高考理科统计与概率常考题型与训练.docx
专题09 概率与统计——2020年高考真题与模拟题理科数学分类汇编(含解析).docx
专题09概率与统计1.[2020年高考全国I卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据3，yJ(i = l,2, ,20)得到下面的散点图:由此散点图，在1(TC至4(TC之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是A.y = a + bxB. y^a + bx1D. y = a + b\nxC. y-a+be*2.[2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压•为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10 名B. 18名C. 24 名D. 32名43.[2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1,2,3, 4出现的频率分别为-且工P,T，i=l 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是4.[2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%B. 56%C. 46%D. 42%5.[2020年高考山东】信息爛是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2, / ,且P(X= i) = Pi > 0(z = 1,2, ,n),£pi=l,定义X 的信息爛H(X) = -£p,log2P,.1=1 i=lA.若〃=1,则H(X)=0B・若兀二2,则H(X)随着p的增大而增大C.若Pi =l(z = l,2, 则H(X)随着"的增大而增大nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m ,且P(Y = j) = p j += 1,2, ,in),则6.【2020年高考江苏】已知一组数据4,2a,3 —a,5,6的平均数为4,则a的值是▲.7.[2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是____ .&【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为频率组距A.10B. 18C. 20D. 369.[2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为寺和丄.假定两球是否落入盒子互不影响，23则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________ ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 _________ •10.【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为则卩@毛= ______________ , £忆)= ________ 11.【2020年高考全国I卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄，2(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.12.[2020年高考全国I卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（帀刃（匸1, 2, 20）,其中*i和％分别表示第i个样区20 20的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得工兀=60,工x =1200,z=l i=l20 20 20工（兀-元）2=80,工（x-刃2 =9000,工（兀-元）（必-刃= 800.z=l i=l i=l（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（竝，刃）（=1, 2, 20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.J（x,. -x）（X--刃附：相关系数了= 儿曰”，血Q I.414.（兀f吃（y厂才V Z=1 Z=113.[2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？14. 【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的 PM2.5和SO?浓度（单位：（ig/m 3）,得下表:（1） 估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率; （2） 根据所给数据，完成下面的2x2列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关?n^ad-bcf(a + b)(c+d)(a + c)(b + d)P(K 2 > k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：附：&n(ad - be)- (a+ b)c + d)(a + c)(b + d)3.8416.63510.828P (K0.050 0.010 0.001支持不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(II )从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一 的概率；(III )将该校学生支持方案的概率估计值记为Po,假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年 级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为A ,试比较p 0与卩的大小.(结论不要求证明)1. C2020-广东省高三二模】高二某班共有45人，学号依次为1、2、3 ............... 45,现按学号用系统抽样的办 法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号 应为 A. 15,43 D. 14,42 x 2 + y 2= 4的内部随机选取一点P,则P 取自Q 的概率为 5 7 A.— B.—24 24 11 17 C.— D.—24243. [2020-河南省高三三模】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“--”， 其中“一”在二进制中记作T”，在二进制中记作“0”.如符号“三”对应的二进制数011⑵化为十进制 的计算如下：011⑵二0X 22+1X 21+1X 2°=3 <I 0).若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进 制数所对应的十进制数大于2的概率为2. [2020-黑龙江省大庆实验中学高三月考(理)】设不等式组< x+y>0 x-yj^y < 0表示的平面区域为Q,若从圆C ：B. 15,42C. 14,431 B. —3 1 D.-44. [2020-河南省高三三模】随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上 升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2012年至2018年中国雪场滑 雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是A. 2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加B. 2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C. 2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D. 2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%5. [2020-山东省邹城市第一中学高三其他】2020年初，新型冠状病毒（COVTO-19）引起的肺炎疫情爆 发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方 法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数（X ） 1 2 3 4 5治愈人数0）217 36 93 142由表格可得V 关于x 的二次回归方程为y = 6x 2+a ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差） 为 A. 5 B. 4D. 06. [2020-四川省绵阳南山中学高三一模】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为1 A.-2 2 C.—3C. 14 A.-54 C.—25【2020•四川省闻中中学高三其他】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹 实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1—9的一种方法.例如：3可表示为“三”, 26可表示为“=丄”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1—9这9个数字表示两 位数中，能被3整除的概率是三三丄丄A 士4567 8 9【2020•山西省高三月考】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构 运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作 一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角 形的边长比为1:3,若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是1 A.