华东师大版九年级下册27.1.2圆的对称性学案
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.1 圆的认识 圆的对称性》教案_0
课题:§27.1.2 《圆的对称性》教学设计(第一课时)教材分析1、地位和作用本课是华师大版九年数学第二十七章第一节第二课时的内容。
本节课是在小学学过的圆的基础上进行进一步的探究和推理，圆的对称性是圆的一个重要性质，它是探索其他性质的基础前提。
圆心角、弦、弧之间的相等关系是证明圆中线段相等，角相等，弧相等的重要依据，同时也为下一节的垂径定理提供了方法和依据。
所以这节内容很重要。
2、学情分析学生在小学已经学习了圆的一些知识，并且初中已经了解了中心对称、三角形全等等相关知识，具有一定的逻辑推理能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
教法、学法分析现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点，我采用启发式和讲练结合的教学方法.。
在学习本章之前，学生已经通过折纸对称、平移、旋转、推理、证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验，而学习本节充分体现了学生已有的经验的作用，同时在以前的学习中已经经历了很多合作学习的过程，所以我引导学生采用自主探究与合作探究相结合的学法。
教学目标:(一)知识与技能1.使学生知道圆是中心对称图形,并能运用其特有的性质推出在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
(二)过程与方法1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。
2.利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间的关系定理。
(三)情感、态度与价值观激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
教学重点:在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
教学难点:探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及应用。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.1.2圆的对称性(第2课时)
27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.教学重难点重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学过程导入新课由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合.探究新知合作探究1.垂径定理问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导.【解】相等线段: AE＝BE.相等劣弧：AC＝BC,AD＝BD.理由：连结OA,OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合.教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书.【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？师生活动：(引发学生思考)要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明?【解】已知：如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足教学反思教学反思为E .求证：AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 证明：（方法1）如图，连结OA ，OB . ∵ OA ＝OB ，CD ⊥AB ， ∴AE ＝BE.又∵ ⊙O 关于直径CD 所在直线对称，∴ A 点和B 点关于直径CD 所在直线对称，∴当圆沿着直径CD 所在直线对折时，点A 与点B 重合，AC⏜与BC ⏜重合， 因此AC⏜＝BC ⏜. 同理得到AD⏜＝BD ⏜.（方法2）连结OA ，OB ，CA ，CB ，则OA =OB . 即△AOB 是等腰三角形.∵AB ⊥CD ，∴AE =BE ，∠AOD =∠BOD . 从而∠AOC=∠BOC . ∴AD⏜＝BD ⏜, AC ⏜＝BC ⏜. 【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，从而证得结论成立.推导格式∵ CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 定理辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？① ② ③ ④ 师生活动：(引发学生思考)垂径定理具备的条件.【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为没过圆心.【归纳总结】(学生总结，老师点评)垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可.教学反思① ② ③ ④ 2.垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳.【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. 一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）； ④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧.【新知应用】 例1 如图，⊙O 的弦AB ＝8 cm ，直径CE ⊥AB 于点D ，DC ＝2 cm ，求半径OC 的长.师生活动：学生尝试解决，教师引导.求OC ，即求半径，可在Rt △AOD 中利用勾股定理求得.【解】如图，连结OA . ∵ CE ⊥AB 于点D ，∴14cm 2AD AB ==.设OC ＝x cm ，则OD ＝（x -2）cm.教学反思根据勾股定理，得222OA AD OD +＝.222)2(4-+=x x ，解得x ＝5. 即半径OC 的长为5 cm.【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连结弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式：2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【拓展延伸】例2 已知⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，弦CD ＝10，AB ∥CD ，求这两条平行弦AB ，CD 之间的距离.师生活动：(引发学生思考)要求两条平行弦AB ，CD 之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理和勾股定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解】分两种情况讨论：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，连结OC ，OA .由题意可知，OA ＝OC ＝13.∵ AB ∥CD ，OF ⊥CD ，∴OE ⊥AB . 又∵ AB ＝24，CD ＝10，∴ AE ＝12 AB ＝12，CF ＝12CD ＝5，∴ OE ＝22OA AE -＝5，OF ＝22OC CF -＝12， ∴ EF ＝OF -OE ＝7.