高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理(一)课件新人教B版选修2_2
答案
思考2
ʃ2 0f(x)dx 与 F(2)－F(0)有何关系？
答案
1 2 2 ʃ 0f(x)dx＝ʃ 0(2x＋1)dx＝ ×2×(1＋5)＝6， 2
F(2)－F(0)＝6.
∴ʃ 2 0f(x)dx＝F(2)－F(0).
答案
梳理
(1)微积分基本定理
①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积；
②结论： ʃ b
a
f(x)dx＝ F(b)－F(a)
；
b b F ( x ) ③符号表示：ʃ af(x)dx＝ a ＝ F(b)－F(a .)
(2)常见函数的定积分公式
b b ①ʃ aCdx＝Cxa
(C 为常数)；
n ②ʃ b x a dx＝
1 n＋1b x a (n≠－1)； n＋1
13 72 ＝(3x －2x ＋12x)|3 0
1 3 7 2 27 ＝(3×3 －2×3 ＋12×3)－0＝ 2 .
解答
反思与感 悟
(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和
的形式，便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).
2 x －x，－2≤x<0， 2 2 x － x ，0≤x≤1， 解 ∵|x －x|＝ 2 x －x，1<x≤2，
2 ∴ʃ 2 | x －2 －x|dx
2 1 2 2 2 ＝ʃ 0 ( x － x )d x ＋ ʃ ( x － x )d x ＋ ʃ 0 1(x －x)dx －2
题型探究
类型一
求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分.
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修22
段
(j
iē
阶
d
段
u
三
à
n)
一
1．4 定积分与微积分基本定理
学
阶 段 (j iē d u à n) 二
1.4.2 微积分基本定理
业 ( x u é y è) 分 层 测
评
第一页，共30页。
1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点) 2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．
第九页，共30页。
(2)①2(x2＋2x＋3)dx 1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x3312 ＋x212 ＋3x12 ＝235.
②sin22x＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x＝sin22x，
∴π
2
sin22xdx
0
＝12x－12sin x0π2 ＝π4－12＝π－4 2.
第十九页，共30页。
已知 f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且 1f(x)dx＝1，求 f(x)的解析式．
0
【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以 k＋b ＝4.① 又10f(x)dx＝10(kx＋b)dx＝2kx2＋bx10 ＝2k＋b，所以2k＋b＝1.② 由①②得 k＝6，b＝－2，所以 f(x)＝6x－2.
0
0
1
＝x－13x301 ＋13x3－x21 ＝2.
第十五页，共30页。
1．本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号，可先求函数 f(x) 的零点，结合积分区间，分段求解．
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
含参数问题的求解方法 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要 弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须 分清参数和变量，再进行计算．另外，需注意积分下限不大于 积分上限．
1.已知1(x2＋mx)dx＝0，则实数 m 的值为( ) 0
A．－13
B．－23
C．－1
D．－2
1．求定积分是针对函数的自变量而言的，因此，要搞清被积 函数中的字母哪个是自变量即积分变量，哪个是参数(当作常 量)． 2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而 面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几 个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积 分的相反数．
解：由yy2＝＝x2－x 4，得 A(2，－2)，B(8，4)． 如图所示：
故所求面积为：
S＝2 [ 2x－(－ 2x)]dx＋ 0
[8
2x－(x－4)] dx
2
＝2
22
xdx＋8(
2x－x＋4) dx
0
2
＝2 2×23x3220＋( 2×23x32－12x2＋4x)82＝18.