-31 C. —9【2020•山东省邹城市第一中学高三其他】下列命题中假命题是A.若随机变量§服从正态分布N （1Q J, P （^<4）= 0.79,则P （^<-2）= 0.21；8 D.—257. 5A.—187C.—16 B.D. 718 5 16 2(TT +VD.厂B.已知直线/丄平面a,直线加//平面0,贝iJ“a//0”是“/丄加”的必要不充分条件；C.若亦lb，则a在b方向上的正射影的数量为RD.命题p:3x<0,e x -x> 1 的否定—ip:X/x>O,e x-x<l10.【2020•上海高三二模】某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 _________ 户.11.[2020-辽河油田第三高级中学高三三模】楹子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成槻轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辐轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为_________ .12.[2020-辽宁省沈阳二中高三其他】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核•记X表示学生的考核成绩，并规定X>85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：3I 0 I I 640 1 3 3 4 5 871 23677788I 1 2 4 5 990 0 12 3、(I )从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(II)从图中考核成绩满足X G[80,89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；(III)记P(a<X<b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率，根据以往培训数据，规定当厂兀—85 、P —<1 >0.5时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明I 丿理由.13.[2020-重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善•该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当 空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.① 从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X, 求X的分布列和数学期望；② 以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互 不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天 不宜进行户外体育运动的概率.14. 【2020•东莞市光明中学高三月考】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P (每 次抽奖互不影响，且P 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2 次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X (元)的分布 列并求其数学期望.附表:15. [2020-山东省邹城市第一中学高三其他】为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术 改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单 位：天)数据，并绘制了如下茎叶图：改造前改造后9 8 6 5 5 1 886654322102 2 6 7 95 4 4 1 3 23345677894 112 2 3(I )(1)设所采集的40个连续正常运行时间的中位数加，并将连续正常运行时间超过加和不超过加 的次数填入下面的列联表:附：参考公式和数据：K 2= n(ad _ bc)~(a + b)(c + d)(a + c)(b + d) n=a+b+c+d.试写出a, b, c, d的值;（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？n(ad - be)"附：K2 =(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)（II）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第天（kwN*）进行维护•生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立•在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：7 = 30, k = l, 2, 3, 4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.16.[2020-四川省绵阳南山中学高三一模】为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下:1 估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；2能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关?17. [2020-四川省阎中中学高三其他】共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020 年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若 将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁一39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上） 两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5 次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有丄是“年轻人”.50.0% 40.0% 30.0% 20.0% 10.0% 0.0%（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容 量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2x2列联表，并根据列联表的独立性检验，判 断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计 经常使用单车用户120不常使用单车用户80 合计16040200（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人” 人数为随机变量X,求X 的分布列与期望. 参考数据：独立性检验界值表P （K 2>k 0） 0.150.100.0500.0250.010ko2.0722.7063.841 5.024 6.635图1共享单车用户年龄等级分布图2共享单车使用频率分布45 ；5%n(ad_bc)2其中，K2n=a+b+c+d(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)18.[2020-山西省高三月考】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格,进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：下面的临界值表仅供参考.n(ad-bc)2（参考公式：K2 -(a+b)(c + d)(a + c)(b + d)其中n-a + b + c + d专题09概率与统计1. [2020年高考全国I 卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据3，yJ(i = l,2,,20)得到下面的散点由此散点图，在l (rc 至40弋之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度X 的回归方 程类型的是 B. y — a + bx 2 D. y = a + b\nx【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此,最适合作为发芽率丁和温度x 的回归方程类型的是y^a + blnx. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.2. [2020年高考全国II 卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已 知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每 天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需 要志愿者温度/°cA. y = a + bx C. y-a+be xC.24 名D. 32 名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为500 + 1600-1200 = 900,设需要志愿者x名，50x丽10.95, x>17.1,故需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.43.