【小初高学习】2019年一轮北师大版(理)数学教案：选修4-4 第2节 参数方程 Word版含解析
北师大版2019年高中数学选修4-4同步教学案：第二章 §1 参数方程的概念
章末复习课对应学生用书P18][对应学生用书P19]在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题．常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．[例1]如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)使得|PM|＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．[解]如图，以直线O1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2＝(x ＋2)2＋y 2－1. 同理，|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，即|PM |2＝2|PN |2. 即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]． 即x 2－12x ＋y 2＋3＝0.即动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f (ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．[例2] 已知Rt △ABO 的直角顶点A 在直线ρcos θ＝9上移动(O 为原点)，又∠AOB ＝30°，求顶点B 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图①，设B (ρ，θ)，A (ρ1，θ1)． 则ρcos 30°＝ρ1，即ρ1＝32ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30°，∴ρcos 30°cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝9，即ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝6 3.① ②若点B 的位置如图②所示，同理得点B 的轨迹方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝6 3. 综上所述，点B 的轨迹方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ±π6＝6 3. [例3] 已知定点A (a,0)，动点P 对极点O 和点A 的张角∠OP A ＝π3.在OP 的延长线上取点Q ，使|PQ |＝|P A |.当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．[解] 设Q ，P 的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1. 在△POA 中，ρ1＝asin π3·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ， |P A |＝a sin θsin π3，又|OQ |＝|OP |＋|P A |， ∴ρ＝2a cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.程与直角坐标方程的互化，将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解．解决此类问题，要熟知：互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ， 得ρ2＝2aρcos θ， 即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2， 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆． (2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为⎝⎛⎭⎫x －922＋⎝⎛⎭⎫y －922＝812， 是以⎝⎛⎭⎫92，92为圆心，以922为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16， 是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线． [例5] 将下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)θ＝5π6；(2)ρ2＝ρ；(3)2cos θ＝7sin θ.[解] (1)∵tan θ＝y x ，∴y x ＝tan 5π6＝－33.∴y ＋33x ＝0. (2)∵ρ2＝ρ，∴ρ＝0或ρ＝1. ∴x 2＋y 2＝0或x 2＋y 2＝1.(3)两边同乘以ρ得：2ρcos θ＝7ρsin θ. ∴2x －7y ＝0.[例6] 若两圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝2sin θ，求两圆的公共弦长． [解] 法一：将两圆方程化为直角坐标方程为： x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2－2y ＝0得y ＝x ， 即为公共弦所在直线方程．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x 得交点坐标为(0,0)，(1,1)． ∴弦长为(0－1)2＋(0－1)2＝ 2.法二：设除极点外的公共点坐标为P (ρ，cos θ)(ρ＞0)． 则2cos θ＝2sin θ， ∴tan θ＝1.由于0≤θ≤π2，∴θ＝π4.∴ρ＝2cos π4＝ 2.∴公共弦长为 2.[对应学生用书P20]一、选择题1．在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，2π3，则A ，B 两点间的距离是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设极点为O ，∵∠AOB ＝2π3－⎝⎛⎭⎫－π3＝π， ∴A ，O ，B 三点共线．∴A ，B 两点间的距离|AB |＝|OA |＋|OB |＝3＋1＝4.2．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫8，π6 B.⎝⎛⎭⎫8，－56π C.⎝⎛⎭⎫－8，56π D.⎝⎛⎭⎫－8，－π6 解析：选A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)，故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，7π6，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 3．在极坐标系中，已知一个圆的方程为ρ＝12sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是( )A ．ρsin θ＝3 3B ．ρsin θ＝－3 3C ．ρcos θ＝－3D ．ρcos θ＝3解析：选C 圆ρ＝12sin(θ－π6)化为x 2＋y 2＋6x －63y ＝0，其圆心为(－3,33)，∴所求直线方程为x ＝－3化为极坐标方程：ρcos θ＝－3.4．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．相交但不垂直D ．重合解析：选B 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α. 所以两直线平行． 二、填空题5．