北京市顺义区2016届高三上学期期末统一测试理科数学试题 及答案
北京市顺义区2016届高三上学期期末统一测试数学(理)试卷含答案
顺义区2016届高三年级期末统一测试数 学 试 卷 (理科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{|210}A x x =+<，{|10}B x x =-<<，那么AB =（ ） （A)1{|}2x x <-（B){|0}x x <(C ）1{|1}2x x -<<- (D ）1{|0}2x x -<<2.下列函数中为偶函数的是（ ）（A）2sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅ (C ）ln ||y x =（D ）21x y =-3.某学校共有师生4000人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议。
已知从学生中抽取的人数为190人,那么该校的教师人 数为 ( ）(A ）100人(B ）150人 (C ）200人 (D)250人4.极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin ρθ=的两个圆的圆心距是 （ ） （A)2（B(C ）15。
在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，045A ∠=，2ABCS=,则a =(A ）5 （B ）25 （C ） 41 （D ）526.对于非零向量,a b，“230a b +="是“a∥b”成立的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件(C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件8.设函数()|21|,xf x c b a =-<<,且()()()f c f a f b >>，则下列关系式正确的是（ )(A ）0a c +≤ （B)0a c +> （C ）0a c +≤ （D ）0a c +<第Ⅱ卷（非选择题 共110分)7.如下程序框图中，当*(1)n Nn ∈>时，函数()n f x 表示函数1()n f x -的导函数，即1()'()nn f x f x -=.若输入函数1()sin cos f x x x =+,则输出的函数()nf x 为 （ )（A ）2sin()4x π+ （B)2sin()4x π-+(C ）2sin()4x π- （D ）2sin()4x π--二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．复数1i __________.1i-+=+10．123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.11。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：数列
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 数列一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数f (x ) 的部分对应值如表所示. 数列{}n a 满足11,a =且对任意*n ∈N ，点1(,)n n a a +都在函数()f x 的图象上，则2016a 的值为x1 2 3 4 ()f x3124A . 1 B.2 C. 3 D. 42、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 3、（东城区2016届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，，前n 项和Sn＝100，则公差d 和项数n 为A 、d ＝12，n ＝4B 、d ＝－18，n ＝2C 、d ＝16，n ＝3D 、d ＝16，n ＝44、（丰台区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下 面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤（C ）2015≤n （D ）2017n ≤5、（海淀区2016届高三上学期期中）数列的前n 项和为，则的值为A ．1B ．3C ．5D ．66、（石景山区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==， 则前n 项和n S 中最大的是（ ）A.3SB.4S 或5S？结束输出A 否是A =1A +1n =n +1n =1,A =1开始C.5S 或6SD.6S7、（西城区2016届高三上学期期末）在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件参考答案1、B2、A3、D4、C5、C6、B7、B二、填空题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是2、（大兴区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 是等差数列，公差0d ≠，11a =，1a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的公差d 等于 ；前n 项和n S 等于 .3、（东城区2016届高三上学期期末）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号) 4、（东城区2016届高三上学期期中） 在数列{}n a 中，5、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .6、（海淀区2016届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的公比为2，若234a a +=，则14___.a a +=7、（海淀区2016届高三上学期期中）已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若na ＝0 ，则n ＝参考答案1、422、217,48n n +3、①④4、121)2n -（ 5、186、67、5三、解答题1、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N L 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-L ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．2、（朝阳区2016届高三上学期期中） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<L .3、（东城区2016届高三上学期期末）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.4、（东城区2016届高三上学期期中）设数列{}n a 的前n 项和Sn ＝（I ）求（II ）求证：数列{}n a 为等比数列5、（丰台区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -L（Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-L （； （Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n .6、（海淀区2016届高三上学期期末）若实数数列{}n a 满足*21()n n n a a a n ++=-∈N ，则称数列{}n a 为“P 数列”.（Ⅰ）若数列{}n a 是P 数列，且140,1a a ==，求3a ，5a 的值；(Ⅱ) 求证：若数列{}n a 是P 数列，则{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (Ⅲ) 若数列{}n a 为P 数列，且{}n a 中不含值为零的项，记{}n a 前2016项中值为负数的项的个数为m ，求m 所有可能取值.7、（海淀区2016届高三上学期期中）已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：8、（石景山区2016届高三上学期期末）给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（*,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是 数列{}n a 的一个3阶子数列． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，且11b k=(k 为常数，*,2)k N k ∈≥，求证：1m k ≤+； （Ⅲ）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，求证：1211......22m m c c c -+++≤-．11、（西城区2016届高三上学期期末）参考答案1、解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =． 当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n n a n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =； （2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==-L ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=， 则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件； 当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====L ， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=．所以，1a 的最大值是12m -．即1212ka -=．…………………………………13分2、3、解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列， 所以11n n a a q -=．因为1234,3,2a a a 成等差数列，所以213642,a a a =+即2320q q -+=．解得2,1()q q ==舍.又它的前4和415s =，得41(1)15(0,1)1a q q q q-=>≠-， 解得11a = ．所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以11122(n 1)1n n nn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分4、5、（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-L 0（，所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<<L .又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-L （， 所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-L （. …………………………3分 （Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-L （，所以当=i k 时有1=2k k a a +.