基本图像变换
第三章图像的几何变换
i i
x i y i 将齐次坐标 规范化后， s
。由此可见，
当s＞ 1时，图像按比例缩小；当 0＜ s＜ 1时，整个图像按比例放 大；当s＝1时，图像大小不变。
图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为
x 1' x 2' x n' ' ' ' y1 y 2 y n 1 1 1 3 n
引入齐次坐标后，表示 2D 图像几何变换的 3×3 矩阵的功能 就完善了，可以用它完成 2D 图像的各种几何变换。下面讨论 3×3 阶变换矩阵中各元素在变换中的功能。几何变换的 3×3 矩 阵的一般形式为
从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第3行， 并没有使变换结果受到影响。这种用 n＋1维向量表示 n维向量 的方法称为齐次坐标表示法。
因此， 2D 图像中的点坐标 (x, y) 通常表示成齐次坐标（ Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1时，则(x, y, 1)就 称为点(x, y)的规范化齐次坐标。
g (x , y ) , (x , y )整型
图3-30 灰度级插值处理（像素变换）
灰度级插值处理
另一种更有效的灰度级插值处理方法是像素填 充（pixel filling）或称为向后映射算法。 输出像素一次一个地映射回到原始（输入）图 像中，以便确定其灰度级。如果一个输出像素被映 射到四个输入像素之间，则其灰度值由灰度级插值 决定，如图3-30所示。向后空间变换是向前变换的 逆变换。
a b T c d l m
p q s
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
opencv：图像的基本变换
opencv：图像的基本变换0.概述图像变换的基本原理都是找到原图和⽬标图的像素位置的映射关系，这个可以⽤坐标系来思考，在opencv中，图像的坐标系是从左上⾓开始(0,0)，向右是x增加⽅向(cols)，向下时y增加⽅向(rows)。
普通坐标关系：图像坐标关系：1.图像的平移图像的平移是⽐较简单的映射关系，对于原图像的某个像素点位置(X0,Y0)，向右平移100个像素的话，变换之后的⽬标像素点位置(X =X0+100,Y)，然后⽤原图像的像素值填充⽬标位置就可，因此我们需要将这种映射关系转换⼀下，⽅便获得原图像素值，也就是X0 = X-100，这⾥X是已知的。
具体代码如下：void translation(cv::Mat & src, cv::Mat & dst, int dx, int dy){const int rows = src.rows; // 获得原图的⾼度（y）const int cols = src.cols; // 获得原图的宽度（x）dst.create(rows, cols, src.type()); // 按照原图⼤⼩和格式创建⼀个空⽩图Vec3b *p;for (int Y = 0; Y < rows; ++Y) // 按⾏扫描{p = dst.ptr<Vec3b>(Y);for (int X = 0; X < cols; ++X){int X0 = X - dx; // 逆映射关系，求得原图的位置int Y0 = Y - dy;if (X0 >= 0 && Y0 >= 0 && X0 < cols && Y0 < rows) // 防⽌越界{p[X] = src.ptr<Vec3b>(Y0)[X0]; // 将原图的像素值赋给⽬标位置}}}}2.图像的缩放这⾥暂时只贴出opencv的缩放接⼝：void resize(InputArray src, //输⼊图像OutputArray dst, // 输出图像Size dsize, // 指定的输出图像的⼤⼩double fx=0, // 横向缩放⽐例double fy=0, // 纵向缩放⽐例int interpolation=INTER_LINEAR // 指定插值⽅式);3.图像的旋转图像旋转矩阵的原理可以参考基本映射关系：我们只需要根据这个映射关系写就好，其中的dx和dy主要⽤来计算旋转中⼼的，如果都是0的话图像就是围绕图像坐标(0,0)来旋转，该公式中的W'和H'指的是⽬标图像的宽度和⾼度。
图像变换
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
高中数学图像变换问题教案
高中数学图像变换问题教案在高中数学课程中，图像变换是一个重要的知识点，它不仅涉及代数与几何的综合应用，还锻炼了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
为了帮助教师更好地设计教学环节，本文将提供一个针对高中数学图像变换问题的教案范本。
## 教学目标1. 理解并掌握平移、翻折、旋转等基本的图像变换规律。
2. 能够熟练进行坐标系中的点、线段等基本图形的变换操作。
3. 培养学生通过图像变换解决实际问题的能力。
4. 提高学生利用几何画板软件进行图像变换操作的实践技能。
## 教学内容- 平移变换：点的平移公式，线段的平移方法。
- 翻折变换：关于x轴、y轴以及任意直线的翻折。
- 旋转变换：围绕某一点或某一轴旋转的变换规则。
- 综合应用：多种变换结合的问题解决方法。
## 教学过程### 引入新课开始上课时，教师可以通过展示日常生活中的实例，如钟表的指针转动、折叠纸张等，来引出图像变换的概念，激发学生的学习兴趣。
### 讲解新知1. **平移变换**：- 定义说明：保持图形的形状和大小不变，沿一定方向移动一定距离。
- 公式推导：(x, y) -> (x+a, y+b)，其中a、b为沿x轴和y轴的移动距离。
- 实例演示：用几何画板展示点的平移过程。
2. **翻折变换**：- 概念介绍：图形以某条直线为对称轴进行反转。
- 坐标变化：关于x轴翻折，y坐标取反；关于y轴翻折，x坐标取反；关于任意直线翻折，则需找到对应的对称点坐标。
- 练习操作：指导学生使用几何画板完成翻折变换。
3. **旋转变换**：- 原理解释：图形绕一个点或一条直线旋转一定角度。
- 坐标转换：绕原点逆时针旋转θ度，坐标变为(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)。
- 案例分析：通过具体例题让学生了解旋转变换的应用。
### 课堂练习分发练习题，让学生独立完成，包括点的平移、翻折和旋转等基本题型，然后进行小组讨论，互相解答疑惑。
### 归纳总结由学生总结本节课所学内容，教师补充并强调关键点和常见错误。
图像变换原理
图像变换原理图像变换是一种通过改变图像的像素值或空间关系，以得到新的视觉效果或数据表示的技术。
它在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域中具有重要的应用。
图像变换可以分为两类：几何变换和像素变换。
几何变换是通过改变图像的形状、位置、大小或者方向来实现的。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