已知一条直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________． 解析：∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝22ρsin θ＋22ρcos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x ＋y ＝1. 则极点到该直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.答案：226．(上海高考)在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为________．解析：联立得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ＝1±52，又ρ≥0，故两曲线的公共点到极点的距离为1＋52. 答案：1＋527．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0表示的曲线焦点的极坐标为____________________．解析：极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0化为 5ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＋ρ2－24＝0， 即3x 2－2y 2＝12. 得标准方程为x 24－y 26＝1.所以a 2＝4，b 2＝6，c ＝10.所以两焦点的极坐标为(10，0)，(10，π)． 答案：(10，0)，(10，π)8．如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，即2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 5π6，化简得ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，故f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 答案：1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ 三、解答题9．在极坐标系中P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．解：以极点O 为原点，极轴为x 轴建立直角坐标系xOy ，将方程ρ＝12sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝12y ，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆．将ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6化为直角坐标方程为 (x －33)2＋(y －3)2＝36，它表示以(33，3)为圆心，6为半径的圆．由圆的位置关系可知，当P ，Q 所在直线为连心线所在直线时，PQ 长度可取最大值，且最大值为(33)2＋32＋6＋6＝18.10．已知A (－1,0)，B (1,4)，在平面上动点P 4，点Q 是点P 关于直线l ：y ＝2(x －4)的对称点，求动点Q 的轨迹方程．解：法一：设P (x ，y )，(－1－x ，－y )(1－x,4－y )，4⇒(－x －1)(1－x )＋(－y )(4－y )＝4，即x 2＋(y －2)2＝32.∴P 的轨迹是以C (0,2)为圆心，以3为半径的圆． ∵点Q 是点P 关于直线y ＝2(x －4)的对称点，∴动点Q 的轨迹是一个以C 0(x 0，y 0)为圆心，半径为3的圆，其中C 0(x 0，y 0)是点C (0,2)关于直线y ＝2(x －4)的对称点，即直线y ＝2(x －4)与CC 0垂直，且过CC 0的中点，于是有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－0×2＝－1，y 0＋22＝2(x 0＋02－4).即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y 0＋x 0－4＝0，y 0－2x 0＋18＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝8，y 0＝－2.故动点Q 的轨迹方程为(x －8)2＋(y ＋2)2＝9. 法二：设P (x ，y )，(－1－x ，－y )(1－x,4－y )，4⇒(－x －1)(1－x )＋(－y )(4－y )＝4，即x 2＋(y －2)2＝32(*)． 设点Q 的坐标为Q (u ，v )，∵Q ，P 关于直线l ：y ＝2(x －4)对称， ∴PQ 与直线l 垂直，于是有v －y u －x＝－12 ①.∵PQ 的中点在l 上，∴有y ＋v 2＝2(x ＋u2－4) ②.由①②可解得⎩⎨⎧x ＝15(－3u ＋4v ＋32)，y ＝15(4u ＋3v －16).代入方程(*)得(－3u ＋4v ＋32)2＋(4u ＋3v －26)2＝(3×5)2， 化简得u 2＋v 2－16u ＋4v ＋59＝0 ⇒(u －8)2＋(v ＋2)2＝9.故动点Q 的轨迹方程为(x －8)2＋(y ＋2)2＝9.对应学生用书P41](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)1．在极坐标中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4(ρ≥0)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：选D 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫10，π3 B.⎝⎛⎭⎫10，4π3 C.⎝⎛⎭⎫－10，－2π3 D.⎝⎛⎭⎫10，2π3 解析：选B 设点(－5，－53)的极坐标为(ρ，θ)，则tan θ＝－53－5＝3，x <0，∴最小正角θ＝4π3，ρ＝(－5)2＋(－53)2＝10.3．已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，则它的直角坐标为( ) A ．(2，1,1)B ．(1,1,1)C ．(2，2，1)D ．(1,0,1)解析：选B 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )． 则有x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝1.∴点P 的直角坐标为(1,1,1)．4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．射线D ．半圆解析：选B 两边同乘以ρ得：ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ. 把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得： x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，表示圆．5．曲线ρ2＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的对称中心的直角坐标是( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－3,2)D ．(－3，－2)解析：选C 原方程可化为：x 2＋y 2＋6x －4y ＝0. 即：(x ＋3)2＋(y －2)2＝13. ∴它的对称中心为(－3,2)．6．设点P 的直角坐标为(4,4,42)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫8，π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫8，3π4，π4 C.