这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.所以12n n a -=. …………………………8分 （Ⅲ）证明：因为11=1a =，22=2a =，2332a ≤≤， 3442a ≤≤… 12n n n a -≤≤ 由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤L L L 1，化简得1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-L （（ 所以12)1(21-≤≤+n n S n n . ………13分 6、（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =， 所以3202||||a a a a =-=，所以43222a a a a a =-=-, 所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分所以354311,||22a a a a ==-=. …………………………….3分(Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾. 故P 数列{}n a 的项不可能全是正数,…………………………….5分 假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾,…………………………….7分 故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）. 设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=,故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列…………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -, 记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ， 当2,3,4k=时，若10,k a -<则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数，此时671t =，671+1=672m =；若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数. 此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =,…………………………….12分综上可知m 的取值集合为{672}.…………………………….13分 7、解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =， 因为233141a a q a ===，所以2q =±. 因为0n a >，所以q >，即2q =---------------------------3分 所以45116a a q ==.--------------------------6分法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±, 因为n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分 所以45116a a q ==.--------------------------6分（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==,--------------------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--,--------------------------10分所以11211222n n n n n S a ---==-,因为1102n ->，所以11222n n n S a -=-<.--------------------------13分 法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==,--------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q -==--, --------------------------10分所以11202n n n S a --=-<，所以2n n S a <.--------------------------13分法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分所以1(1)211n n n a q S q -==--. --------------------------10分要证2n nS a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证.--------------------------13分8、解：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-． 又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+， 代入得11112336a a a a-=-++++，解得0a =． ………………3分 （2）设等差数列12,,,m a a a L 的公差为d ． 因为11b k =，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++． 所以111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+． ………………5分又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+． 即11m k -<+．所以2m k <+．又因为*,m k N ∈，所以1m k ≤+． ………………8分（3）设11c t= (*t N ∈)，等比数列123,,m c c c c L 的公比为q ． 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+． 从而11*111()(1,)1n n n c c q n m n N t t --=≤≤≤∈+． ………………9分 所以1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++L L ＝1[1()]1m t t t t +-+ ＝11()1m t t t t -+-+． 设函数*11(),(3,)m f x x m m N x -=-≥∈． 当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调增函数．因为当*t N ∈，所以112t t+<≤．所以111()22m t f t -+≤-． 即1211......22m m c c c -+++≤-． ………………13分。
精编2016年北京市高考数学理科试题和答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点， 则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若 ，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
2015-2016年北京市顺义区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0B．2x﹣y﹣6=0C．x﹣2y﹣6=0D．x﹣2y+5=0 3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π4．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β5．（5分）如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1B．C．3D．﹣1或6．（5分）方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．（5分）如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．10．（5分）已知向量，且，则y=．11．（5分）已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为．12．（5分）直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．13．（5分）抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．14．（5分）已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．16．（13分）已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．18．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．19．（14分）已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．20．（13分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP （O是坐标原点）的斜率的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选：A．2．（5分）直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0B．2x﹣y﹣6=0C．x﹣2y﹣6=0D．x﹣2y+5=0【解答】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选：B．4．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β【解答】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．5．（5分）如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1B．C．3D．﹣1或【解答】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3a•a=1•（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去，故选：B．6．（5分）方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称【解答】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选：A．7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．8．（5分）如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（±，0）渐近线方程为y=±2x．【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．10．（5分）已知向量，且，则y=﹣4．【解答】解：∵，=0，即﹣10﹣3y﹣2=0，解得y=﹣4．故答案为﹣4．11．（5分）已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为（1，﹣2，0）．