高中数学专题复习1角的概念推广及弧度制

第四章 三角函数
课 题：角的概念的推广
教学目标：1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.
2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.
教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 教学难点：终边相同的角的表示. 教学过程：
一、指导学生阅读教材P.4-5，回答下列问题：
1．什么是角？它由哪几部分构成？
2．何谓正角、负角、零角？
3．在直角坐标系内讨论角一般有何前提条件？象限角是怎样定义的？
二、讲授新课：
1．正角、负角、零角要从终边相对于始边的旋转方向的不同来定角的正负以及零角的意义。

即当逆时针方向旋转时得到的角就是正角；顺时针方向旋转时得到的角就是负角；终边没有作如何旋转所得的角就是零角。

2．任意角的概念的推广，其意义在于初中时学的角的取值范围为0︒~360︒，而现在它的取值范围是任意的。

3．终边相同的角：如果α是一个任意的角，与它终边相同的所有角可表示为k ⋅360︒+α，k ∈Z ，终边相同的角的集合{β|β= k ⋅360︒+α，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和，这些角之间所差的都是360︒的整倍数，这里的α不一定是锐角，也不一定是正角。

例如：k ⋅360︒–482︒（k ∈Z ），就是指与–482︒的角终边相同。

例:写出与–255︒角终边相同的角的集合，并求出0︒~360︒之间终边相同的角。

解：与–255︒角终边相同的角的集合为{α|α=k ⋅360︒–225︒，（k ∈Z ）}；在0︒~360︒之间与–255︒角终边相同的角为105︒。

4．用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）
（1）象限角：
第一象限的角表示为{α|α=k ⋅360︒＜α＜k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}；
第二象限的角表示为{α|α=k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}；
第三象限的角表示为{α|α=k ⋅360︒+180︒＜α＜k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}；
第四象限的角表示为{α|α=k ⋅360︒+270︒＜α＜k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；
或{α|α=k ⋅360︒-90︒＜α＜k ⋅360︒，（k ∈Z ）}。

（2）轴线角：
终边在x 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒， k ∈Z}；
终边在x 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+180︒，k ∈Z}；
终边在x 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒，k ∈Z}；
终边在y 轴正半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+90︒，k ∈Z}；
终边在y 轴负半轴上的角的集合：{α|α=k ⋅360︒+270︒，k ∈Z}；
终边在y 轴上的角的集合：{α|α=k ⋅180︒+90︒，k ∈Z}；
终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ⋅90︒，k ∈Z}。

5．区间角：
锐角：(0︒,90︒)，钝角：(90︒,180︒)，
注意区间(α,β)与(k ⋅360︒+α, k ⋅360︒+β)的区别。

例1 在0︒到360︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角。

（1）–120︒； （2）640︒； （3）–950︒12´。

例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式–360︒≤β≤720︒的元素β写出来。

（1）60︒； （2）–21︒； （3）363︒14´。

例3 已知α是第二象限角，问2
α是第几象限角？2α是第几象限角？分别加以说明。

解：∵α在第二象限，∴k ⋅360︒+90︒＜α＜k ⋅360︒+180︒，k ∈Z
于是， k ⋅180︒+45︒＜
2
α＜k ⋅180︒+90︒, ∵k ∈Z, ∴k=2n 或k=2n+1 当k=2n 时，n ⋅360︒+45︒＜2α＜n ⋅360︒+90︒, ∴2
α在第一象限； 当k=2n+1时，n ⋅360︒+225︒＜2α＜n ⋅360︒+270︒, ∴2
α在第三象限； ∴当α在第二象限时，∴2α可能在第一象限，也可能在第三象限。

类似地，2α可能在第三、四象限或y 轴负半轴上。

三、练习：
1.写出终边落在直线y x =上的角的集合。

2.（1）时钟的分针所转的角是正角还是负角？分针走2小时15分钟所转的角是多少度？
（2）若将时钟拨慢5分钟，则分针转了多少度？时针转了多少度？
3.半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点(1,0)A 出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 在1s 内转过的角度为(0180)θθ<<，经过2s 达到第三象限，经过14s 后又回到出发点A ，求θ。

四、小结：
在0︒到360︒范围内，找出与此范围外任何已知角终边相同的角的方法，可以按通常的除法进行，角度是负数时，商是负数，保证余数为正值，且在0︒到360︒范围内即可。

第四章 三角函数
课 题：弧度制
教学目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数.
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.
3.理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式.
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算，角的集合与实数集R 之间
的一一对应关系.
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 教学过程：
1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

2.弧度制 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(板书).即用弧度制度量时，这样的圆心角等于 1 rad.(弧度制的单位符号是rad ，读作弧度)
周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢? 周角的弧度数是ππ22=r r ,平角的弧度数是ππ2=r r ，直角的弧度是2
2ππ=r r
. 任一0°到360°的角的弧度数)(r
l x x =，必然适合不等式0≤x ＜2π. 弧度的概念随角的概念推广而推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l ＝4πｒ时，这个圆心角的弧度数是ππ44-=-=-r
r r l . 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值r
l =||α，其中l 是以角α为圆心角时所对弧的长，ｒ是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
注意：用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.
3.角度与弧度的换算
:
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2πrad.
180°＝πrad ⇒1°＝rad 180π
进而有1rad ＝（π180
）°
4.无论是在角度制下还是在弧度制下，角的集合与实数集R 之间是一一对应的.
5.弧长公式：l ＝｜α｜r ，其中l 表示弧长，r 表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.
6.扇形面积公式：.||212R S α=
（弧度制下的弧长公式）
例1、（1）把67°30
（2）把5
3π
rad 注意：(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad ”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad 的角，sin3表示3 rad 角的正弦，π＝180°即πrad ＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.
(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，
如无特别要求，不必把π写成小数.
(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋
3π或者2k π－60°一类的写法.
例2．若两个角的和是1弧度，这两个角的差是1，试求这两个角的大小。

例3．一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB
和弦AB 的长.
分析：欲求∠AOB ，需要知AB 的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公
式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中
求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB 于M ，则AB BM AM 2
1==，在Rt △AMO 中求AM .
答案：∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2sin1 cm.
注意：解实际问题时，解应具有实际意义，若把扇形OAB 的面积换成4平方厘米，其周长换成10厘米，再求同样的问题，看结果是怎样的.
三、练习：
1.半径为12cm 的轮子，每3min 转1000圈，试求：
（1）它的平均角速度（1s 转过的弧度数）；
（2）轮沿上一点1s 经过的路程；
（3）轮沿上一点转过1000所经过的路程。

2.（1）已知扇形的周长为20cm,问扇形的圆心角α为何值时，扇形的面积S 最大，并求出S 的最大值。

（2）已知扇形的面积为S ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，扇形的周长最小，并求出此最小值。

四、小结：
1.理解弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式与方法.
2.理解角的集合与实数集R 的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。