⎝⎛⎭⎫8，π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫8，3π4，3π4 解析：选A 设点P 的球坐标为(r ，φ，θ)， 则r ＝42＋42＋(42)2＝8，tan θ＝y x ＝44＝1.又∵x >0，∴θ＝π4.∵42＝8cos φ，∴cos φ＝22. ∵0≤φ≤π，∴φ＝π4.∴点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π4，π4. 7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：选B 如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，ρsin θ＝2表示直线y ＝2，ρcos θ＝4表示直线x ＝4，ρcos θ＝－4表示直线x ＝－4，均不与圆相切，只有B 符合．8．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ＋4sin θ的圆心坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫22，π4 B.⎝⎛⎭⎫42，5π4 C.⎝⎛⎭⎫42，π4 D.⎝⎛⎭⎫22，5π4 解析：选A 将原方程化成直角坐标方程，得(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心坐标为(2,2)，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4. 9．在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )A ．5B ．6C ．4D ．3解析：选C 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝9，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x ＋3y ＝2.则圆心到直线x ＋3y ＝2的距离d ′＝|0＋0－2|1＋(3)2＝22＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d ′＋3＝1＋3＝4.10．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤θ<π2，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos 2θ＝3.∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝12. 又0≤2θ<π，∴θ＝π6.故ρ＝23， ∴曲线C 1与C 2的交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，π6 12．若曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝tan θ·1cos θ＝sin θcos 2 θ，得ρcos 2θ＝sin θ， ∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＝y .答案：x 2＝y13．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________． 解析：点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线方程可化为32ρsin θ－12ρcos θ＝1，即x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得d ＝||3－3×1＋212＋(－3)2＝1.答案：114．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0. ∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1， ∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点．(1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；(2)当椭圆过直角坐标原点的弦长为64091时，求弦所在直线的直角坐标方程． 解：(1)由已知，得a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的直角坐标方程为(x －3)225＋y 216＝1. 由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式，得(ρcos θ－3)225＋(ρsin θ)216＝1， 即25ρ2＝(16＋3ρcos θ)2，即5ρ＝16＋3ρcos θ.所以椭圆的极坐标方程为ρ＝165－3cos θ. (2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为θ，弦的两端点分别为P 1(ρ1，θ)，P 2(ρ2，θ＋π)，则有ρ1＝165－3cos θ， ρ2＝165＋3cos θ. 由于ρ1＋ρ2＝64091，所以165－3cos θ＋165＋3cos θ＝64091，则 125－9cos 2θ＝491⇔cos 2θ＝14⇔cos θ＝±12 ⇔θ＝π3或θ＝2π3. 所以所求直线的直角坐标方程为y ＝3x 或y ＝－3x .18.(本小题满分14分)如图所示，点P 为直线x ＋y ＝1上的动点，O为原点，求正方形OPQR 的顶点R ，Q 轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程．解：以Ox 为极轴建立极坐标系，则直线x ＋y ＝1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 设点P (ρ0，θ0)，Q (ρ1，θ1)，R (ρ2，θ2)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝2ρ0，θ1＝θ0±π4.① ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ρ0，θ2＝θ0±π2.② 由①得⎩⎨⎧ρ0＝12ρ1，θ0＝θ1∓π4，∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1，∴点Q 的轨迹方程为12ρ1⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫θ1∓π4＋sin ⎝⎛⎭⎫θ1∓π4＝1， 化简得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1.化为直角坐标方程为y ＝1或x ＝1.由②得⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝ρ2，θ0＝θ2∓π2，代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得 ρ2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫θ2∓π2＋sin ⎝⎛⎭⎫θ2∓π2＝1， 化简得点R 的轨迹方程为ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1.化为直角坐标方程为：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.。
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4同步配套课件：2.1参数方程的概念
标为(2cos θ+6,2sin θ).