【解答】解：∵点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24），∴=（﹣5﹣m，8，24﹣n）；又向量，且∥，∴=λ，即，解得λ=2，m=1，n=0；∴点A的坐标为（1，﹣2，0）．故答案为：（1，﹣2，0）．12．（5分）直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3．【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．13．（5分）抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（﹣4，）．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4，因此，点P的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．（5分）已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）．【解答】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．【解答】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…（3分）因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（5分）（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…（7分）又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…（10分）又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…（12分）又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…（13分）16．（13分）已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…（3分）因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为．…（6分）因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．所以圆心到直线l的距离为，…（9分）因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．…（11分）所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．【解答】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，．（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点．∴FM∥PC．∵AB∥FD，FD=AB，∴ABFD为平行四边形．∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．∴B，E，M，F四点共面．∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，∴PC∥平面BEM．18．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）因为平面PCD⊥底面ABCD，PD垂直于这两个平面的交线CD，所以PD⊥底面ABCD…（2分）又AC⊂底面ABCD，所以PD⊥AC…（3分）因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，…（5分）因为PB⊂平面PBD，所以，AC⊥PB．…（6分）（II）解：由（I）可知PD⊥AD，由题可知PD⊥CD，AD⊥CD．如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1，依题意得A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1）因为底面ABCD是正方形，所以点B的坐标为（1，1，0）…（8分）因为，E为PC的中点，所以，点E的坐标为.．设平面BDE的法向量为，则，即，令z=1，得x=1，y=﹣1．所以，…（10分）又平面PBD的一个法向量为…（12分）所以，．由题知二面角P﹣BD﹣E为锐角，所以二面角P﹣BD﹣E的余弦值为．…（13分）19．（14分）已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…（2分）由消y并整理，得…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1…（6分）（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．设点B的坐标为，又焦点，当时，直线AB的斜率为．所以，直线AB的方程为，即…（9分）由消x并整理，得所以，y1y2=﹣1又y2=y0，所以，，即．…（11分）由题意可知，点D的坐标为，所以，OA的斜率为，OD的斜率为，即k OA=k OD 所以，A，O，D三点共线．…（13分）当时，|AB|=2不合题意，舍去．…（14分）20．（13分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP （O是坐标原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．∴点在椭圆G上，又离心率为，∴，解得∴椭圆G的方程为．（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组消去y0，并整理得．又由已知，得，解得或﹣1＜x 0＜0．设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组消去y0，并整理得．由﹣1＜x0＜0，得m2＞，∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m ∈（﹣∞，﹣），由﹣＜x0＜﹣1，得，∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m ＜﹣．∴直线OP（O 是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
高三上学期期末联考数学(理)试题答案.docx
2015—2016学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 DABBC 6-10 ABDCA 11-12 BD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1- 14. ()7,3- 15. 15 16. []1,2-三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 【答案】(1) [,],63k k k Z ππππ-+∈ ；(2)233+． 【解析】(1)∵()cos cos 2R f x x x x x =-∈，， ∴()2sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.………………………5分 (2)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.又0A π<<， ∴3A π=.依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得.∴512B AC ππ=--=.∴113sin 22242ABC S ac B ∆+==⋅=. ……………………………10分 18.解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1．又121AA AC =，可得DC 12+DC 2＝CC 12， 所以DC 1⊥DC ．而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ．…………………………………………………5分 （2）由（I ）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA uu u r 的方向为x 轴的正方向， CA u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．由题意知A 1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C 1(0,0,2)．则1(0,0,1)A D =-u u u u r，(1,1,1)BD =-u u u r ，1(1,0,1)DC =-u u u r , 设(,,)=n x y z 是平面A 1B 1BD 的法向量，则100n BD n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u u r ，即⎩⎨⎧==+-00z z y x ,可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，10m BD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u ur 可取m ＝(1，2，1).3cos <>==g n m n,m n m . 故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°……………………………12分19.(1)解：所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242C 种，………………………………3分从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428327C =…………………………5分(2)ξ的所有可能取值为1、2、3421322324424121342431(1);327()14(2);3274(3)39p C C C C C p C C C p ξξξ===+======………………………………9分 所以ξ的分布列为ξ 1 2 3P127 142749()123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………12分20.【解析】（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(30)-，，(30)，为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．………………………………5分 （2）因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．x yz则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 整理得032422=--+my y m ）（·········7分.0)4(12)2(22>++=∆m m 由设).,(),,(2211y x B y x A 解得 432,432222221++-=+++=m m m y m m m y 则.4342212++=-m m y y 因为21.21y y OE S AOB-=∆31324322222+++=++=m m m m 10分设.3,3,1)(2≥+=+=t m t tt t g 则)(t g 在区间],3[+∞上为增函数所以.334)(≥t g 所以23≤∆AOB S ，当且仅当0=m 时取等号，即23=∆AOB S 所以AOB S ∆的最大值为23·································12分 注：第（2）问也可用韦达定理.21. 解：(1)由题意0,()x a f x e a '>=-, 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,∴()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = (3)由（2）得1+≥x e x，即x x ≤+)1ln(，当且仅当0=x 时，等号成立，令)(1*∈=N k kxEAD OBC则，)11ln(1k k +>即)1ln(1k k k +>，所以),...,2,1(ln )1ln(1n k k k k=-+> 累加得))(1ln(1...31211*∈+>++++N n n n选做题（本题满分10分）22. 解：（1）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线．……5分（2）由（1）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ，所以∠ABD ＝30，从而∠DAE ＝30，所以DE ＝AE tan 30＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233× (233＋CD )，所以CD ＝433．……10分23. 解：（1）221:22C x y +=，:24l x += ………5分 （2）设)2,sin Qθθ，则点Q 到直线l 的距离2sin()42sin 2cos 44333d πθθθ+-+-==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时,Q 点到直线l 23。