[2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4 ,且工必=1 ,i=l 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A. = °丄卩2 =卩3 = °・4B. 口= ”4 = 04 卩2 =卩3 = 0・1C. Pi = P4 = 0.2, P? — P3 = 0.3D. Pi = P4 = 0.3, P2 = P3 = 0.2【答案】B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.1+(2+3)X0.4=2.5,方差为s； = (1 — 2.5)2 x0.1 +(2 — 2.5『x0.4 +(3-2.5『x0.4 +(4-2.5『x0.1 = 0.65 ；对于B选项，该组数据的平均数为込=(1 + 4)X0.4+(2 + 3)x 0.1 = 2.5,方差为s； =(1 —2.5『x0.4 +(2 —2.5『x0.1 +(3 —2.5『x0.1 +(4 —2.5『x0.4 = 1.85；对于C选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.2+(2+3)X0.3=2.5,方差为$： = (1 — 2.5『x0.2 +(2-2.5『x0.3 +(3-2.5『x0.3 +(4-2.5『x0.2 = 1.05 :对于D选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,方差为5^=(1-2.5)2 x0.3 +(2-2.5)2 x0.2 +(3-2.5『x0.2 +(4-2.5『x0.3 = 1.45.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A, “该中学学生喜欢游泳”为事件B,贝F该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A + B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B,则P(A) = 0.6, P(B) = 0.82, P( A+B) = 0.96,所以P(4) + P(B) — P(4 + B) =0.6 + 0.82 —0.96 = 0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.5.[2020年高考山东】信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,，”,且P(X=i) =P, >0(i = l,2, = 定义X 的信息爛H(X) = -£p,log2P,.1=1 Z=1A.若”=1,则H(X)=0B.若”=2,则H(X)随着必的增大而增大C.若Pi =-(i = l,2, ,n),则H(X)随着"的增大而增大nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m ,且P(Y = j) = + p2tn+i_j(j = 1,2, ,m),则H(X)<H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若〃=1,贝畀=1,卩1=1,所以H(X)= -(lxlog21) = 0,所以A选项正确.对于 B 选项,若〃 =2 ,贝0 Z = 1,2 , 2 = 1 — Pi，所以H(X)= -[pi -log2 p+(l-pj.log2(l-pj],当A 时’H(X)= -]右呢2占+扌•log?』’3(3 3 1 ] \半Pl =才时，H(x) =-打dog2 二+ 了1082才]两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若卩：=丄(7 = 1,2, ,“)，贝I]nH(X )二一 -*log 2- xn = -log 2- = log 2n,\n nJ n则H(X )随着"的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若n = 2m,随机变量Y 的所有可能的取值为1,2, ,m ,且P (Y = j^ = p.+ p 2m+l _j1H (X )=-工门・log2B =工门 Jog? —i=li=lPi+ A m -1 • l°g2 + 02”, * l°g2丄•Plm-1 Plm门>0(心1,2, ,2同，所以[乔匕，所以腺亍匕 , 1 1 1所以 A-log 2 — > A ■ log? -------------------- ，Pi Pi + 卩2,”+一 所以H (X )>H (Y ),所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息嫡”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对 数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 6.【2020年高考江苏】已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a 的值是 ▲.【答案】2【解析】•••数据4,2a, 3 —a, 5,6的平均数为4 4+2a+3—Q +5+6 = 20,即 a = 2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础.7. [2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6 = 36个.诃1喝法++ (% + Pn+)lOg2]Pm +Pm+1喝由于点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.•••出现向上的点数和为5的概率为P = — = ~.36 9故答案为：_•【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.45,5.47）,[5.47,5.49]-并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间C. 20D. 36【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25 + 5.00)x0.02 = 0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80x0.225 = 18.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.9.[2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为寺和丄.假定两球是否落入盒子互不影响,23则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________ ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________ .【答案】| |6 3【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为2 3且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为2 3 6甲、乙两球都不落入盒子的概率为(l-|)x(l-|) = |,2所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为亍.故答案为：7；6 3【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.10.[2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止•设此过程中取到黄球的个数为歹，则电= ______________ ,陀)= _________ 【答案】1【解析】因为^ = 0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以P(^ = 0) = - + -x- = -,随机变量£ = 0,1,2,^=1)=2X1+2X1X1+1X2X1=1；43432432 3所以E(^)^0x^ + lx~ + 2x^l.故答案为：亍;1.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考全国I卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为二，2(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为2 •16(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为丄16乙连胜四场的概率为2;16丙上场后连胜三场的概率为二O1113所以需要进行第五场比赛的概率为1 ---—--=4.16 16 8 4(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为补.O比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为2,16 8 8因此丙最终获胜的概率为1+2+1+1=丄.8 16 8 8 1612.[2020年高考全国I卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(盼yi)(i=l,2,…，20),其中益和必分别表示第i个样区。