1．运用微积分基本定理的关键是找 f(x)的一个原函数，可以 运用求导公式和导数的四则运算法则求 F(x)． 2．求平面图形的面积，要将平面图形分割成曲边梯形． 3．对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能 积分．
2．计算e
1 xdx
的值是(
)
1
A．0
B．－1
C．2
D．1
答案：D
3．下列积分值等于 1 的是( ) A．1xdx
0
B．1(x＋1)dx 0
C．11dx 0
D．112dx 0
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二
1.4.2 微积分基本定理学习目标核心素养1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．1．通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2．借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.微积分基本定理1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则⎠⎛ab f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛ab f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案](1)√(2)√(3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋C D ．f (x )＝x 2－2x[解析] 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋C ′＝x －2， ∴选C. [答案] C利用微积分基本定理求定积分【例1】 (1)定积分⎠1(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 (2)求下列定积分． ①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；②⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . [解析] (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )| 10＝(12＋e)－(02＋e 0)＝1＋e －1＝e.[答案] C(2)①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33| 21＋x 2| 21＋3x | 21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2，∴⎠⎜⎛π2sin 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x | π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. [解析] (1)⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.[答案] (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分【例2】 计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.利用定积分求参数[探究问题]1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．[思路探究] 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． [解] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k2＋b ＝1．②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．[解] ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b2，∴a 3＋b 2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2， 所以f (x )＝6x 2－2x . 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x [解析] 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22| 10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x | 10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x | 10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12， 所以⎠⎛0112d x ＝12x | 10＝12.[答案] C2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[解析]⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2sin x d x ＋[答案] C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.[解析] 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3| 10＝13. [答案]13 4.⎠⎛49x (1＋x )d x 等于________．[解析]⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×932＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432＋12×42＝4516. [答案] 45165．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值X 围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
高中数学第一章导数及其应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修22
+ + 4 ′ = 4 + 42 + 4,
3
5
-1
∴
(2 + 2)2d =
-2
(2)∵
+1
-1
(4 + 42 + 4)d
-2
1 5 4 3
=
+ + 4
3
5
= +
1
=
1
2
+
-1
|-2
293
=
.
15
1
2,
-
1
1
1
2 3
又
2 + 2 2 ′ = 2 + 2 ,
解析：由题意,阴影部分的面积
S=
=
4
-2
42
2
2
+ 42
+4×
43
4- 6
d =
−
2
2
3
+ 46
(-2)2
+4×
2
4
|-2
(-2)3
(-2)- 6
答案(dá àn)：B
第十八页，共24页。
=18.
题型一
题型二Βιβλιοθήκη 题型三反思 求平面图形的面积的一般步骤是:
(1)画图,并将图形分割成若干曲边梯形;
()d = () − ().
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]'=f(x),F(x)+c也是f(x)的原函
数,其中c为常数.
|
一般地,原函数在[a,b]上的改变量 F(b)-F(a)简记作 F(x) . 因此,
高中数学人教B版选修2-2第一章 1.4.2 微积分基本定理 课件(共32张PPT)
b
s a v(t)dt
已知位移函数s(t)
ss(b)s(a)
b
av(t)d t s(b)s(a)
探索求定积分新方法
b
av(t)d t s(b)s(a)
【思考】 这个问题中，从导数的角度看，速度函数v(t)
和位移函数s(t)是什么关系？
s(t)v(t)
探索求定积分新方法
【猜想】
如s果 (t)v(t)，v且 (t)在 [a,b]上可积，
aa
a
其中F(x)叫做f (x)的一个原函 . 数
THANKS
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话读书时，我愿在每一个美好思想的面前停留，就像在每一条真理面前停留一样。书籍是在时代的波涛中航行的思想 心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。好的书籍是最贵重的珍宝是唯一不死的东西。书籍使人们成为宇宙的主人。书中横卧着整个过去的灵书不仅是 是现在、过去和未来文化生活的源泉。书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的， 性的养料。而阅读，则正是这种养料。不敢妄为些子事，只因曾读数行书。只是对于一件事情很长时间很热心地去考虑罢了。只要愿意学习，就一定能够 书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友一个良好的导师一个可爱的伴侣一个优婉的安慰者。读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书如吃饭，善吃者长 吃者长疾瘤。读书不趁早，后来徒悔懊。 读书是易事，思索是难事，但两者缺一，便全无用处。 读书何所求?将以通事理。伟大的成绩和辛勤劳动是成正 一分劳动就有一分收获，日积月累，从少到多，奇迹就可以创造出来。敏而好学，不耻下问。不学，则不明古道，而能政治太平者未之有也。 若不抽出时
高中数学第一章导数及其应用本章整合课件新人教B版选修2_2
, × - 2 = 12 .