2016年北京市顺义区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x3+x C．D．y＝﹣log2x 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．355．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．18．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C．D．144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．12．（5分）已知函数f（x）＝，则＝；f（x）的最小值为．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有个．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△P AD所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD＝2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△P AD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣x+t，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（14分）在数列{a n}中，a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m＝1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：由题意，i（2i+1）＝i×2i+i＝﹣2+i故选：C．2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|0＜x＜1}，故选：B．3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y＝2x B．y＝x3+x C．D．y＝﹣log2x 【解答】解：A．y＝2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y＝x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y＝x3和y＝x在R上都是增函数；∴y＝x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y＝﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．35【解答】解：模拟执行程序，可得S＝0，i＝1T＝3，S＝3，i＝2不满足i＞4，T＝5，S＝8，i＝3不满足i＞4，T＝7，S＝15，i＝4不满足i＞4，T＝9，S＝24，i＝5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．5．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵，∴x2﹣4＝0，解得x＝±2．∴“x＝2”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，∴圆心坐标为（2，1），半径r＝2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1＝0，∴圆心到直线的距离d＝＜r＝2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1＝0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD＝＝1，解得a＝．故选：B．8．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C．D．144【解答】解：∵平面α∩平面β＝l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂平面β，∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，∵P A⊂平面α，PB⊂平面α，∴DA⊥P A，CB⊥PB．∵∠APD＝∠BPC，∴，即，∴PB＝2P A．以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则P A＝，PB＝，∴2＝，整理得（x+5）2+y2＝16（y＞0）．∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．∴当P到直线l的距离h＝4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．∴棱锥的体积最大值为V＝＝＝48．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3的系数是＝20，故答案为：20．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线为x＝2，双曲线的两条渐近线为y＝±x，可得两交点为（2，），（2，﹣），即有三角形的面积为×2×2＝2．故答案为：2．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S＝π×12+π×1×2+2×2＝3π+4（cm2），故答案为：3π+4．12．（5分）已知函数f（x）＝，则＝1；f（x）的最小值为0．【解答】解：f（﹣）＝log33＝1，则f（1）＝1+2﹣2＝1，即＝1，当x≥1时，f（x）＝x+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，当x＜1时，f（x）＝log3（x2+1）≥log31＝0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，0．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是350毫克，若该患者坚持长期服用此药无明显副作用（此空填“有”或“无”）．【解答】解：设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，则：a1＝200，a2＝200+a1×（1﹣50%）＝200×1.5＝300，a3＝200+a2×（1﹣50%）＝200+200×1.5×0.5＝350 （4分）故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克．该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为＝400（1﹣0.5n），当n→+∞时，药在体内残留量无限接近400∴长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用．故答案为：350，无．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有1个．【解答】解：设A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2），A3（x3，y3，z3），A4（x4，y4，z4），A5（x5，y5，z5）；再设M（a，b，c），则可得＝（x1﹣a，y1﹣b，z1﹣c），＝（x2﹣a，y2﹣b，z2﹣c），＝（x3﹣a，y3﹣b，z3﹣c），＝（x4﹣a，y4﹣b，z4﹣c），＝（x5﹣a，y5﹣b，z5﹣c），∵＝成立，∴，解得，因此，存在唯一的点M，使＝成立．故答案为：1．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得＝＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）当即，k∈z时，；（Ⅱ）∵当时，f（x）递增，即，令k＝0，且注意到，∴函数f（x）的递增区间为16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300．（2分），，，（5分）∴ξ的分布列为：．（7分）（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．∴，，，（10分）η的分布列为：．（12分）∵Eξ＞Eη，∴应先回答A所得分的期望值较高．（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△P AD所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD＝2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△P AD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵△P AD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴＝（1，﹣1，），＝（2，1，0），＝（0，0，）．显然平面EBA的法向量为＝（0，0，）．设平面PBE的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令x＝1，得＝（1，﹣2，﹣）．∴＝﹣3，||＝2，||＝，∴cos＜＞＝﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面P AD 所在平面成30°角，∵平面P AD的法向量为＝（0，2，0），＝（1，x，﹣），∴cos＜，＞＝＝．∴sin30°＝＝，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面P AD所在平面成30°角．