高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：XX1x 2x …n xP1p2p…np 1. 其中，，则称为随机变120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=1122...n n x p x p x p +++量的均值或的数学期望，记为或．X X ()E X μ数学期望 =()E X 1122...n nx p x p x p +++性质 （1）；（2）．（为常数）()E c c =()()E aX b aE X b +=+,,a b c 2. ，（其中）刻画了随机变2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或X μX ()D X ．2σ 方差2221122()()...()n nDX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式计算．22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为X X X ()D X的标准差，即X σ=1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －101P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：X 012…lP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --22n M N Mn NC C C --…l n l M N Mn NC C C --其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==，其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)X H n M N :，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ．1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：X X 012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：的数学期望约为．X 1.6667说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑g g 2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。
高考理科数学概率题型归纳与练习含答案(供参考)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即σ1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
高考数学理科第19练概率与统计的综合问题.docx
大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝P AB＝P B＝0.15＝3.
P AP A0.5511
因此所求概率为
3
11.
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统
则P(A)＝
C61C301
2
2
＝.
C36
7
2
所以采访该团
2名游客，恰有1人持银卡的概率是7.
(2)设事件B为“采访该团2名游客，持金卡人数与持银卡人数相等”，事件B1为“采访该团2名游客，0人持金卡，0人持银卡”，事件B2为“采访该团2名游客，1人持金卡，1人持银卡”.
C221C19C161344
P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝C236＋C236＝3＋35＝105.
中恰有三次命中
9环为事件C＋D，
1
1
3
×C
2
12
2
12
1
1
1
1
∴P(C＋D )＝C
× ×
2
＋C
4
×C×
× ＝
8.
2
4
4
2
2
2
2
2
(3)ξ的取值分别为0，1，2，
P(ξ＝0)＝
1×
1＋
1×1＋
1×
1＝
7
，
2
6
4
2
4
3
24
P(ξ＝1)＝
1×1＋1×1＋1×1＋1×1＝1，
2
2
4
6
4
3
高考理科数学概率与统计综合训练
概率与统计综合训练4.古典概型：基本事件有限个；几何概型：基本事件无限个。
二．解答题常见题型1.随机变量是不确定数值：通常根据题中所给数据确定。
【练1】盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.（1）两次取出的球标号不同的概率；（2）记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的期望ξE .2.随机变量ξ服从超几何分布【练2】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率.3.随机变量ξ服从二项分布；4.几何概型【练3】为了解今年高中毕业生的身体素质状况，现从我校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是6.(1)求这次实心球测试成绩合格的人数；(2) 用此次测试结果估计我校毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；(3) 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9.5〜10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.5.事件需要列举后再求概率【练4】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分为两个不相交的区域,C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.6.其它【练5】甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58．（I ）如右图为统计这次比赛的局数n 和甲、乙的总得分S ，T 的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l ．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和.E ξ【练6】现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：（Ⅱ) 4人中不赞成“楼市限购政策”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.（参考公式：，其中.）ξξ22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【练7】甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1) 若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？(2) 若左右手依次各取两球/称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为X,求X的分布列和数学期望.【练8】为加强八中学生实践、创新能力和团队精神的培养，技术科组举办了智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队X X伍数记为，求的分布列和数学期望.【练9】现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。
高三数学专项训练：概率与统计(理科)
高三数学专项训练：概率与统计（理科）1．在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（2）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()Eξ.2．2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响．（1）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;（2）若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望3．在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数a 、b 的值；区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]人数50a350300b（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；（3）在根据（2）抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X ，求X 的分布列与数学期望（即均值）.4．某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求成绩在区间[80,90)的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[]90,100内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.0.0150.0050.0205．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望6．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
高中数学概率与统计常考题型归纳
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
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1,2,3,
)，于是得到随机 量ξ的概率分布列.