平移是通过将图像在水平和垂直方向上的像素值进行移动来实现的，旋转是将图像绕着某个中心点旋转一定角度，缩放是通过改变图像的像素间距来改变图像的大小，而错切是通过改变图像像素之间的相对位置来改变图像的形状。
像素变换是通过改变图像的像素值来实现的。
常见的像素变换包括亮度调整、对比度调整、颜色空间转换和直方图均衡化等操作。
亮度调整是通过改变图像的亮度值来调整图像的明暗程度，对比度调整是通过改变图像的像素值范围来调整图像的清晰程度，颜色空间转换是将图像从一个颜色空间转换到另一个颜色空间，而直方图均衡化是通过改变图像的像素分布来增强图像的对比度和细节。
图像变换的原理主要包括以下几个方面：1. 像素级处理：图像变换是在图像的每个像素上进行的，通过改变每个像素的数值或颜色来实现图像的变换。
2. 空间转换：图像变换可以在图像的整个空间范围内进行，也可以只在图像的局部区域进行。
3. 插值方式：在对图像进行变换时，需要对新像素的像素值进行估计。
插值是一种常用的方法，通过对周围已知像素的像素值进行加权平均或其他数学处理来估计新像素的像素值。
4. 变换模型：不同的图像变换可以使用不同的数学模型来描述。
常见的变换模型包括仿射变换、透视变换和非线性变换等。
图像变换的原理和方法是计算机图形学和图像处理领域的基础知识，它为我们理解图像的特征提取、目标识别、图像增强和图像生成等问题提供了重要的工具和思路。
随着计算机技术的不断发展，图像变换的应用和研究也在不断深入和扩展，为我们实现更加丰富多样的图像处理和图像生成效果提供了可能。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
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令ω =2π u，则有
F ( ) f ( x)e jx dx
1 f ( x) 2
F ( )e jx dx
二维连续傅立叶变换 如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅 立叶变换对：
f ( x, y)
1.可分性 5. 比例变换特性 7. 相关定理
BTB BAFAB
如果B=A-1,则：F BTB
ˆ BAFAB 如果B不等于A-1,则得到F的一个近似：F
利用矩阵形式的优点是：所得到的变换矩阵可分解 成若干个具有较少非零元素的矩阵的乘积，可减少冗余 和操作次数。 在B=A-1的基础上，如果A-1=A*,则称A为酉矩阵，相应 的变换为酉变换。如果A为实矩阵A-1=AT,则称A为正交矩 阵，相应的变换为正交变换。
对连续傅立叶变换的复习
若f(x)满足狄利赫莱条件，则存在f(x)的傅立叶变换： I. 具有有限个间断点 II. 具有有限个极值点 狄利赫莱条件 III. 绝对可积 一维连续傅立叶变换
F (u)
f ( x)e j 2ux dx
f ( x) F (u )e j 2ux du
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
F (u, v)
f ( x, y)e
j 2 ( ux vy)
dxdy
F (u, v)e
j 2 ( ux vy )
dudv
4. 旋转性
连续傅立叶变换的性质 2. 线性 3. 共轭对称性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理） 8. 卷积定理
1. 可分性
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1 x 0
T (u) f ( x)h( x, u)
u 0,1,2,, N 1
T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反变
换可以表示为：
f ( x) T (u)k ( x, u)
u 0
N 1
x 0,1,2,, N 1
y {x [ f ( x, y )]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶 变换实现
2. 线性
[a1 f1 ( x, y) a2 f 2 ( x, y)] a1[ f1 ( x, y)] a2[ f 2 ( x, y)]
3. 共轭对称性
F (u, v) F (u,v)
(0,0) (N-1) X
(0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素 为 aij h1 (i, j ) ，T是输出的TN*N AFA 变换结果。为了得到反变 换，对上式 T AFA 两边各乘一个反变换矩阵B:
k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
T (u, v) f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
x, y 0,1,2,, N 1
f ( x, y) T (u, v)k ( x, y, u, v)
3. 2-D可分离变换的计算
T (u, v) f ( x, y)h1 ( x, u)h2 ( y, v)
x 0 y 0
N 1 N 1
u, v 0,1,2,, N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
T ( x, v) f ( x, y)h2 ( y, v)
y 0
N 1
x, v 0,1,2,, N 1
然后，沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到：
T (u, v) T ( x, v)h1 ( x, u)
x 0
N 1
u, v 0,1,2,, N 1
V T(x,v) 行变换 T(u,v)
Y f(x,y) 列变换
V
(0,0) (N-1) X
F (u , v)
[
f ( x, y )e
j 2 ( ux vy )
dxdy dxdy dy
f ( x, y )e
j 2ux j 2vy
e
f ( x, y )e
j 2ux
dx]e
j 2vy
第3章 图像变换
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。 3.1 傅立叶变换 3.2 离散余弦变换
u 0 v 0
N 1 N 1
h( x, y, u, v) 和 k ( x, y, u, v) 分别称为正向变换
核和反向变换核。 如果，下式成立：
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数形 式一样，则称正向变换核是对称的。
*
4. 旋转性
f (r, 0 ) F (, 0 )
5. 比例变换特性 af ( x, y ) aF (u, v) 1 u v f (ax, by) F( , ) | ab | a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）