18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣x+t，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣，∴f′（1）＝1，又f（1）＝1，∴所求切线方程为y﹣1＝x﹣1，即：x﹣y＝0；（Ⅱ）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣lnx+x﹣t在上恰有两个不同的零点，等价于﹣lnx+x﹣t＝0在上恰有两个不同的实根，等价于t＝x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）＝x﹣lnx，则，∴当时，k′（x）＜0，∴k（x）在递减；当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，故k min（x）＝k（1）＝1，又，∵，∴，∴，即．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e＝＝，a2﹣b2＝c2，∵点在椭圆上，∴，解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k＝0时，x1＝﹣x2，y1＝y2，＝•2|x1|•|y1|＝|x1|•∴S△AOB＝≤•＝1，当且仅当x12＝4﹣x12，取得等号，）max＝1；∴时，（S△AOB当直线AB的斜率k≠0时，设l：y＝kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2＝﹣，x1x2＝，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2＝﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y＝kx+m的距离为，，＝，∵﹣6＜m＜0，∴m＝﹣3时，．由m＝﹣3，∴1+4k2＝18，解得；即时，（S）max＝1；△AOB）max＝1．综上：（S△AOB20．（14分）在数列{a n}中，a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m＝1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝0，，其中m∈R，n∈N*．当m＝1时，a2＝0+1＝1，同理可得a3＝2，a4＝5．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2＝a4﹣a3，即﹣a2＝+m﹣a3，∴，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）＝0．∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1＝0．将a2＝m，a3＝m2+m代入上式，解得m＝﹣1．经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．∴存在得m＝﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）∵a n+1﹣a n＝+m﹣a n＝+≥m﹣，又，∴令d＝m﹣＞0．≥d，由a n﹣a n﹣1a n﹣1﹣a n﹣2≥d，…a2﹣a1≥d，将上述不等式相加，得a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，就有a k≥（k﹣1）d＞＝2016．。
2016年高考试真题_北京卷_理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=｛x||x|<2｝，B=｛-1,0,1,2,3｝则A ⋂B（A ）｛0,1｝ （B ）｛0,1,2｝（C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛-1,0,1,2｝（2）若x,y 满足 20,3,0,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2x+y 的最大值为（A ）0 （B ）3（C ）4 （D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）设a,b 是向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的（A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知x,y ∈R,且x>y>0，则（A ） 110x y-> （B ）sin x-sin y>0 （c ）11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln x+ln y>0(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A 16（B ） 13（C ）12（D ）1(7)将函数y=sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭图像上的点P ,4t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数y=sin 2x 的图像上，则（A ）t=12 ，s 的最小值为 6π （B ）t= ，s 的最小值为 6π（C ）t= 12，s 的最小值为 3π （D ）t=2，s 的最小值为 3π （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ∈，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________.（10）在()612x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线cos sin 10p θθ-=与圆2cos p θ-交于A ，B 两点，则 |AB|=____________________.（12）已知{}n a 为等差数列，n s 为其前n 项和，若 1356,0a a a =+=，则6s =________.（13）双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.（14）设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在∆ABC 中，333a c b +=（I ）求B ∠ 的大小（II ）求cos cos A C + 的最大值.（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记3μ，表格中数据的平均数记为9μ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD,PA=PD,AB⊥,（I）求证：PD⊥平面PAB;（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM ll平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.ACBDP设函数f(x)=x a xe +bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I）求a,b的值；(Ⅱ) 求f(x)的单调区间.已知椭圆C ：22221X y a b += （a>b>0，A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），△OAB 的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：AN BM 为定值.设数列A ：1a ，2a ,…N a (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（Ⅰ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (Ⅱ)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ∅ ；(Ⅲ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于N a -1a .。
2016年高考真题——理科数学(北京卷)含答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A ）t = ，s 的最小值为 （B ）t = ，s 的最小值为（C ）t = ，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
2016北京市顺义区高三(一模)数 学(理)
2016北京市顺义区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+x C．D．y=﹣log2x4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．355．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x=2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离 B．相切C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心7．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．18．（5分）如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48 B．16 C．D．144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为．11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．12．（5分）已知函数f（x）=，则= ；f（x）的最小值为．13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）．14．（5分）设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有个．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（14分）在数列{a n}中，a1=0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】由题意，i（2i+1）=i×2i+i=﹣2+i故选C．2．【解答】集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．3．【解答】A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数；∴y=x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．【解答】模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．5．【解答】∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．∴“x=2”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．6．【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心坐标为（2，1），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1=0，∴圆心到直线的距离d=＜r=2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1=0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．