1
2
3
⋯
k
⋯
P
q
qp
q2p
⋯
qk 1p
⋯
我 称ξ服从几何分布，并G
k
,
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qk
1p
，其中q
1 p.
k 1,2,3
(
)
5.⑴超几何分布 ： 一般情形 ，一批 品共N件，其中有M件不合格品 ，随机取出的n件 品中 ，不合格品数X
的分布如下表所示：
X
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手 ，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率 ；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数 ，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考材料
......
2.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，
量ξ的概率分布， 称ξ的分布列.
x1
x2
xi
⋯
⋯
P
p1
p2
pi
⋯
⋯
性 ：①p10, i 1,2,
；②p1p2pi
1 .
3.⑴二 分布 ：如果在一次 中某事件 生的概率是P，那么在n次独立重复 中 个事件恰好 生k次的概
率是 ：P(k)CnkPkqn k(其中k0,1,, n, q1p )。于是得到随机 量ξ的概率分布如下：我 称 的随机
E
⑵ 设 ξ和
是互相独立的两个随机变量
，则E(
)
E E,D(
)
D
D
⑶ 期望与方差的转化
：DE2(E)2
⑷E (
E )
E( ) E(E )（因为E
为一常数 ）
E
E0 .
三、正态分布
1
( x
)2
1 .⑴正态分布与正态曲线
：如果随机变量ξ的概率密度为：f (x)
2
2
,
为常数 ，且
0），
e
.（x R,
2
称 ξ服从参数为
球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(1)求X的分布列 ；(2)求X的数学期望E(X).
2.一盒零件中有9个正品和3个次品 ，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品
数X的概率分布。
3.一批产品共10件，其中7件正品 ，3件次品 ，每次从这批产品中任取一件 ，在下述三种情况下 ，分别求直至取得正品时所需次数 的概率分别布.
,
的正态分布 ，用
～N (
,
2)表示. f ( x)的表达式可简记为
N ( ,
2)，它的密度曲线简称为正态曲▲
y
S
线.
x
⑵ 正态分布的期望与方差
：若 ～N(
,2)，则ξ的期望与方差分别为
：E
, D
2.
a
标准正态分布曲线
⑶正态曲线的性质.
S阴=0.5Sa=0.5+S
①曲线在x轴上方 ，与x轴不相交.
②曲线关于直线x对称.
③当x时曲线处于最高点，当x向左 、向右远离时 ，曲线不断地降低，呈现出 “中间高 、两边低 ”的钟形曲线.
④当x＜时，曲线上升 ；当x＞时，曲线下降 ，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线 ，
向x轴无限的靠近.
⑤ 当一定时 ，曲线的形状由确定 ，越大 ，曲线越 “矮胖 ”表.示总体的分布越分散；越小 ，曲线越 “瘦
(1)每次取出的产品不再放回去；
(2)每次取出的产品仍放回去 ；
(3)每次取出一件次品后 ，总是另取一件正品放回到这批产品中.
参考材料
......
二、数学期望与方差.
1.期望的含 ：一般地 ，若离散型随机 量 ξ的概率分布
x1
x2
⋯
xi
⋯
P
p1
p2
⋯
pi
⋯
称E x1p1
x2p2
xnpn
ξ的数学期望或平均数
A，乙组研发
3
5
新产品B.设甲 、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率
；
（2）若新产品A研发成功 ，预计企业可获利润
120万元 ；若新产品B研发成功 ，预计企业可获得利润
100万元.求
该企业可获利润的分布列和数学期望.
题型三 与统计交汇的离散型随机变量的分布列与期望
1.
