw 等于（ ）。
A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9．解析函数的幂级数展式有（ ）。
A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10．同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ）。
A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11．若a 是E 的聚点，则（ ）。
A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12．设C 为正向圆周1=z ，则积分zdzc⎰等于（ ）。
A 0B i π2C π2D π2- 13．3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的（ ）。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数练习题
第一章复数与复变函数一、 选择题1．当ii z -+=11时，5075100zzz++的值等于（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ）（A ）z z zz222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z=成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（ ）（A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a aza z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(limz z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x的像曲线为10．=+++→)21(lim 421z ziz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． 第一章 复数与复变函数答案一、1．（B ）2．（A ）3．（D ）4．（C ）５．（B ）６．（A ）７．（D ）８．（B ）９．（D ）10．（C ）11．（B ）12．（C ）13．（D ）14．（C ）15．（A ）二、1．2 2．8arctan -π 3．i 21+- 4．ieθ16 5．33 ６．522=++-z z （或1)23()25(2222=+y x ）７．122=+y x ８．i i -+-2,21 ９．21)Re(=w 10．i 27+-三、]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）． 第二章 解析函数一、选择题： 1．函数23)(zz f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的 （C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在z=0处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy xz f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．ze 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期 （C ）2)(izize e zf --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1 （C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）ie 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz （C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4．设2233)(y ix y xz f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y xu -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--ze 的全部解为第二章 解析函数答案一、1．（B ）2．（B ）3．（D ）4．（C ）５．（A ）６．（C ）７．（C ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（A ）12．（C ）13．（D ）14．（B ）15．（C ） 二、填空题1．i +1 2．常数 3．x v x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xv y x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．i 827427- 5．ic xyi y x ++-222或ic z +2，c 为实常数 6．i7．3,2,1,0),424sin424(cos28=π+π+π+πk k i k 8．),2,1,0(2 ±±=π-k ek9．34arctan- 10．),2,1,0(2 ±±=πk i k第三章 复变函数的积分一、选择题： 1．设c 为从原点沿x y=2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561-（B ）i 6561+-（C ）i 6561--（D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( )（A ）2iπ （B ）2iπ-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zz c c c 212sin ( )（A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2（D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( )（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd zez f ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰czdz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( )（A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( )（A ）ie π2 （B ）ei π2 （C ）0 （D ）i i cos11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--r a z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y xu -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz+2（B ） ic iz+2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv ixu ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdzz 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰cdz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zz z5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰czdz i z e5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy xy x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z )2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ;2.⎰=++22422z z z dz ．第三章 复变函数的积分答案一、1．（D ）2．（D ）3．（B ）4．（C ）５．（B ） ６．（A ）７．（C ）８．（A ）９．（A ）10．（C ）11．（C ）12．（D ）13．（D ）14．（C ）15．（B ）二、1．2 2．i π10 3．0 4．i π6 5．12iπ 6．平均值7．解析8．C x y+-)(21229．3- 10．),(y x u -三、1．当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0. 2．0.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n ni a nn ，则n n a ∞→lim ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n n ni（D ）∑∞=++-11)1(n nn i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ）∑∞=+1)1(1n ni n（B ）∑∞=+-1]2)1([n nni n(C)∑∞=2ln n n ni（D ）∑∞=-12)1(n nnn i4．若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n zn c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n nnz q的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1 （C ）0 （D ）∞+7．幂级数∑∞=1)2(2sinn nz nn π的收敛半径=R ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n nzn 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z+11ln(D) z-11ln9．设函数zezcos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c，那么幂级数∑∞=0n nnz c 的收敛半径=R ( ) （A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π10．级数+++++22111z z zz的收敛域是( )（A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n nnz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰cdz zz z f 2)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nnzc的收敛域为( )（A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n nni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ．2．设幂级数∑∞=0n nnzc与∑∞=0)][Re(n nnzc的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n nzi 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n nnz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ．6．