7．【解答】不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD==1，解得a=．故选：B．8．【解答】∵平面α∩平面β=l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂平面β，∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，∵PA⊂平面α，PB⊂平面α，∴DA⊥PA，CB⊥PB．∵∠APD=∠BPC，∴，即，∴PB=2PA．以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则PA=，PB=，∴2=，整理得（x+5）2+y2=16（y＞0）．∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．∴当P到直线l的距离h=4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．∴棱锥的体积最大值为V===48．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】由于（x2+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．10．【解答】抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，双曲线的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（2，），（2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．【解答】根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．12．【解答】f（﹣）=log33=1，则f（1）=1+2﹣2=1，即=1，当x≥1时，f（x）=x+﹣2≥2﹣2=2﹣2，当且仅当x=，即x=时取等号，当x＜1时，f（x）=log3（x2+1）≥log31=0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，0．13．【解答】设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，则：a1=200，a2=200+a1×（1﹣50%）=200×1.5=300，a3=200+a2×（1﹣50%）=200+200×1.5×0.5=350 （4分）故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克．该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为=400（1﹣0.5n），当n→+∞时，药在体内残留量无限接近400∴长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用．故答案为：350，无．14．【解答】设A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2），A3（x3，y3，z3），A4（x4，y4，z4），A5（x5，y5，z5）；再设M（a，b，c），则可得=（x1﹣a，y1﹣b，z1﹣c），=（x2﹣a，y2﹣b，z2﹣c），=（x3﹣a，y3﹣b，z3﹣c），=（x4﹣a，y4﹣b，z4﹣c），=（x5﹣a，y5﹣b，z5﹣c），∵=成立，∴，解得，因此，存在唯一的点M，使=成立．故答案为：1．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得==sin2x+cos2x=sin（2x+）当即，k∈z时，；（Ⅱ）∵当时，f（x）递增，即，令k=0，且注意到，∴函数f（x）的递增区间为16．【解答】（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300．（2分），，，（5分）∴ξ的分布列为：ξ 0 100 300 P．（7分）（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．∴，，，（10分）η的分布列为：η 0 200 300 P．（12分）∵Eξ＞Eη，∴应先回答A所得分的期望值较高．（13分）17．【解答】（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，），=（2，1，0），=（0，0，）．显然平面EBA的法向量为=（0，0，）．设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，得=（1，﹣2，﹣）．∴=﹣3，||=2，||=，∴cos＜＞=﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，∵平面PAD的法向量为=（0，2，0），=（1，x，﹣），∴cos＜，＞==．∴sin30°==，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成30°角．18．【解答】（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣，∴f′（1）=1，又f（1）=1，∴所求切线方程为y﹣1=x﹣1，即：x﹣y=0；（Ⅱ）函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣lnx+x﹣t在上恰有两个不同的零点，等价于﹣lnx+x﹣t=0在上恰有两个不同的实根，等价于t=x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）=x﹣lnx，则，∴当时，k′（x）＜0，∴k（x）在递减；当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，故k min（x）=k（1）=1，又，∵，∴，∴，即．19．【解答】（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，∴S△AOB=•2|x1|•|y1|=|x1|•=≤•=1，当且仅当x12=4﹣x12，取得等号，∴时，（S △AOB）max=1；当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2=﹣，x1x2=，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，，=，∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；即时，（S△AOB）max=1；综上：（S△AOB）max=1．20．【解答】（Ⅰ）∵a1=0，，其中m∈R，n∈N*．当m=1时，a2=0+1=1，同理可得a3=2，a4=5．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2=a4﹣a3，即﹣a2=+m﹣a3，∴，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）=0．∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1=0．将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m=﹣1．经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．∴存在得m=﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）∵a n+1﹣a n=+m﹣a n=+≥m﹣，又，∴令d=m﹣＞0．由 a n﹣a n﹣1≥d，a n﹣1﹣a n﹣2≥d，…a2﹣a1≥d，将上述不等式相加，得 a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，就有a k≥（k﹣1）d＞=2016．。
北京市顺义区高三数学一模试卷 理(含解析)
2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+xC． D．y=﹣log2x4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．355．已知向量，，其中x∈R．则“x=2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心7．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A． B． C． D．18．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C． D．144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）10．抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为．11．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．12．已知函数f（x）=，则= ；f（x）的最小值为．13．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）．14．设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有个．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．16．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．在数列{a n}中，a1=0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用i2=﹣1，结合复数的乘法，即可得到结论．【解答】解：由题意，i（2i+1）=i×2i+i=﹣2+i故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合，即不等式x2＜1，和对数不等式log2x＜1，再求交集．【解答】解：集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x＜1}，故选：B．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2x B．y=x3+xC． D．y=﹣log2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数；∴y=x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15B．21C．24D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．5．已知向量，，其中x∈R．则“x=2”是“”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】，可得x2﹣4=0，解得x即可判断出结论．【解答】解：∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2．∴“x=2”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．6．