运筹学作业(1)

《运筹学》作业

第2章

1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）

解：①决策变量

本问题的决策变量时两种产品的生产量。可设：

X为产品1的生产量

Y为产品2的生产量

②目标函数

本问题的目标函数是工厂获利的最大值，计算如下：

工厂获利值=40X+50Y（万元）

③约束条件

本问题共有4个约束条件。分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束。由题意，这些约束可表达如下：

X+2Y≤30

3X+2Y≤60

2Y≤24

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b. Max 40X+50Y

s.t. X+2Y≤30 (原材料A的使用量约束) ① 3X+2Y≤60 (原材料B的使用量约束) ② 2Y≤24 (原材料C的使用量约束) ③ X≥0，Y≥0 (非负约束) ④

决策变量

产品1 产品2

产量15 7.5

工厂获利975

约束使用量（左边）可提供量（右边）原材料A 30 <= 30

原材料B 60 <= 60

原材料C 15 <= 24

作图法：见下图:

X+2Y=30 (原材料A的使用量约束) ①

3X+2Y=60 (原材料B的使用量约束) ②

2Y=24 (原材料C的使用量约束) ③

X≥0，Y≥0 (非负约束) ④

40X+50Y =975 ⑤作40X+50Y =0 的平行线得到的焦点为最大值

即产品1为15件产品2为7.5件时工厂获利最大为975万元

2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）

产品1 产品2 可用的材料数

原材料A 原材料B 人时1

3

2

2

4

12

24

单位产品获利300万元500万元

解：设生产产品1为x件，生产产品2为y件时，使工厂获利最多产品利润为P（万元）

则P=300x+500y

作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：

由约束条件可知阴影部分，即为可行域

目标函数P=300x+500y 是以P 为参数，-53

为斜率的一族平行线

y =-

5

3

x +500P （图中红色虚线） 由上图可知，目标函数在经过A 点的时候总利润P 最大 即当目标函数与可行域交与A 点时，函数值最大

即最优解A=（4，6），最优值P=300*4+500*6=4200（万元）

答：当公司安排生产产品1为4件，产品2为6件时使工厂获利最大。

3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：

1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；

2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？

3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？

Microsoft Excel 9.0 敏感性报告

工作表 [ex2-6.xls]Sheet1

报告的建立: 2001-8-6 11:04:02

可变单元

格

终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量

$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20

$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5

$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0

$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30

约束

终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量

$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100

$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50

$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200

解：（1）由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为8元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加1个小时劳动时间，该厂的利润（目标值）将增加8元，因此付出11元的加班费时，该厂的利润是亏损的。所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班（2）如果工人的劳动时间变为402小时时，比原先的减少了2个小时，该减少量在允许的减少量（100小时）内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为8元。因此，该厂的利润变为：9200+（402-400）*8=9216元，即比原先日利润增加了16元。

（3）由敏感性报告可知，第二种家具的目标系数（即单位利润）允许的增量为10，即当第二种家具的单位利润增量不超过10的时候，最优解不变。因此第二种家具的单位利润增加5元的时候，该增量在允许的增量范围内，这时，最优解不变。四种家具的最优日产量分别为100件，80件，40件，0件。生产计划不变。

4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如

解：①决策变量

本问题的决策变量时两种产品的生产量。可设：

X为产品1的生产量

Y为产品2的生产量

②目标函数

本问题的目标函数是工厂获利的最大值，课计算如下：

工厂获利值=25X+10Y（元）

③约束条件

本问题共有4个约束条件。分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束。

由题意，这些约束可表达如下：

0.6X+0.5Y≤12000

0.4X+0.1Y≤4000

0.4Y≤6000

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b. Max 25X+10Y

s.t. 0.6X+0.5Y≤12000 ①

0.4X+0.1Y≤4000 ②

0.4Y≤6000 ③

X≥0，Y≥0 (非负约束) ④

建立excel模型