所以点 M 的轨迹的参数方程为
������ ������
= =
62s+in2������cos������,(������为参数).
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
即取值范围是[11-2 3, 11 + 2 3].
反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题, 从而简化整个运算过程.
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【变式训练3】 若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最值. 解:由(x-1)2+(y+2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆. 设x=1+2cos θ,y=-2+2sin θ, 则S=2x+y=2+4cos θ-2+2sin θ =4cos θ+2sin θ=2 5sin (θ+φ),其中 tan φ=2. 由-2 5≤S≤2 5, 得S 的最大值为 2 5, 最小值为-2 5.
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12345
1 若曲线
������ ������
= =
1+ 2������
������2,(������为参数)经过点(2,
高考数学一轮复习统考 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程学案(含解析)北师大版选修4-4
第2讲 参数方程基础知识整合1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t(*)，如果对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组(*)01参数方程，变数t 叫做参数．2．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹普通方程参数方程直线 y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝02x 0＋t cos αy ＝03y 0＋t sin α(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝04r cos θy ＝05r sin θ(θ为参数)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝06a ＋r cos θy ＝07b ＋r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝08a cos φy ＝09b sin φ(φ为参数)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎨⎧x ＝10acosφy ＝11b tan φ(φ为参数)抛物线 y 2＝2px⎩⎪⎨⎪⎧x ＝122pt 2y ＝132pt(t 为参数)1．参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．2．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 ∵x ＝1＋t sin70°＝1＋t cos20°，y ＝2＋t cos70°＝2＋t sin20°，∴直线的倾斜角为20°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( )A ．23 B ．－23C ．32D ．－32答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2t ，y －2＝－3t ，∴y －2＝－3·x －12，即y ＝－32x ＋72，故直线的斜率为－32. 3．(2019·北京高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t(t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15 B ．25 C ．45D ．65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋－32＝65.故选D. 4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A ．14B ．214C ． 2D ．2 2答案 D解析 由题意，得直线l 的普通方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线l 的距离d ＝2，设圆C 的半径为r ，则弦长＝2r 2－d 2＝2 2.5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析 由题意，知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意，知0＝3－a ，所以a ＝3.6．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析 因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，消去t ，得y 2－x 2＝ 4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式，得 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.核心考向突破考向一 参数方程与普通方程的互化例1 (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解 (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 21＋t 22＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.(1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法，从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致． [即时训练] 1.(2019·海口模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α(α是参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解 (1)因为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322， 所以2ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝3，即ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得 直线l 的直角坐标方程是x ＋y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －2＝sin α，所以曲线C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)，得曲线C 是以(0,2)为圆心，1为半径的圆， 又圆心(0,2)到直线l 的距离d ＝|0＋2－3|2＝22，所以直线l 与曲线C 相交，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋22. 考向二 直线的参数方程例 2 (1)(2019·福建福州质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. ①求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；②设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.解 ①由ρ2＝21＋sin 2θ，得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入上式并整理，得曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1，设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，所以点P 的直角坐标为(1,1)．