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心坐标为（2，1），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1=0，∴圆心到直线的距离d=＜r=2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1=0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．7．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A． B． C． D．1【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD==1，解得a=．故选：B．8．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（）A．48B．16C． D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由面面垂直的性质可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，在平面α内建立坐标系求出P点的轨迹，得出P到直线l的最大距离，得出棱锥的最大体积．【解答】解：∵平面α∩平面β=l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂平面β，∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，∵PA⊂平面α，PB⊂平面α，∴DA⊥PA，CB⊥PB．∵∠APD=∠BPC，∴，即，∴PB=2P A．以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则PA=，PB=，∴2=，整理得（x+5）2+y2=16（y＞0）．∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．∴当P到直线l的距离h=4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．∴棱锥的体积最大值为V===48．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（x2+）6的展开式中x3的系数是20 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．10．抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为2\sqrt{2} ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，双曲线的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（2，），（2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．12．已知函数f（x）=，则= 1 ；f（x）的最小值为0 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的概念及其构成要素．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，根据基本不等式的性质以及函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：f（﹣）=log33=1，则f（1）=1+2﹣2=1，即=1，当x≥1时，f（x）=x+﹣2≥2﹣2=2﹣2，当且仅当x=，即x=时取等号，当x＜1时，f（x）=log3（x2+1）≥log31=0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，0．13．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是350 毫克，若该患者坚持长期服用此药无明显副作用（此空填“有”或“无”）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由已知中，该药片每片200毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出该药的50%，我们可设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，由于上午8点第一次服药，则第2天上午服完药时共服了3次药，依次计算出a1，a2，a3的值，即可得到第2天上午服完药时，药在他体内还残留量；先考虑该运动员若长期服用此药，此药在体内残留量，与400比照后，即可得到答案．【解答】解：设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为a n毫克，则：a1=200，a2=200+a1×（1﹣50%）=200×1.5=300，a3=200+a2×（1﹣50%）=200+200×1.5×0.5=350故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克．该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为=400（1﹣0.5n），当n→+∞时，药在体内残留量无限接近400∴长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用．故答案为：350，无．14．设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点M的个数有 1 个．【考点】空间向量的概念；空间向量的加减法．【分析】分别设出A1、A2、A3、A4、A5和M各点的坐标，得到向量（k=1，2，3，4，5）的坐标，根据加法的坐标运算代入题中的向量等式=0，化简整理可得点M的坐标是唯一的．【解答】解：设A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2），A3（x3，y3，z3），A4（x4，y4，z4），A5（x5，y5，z5）；再设M（a，b，c），则可得=（x1﹣a，y1﹣b，z1﹣c），=（x2﹣a，y2﹣b，z2﹣c），=（x3﹣a，y3﹣b，z3﹣c），=（x4﹣a，y4﹣b，z4﹣c），=（x5﹣a，y5﹣b，z5﹣c），∵=成立，∴，解得，因此，存在唯一的点M，使=成立．故答案为：1．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），易得最值；（Ⅱ）解求出函数的递增区间，取的即可．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得==sin2x+cos2x=sin（2x+）当即，k∈z时，；（Ⅱ）∵当时，f（x）递增，即，令k=0，且注意到，∴函数f（x）的递增区间为16．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为．（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．分别求出相应的概率，由此能求出η的数学期望，由此能求出应先回答A所得分的期望值较高．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为0，100，300．，，，∴ξ的分布列为：ξ 0 100 300P．（Ⅱ）设先回答问题B，再回答问题A得分为随机变量η，则η的可能取值为0，200，300．∴，，，η的分布列为：η 0 200 300P．∵Eξ＞Eη，∴应先回答A所得分的期望值较高．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）根据三线合一得出AO⊥AD，利用面面垂直的性质即可得出AO⊥平面ABCD；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBE和平面ABE的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；（III）假设存在符合条件的点M（1，x，0），求出平面PAD的法向量，则|cos＜，＞|=，解方程得出x，根据x的范围判断．【解答】解：（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，），=（2，1，0），=（0，0，）．显然平面EBA的法向量为=（0，0，）．设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，得=（1，﹣2，﹣）．∴=﹣3，||=2，||=，∴cos＜＞=﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，∵平面PAD的法向量为=（0，2，0），=（1，x，﹣），∴cos＜，＞==．∴sin30°==，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成30°角．18．已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）和f（1）的值，代入直线方程即可；（Ⅱ）问题等价于t=x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，根据函数的单调性求出t 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣，∴f′（1）=1，又f（1）=1，∴所求切线方程为y﹣1=x﹣1，即：x﹣y=0；（Ⅱ）函数h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣lnx+x﹣t在上恰有两个不同的零点，等价于﹣lnx+x﹣t=0在上恰有两个不同的实根，等价于t=x﹣lnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）=x﹣lnx，则，∴当时，k′（x）＜0，∴k（x）在递减；当x∈（1，e]时，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]递增，故k min（x）=k（1）=1，又，∵，∴，∴，即．19．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，∴S△AOB=•2|x|•|y|=|x|•=≤•=1，当且仅当x12=4﹣x12，取得等号，∴时，（S△AOB）max=1；当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2=﹣，x1x2=，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，，=，∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；即时，（S△AOB）max=1；综上：（S△AOB）max=1．20．在数列{a n}中，a1=0，，其中m∈R，n∈N*．（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得a k＞2016．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）a1=0，，其中m∈R，n∈N*．当m=1时，可得a2，同理可得a3，a4．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2=a4﹣a3，可得：a3+a2﹣1=0．将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m即可得出．（Ⅲ）由于a n+1﹣a n=+m﹣a n=+≥m﹣，又，令d=m﹣＞0．利用累加可得：a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=0，，其中m∈R，n∈N*．当m=1时，a2=0+1=1，同理可得a3=2，a4=5．（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2=a4﹣a3，即﹣a2=+m﹣a3，∴，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）=0．∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1=0．将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m=﹣1．经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．∴存在得m=﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列．（Ⅲ）∵a n+1﹣a n=+m﹣a n=+≥m﹣，又，∴令d=m﹣＞0．由 a n﹣a n﹣1≥d，a n﹣1﹣a n﹣2≥d，…a2﹣a1≥d，将上述不等式相加，得 a n﹣a1≥（n﹣1）d，即a n≥（n﹣1）d．取正整数，就有a k≥（k﹣1）d＞=2016．。