一家面包房根据以往某种面包的销售记录
0
1
2
⋯
l
P
CM0CNn
M
CM1CNn 1M
CM2CNn 2M
⋯
CMlCNn lM
CNn
CNn
CNn
CNn
其中l
min( n, M )网一般地 ，若一个随机 量
X
的分布列
(
r
)
CMrCNn
rM
，
P X
CNn
其 中r
0
，1
，2
，3
，⋯，l，l
min( n, M )， 称X服 从 超 几 何 分 布 ，X
.
⑵点分布：E
c
1Байду номын сангаас
c其分布列 ：P (
1) c.
⑶两点分布：E
0
q
1 p
p，其分布列 ：（p + q = 1
）
⑷二 分布：E
k
n!
pkqn k
np
其分布列
B(n, p) .（P生
的概率 ）
k! (n
k )!
⑸几何分布：E
1
其分布列
～q(k, p) .（P生
的概率 ）
p
3.方差、准差的定：当已知随机量
ξ的 分 布 列P( xk) pk(k 1,2, )
，称
D (x1E )2p1(x2
E )2p2
(xnE )2pn
ξ的方差.然D
0，故
D .
ξ的根方差或 准差
.随机 量ξ
的方差与 准差都反映了随机 量
ξ取 的 定与波，集中与离散的程度. D
越小 ， 定性越高 ，波 越小.
．．．．．．．．．．．．． ．
4.方差的性.
⑴ 随机 量
a
b的方差D ( )
D (a
b)
a2D.（a、b均 常数 ）
参考材料
..
..
..
⑵单点分布：D
0其分布列为P(
1)
p
ξ
0
1
⑶两点分布：D
pq
其分布列为 ：（p + q = 1
）
P
q
p
⑷二项分布：D
npq
⑸几何分布：D
q
p2
5.期望与方差的关系.
⑴如果E
和E
都存在，则E(
)
E
⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ 服从正态分布N (,2)则ξ落在(3 ,3 )内的概率为99.7％ 亦即落在
(3 ,3 )之外的概率为0.3％， 此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 ξ不服从正态
分布）.
四、解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路
(1)明确随机变量可能取哪些值；
参考材料
......
可以把它看作独立重复，利用二 分布求其分布列。
4.
几何分布 ：“k”表示在第k次独立重复
，事件第一次 生 ，如果把k次 事件
A生Ak，事件
A不生
Ak，P( Ak)
q
，那么根据相互独立事件的概率乘法分式：
P(
k ) P( A1) P( A2)P( A3)...P( Ak 1)P( Ak)qk
高”，表示总体的分布越集中.
3.⑴“3 ”原则:
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：① 提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分
布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3 ).③做出判断：如果a(3 ,3)，接受统计
参考材料
......
假设.如果a(3 ,3 )，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
......
高考统计与概率知识点、题型及练习
一． 随机 量
1.随机 的 构 是不确定的.如果 足下述条件 ：
①可以在相同的情形下重复 行；
② 的所有可能 果是明确可知的，并且不止一个 ；
③ 每次 是恰好出 些 果中的一个，但在一次 之前却不能肯定 次 会出 哪一个 果。它就
被称 一个随机.
2.离散型随机 量 ：如果 于随机 量可能取的 ，可以按一定次序一一列出 ， 的随机 量叫做离散型随机
，绘制了日销售量的频率分布直方图
，如图所示 ． 将日销售量落入各组
的频率视为概率 ，并假设每天的销售量相互独立
．
(1)
求在未来连续3
天里，有连续2天的日销售量都不低于
100个且另1天的日销售量低于50个的概率 ；
(2)
用X表示在未来
3天里日销售量不低于
100
个的天数 ，求随机变量X的分布列 ，期望E(X)及方差D(X)．
H ( n, M , N)， 并 将
P( X r )
CMr
CNn rM
H (r ; n, M , N )
CNn
，
⑵ 超几何分布的另一种形式
：一批 品由a件次品 、b件正品 成 ，今抽取n件(1≤n≤a+b)， 次品数ξ的分布列
CakCbn
k
k
n.
k)
,
0,1,2....