（2）当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，反向延长OF 交AB 于点E ，连结OC ，OA .同(1)可得，OE ＝5，OF ＝12，∴EF ＝OF+OE ＝17. 综上，两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.① ②【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距（圆心到弦的距离），利用勾股定理和垂径定理求解即可.练一练已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ，求弦AB 与CD 之间的距离.师生活动：（学生尝试画图，教师引导）当弦的位置不能确定时，要进行分类讨论.答案：8cm 或22cm例3 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB 为0.6米，求此时的水深(即阴影部分弓形的高).教学反思师生活动：学生先审题，可以小组讨论，教师引导学生思考，要求此时的水深，即阴影部分弓形的高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得点C 是AB 的中点，点D 是AB ︵ 的中点，则BC ＝12AB ＝0.3米.由题意，知OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC＝0.4米， 所以CD ＝OD -OC ＝0.1米， 即此时的水深为0.1米.【归纳总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决.例4 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由.师生活动：(引发学生思考)求当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施，即求此时水面到拱顶的距离为多少.怎样求出这个距离？【解】不需要采取紧急措施.理由如下：如图，设圆心为O ，连结OM ，OA ，OD ，OD 与MN ，AB 分别交于点E ，C .设OA ＝R m.由题意知，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，CD ＝18 m ，由勾股定理，得222OA AC OC +＝，R 2＝302+(R -18)2，解得R ＝34.在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，∴ OE30（m ）， ∴ DE ＝OD -OE ＝4 m.∵ 4＞3.5，∴ 不需要采取紧急措施.【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解.【拓展归纳】（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a ，半径r ， 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.教学反思（2）弓形中重要数量关系：弦长a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：222,2a d h r r d ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭.课堂练习1.判断下列说法的正误.(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . （ ） (2)平分弦的直线必垂直于弦 . （ ） (3)弦的垂直平分线是圆的直径 . （ ） (4)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.下列说法中正确的是( )A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴3.⊙O 的弦AB 垂直于半径OC ，垂足为D ，则下列结论中错误的是( )A.∠AOD ＝∠BODB.AD ＝BDC.OD ＝DCD.AC BC =4.半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP ＝4，则过点P 的最长弦的长是10，最短弦的长是 .5.已知⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，圆心到AB 的距离为3 cm ，则此圆的半径为 .6.⊙O 的直径AB ＝20 cm, ∠BAC ＝30°，则弦AC ＝ .7.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？第7题图8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝ 16 cm.求截面圆心O 到水面的距离.教学反思第8题图 9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中CD ＝600 m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为点F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.第9题图 参考答案1.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√2.B3.C4.65.5 cm6.7.解：如图，连结OA .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC -CD ＝5-1＝4.∵ OC ⊥AB ，∴ ∠ODA ＝90°，∴ AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵ AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.第7题答图8.解：如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵ OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴ ∠OCB ＝90°，BC ＝12AB ＝8 cm.又∵ OB ＝10 cm ，∴ OC 6 cm ，即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.第8题答图9.解：如图，连结OC .设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R -90) m. ∵ OE ⊥CD ，CD ＝600 m ，∴ ∠OFC ＝90°，CF ＝12CD ＝300 m. 在Rt △OFC 中， 根据勾股定理，得OC 2＝CF 2+OF 2，即R 2＝3002+(R -90)2，解得R ＝545.即这段弯路的半径为545 m.教学反思第9题答图课堂小结1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 布置作业教材第40页练习第1，2题. 第45页习题27.1第3题板书设计27.1 圆的认识 2 圆的对称性（第2课时 垂径定理）1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推导格式∵ CD 是直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，,AC BC AD BD ==. 2.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD ⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝ 3.方法：将垂径定理与勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，经常需要添加辅助线——半径、过圆心作弦的垂线.。