5 125
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①求f'(x); ②解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0); ③确认并指出函数的单调区间. (2)求可导函数f(x)在区间[a,b]上最大(小)值的步骤: ①求出f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将f(x)在区间(a,b)内的极值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与 最小值.
(1)当 a=1 时,f'(x)= 单调减区间为( 2, 2).
2),
(2)当 x∈(0,1]时,f'(x)=
1 . 2
> 0,
所以 f(x)在区间(0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1]上的最大值 为 f(1)=a,因此 a=
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 用定积分求平面图形的面积 用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用,几种典型 的平面图形的面积计算如下:
因为 l1⊥l2,所以 2b+1=− 3 , ������ = − 3. 所以直线 l2 的方程为 y=− 3 ������ − 9 .
1 22
1
2
专题一
专题二
专题三
专题四
1 ������ = , ������ = 3������-3, 6 (2)解方程组 1 22 得 5 ������ = - 3 ������- 9 , ������ = - 2 , 1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 6 ,- 2 . 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0 3 1 22 所以所求三角形的面积为 S= 2 × 1 + 3
高中数学第一章导数及其应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
������(������)d������ = ������ (������)
|������ = ������(������) −
������
|������
������
名师点拨1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,
同时也提供了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接 求积分时,需考虑用定积分的几何意义来解决.
������+1 ������
= ������ +
=
1 ������ 2
+ ������
-
1 2,
|1
4
题型一
题型二
题型三
(3)∵cos ������- 6 = 2 cos x+ 2 sin x,
π
π
3
1
∴ =
π cos ������- d������ = π 6
3
π
π 3 π 1 π 3 π cos xdx+ π sin xdx= sin ������ π 2 2 2 3 3 3
������
2.利用微积分基本定理求定积分
������(������)d������ 的关键是找出使
������
F'(x)=f(x)的函数F(x).通常,我们可以运用 基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x). 3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【做一做 1】 下列各式正确的是( A. B. C. D.
������
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]'=f(x),F(x)+c也是f(x) 的原函数,其中c为常数.
一般地,原函数在[a,b]上的改变量 F(b)-F(a)简记作 F(x) . 因此, 微积分基本定理可以写成形式: ������ (������).
人教版高二数学选修2-2(B版)全册PPT课件
3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
人教版高二数学选修2－2(B版)全册 PPT课件
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
人教版高二数学选修2－2(B版)全 册PPT课件目录
0002页 0036页 0087页 0156页 0219页 0238页 0254页 0282页 0336页 0371页 0418页 0458页 0460页 0495页 0555页 0598页 0600页
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2
y
Si h i y(ti1) t
B
y y( t ) Sn
y( b )
S
y( a )
O
A
aa( t0 ) t1
D
P
hi
Si
C
S2 S1
t2 ti1 ti tn1 b(btn ) t
问题(5) 怎样用定积分表示物体在时间段[a,b]内的位移s？
b
b
S a v(t)dt a y(t)dt
问题(6) 通过上面的讨论物体在时间段[a,b]内的位移s 有哪些表示方式？有什么含义？
又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
微积分基本定理的意义：
微积分基本定理揭示了导数和定积分之 间的内在联系，同时它也提供了计算定 积分的一种方法。微积分基本定理使微 积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深 远的科学，毫不夸张地说，微积分基本 定理是微积分中最重要、最光辉的成果.
请大家利用定理计算
21
1
dx ln 2 ln1 ln 2
即：b a
f (x)dx lim n
n i 1
ba n
f (i )
计算：2 1dx 1x 解：令f (x) 1
Sn
n i 1
f
1
i
1 n
x
x
（1）分割:
将1,2等分成
n个小区间
1
i
1 n
,1
i n
i
1,..n,
每个小区间长度 x 1 n
（2）近似代替:
取i
1
i 1 i
n
1,2,, n,
a, b等分成n个小区间:
t0 , t1,t1,t2 , ti1,ti , tn1,tn ,
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2
π 2 0
π π ＝1＋2－2＋(4－0)＝7－2.
