8上第6讲等边三角形培优
八年级数学全等三角形(培优、数学竞赛)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1B 图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5AB图6CB5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ）A. AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8CB8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
等边三角形的培优
等边三角形培优讲义一、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;（2）等边三角形每一个角的平分线与所对的中线，高线相互垂直;（3）等边三角形的每条边上的中线、高线和所对角的平分线相等.二、等边三角形的判定:（1）三条边相等的三角形是等边三角形;（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。
例题讲解：1.以下三角形：①有两个角等于060的等腰三角形；•③三个外角（每一个极点60；②有一个角等于0处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④2.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，那么∠APN=（）A 70B 60C 50 D不确信3.如图，C为线段AB上一点，在AB的同侧作等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM，假设∠MBN=40°，那么∠ANB的大小是（）A 60B 65C 70D 804、如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE＜120°)，点P与点M别离是线段BE和AD的中点，那么△CPM是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形5、如图，在△ABC中，AB=2，BC=，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转必然角度取得△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，那么CD的长为_________．第二题第三题6、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，那么∠E=_____________．7、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后取得△ACE，那么CE的长度为_______________.8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如下图的形状，那么折痕PQ的长是9.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么那个图形中的等腰三角形共有________个。
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。
【初中数学++】等边三角形课件+浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义+
一个内角为 的等腰三角形是等边三角形
课后练习
（2）如图3，若在四边形 的外部以 为一边作等边三角形 ，并连结 ，请问： 与 相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由.
[答案] 证明如下：连结 由（1）知， 是等边三角形， 又 是等边三角形， ，即
在 中， 为 的中点，
课后练习
等边三角形 中， 是等边三角形. 垂直平分 在 中， 故选
课后练习
下列结论：① ；② ；③ 是等边三角形.其中正确的是______.（填序号）
12.如图，在等腰三角形 中， 于点 是 延长线上一点， 是线段 上一点， ，有
①③
课后练习
13.在等边三角形 中， 是 上的动点，点 与点 不重合，点 在 的延长线上，且
课后练习
（1）如图1，若 是 的中点，求证：
[答案] 是等边三角形， 是 的中点， 平分
课后练习
（2）如图2，若 不是 的中点，（1）中的结论“ ”能否成立？若不成立，请直接写出 与 的数量关系；若成立，请给予证明.
8.如图，在 中， 是 内的两点， 平分
（1）延长 交 于点 的形状为____________（填“等腰三角形”“等边三角形”或“直角三角形”）.
等边三角形
图1
[解析] 如图1. 为等边三角形.故答案为等边三角形.
课后练习
（2）若 ，则 ___
8
图2
[解析] 如图2，延长 交 于点 为等边三角形， 平分 ， 故答案为8.
B
A. B. C. D.
3.如图，已知 是等边三角形，点 在同一直线上，且 ，则 的度数为 ( )
C
A. B. C. D.
课后练习
2020-2021学年浙教版八年级上册等边三角形专题培优(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优姓名班级学号基础巩固1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个第1题第2题第3题2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是（）.A.124°B.122°C.120°D.118°第4题第5题4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ .5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD =3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE.（1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD.（2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点.7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时.①依题意将图1补全.②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明.（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.拓展提优1.如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC = 45°，则∠ACE 等于（ ）. A .15° B .30° C .45° D .60°第1题2.如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是（ ）.A .3B .23 C .433D .323.如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC = 90°，连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 _________ .4.如图，∠MON = 30°，点B 1在边OM 上，且OB = 2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n+1C n 的面积为 _________ （用含正整数n 的代数式表示）.5.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AB= CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求证:（1）BE = AD.（2）BF = 2AF.6.已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点.（1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= _________ 度；∠GDF= _________ 度；AD与GD的数量关系是 _________ ；DC与DF的数量关系是 _________ .（2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小.冲刺重高1.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN= 30°.若AM = m，MN = x，CN = n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x，m，n的值而定2.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（）.A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.60 cm3.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）.A.1个B.4个C.7个D.10个4.如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA 上，设∠ART= x°，∠RSB= y°，∠STC= z°，用含y，z的代数式表示x是_________ .5.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC= 117°，∠BPC= 130°.求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数.2 3 4 5 67。
八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
八年级数学上册等边三角形讲义(新版)苏科版
八年级数学上册等边三角形讲义（新版）苏科版重难点易错点解析例1.题面：如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=∠CBE=∠ACF．(1)求∠EDF的度数；(2)求证：△DEF为等边三角形．等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质：三边相等，3个60°等边三角形的判定：3边相等，2个60°，含有1个60°的等腰三角形例2.题面：已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：AB=2BC.30°的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半金题精讲题一题面：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.(1)若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．(2)若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.题二题面：如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：AE=BD．题三题面：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．题四题面：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．(1)请证明：OB=AD．(2)△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．思维拓展题面：等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.讲义参考答案重难点易错点解析例1.答案：(1)60° (2)略两个60°例2.答案：略金题精讲题一答案：(1)略(2)是，证明略题二答案：略题三。
人教版八年级上册数学《等边三角形》培优说课教学复习课件
探索新知
知识点2 等边三角形的判定 当60°角为底角时
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°, ∴∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
探索新知
E
B
D
C
课堂练习
7.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且
AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？ A
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.
D E
又AD=CE，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠ACD=∠CBE.
B
C
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.
A
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,
∴CE=CD= 3 .
2
B
D CE
探索新知
知识点2 等边三角形的判定 性质
等边三角形
？？？判定？？？
三个内角相等
该怎么证明呢？
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
A
求证：△ABC是等边三角形.
6cm
6cm
6cm
6cm
6cm 4cm
类比探究
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
已知：AB=AC=BC ，求证：∠A=？,∠ B=？,∠C=?.
A
证明： ∵AB=AC.
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等边三角形
重难点
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒︒⎪⎩⎪⎨⎧︒︒的等腰三角形、一个角为、两个角是、三边都相等判定仍与原图形重合旋转、旋转不变性，绕中心、轴对称，三条对称轴、三边相等，三角都是性质等边三角形603602112032601 例题分析
例1、如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为
_________
方法：平移的性质、等边三角形的性质
举一反三：
1、如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°且AB=1，DE=2，BC=CD=8，求此六边形的周长。
例2、如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由。
方法：与等边三角形有关的，一般都会涉及旋转变形。
举一反三：
2、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边△CDE ，使点E 、A 在直线
DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
例3、如图，扇形ODE 的圆心角为120°，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内。
（1）请连接OA 、OB ，并证明△AOF ≌△BOG ；
（2）求证：△ABC 与扇形ODE 重叠部分的面积等于△ABC 面积的3
1
方法：（1）掌握正多边形的中心与中心角的性质；
（2）对于动点问题或条件不确定的问题都需分类讨论，
本题△A0F 是否存在（圆心角与中心角是否重合）需要讨论。
举一反三：
3、如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．
（1）求∠OAD 的度数；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
例4、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-
2
1∠BDC ． 求证：AC=BD+CD ．
方法：☆难度在于对条件“∠ADB=90°-2
1∠BDC ”的理解， 以及“截长补短”是证明线段和差关系的主要方法。
举一反三：
4、如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E,F 分别在BC,AC 上，BE=CF ，AE 与BF 交于点G ．
（1）求∠AGB 的度数；
（2）连接DG ，求证：DG=AG+BG ．
作业：
1、如图，在等边△ABC 中，点O 在AC 上，且AO=3，CO=6，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是_______
2、探索与证明：
（1）如图1，直线m 经过正三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点 D ，E ，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．
3、将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由。
4、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为___________。