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顺义区2016届高三年级期末统一测试数 学 试 卷 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|210}A x x =+<，{|10}B x x =-<<，那么A B = （ ） （A ）1{|}2x x <- （B ）{|0}x x <（C ）1{|1}2x x -<<-（D ）1{|0}2x x -<<2.下列函数中为偶函数的是 （ ） （A ）2sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅ （C ）ln ||y x =（D ）21xy =-3.某学校共有师生4000人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为200的样本， 调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为190人，那么该校的教师人 数为 （ ）（A ）100人（B ）150人（C ）200人（D ）250人4.极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin ρθ=的两个圆的圆心距是 （ ）（A ）2（B（C ）1（D5.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，045A ∠=，2ABC S = ，则a =（A ）5 （B ）25 （C ） （D ）6.对于非零向量,a b，“230a b += ”是“a ∥b ”成立的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件8.设函数()|21|,xf x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则下列关系式正确的是（ ） （A ）0a c +≤ （B ）0a c +> （C ）0a c +≤ （D ）0a c +<第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．复数1i__________.1i-+=+ 10．123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个顶点为(1,0),它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，则双曲线C 的方程为__________,离心率为_________.12.若,x y 满足约束条件10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最大值为_______.13.已知函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0,0m n >>，则mn 的最大值为_________.14.某大众创业公司，2015年底共有科研人员10人，公司全年产品总产值500万元,从2016年起该公司计划产品的年产值每年增加100万元,为扩大规模，科研人员每年净增a 人，设从2016年起的第x 年（*,x N ∈2016年为第一年），该公司科研人员人均产值y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为____________；为使该公司的人均产值每年都不低于前一年的人均产值，7.如下程序框图中，当*(1)n N n ∈>时，函数()n f x 表示函数1()n f x -的导函数， 即1()'()n n f x f x -=.若输入函数1()sin cos f x x x =+，则输出的函数()n f x 为 ( )（A)4x π+（B）)4x π+ （C)4x π- （D）)4x π-那么该公司每年增加的科研人员不能超过________人.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间. 16.（本小题满分13分）已知函数()||f x x a =-,2()21g x x ax =++(a 为正常数),且函数()f x 和()g x 的图像与y 轴相交于同一点. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()()f x g x +在[1,2]上的最大值与最小值． 17.（本小题满分13分）某班级举行一次“科普知识”竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段.现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表（Ⅰ）填写频率分布表中的空格；（Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学从给定的5道小题中依次口答，答对3道题就终止答题并获一等奖；如果前3道题都答错就不再答第4、5题而被淘汰.某同学进入决赛，每道题答对的概率均为 0.5.①求该同学恰好答满5道题并获一等奖的概率；②记该同学决赛中答题的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.18.（本小题满分13分） 已知函数()ln f x x =,(),(0)kg x k x=-≠ （Ⅰ）求曲线()y f x =在(,())e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的单调递增区间；（Ⅲ）若对(,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ 都有(||)(||)f x g x ≥成立，试确定实数k 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b +=(0)a b >>的一个顶点(0,1)A，离心率e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点.若在x 轴上存在 点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围. 20.（本小题满分14分）2*(4,)n n n N ≥∈个正数排成一个n 行n 列的数阵，1112131412122232423132333431234n n n n n n n nn a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭其中(1,1)ij a i n j n ≤≤≤≤表示该数阵中位于第i行第j 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且22336,16a a ==. (Ⅰ) 求11a 和i j a ；(Ⅱ)设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+. ①求n A ；②证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除.顺义区2016届高三期末统一测试（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B ；2. C ；3. C；4. B；5. A；6. A；7. C ；8 . D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 10.11.，12.，13.14.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知【3分】【6分】的最小正周期为. 【7分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时递增【10分】即函数的递增区间为【13分】16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数和的图像与轴相交于同一点，解得. 【4分】（Ⅱ）令，【8分】的对称轴为，当时，单调递增。
在上的最小值为，最大值为【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）【4分】（Ⅱ）①该同学答满道题并获一等奖，即前道题回答结果对错，而第道题答对，【6分】②该同学答题的个数可能为、、，即，【7分】时分两种情况：答完3道题获奖或答完3道题淘汰，时分两种情况：答完4道题获奖或答完4道题淘汰，时分两种情况：答完5道题获奖或答完5道题淘汰，【10分】【13分】18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，，，所求切线方程为，即【4分】（Ⅱ）令当时，在上成立，在上递增，当时，在上成立，在上成立在上递增【8分】（Ⅲ）解法（一）：令则，为偶函数.等价于时，等价于时，，【10分】，当时，令则，这与矛盾,不合题意.当时，在上成立，在上成立在上递增，在上递减，解得，又，【13分】解法（二）：由已知,，等价于，令，则为偶函数，只需时，，即时，；【10分】当，，，令则在递减，在递增，故，【13分】19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，【2分】解得，所求椭圆方程为【4分】(Ⅱ) 由已知直线的斜率存在且设：，消去得：.设，【8分】，，【10分】在轴上存在动点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，由于对角线互相垂直即，，，化简得又【14分】(Ⅱ)解法2.若在轴上存在动点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，则点在的中垂线上，设的中点为，由，），，化简得而(参照解法1相应给分) 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，，解得是公差为4的等差数列，由知又每一列的数成公比为2的等比数列，由，类似的可得【2分】即【4分】（Ⅱ）由①由⑴2⑵⑵-⑴即【8分】②，是的倍数，令【8分】. 【14分】第②问当是的正整数倍时，用数学归纳法证明正确的给相应的分数.。