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.1 圆的认识 圆的对称性》教案_15
28.1.2圆的轴对称性教学目标:1、记忆垂经定理。
2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。
教学重点：运用垂经定理。
教学设计：1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学生兴趣。
2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、归纳、引出命题、证明命题、形成定理。
充分体验探索过程。
3、“1题”是定理证明。
让学生能将定理文字表达转化成数学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。
4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个要素。
“练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求，“知二求二”。
5、学生完成本节小结，教师补充小结。
6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导入提出问题。
让学生的兴趣疑问得以解决。
7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。
过程和方法：教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。
情感、态度、价值观：了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。
教学过程：〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。
风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。
为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。
这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。
一复习提问：〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？〔生〕圆是轴对称图形。
过圆心的直线都是它的对称轴。
有无数条轴对称轴。
二 观察对折〔师〕如图（1）直径CD 与弦AB 是什么位置关系？ 〔生〕垂直弦AB 。
初中数学华师大版九年级下册《2712圆的对称性》教学设计
华师版数学九年级下册27.1.2圆的对称性教学设计活动探究：自学教材第37至第38页，找出并理解。
（小组讨论，3min）（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？我们已探索发现圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心。
试一试将图27.1.3中的扇形着色部分绕点，逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形你能发现什么？如图27.1.4，扇形AOB 旋转到扇形A'OB'的位置,我们可以发现在旋转过程中∠AOB= ∠A'OB'，AB=A'B '=由于圆心角∠AOB 或弧AB 或弦AB 确定了扇形AOB 的大小。
所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。
弧、弦与圆心角的关系定理由于圆心角∠AOB 或弧AB 或弦AB 确定了扇形AOB 的大小。
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． 同样，也可以得到：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
如图，在⊙O 中，AC=BD ，145∠=︒,求∠2的大小。
图 23.1.5我们已探索发现圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
由此我们可以如图 27.1.6那样，十分简捷地将一个 圆2等分、4 等分、8 等分。
试试看，你还可以将圆几等分？活动探究：自学教材第39至第40页，找出并理解。
（小组讨论，3min ）（1）如图27.1.7，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为点P ，再将纸片沿着直径CD 对折，分别比较AP 与BP ，AC 与BC ，你能发现什么结论？小组讨论，最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案。
九年级数学(华东师大版)下册教学设计：27
（二）讲授新知（500字）
1.教师引导学生回顾已学的圆的基本概念，如半径、直径、圆周等。
2.介绍圆的对称性质，特别是对称轴的概念。通过动画演示，让学生直观地理解对称轴的特点。
3.讲解圆周角定理：圆的直径所对应的圆周角是直角。通过几何图形的绘制和证明，使学生理解并掌握该定理。
3.创新实践题鼓励团队合作，充分发挥每个人的特长，提高解决问题的能力；
4.作业提交时，请确保书写工整，解答清晰，以便教师批阅和反馈。
4.指出圆的对称性质在生活中的应用，如设计图案、优化路线等。
（三）学生小组讨论（500字）
1.教师将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
a.圆的对称轴有哪些特点？
b.圆周角定理的证明过程是怎样的？
c.圆的对称性在实际生活中有哪些应用？
2.学生在小组内分享自己的观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师巡回指导，参与学生的讨论，给予提示和建议。
3.培养学生勇于探索、善于合作的精神，使学生认识到合作的重要性，学会与人共事；
4.培养学生将数学知识应用于实际的意识，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和空间想象能力，对圆的基本概念和性质有了初步的了解。在此基础上，他们对圆的对称性有一定的认识，但可能对对称轴的概念和圆周角定理的理解不够深入。因此，在本节课的教学中，应关注以下几点：
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，引导学生运用圆的对称性进行问题的分析和解答；
4.利用实际案例，引导学生将圆的对称性应用于生活实际，培养学生的实践能力和创新意识。
九年级数学下册27_1_2圆的对称性教案新版华东师大版
27.1.2圆的对称性教学内容：讲义P37~40教学目标：一、探讨并把握垂径定理；二、探讨并把握圆心角定理；3、能够应用垂径定理进行圆中的计算；教学重难点重点：探讨并把握垂径定理和圆心角定理；难点：能够运用垂径定理进行圆中的计算；教学预备：课件教学方式：教学法教学进程一、学习圆的旋转对称性（一）学习试一试一、学组学习。
（4人一组）二、班级展现展现你发觉的规律。
3、教师总结（二）圆心角定理在同一圆中，若是圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；圆心角定理的推论：在同一个圆中，若是弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
（三）学习例1（四）练习讲义P39页第一、2题。
