阶段检测评估(四)

阶段检测评估（四） (时间:120分钟,满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴l 旋转180后形成一个组合体,下面说法不正确的是( )A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l 对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 【答案】A【解析】半圆绕l 旋转后,可得半球,故组合体中只有一个球.2.在空间中,”两条直线没有公共点”是”这两条直线平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】在空间中,两条直线没有公共点,可能是两条直线平行,也可能是两条直线异面,两条直线平行则两条直线没有公共点,∴”两条直线没有公共点”是”这两条直线平行”的必要不充分条件. 3.若α、β表示不同的平面,m 、n 表示不同的直线,则m ∥α的一个充分条件是( ) A.αβ⊥且m β⊥B.n αβ⋂=且m ∥nC.m ∥n 且n ∥αD.α∥β且m β⊂ 【答案】D 【解析】由A 得m ∥α或m α⊂,故A 错;由B 得m ∥α或m α⊂,故B 错;由C 得m ∥α或m α⊂,故C 错;由D 得m ∥α,故D 正确.4.一个空间几何体的正视图、且一个内角为60 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( )A. B. C.4 D.8 【答案】C【解析】由几何体的三视图可得,此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的,由正视图得菱形的边长为1,此几何体的表面积为181142S =⨯⨯⨯=. 5.如图甲所示的一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( )【答案】A6.表面积为,则此球的体积为( )B.3πC.23π【答案】A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由8=a =1,又底面对=则43V =球π343R =π3= 7.已知直线a 、b 和平面α,下列推理错误的是( )A. a b αα⊥⎫⎬⊂⎭ a b ⇒⊥ B.//a a b α⊥⎫⎬⎭ b α⇒⊥ C. a b b α⊥⎫⎬⊥⎭a ⇒∥α或a α⊂D. //a b αα⎫⎬⊂⎭a ⇒∥b【答案】D【解析】可能a ∥b 或a 、b 异面.8.正方体ABCD -1111A B C D 的棱长为1a E ,是11A D 的中点,则过A 、C 、1E 三点的截面面积是( ) A.298aB.234a2 D.232a【答案】 A【解析】如图,取11C D 的中点1F ,则梯形11ACF E 为过A 、C 、1E 的截面,又梯形11ACF E 的高O G,故四边形11ACF E 的面积为S 298a =. 9.一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4 cm,则该球的体积是( )A.1003π cm 3B.2083π cm 3C.5003π cm 3cm 3【答案】C【解析】设球的半径为R.∵截面半径为3 cm,球心到截面距离为4 cm.于是22234R =+,∴R=5.∴该球的体积33445005(333V R πππ==⋅=cm 3).10.在xOz 平面内,与三点A(0,1,2),B(2,0,1),C(1,2,0)等距离的点D 的坐标为() A.(1,0,0) B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(0,0,0) 【答案】D【解析】设点D 的坐标为(a ,0,b ),由|DA |=|DB |=|DC |,==解得a =b =0,即点D 的坐标为(0,0,0).11.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A.20条 B.15条 C.12条 D.10条 【答案】D【解析】从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线,故共有5⨯2=10条对角线. 12.如图,矩形ABCD 中,AB=3, BC= 4,沿对角线BD 将△ABD 折起,使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上,若二面角 C -AB-D 的大小为θ,则sin θ的值等于( )A.34D.45【答案】A【解析】 由题意可求得9744BO OCAO =,=,=建立空间直角坐标系如图,则7944(00)(00)C B ,,,-,,,74(00(30)A D ,,,,, BD uuu r=(4,3,0), BA u u u r94(0=,. 设m =(x,y,z)是平面ABD 的一个法向量. 则 944300x y x +=,⎧⎪⎨=,⎪⎩ 取2837z x y =-=,=-. 则m 283(7=,-,-. 又CD u u u r=(0,3,0)是平面ABC 的一个法向量.∴cos CD CD CD ⋅||||,===m m m <>sin 34θ==.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于. 【答案】2【解析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间的关系是S′S=,本题中直观图的面积为2a,所以原平面四边形的面积等22=.14.如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图,这些相同的小正方体的个数是.【答案】5【解析】由几何体的三视图,作出其直观图如图所示,故答案为5.15.有一种多面体的饰品,其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图),则AB与CD所成角的大小是.【答案】60 (或)3π【解析】作出多面体的部分图形,如图,可知CD∥FG,AB∥EF,则AB与CD所成的角为EFG∠,∵△EFG 为等边三角形,∴60EFG ∠=.16.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集.给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):其中为凸集的是 (写出所有凸集相应图形的序号). 【答案】②③【解析】对于图①,若连接顶端两点,如图(1),即A 、B 两点,则线段AB 在Ω外,故①不符合. ④中如图(2)的连法所得线段AB 也会在Ω外, 故④错.②③符合”凸集”定义.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图是表示以矩形ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体,其中AB =4,BC =3,四边形EFGH 为截面.