②将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理，得41t 2＋110t ＋25＝0，因为Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041，依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.(2)(2019·兰州二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝10.①若l 与C 相交于A ，B 两点，P (－2,0)，求|PA |·|PB |；②圆M 的圆心在极轴上且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．解 ①由ρ＝10，得x 2＋y 2＝10，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 2＝10，得t 2－2t －6＝0，则t 1t 2＝－6，故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝6. ②直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0， 设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)． 圆心(a,0)到直线l 的距离为d ＝|3a ＋23|2，因为2a 2－d 2＝1，所以d 2＝a 2－14＝3a ＋224，解得a ＝13(a ＝－1<0舍去)，所以圆M 的半径为13.直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 1－t 2|＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[即时训练] 2.(2019·成都一诊)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t －1(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P (0，－1)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 解 (1)将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 的普通方程为3x －y －1＝0.曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ，即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将直线l 的参数方程代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －22＝2，化简，得t 2－(1＋23)t ＋3＝0.∵Δ＞0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2. 由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝23＋1，t 1t 2＝3，故t 1，t 2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝23＋1.3．(2019·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2,1)，直线l 与曲线C 相交于点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解 (1)由曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，得C 的普通方程为(x－4)2＋(y －3)2＝4，所以C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0. (2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12·2t ，y ＝1＋32·2t ，所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4. 考向三 极坐标方程与参数方程的综合例 3 (1)(2019·河北唐山一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.①求l 和C 的直角坐标方程；②若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α. 解 ①当α＝π2时，l ：x ＝1，当α≠π2时，l ：y ＝tan α(x －1)．由ρsin 2θ＝4cos θ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x .②将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0， 则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α， 因为|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4sin 2α＝8， 所以sin α＝22或－22， 因为0<α<π，所以sin α＝22，故α＝π4或3π4. (2)(2019·济南模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. ①求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；②射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，若射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长．解 ①由⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝1＋3sin θ，得⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y －1＝3sin θ，所以x 2＋(y －1)2＝3cos 2θ＋3sin 2θ＝3， 所以曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝3.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23， 所以32ρsin θ＋12ρcos θ－23＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0. ②解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2－2y －2＝0， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0. 由题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ21－ρ1－2＝0，所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，将θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ2＝4， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6，所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －12＝3，y ＝33x x ≥0，解得A (3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －43＝0，y ＝33x x ≥0，解得B (23，2)， 所以|AB |＝ 23－32＋2－12＝2.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．[即时训练] 4.(2019·武汉市高三第二次诊断性考试)在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x 轴交于点M . (1)求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，若|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值．解 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，得 ρsin θ－3ρcos θ＝3，将ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 代入，得y ＝3x ＋3，∴l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋ 3.