二、学习垂径定理（一）学习圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
碰运气，你还能够将圆多少等分？（二）学习P39的试一试一、小组合作学习二、班级展现展现你的发觉。
3、教师总结（二）证明垂径定理（三）垂径定理及推论一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分这条弦所对的两条弧。
二、推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，而且平分这条弦所对的两条弧；推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
四、补充例题已知AB 和CD 都是⊙O 中的弦，且AB ∥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径为5cm.求AB 与CD 之间的距离。
解：分两种情形（1）AB 与CD 在圆心的同旁，如以下图所示： E OAB C D F作OF ⊥CD ，交CD 于点F ，交AB 于点E 。
在RT △AOE 中，OA ＝5cm ，AE ＝EB ＝4cm ，那么OE=3cm ；在RT △COF 中，OC ＝5cm ，CF ＝FD ＝3cm ，那么OF ＝4cm ；EF ＝OF －OE ＝4cm －3cm ＝1cm 。
（2）AB 与CD 在圆心的两旁，如以下图所示：同理能够示出OE ＝3cm ，OF ＝4cm ，那么EF ＝3cm+4cm ＝7cm ； 答：AB 与CD 之间的距离为1cm 或7cm 。
华东师大版数学九年级下册-27.1.2 圆的轴对称性 教案 .doc
圆的轴对称性教学目标:1、记忆垂经定理。
2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。
教学重点：运用垂经定理。
教学设计：1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学生兴趣。
2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、归纳、引出命题、证明命题、形成定理。
充分体验探索过程。
3、“1题”是定理证明。
让学生能将定理文字表达转化成数学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。
4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个要素。
“练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦“知二求二”。
心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求，5、学生完成本节小结，教师补充小结。
6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导入提出问题。
让学生的兴趣疑问得以解决。
7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。
过程和方法：教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。
情感、态度、价值观：了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。
教学过程：〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。
风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。
为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。
这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。
一复习提问：〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？〔生〕圆是轴对称图形。
过圆心的直线都是它的对称轴。
有无数条轴对称轴。
二 观察对折〔师〕如图（1）直径CD 与弦AB 是什么位置关系？ 〔生〕垂直弦AB 。
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磁涧一中九年级数学优学案
27．1．2圆的对称性
【学习目标】（宋体四号加粗左对齐）
1、知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，
2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
【学习重点】
由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
【学习难点】
运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
【自主学习】
自读课本37页---38页的内容，完成下列问题：
1、如图，扇形AOB 旋转到扇形A’OB’位置，在旋转过程中，
∠AOB=∠______，AB _____，AB=______.
2、在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，
所对的弦______. 3、同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角________，所对的弦______.
4、在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角__________，圆心角所对的弧______.
【合作探究】
1、如图，在⊙O 中，AB=CD ，∠1=54°，求∠2的度数。
2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B ＝70°.求∠A 度数．
图
28.1.4
3、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度数。
【归纳总结】
本节课我们学到了:
1、圆不仅是______对称图形，而且还是____对称图形。
2、圆的对称性：
（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧__________，所对的弦__________。
（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角_____________，所对的弦___________。
（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角____________，所对的弧____________。
【当堂检测】
1、若弦AB等于⊙O的半径，则弦AB所对的圆心角的度数是（）．A．30°B．60°C．90°D．120°
2、下列图形中，对称轴最多的是（）
A．正方形B．矩形C．等边三角形D．圆
3、如图3所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°
则∠D＝_______．
4、如图4，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，求∠AOD的度数?
【拓展延伸】
1、在⊙O 中，2AB CD ，则弦AB 与2CD 的大小关系为（ ）
A ．A
B ＞2CD B ．AB ＝2CD
C ．AB ＜2C
D D 无法确定
2、如图，在⊙O 中，=AC ，∠ACB=60O,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AB。