设幂级数∑∞=0n n nz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n nn n zc 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n nnnz z 的收敛域为 ．8．函数z ze e1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n nnzc，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．第四章 级数答案一、1．（C ）2．（C ）3．（D ）4．（A ）５．（D ）６．（D ）７．（B ）８．（A ）９．（C ）10．（B ） 11．（D ）12．（B ）13．（B ）14．（A ）15．（C ）二、1．发散 2． 12R R ≥ 3．224．),2,1,0()(!10)( =n z fn n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+ ）5．)1(12)1(012<+-∑∞=+z zn n n n6．2R 7．211<-<z 8．nn nn zn zn ∑∑∞=∞=+!11!1 9．π10．∑∞=+--02)()1(n n nni z i第五章 留 数一、选择题：1．函数32cot -πz z 在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz exsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323zzz ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==)(n nn z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re kzz f s ( )（A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( )(A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(ze zf z-=（B ）zzz z f 1sin )(-=（C ）zzz z f cos sin )(+=(D)ze zf z111)(--=9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3zi z s ( )（A ）32-（B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32-11．=-],[Re 12i ez s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6512．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim!1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n nn x x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z f 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( )(A)0 （B ）i π2 （C ）ni π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz zz( )（A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5iπ15．积分=⎰=121sinz dz zz ( )（A ）0 （B ）61- （C ）3iπ-（D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z-的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22zzz f +=，则=]0),([Re z f s4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ．5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s ．7．设5cos 1)(zz z f -=，则=]0),([Re z f s ．8．积分=⎰=113z z dz e z ．9．积分=⎰=1sin 1z dz z．10．积分=+⎰∞+∞-dx xxeix 21 ．第五章 留 数一、1．（D ）2．（B ）3．（C ）4．（D ）５．（B ） ６．（C ）７．（A ）８．（D ）９．（C ）10．（A ）11．（B ）12．（D ）13．（A ）14．（B ）15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k3．0 4．m - 5．1 6．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．ei π第六章 共形映射一、选择题： 1．若函数z zw 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )（A ）21<z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）211>+z2．映射iz i z w +-=3在i z 20=处的旋转角为( )（A ）0 （B ）2π（C ）π （D ）2π-3．映射2izew =在点i z =0处的伸缩率为( )（A ）1 （B ）2 (C)1-e（D ）e4．在映射ieiz w 4π+=下，区域0)Im(<z 的像为( )(A)22)Re(>w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>z （D ）22)Im(->w5．下列命题中，正确的是( )（A ）nz w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数） （B ）映射z zw 43+=在0=z 处的伸缩率为零（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(22=-+-y x 的对称点是( )（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i7．函数iz i z w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )(A)1<w （B ）1>w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(<w 8．将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为（ ）1()1z A w z +=- （B ）zz w -+=11 （C ）zz ew i-+=112π(D) 112-+=z z ew iπ9．分式线性变换zz w --=212把圆周1=z 映射为( )（E ） 1=w (B) 2=w（c ）11=-w (D) 21=-w10．分式线性变换zz w -+=11将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( )（A ）ππ<<-w arg 2（B ） 0arg 2<<-w π（C ）ππ<<w arg 2（D ）2arg 0π<<w11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换dcz b az w ++=把上半平面映射为w 平面的( )（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换)(z w 为( )（A ）zi z i i+-2 （B ）iz i z i+-2 （C ）zi z i +-2（D ）iz i z +-213．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2(>'=w i w 的分式线性变换)(z w 为( )(A)izi z --22 （B ）izz i --22 （C ）izi z +-22 （D ）izz i +-2214．把带形域2)Im(0π<<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )（A ）z e w 2= （B ）zew 2= （C ）z ie w = （D ）izew =15．函数ie i e w zz+---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1<w （D ）1>w 二、填空题1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．3．把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 ．5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足31)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．6．把角形域4arg 0π<<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 ．7．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映射为 ．8．映射3z w =将扇形域：3arg 0π<<z 且2<z 映射为 ．9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1(21zz w +=将上半单位圆：2<z 且0)Im(>z 映射为 ．第六章 共形映射答案一、1．（B ）2．（D ）3．（B ）4．（A ） ５．（D ） ６．（C ）７．（A ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（D ）12．（B ）13．（C ）14．（B ）15．（C ）二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 236--=iz i z w 3．z +1 4．aza z w i --=θ1Re（θ为实数，1<a ）5．iz i z +---11 6．λ-λ-=ϕ444z z ew i （ϕ为实数，0)Im(>λ） 7．角形域43arg 0π<<w8．扇形域π<<w arg 0且8<w 9．带形域π<<)Im(0w 10．下半平面0)Im(<w .。
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
复变函数练习题
