运筹学1
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运筹学1
解：设 x1和x2分别表示产品甲和乙的产量， 这样可以建立如下的数学模型。 目标函数：Max 20x1 +30 x2 约束条件：s.t. 3 x1 + 7 x2 ≤ 240（劳动力限制） 2 x1 + 4 x2 ≤ 150（原材料限制） 4 x1 + 3 x2 ≤ 250（设备限制） x1，x2≥ 0（非负约束）
16/10
若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
17/10
运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
2/10
3/10
4/10
5/10
实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
10/10
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12/10
线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
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可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为 x1 , x2 , x3 目标：每天的生产利润最大 利润函数 3 x1 5 x2 4 x3 约束条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3 x2 1500 原料 P2 ： 2 x2 4 x3 800 原料 P3 ： 3 x1 2 x2 5 x3 2000 蕴含约束：产量为非负数
第12页
例:生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件 如表所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原料 数量（公斤）
原料P1
产品Q1
产品Q2
产品Q3
原料可用量 （公斤/日）
2
3
0
1500
原料P2
原料P3 单位产品的利润 （千元）
0
3 3
2
2 5
4
5 4
800
2000
第13页
问 题 分 析
第一章：绪 论（2） 第二章：线性规划和单纯形法（4） 第三章：线性规划对偶理论与应用（4） 第四章：目标规划（4） 第五章：整数规划（6） 第六章：动态规划（4） 第七章：马尔科夫链及其决策过程（4） 第八章：网络优化模型（4） 第九章：库存论 （2） 第十章：决策论 （4） 第十一章：博弈论 （2）
第20页
参数规划
参数规划是系数或常数项中带有参数的规划问题，主要研究 问题的解法：当参数在什么范围变化时问题有解以及参数的 变化对最优解的影响。
动态规划
它是与时间有关的规划问题，它是研究多阶段决策过程最优 化问题。
目标规划
目标规划就是在给定的决策环境中，使决策结果与预定目标的 偏差达到最小的数学模型。 与线性规划有很大的区别，主要表现在：在线性规划中，要 求单个目标的优化，而目标规划则强调使多个目标得到满意 的解答。另一方面，线性规划中，为得到一个可行解，必须 满足所有的约束条件。
运筹学的定义： 1、为决策机构在其控制下业务活动进行决策 时，提供以数量化为基础的科学方法。
第8页
2、运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有 的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出 的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量 依据。 3、运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话问题的结果会更坏。
第21页
• 排队论 它是运筹学的又一个分支，它也叫做随机服务系统 理论。它的研究目的是要回答如何改进服务机构或 组织被服务的对象，使得某种指标达到最优的问题。 因为排队现象是一个随机现象，因此在研究排队现 象的时候，主要采用研究随机现象的概率论作为主 要工具。 • 库存论 它是一种研究物资最优存储及存储控制的理论。
－1,－1
不坦白 －10,0
这个例子本身就部分奠定了非合作博弈论的基础。
第25页在位者源自市场进入阻挠进入进入者
默许
斗争
40,50 0,300
－10,0 0,300
不进入
猜硬币博弈
猜硬币方 正 正 －1,1 1,－1 反 1,－1 －1,1 A
石头
石头· 剪子· 布
B
石头 0,0
剪子
1,－1 0,0 －1,1
x1 , x 2 , x 3 0
第14页
模型
是研究者对客观现实经过思维抽象后用文字、 图表、符号、关系式以及实体模样描述所认识 的客观对象。
max 3 x 1 5 x 2 4 x 3
s.t.