2 2 2 2 1 2 (2) |x －1|dx＝ (1－x )dx＋ (x －1)dx
0
1 0
＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1
＝e.
【答案】 C
2 2 (2)① (x ＋2x＋3)dx
1
2 2 2 2 ＝ x dx＋ 2xdx＋ 3dx
1 1 1
x3 25 2 2 2 2 ＝ 3 1 ＋x 1 ＋3x1 ＝ 3 . 1－cos x ②sin 2＝ ， 2
[ 再练一题]
1 1．(1)若 (kx＋1)dx＝2，则 k 的值为(
)
0
A．1 C．3
2 1
B．2 D．4
x－1 (2) x2 dx＝________. 【导学号：05410032】
【解析】
2 1
(1)
1 0
1 2 1 (kx＋1)dx＝2kx ＋x 0
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连 续函数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
1 2．若 a＝ (x－2)dx，则被积函数的原函数为(
0
)
A．f(x)＝x－2 1 2 C．f(x)＝2x －2x＋C
B．f(x)＝x－2＋C D．f(x)＝x2－2x
b a
f(x)dx＝____________________.
其中 F(x)叫做 f(x)的一个__________． 由于[F(x)＋c]′＝f(x)， F(x)＋c 也是 f(x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在[a，b]上的改变量 F(b)－F(a)简记作 F(x) .因此，微积分 基本定理可以写成形式：____________________.
1 ＝2k＋1＝2，∴k＝2.
1 x－1 1 2 － (2) x2 d源自＝ 2dx x x 1
＝ln ＝ln
1 2 x＋x 1
1 1 2＋2－(ln 1＋1)＝ln 2－ . 2 1 【答案】 (1)B (2)ln 2－2
求分段函数的定积分
阶 段 一
阶 段 三
1．4 1.4.2
阶 段 二
定积分与微积分基本定理 微积分基本定理
学 业 分 层 测 评
1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点) 2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．
[ 基础· 初探] 教材整理 微积分基本定理
阅读教材 P40～P41，完成下列问题． 1．F′(x)从 a 到 b 的积分等于 F(x)在两端点的取值之 __________. 2．如果 F′(x)＝f(x)，且 f(x)在[a，b] 上可积，则
分，再求和． (2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
【自主解答】
2 ＋x π 2 1 2 4 ＋2x －x 2
4 2 πsin xdx＋ (1) f(x)dx＝ 1dx 2
0
0
π 2
4
(x－1)dx＝ (－cos x)
[ 小组合作型]
利用微积分基本定理求定积分
x 1 (1)定积分 (2x＋e )dx 的值为(
0
)
A．e＋2 C．e (2)求下列定积分． ① (x
1
2
B．e＋1 D．e－1
2
π ＋2x＋3)dx；② 2 0
sin 2dx.
2x
x 2 x 1 【自主解答】 (1) (2x＋e )dx＝(x ＋e )
计算下列定积分． π sin x，0≤x<2， π (1)f(x)＝ 1，2≤x≤2， x－1，2<x≤4，
2 2 (2) |x －1|dx.
0
4 求 f(x)dx；
0
【精彩点拨】 (1)按
π π f(x)的分段标准，分成0，2，2，2，(2,4]三段求定积
【解析】 ∴选 C.
1 2 由微积分基本定理知，f′(x)＝x－2，∵2x －2x＋C′＝x－2，
【答案】 C
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
b a
【答案】 1.差 2.F(b)－F(a)
原函数
b a
f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)
b a
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数．( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常 数项为 0.( )
2x
1 1 1 1 而 2x－2sin x ′＝2－2cos
π ∴ 2 0
x＝sin 2，
2x
sin 2dx π 1 π－2 ＝4－2＝ 4 .
2x
π 1 1 2 ＝ 2x－2sin x 0
求简单的定积分关键注意两点 1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被 积函数的原函数， 当原函数不易求时， 可将被积函数适当变形后 再求解． 2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．