一、 选择题1．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 2．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43（D ）i --43 3．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 4．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e5．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 6．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 7．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 8．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 9．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 10．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在11．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-12．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的14．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 15．ze 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析16．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+17．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc ⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 18．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 19．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π20．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）121．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ- (B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-22．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 23．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos24．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +225．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数26．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xvix u ∂∂-∂∂ 27．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在28．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 29．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定30．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==31．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 32．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n33．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn34．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点36．设0=z 为函数241sin ze z z-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 37．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点 38．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) z e z f z111)(--= 39．z i =是函数221()(1)f z z z =+的( ) 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数练习题习题 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】习题1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.（1）3|1|11z dz z -=-⎰ 解：23|1|1|1|1211/(1)1112123z z z dz z z dz z z i z z iππ-=-==++=--=++=⎰⎰（4）44||1(2)z dz z z =-⎰ 解：4444||1||14071/(2)(2)21 3!(2)1203(02)5 16z z z dz z dz z z z i z i iπππ===-=-'''⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦-=⋅-=⎰⎰（6）41||2sin ()n z zdzz i +=-⎰ 解：[](4)41||2sin 2sin ()(4)!2 sin (4)!2 sin (4)!2 sh1(4)!n n z i z z izdz i z z i n iz n iin n ππππ+====-==-=⎰（8）43||2(1)(2)(16)z dzz z z =-++⎰解：被积函数41(1)(2)(16)z z z -++有6个奇点，只有1z =在圆||3/2z =的内部，于是函数41(2)(16)z z ++在闭圆域||3/2z ≤上解析，则由Cauchy 积分公式得4433||||22411/(2)(16)(1)(2)(16)112(2)(16)2 51z z z dzz z dz z z z z i z z iππ===++=-++-=++=⎰⎰4.用Cauchy 积分公式计算函数()/zf z e z =沿正向圆周||1z =的积分值，然后利用圆周||1z =的参数方程()i z e θπθπ=-≤≤证明下面积分cos 0cos(sin ).e d πθθθπ=⎰（1）解：函数()/zf z e z =的奇点0z =在积分路径||1z =的内部，而函数ze在闭区域||1z ≤上解析，于是由Cauchy 积分公式得||122.z zz z e dz i ei z ππ====⎰（2）证明：圆周||1z =的参数方程为()i z e θπθπ=-≤≤，在它上有(),i z ie θθ'=于是||1cos sin cos cos cos cos cos 2 [cos(sin )sin(sin )] [sin(sin )cos(sin )] sin(sin )cos(sin )i ze i i z i e e ie i dz d z ee id ei id eied ed i ed θθπθππθθππθππθθπππθθπππθθθθθθθθθθθθ=-+-----====+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰比较等式两边的虚部得cos cos(sin )2ed πθπθθπ-=⎰又cos 0cos cos 0cos()cos 0coscos 0coscoscos(sin ) cos(sin )cos(sin )cos(sin())()cos(sin ) cos(sin )cos(sin ) cos(sin )cos(sin )e d e d ed ed e d e d e d e d e d πθππθθπωθπωθππωθππωθθθθθθθωωθθωωθθωωθ--=--=+=--+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰0cos 02cos(sin )e d ππθθθθ=⎰⎰所以cos 0cos(sin ).ed πθθθπ=⎰7.由下面所给调和函数求解析函数().f z u iv =+（2）(cos sin ),(0)0;xu e x y y y f =-= 解：对u 求偏导数有(cos sin cos ),(sin sin cos ),xx xy u e x y y y y u e y x y y y '=-+'=-++解法1：由Cauchy-Riemann 条件得(sin sin cos ),(cos sin cos ),xx xy v e y x y y y v e x y y y y '=++'=-+对第一式两边对x 积分得(sin sin cos ) (1)sin (sin cos )()(sin cos )()xx xx v e y x y y y dxx e y e y y y g y e x y y y g y =++=-+++=++⎰ 两边对y 求导，并且与上面所得y v '比较有(cos cos sin )()(cos sin cos )xy x v e x y y y y g y e x y y y y ''=+-+=-+ 于是得()0,g y '=即(),g y c =其中c 为任意实常数.从而(sin cos )x v e x y y y c =++，即()(cos sin )[(sin cos )] x xzf z e x y y y i e x y y y c ze ci=-+++=+由于(0)0,f =代入上式得0,c =所以().zf z ze =解法2：由Cauchy-Riemann 方程和解析函数的求导公式可得() (cos sin cos )[(sin sin cos )] (1)x x x yxx zf z u iv u iu e x y y y y i e y x y y y e z '''''=+=-=-+--++=+于是()(1),zz zf z e z dz ic ze ic =++=+⎰其中c 为任意实常数.由于(0)0,f =代入上式得0,c =所以().zf z ze =（4）22/(),(2)0.v y x y f =+=解：对v 求偏导数有222222222,,()()x y xy x y v v x y x y --''==++ 解法1：由Cauchy-Riemann 条件得2222222222222,,()()()x y x y xy xy u u x y x y x y --''==-=+++ 对第二式两边对y 积分得222222() ()xyu dy x y xg x x y =+-=++⎰ 两边对x 求导，并且与上面所得x u '比较有2222222222()() ()x x y u g x x y x y x y -''=++-=+ 于是得()0,g x '=即(),g x c =其中c 为任意实常数.从而22x u c x y-=++， 即22221()x y f z c i c x y x y z-=++=-+++， 由于(2)0,f =代入上式得1/2,c =所以11().2f z z =-解法2：由Cauchy-Riemann 方程和解析函数的求导公式可得222222222()2 +()()1x x y x f z u iv v iv x y xyi x y x y z'''''=+=+--=++= 于是2111()1,zf z dz c c z z=+=-++⎰其中c 为任意实常数.由于(2)0,f =代入上式得1/2,c =-所以11().2f z z =-10.设()f z 和()g z 在简单闭路C 上及其内部解析，试证： （1）若()f z 在C 上及其内部处处不为零，则有()0;()Cf z dz f z '=⎰（2）若在C 上有()(),f z g z =则在C 的内部有()().f z g z =证明：（1）因为()f z 在简单闭路C 上及其内部解析并且处处不为零，则()()f z f z '在简单闭路C 上及其内部处处解析，于是由Cauchy 积分定理得 ()0;()C f z dz f z '=⎰ （2）若对于C 上的任意一点ζ有()(),f g ζζ=由于()f z 和()g z 在简单闭路C 上及其内部解析，则对于C 的内部的任意一点z ，由Cauchy 积分公式得 1()1()()(),22C C f g f z d d g z i z i zζζζζπζπζ===--⎰⎰ 所以在C 的内部有()().f z g z =。