2 x 2 4 x 3 800
2 x1 3 x 2 1500
3 x 1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
第31页
四、学科特点与学习方法
• 引入数学方法解决实际问题 --定性与定量方法结合 • 系统与整体性 --从全局考察问题 • 应用性 --源于实践、为了实践、服务于实践 • 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等多学科 • 开放性 --不断产生新的问题和学科分支 • 多分支 --问题的复杂和多样性
2、生产计划与管理 生产、存储和劳动力的配合 合理下料、配料问题、物料管理 3、库存管理 物质库存量管理、停车场的大小、计算 机内存的大小
第28页
三、运筹学在管理中的应用
4、交通运输问题 空运、水运、公路运输、铁路运输、管 道运输、厂内运输 路线选择和行车时刻表（优化调度） 5、会计与财务分析及管理 预算、贷款、成本分析、资金管理
第19页
线性规划模型
• 模型
min 21 x 11 25 x 12 7 x 13 15 x 14 51 x 21 51 x 22 37 x 23 15 x 24
x11 x 21 x11 s .t . x12 x13 x14
x12 x13 x 14 2000 x 22 x 23 x 24 1100 x 21 1700 x 22 1100 x 23 200 x 24 100
了，他不招，那么你会作为证人而被无罪释放， 他将被判10年徒刑；如果你招了，他也招了，你 们都被判8年徒刑；如果他招了，你不招，他被无 罪释放，你被判10年；如果你们都不招，各判1年。
结果……
第24页
囚徒的困境(prisoners’ dilemma)
囚徒B
坦白 坦白 囚徒A 不坦白
－8,－8
0,－10
第16页
最优化模型
• 模型要素
变量—可控因素 目标—优化的动力和依据 约束—内部条件和外部约束
• 研究内容
建 模 概 念
最优 性条 件
算 法
灵敏 度分 析
第17页
线性规划模型
设要从甲地调出物质 2000 吨，从乙地调出物质 1100 吨，分别供给 A 地 1700 吨、B 地 1100 吨、C 地 200 吨、 地 100 吨。 D 已知每吨运费(单位百元)如表所示：
第3页
• 1939-1942年，运筹学的研究在英国军队各个部门迅 速扩展，并纷纷成立运筹学小组。美国人很快注意到 英国运筹学对作战指挥成功的运用，并在自己的军队 中也逐渐建立起各种运筹学小组，美国人称这种工作 为“Operations Research”或“Operations Analysis”(运筹学或运筹分析，或直译为作战研究 或作战分析)。 • 这些军事运筹学小组的工作从雷达系统的运行开始， 一直到战斗机群的拦截战术，空军作战战术评价，防 止商船遭受敌方潜艇的攻击，改进深水炸弹投放的反 潜艇战术等等。
21x11 25x12 7 x13 15x14 51x21 51x22 37x23 15x24
受限制条件：从某地运出的货物数量总和不超过该地可运 总量，从某地运入货物总量不少于该地需要总量即
x11 x12 x13 x14 2000 x 21 x 22 x 23 x 24 1100 x11 x 21 1700 x12 x 22 1100 x13 x 23 200 x14 x 24 100
第11页
• 数学规划 – 线性规划 约束条件和目标函数都是线性函数的数学规划； 主要解法是：单纯形法； 主要应用于企业规划和工农业的管理决策等方面。 – 非线性规划 它是线性规划的进一步发展和继续。许多实际问题如设计 问题、经济平衡问题都属于非线性规划的范畴。 – 整数规划 整数规划是研究决策变量取正整数或部分取整数的一类规 划问题。（人员分工指派问题）
第5页
• 二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续 保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组 织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步 的扩大和发展，同时运筹学方法也向政府和工业 等部门扩展。在这些新领域的研究中，得到很多 大学的支持，签订了不少协作研究的合同,大批专 门从事研究的公司也逐渐成立，如著名的RAND （兰德）公司就是在1949年成立的。
第29页
三、运筹学在管理中的应用
6、人力资源管理 人员需求、人员工作分配、人才评价、 工资和津贴的确定等。 7、设备维修、更新和可靠性、项目选择和评 价等 8、工程管理与优化设计 9、城市规划与管理 救火站、城市垃圾的清扫、搬运和处理。
第30页
三、运筹学在管理中的应用
10、计算机和信息系统 内存分配、文件寻找
第4页
• 研究问题：（1）反潜深水炸弹的合理爆炸深 度；（2）护航舰队保护商船的编队问题和当 船队遭受潜艇攻击时，如何使船队损失最小。 • 主要成果： • （1）计算出反潜深水炸弹的合理爆炸深度后， 使德国潜艇被摧毁数增加到400%； • （2）船只在受到敌机攻击时，提出了大船应 急转向，小船应缓慢转向的逃避方法，中弹数 由47%下降到29%。
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• 图论 图论是研究由节点和边所组成的图形的数 学理论和方法 • 博弈论 博弈论是使用严谨的数学模型研究冲突对 抗条件下最优决策问题的理论。
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关于博弈论，现代流传最广的是一个叫做“囚 徒困境”的故事。
说的是有两个人，纵火之后逃跑被警察抓住
了。因为证据不够充分，很难给他们定罪。聪明
的法官分别找他们谈话，告诉他们说，如果你招