已知AE =5,B F =8,C G =12.(1)作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ;(2)截面四边形EFGH 是否为菱形?并证明你的结论; (3)求D H 的长.【解】(1)延长HE 与DA ,交于点P ,延长GF 与CB ,交于点Q ,连接PQ 得直线l ,它便是所求作的交线l ,如图.(2)截面四边形EFGH 为菱形.因为平面ABFE ∥平面DCGH ,且平面EFGH 分别与平面ABFE 、平面DCGH 相交于直线EF 、GH ,故EF ∥GH . 同理,FG ∥EH ,故四边形EFGH 为平行四边形. 又222()25EF AB BF AE =+-=,222()25FG BC CG BF =+-=,于是EF =FG =5.故四边形EFGH 为菱形.(3)∵EH =FG =5,且222()EH AD DH AE =+-, ∴22253(5)DH =+-.∴D H =9.18.(本小题满分12分)如图所示,在直四棱柱ABCD -1111A B C D 中,已知122DC DD AD AB AD DC ===,⊥,AB ∥DC .(1)求证:11DC AC ⊥; (2)设E 是DC 上一点,试确定E 的位置,使1D E ∥平面1A BD ,并说明理由.【解】(1)证明:在直四棱柱ABCD-1111A B C D 中,连接1C D ,∵1DC DD =,∴四边形11DCC D 是正方形.∴11DC DC ⊥. 又1AD DC AD DD ⊥,⊥,DC 、1DD ⊂平面11DCC D ,且1DC DD D ⋂=, ∴AD ⊥平面11DCC D . ∵1D C ⊂平面11DCC D , ∴1AD D C ⊥.又∵1AD DC ,⊂平面1ADC ,且1AD DC D ⋂=, ∴1D C ⊥平面1ADC .又∵1AC ⊂平面1ADC ,∴11DC AC ⊥. (2)点E 为DC 的中点时,1D E ∥平面1A BD . 连接11AD D E AE ,,,设11AD A D M BD ⋂=,⋂AE =N ,连接MN . ∵E 为DC 的中点,2AB =DC ,∴DE //AB .∴DEA EAB EDB ABD ∠=∠,∠=∠. ∴△ABN ≌△EDN .∴DN =BN ,即N 为BD 中点.又M 是1AD 中点, ∴在△1AED 中,MN ∥1D E .又MN ⊂平面11A BD D E ,⊄平面1A BD , ∴1D E ∥平面1A BD .19.(本小题满分12分)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 【解】(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为968218r .-⨯=.2-2r ,∴塑料片面积S =π22r +πr (1.2-2r )=π22r +.4πr -4π2r 3=-π22r +.4πr =-3π2(0r -.8r ).∴当r =0.4时,S 有最大值,约为1.51平方米.(2)若灯笼底面半径为0.3米,则高为1.22-⨯0.3=0.6(米). 制作灯笼的三视图如图.20.(本小题满分12分)(2011湖南高考,理19)如图,在圆锥PO 中,已知PO O = 的直径 AB= 2,C 是 AB 的中点,D 为AC 的 中点 .(1)证明:平面POD ⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C 的余弦值.【解法一】 (1)证明:连接OC,因为OA=OC, D 是AC 的中点,所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O AC ,⊂ 底面O , 所以AC PO ⊥.因为OD,PO 是平面POD 内的两条相交直线,所以AC ⊥平面POD.而AC ⊂平面PAC,所以平面POD ⊥平面PAC.(2)在平面POD 中,过O 作OH PD ⊥于H,由(1)知,平面 POD ⊥ 平面PAC,所以OH ⊥平面PAC.又PA ⊂平面PAC.所以PA OH ⊥.在平面PAO 中,过O 作OG PA ⊥于G,连接HG,则有PA ⊥平面OGH,从而PA HG ⊥,故OGH ∠为二面角BPAC 的平面角. 在Rt △ODA 中OD OA ,=⋅sin 45︒=.在Rt △POD中OH ,===.在Rt △POA中OG ,===在Rt △OHG 中,sin 10OHOG OGH ∠==.所以cos OGH ∠===故二面角B-PA-C【解法二】 (1)证明:如图所示,以O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0)(00P ,,, 1122(0)D -,,. 设n 1111()x y z =,,是平面POD 的一个法向量,则由n 10OD ⋅=, n 10OP ⋅=, 得111122100x y -+=,⎧⎪⎨=.⎪⎩所以1110z x y =,=.取11y =,得n 1(110)=,,.设n 2222()x y z =,,是平面PAC 的一个法向量,则由n 20PA ⋅=, n 20PC ⋅=, 得222200x y ⎧-=,⎪⎨=.⎪⎩所以2222x y =,,取21z =,得n 2(1)=.因为n 1⋅n 2(110)(1)0=,,⋅=,所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面PAC.(2)因为y 轴⊥平面PAB,所以平面PAB 的一个法向量为n 3(010)=,,.由 (1)知,平面PAC 的一个法向量为n 2(1)=.设向量n 2和n 3的夹角为θ,则cos 2323θ⋅||||===n n n n .由图可知,二面角B-PA-C 的平面角与θ相等,所以二面角B-PA-C21.(本小题满分12分)一几何体的三视图如下:(1)画出它的直观图,并求其体积;(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直吗?试一一列出.【解】(1)该几何体的直观图如图,三棱锥P -ABC ,其中PC ⊥平面90ABC ABC ,∠= ,△ABC 斜边AC 上的高为125cm, PC =6 cm,AC =5 cm, ∴-11125612325P ABC V =⨯⨯⨯⨯=(cm 3). (2)互相垂直的面分别有:平面PAC ⊥平面ABC ,平面PBC ⊥平面ABC ,平面PBC ⊥平面PAB .22.(本小题满分10分)如图所示,正三棱柱ABC -111A B C 的侧棱1B B 上和1C C 上分别有点D 和E ,且EC =2DB .求证:平面ADE ⊥平面11ACC A .【证明】如图所示,以AC为底边作△ABC的高BM,则M为AC的中点.∵底面ABC⊥侧面11AAC C,∴BM⊥侧面11AAC C.取AE中点N,连接MN、DN.∵MN1//2EC BD,1//2EC,∴MN//BD.∴四边形MNDB为平行四边形. ∴DN∥BM.∴DN⊥平面11AAC C.∵DN⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面11AAC C.。