布 －1,1 1,－1 0,0
第26页
盖硬币方
反
剪子 －1,1
布 1,－1
三、运筹学在管理中的应用
1、市场营销管理 （1）广告（广告费一定的情况下，受众面广， 效益高等；报纸、电台、电视、广告牌、 发传单等形式的优选） （2）产品定价 （3）新产品开发 （4）销售计划
第27页
三、运筹学在管理中的应用
4、运筹学是研究用科学方法来决定资源不充 分的情况下如何最好地设计人—机系统，并使 之最好运行的一门学科。
第9页
运筹学的发展趋势
• • • • • 成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化（并行子 空间法、协同优化方法）
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例:生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件 如表所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原料 数量（公斤）
原料P1
产品Q1
产品Q2
产品Q3
原料可用量 （公斤/日）
2
3
0
1500
原料P2
原料P3 单位产品的利润 （千元）
0
3 3
2
2 5
4
5 4
800
2000
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问 题 分 析
第一章：绪 论（2） 第二章：线性规划和单纯形法（4） 第三章：线性规划对偶理论与应用（4） 第四章：目标规划（4） 第五章：整数规划（6） 第六章：动态规划（4） 第七章：马尔科夫链及其决策过程（4） 第八章：网络优化模型（4） 第九章：库存论 （2） 第十章：决策论 （4） 第十一章：博弈论 （2）
第20页
参数规划
参数规划是系数或常数项中带有参数的规划问题，主要研究 问题的解法：当参数在什么范围变化时问题有解以及参数的 变化对最优解的影响。
动态规划
它是与时间有关的规划问题，它是研究多阶段决策过程最优 化问题。
目标规划
目标规划就是在给定的决策环境中，使决策结果与预定目标的 偏差达到最小的数学模型。 与线性规划有很大的区别，主要表现在：在线性规划中，要 求单个目标的优化，而目标规划则强调使多个目标得到满意 的解答。另一方面，线性规划中，为得到一个可行解，必须 满足所有的约束条件。
运筹学的定义： 1、为决策机构在其控制下业务活动进行决策 时，提供以数量化为基础的科学方法。
第8页
2、运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有 的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出 的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量 依据。 3、运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话问题的结果会更坏。
第21页
• 排队论 它是运筹学的又一个分支，它也叫做随机服务系统 理论。它的研究目的是要回答如何改进服务机构或 组织被服务的对象，使得某种指标达到最优的问题。 因为排队现象是一个随机现象，因此在研究排队现 象的时候，主要采用研究随机现象的概率论作为主 要工具。 • 库存论 它是一种研究物资最优存储及存储控制的理论。
－1,－1
不坦白 －10,0
这个例子本身就部分奠定了非合作博弈论的基础。
第25页在位者源自市场进入阻挠进入进入者
默许
斗争
40,50 0,300
－10,0 0,300
不进入
猜硬币博弈
猜硬币方 正 正 －1,1 1,－1 反 1,－1 －1,1 A
石头
石头· 剪子· 布
B
石头 0,0
剪子
1,－1 0,0 －1,1
x1 , x 2 , x 3 0
第14页
模型
是研究者对客观现实经过思维抽象后用文字、 图表、符号、关系式以及实体模样描述所认识 的客观对象。
max 3 x 1 5 x 2 4 x 3
s.t.
2 x 2 4 x 3 800
2 x1 3 x 2 1500
3 x 1 2 x 2 5 x 3 2000 x1 , x 2 , x 3 0
第31页
四、学科特点与学习方法
• 引入数学方法解决实际问题 --定性与定量方法结合 • 系统与整体性 --从全局考察问题 • 应用性 --源于实践、为了实践、服务于实践 • 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等多学科 • 开放性 --不断产生新的问题和学科分支 • 多分支 --问题的复杂和多样性
2、生产计划与管理 生产、存储和劳动力的配合 合理下料、配料问题、物料管理 3、库存管理 物质库存量管理、停车场的大小、计算 机内存的大小
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三、运筹学在管理中的应用
4、交通运输问题 空运、水运、公路运输、铁路运输、管 道运输、厂内运输 路线选择和行车时刻表（优化调度） 5、会计与财务分析及管理 预算、贷款、成本分析、资金管理
第19页
线性规划模型
• 模型
min 21 x 11 25 x 12 7 x 13 15 x 14 51 x 21 51 x 22 37 x 23 15 x 24
x11 x 21 x11 s .t . x12 x13 x14
x12 x13 x 14 2000 x 22 x 23 x 24 1100 x 21 1700 x 22 1100 x 23 200 x 24 100
了，他不招，那么你会作为证人而被无罪释放， 他将被判10年徒刑；如果你招了，他也招了，你 们都被判8年徒刑；如果他招了，你不招，他被无 罪释放，你被判10年；如果你们都不招，各判1年。
结果……
第24页
囚徒的困境(prisoners’ dilemma)
囚徒B
坦白 坦白 囚徒A 不坦白
－8,－8
0,－10
第16页
最优化模型
• 模型要素
变量—可控因素 目标—优化的动力和依据 约束—内部条件和外部约束
• 研究内容
建 模 概 念
最优 性条 件
算 法
灵敏 度分 析
第17页
线性规划模型
设要从甲地调出物质 2000 吨，从乙地调出物质 1100 吨，分别供给 A 地 1700 吨、B 地 1100 吨、C 地 200 吨、 地 100 吨。 D 已知每吨运费(单位百元)如表所示：
第3页
• 1939-1942年，运筹学的研究在英国军队各个部门迅 速扩展，并纷纷成立运筹学小组。美国人很快注意到 英国运筹学对作战指挥成功的运用，并在自己的军队 中也逐渐建立起各种运筹学小组，美国人称这种工作 为“Operations Research”或“Operations Analysis”(运筹学或运筹分析，或直译为作战研究 或作战分析)。 • 这些军事运筹学小组的工作从雷达系统的运行开始， 一直到战斗机群的拦截战术，空军作战战术评价，防 止商船遭受敌方潜艇的攻击，改进深水炸弹投放的反 潜艇战术等等。
21x11 25x12 7 x13 15x14 51x21 51x22 37x23 15x24
受限制条件：从某地运出的货物数量总和不超过该地可运 总量，从某地运入货物总量不少于该地需要总量即
x11 x12 x13 x14 2000 x 21 x 22 x 23 x 24 1100 x11 x 21 1700 x12 x 22 1100 x13 x 23 200 x14 x 24 100
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• 数学规划 – 线性规划 约束条件和目标函数都是线性函数的数学规划； 主要解法是：单纯形法； 主要应用于企业规划和工农业的管理决策等方面。 – 非线性规划 它是线性规划的进一步发展和继续。许多实际问题如设计 问题、经济平衡问题都属于非线性规划的范畴。 – 整数规划 整数规划是研究决策变量取正整数或部分取整数的一类规 划问题。（人员分工指派问题）
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• 二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续 保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组 织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步 的扩大和发展，同时运筹学方法也向政府和工业 等部门扩展。在这些新领域的研究中，得到很多 大学的支持，签订了不少协作研究的合同,大批专 门从事研究的公司也逐渐成立，如著名的RAND （兰德）公司就是在1949年成立的。
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三、运筹学在管理中的应用
6、人力资源管理 人员需求、人员工作分配、人才评价、 工资和津贴的确定等。 7、设备维修、更新和可靠性、项目选择和评 价等 8、工程管理与优化设计 9、城市规划与管理 救火站、城市垃圾的清扫、搬运和处理。
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三、运筹学在管理中的应用
10、计算机和信息系统 内存分配、文件寻找
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• 研究问题：（1）反潜深水炸弹的合理爆炸深 度；（2）护航舰队保护商船的编队问题和当 船队遭受潜艇攻击时，如何使船队损失最小。 • 主要成果： • （1）计算出反潜深水炸弹的合理爆炸深度后， 使德国潜艇被摧毁数增加到400%； • （2）船只在受到敌机攻击时，提出了大船应 急转向，小船应缓慢转向的逃避方法，中弹数 由47%下降到29%。
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• 图论 图论是研究由节点和边所组成的图形的数 学理论和方法 • 博弈论 博弈论是使用严谨的数学模型研究冲突对 抗条件下最优决策问题的理论。
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关于博弈论，现代流传最广的是一个叫做“囚 徒困境”的故事。
说的是有两个人，纵火之后逃跑被警察抓住
了。因为证据不够充分，很难给他们定罪。聪明
的法官分别找他们谈话，告诉他们说，如果你招
布 －1,1 1,－1 0,0
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盖硬币方
反
剪子 －1,1
布 1,－1
三、运筹学在管理中的应用
1、市场营销管理 （1）广告（广告费一定的情况下，受众面广， 效益高等；报纸、电台、电视、广告牌、 发传单等形式的优选） （2）产品定价 （3）新产品开发 （4）销售计划
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三、运筹学在管理中的应用
4、运筹学是研究用科学方法来决定资源不充 分的情况下如何最好地设计人—机系统，并使 之最好运行的一门学科。
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运筹学的发展趋势
• • • • • 成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化（并行子 空间法、协同优化方法）