令y ＝0，得点M 的直角坐标为(－1,0)，∴点M 的极坐标为(1，π)．(2)由(1)，知l 的倾斜角为π3， 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入y 2＝2px ，得3t 2－4pt ＋8p ＝0， ∴t 1＋t 2＝4p 3，t 1t 2＝8p 3. ∵|AB |2＝|MB |·|MA |，∴(t 1－t 2)2＝t 1t 2，∴(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 32＝5×8p 3，∴p ＝152.5．(2019·许昌模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解 (1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2＝1(t >0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x ，得 (1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)，知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2， 故d 的最大值为t 2＋1＋22， 由题设，得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝± 2. 又t >0，所以t ＝ 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》2
课题：圆的极坐标方程（第1课时）授课老师：张秀红授课班级:高二（6）班●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。
本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。
●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。
难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：一尝试自学1、直角坐标与极坐标的互化2、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的圆的直角坐标方程为。
3、上述1中如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）4、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）二、主干讲解类型一：圆心在极点的圆例1：求圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程。
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为Ca,0 （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？三、局部训练1、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程2、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？3、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π,半径为1的圆的极坐标方程四、效果反馈1、，圆θρcos 2=圆心极坐标是 半径是 θρsin 4=的圆心极坐标是 半径是 两圆的圆心距是2、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程3、求圆心在A ()π,3、半径为3的圆的极坐标方程 圆的方程是为半径的为圆心，、以极坐标系中的点1)1,1(4A )4cos(2πθρ-=、A )4sin(2πθρ-=、B )1cos(2-=θρ、C )1sin(2-=θρ、D5、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半6．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=7、求极坐标方程分别是1=ρ与θρcos 2-=的两个圆的公共弦所在的极坐标方程。
北师大高中数学选修4-4课件：第2讲第1节参数方程的概念
•第一节参数方程的概念‘ 脸明呢’iS iffi ® fui ［学习目标］i 卜1.通过分析抛射体运动中时间与物体位置的I I关系，了解其参数方程，体会参数的意义.I〔•2. 了解一般曲线的参数方程的含义.【I—-------------------------------------------------------------------—JI ［学法指要］i I i 、1. 了解曲线方程的意义.（重点）I 「2厂利用參数方程解决最值问题难点）------- '预习学案启动思维•铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为岭/与地面在么角Z如何来刻画铅球运动的轨迹呢?走进教材1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x, y都是某个变数2, 0…）的函数：、①，并且对于每一个[的允[y=g（t）许值，方程组①所确定的点（X, V）都在这条曲线上 ,那么方稈组①就叫这条曲线的参数方程,T叫做参数,相对于参数方程而言，直接给出坐标间的关系的方稈叫普通方程 .• 2-参数的意义•丄—譬鷲如亦喩蠶几何,也可以是____________________ 的变数.自主练习是（） A. 直线x+2y —2—0B. 以（2,0）为端点的射线C. 圆（x-l ）2+/=lD ・以（2,0）和（0，1）为端点的线段 1. 若曲线 ]x == 1 + cos 20, y=sin 23（0为参数）,则点（x ，y ）的轨迹•解析:x = 1 + cos 20=2 - 2sin20 ,又sin?。
= %• Ax = 2 - 2y ,•艮卩兀+ 2y - 2 = 0.•又;y = sin20G [0,1],•・••轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段・•答案：D2-下列参数方程（T为参数）中与方程于=兀表示同一曲线的是（）A.1 —cos2f x==D・] l+cos2f J = tanr•解析：A中化简是方程y二兀2•B中sin?和sinr都表示在一定范围内•C中化简是方程；/二|兀| z %GR ,•而y?二兀中,丘0故借助万能公式代入化简可知选D .•答案：D3.已知曲线［二:爲；^ (0为参数,0£0<2兀).下列各点A(l,3), B(2,2), C(—3,5),其中在曲线上的点是•解析：将4点坐标代入方程得：e=0或兀z 将B、C点坐标代入方程,方程无解,故4点在曲线上.•答案：A•4.设飞机以匀速17=150 m/s做水平飞行，若在飞行高度力=588 m处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速度).•(1)求炸弹离开飞机后的轨迹的参数方程；•(2)试问飞机在离目标多远冰平距离)处投弹才能命中目标？解析：如图所示，4为投弹点，坐标为(0,588), B为目标，坐标为(XoP), g=9.8 m/s?.记炸弹飞行的时间为在4点》=0.设M(x,刃为飞行曲线上的任一点，它对应时刻炸弹水平速度r o=15O m/s,用物理学知识，分别计算水平、竖直方向X = Vot, 上的路程,«L588 1 2,x=150t,即L=588—4.9”这是炸弹飞行曲线的参数方程.标. (2)炸弹飞行得到地面目标B处的时间To满足方程丁=0，即588—4.9冶=0,解得f。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 阅读材料2 摆线的应用研究》
教学设计数学就在我们身边感悟数学的应用价值学情分析;我们是农村建设中学，学生数学基础较差，学习高中数学的兴趣不大，在平时的学习过程中，只能完成一些基本的任务，尽管高中数学基础课程的学习已基本完成，但学生对数学的理解和感悟还很模糊，对数学的价值（科学价值，应用价值，美学价值，人文价值等）的认识还很肤浅，，每次和学生交流一谈到这个问题，学生总觉得数学很难，学了也没有用，由此，有许多学生缺乏学习数学的兴趣，没有学习数学的动力和激情，老师的教学也非常被动，为了让学生能更好地认识数学，体会数学的价值，激发学生浓厚而持久的学习兴趣，老师尝试着进行数学文化方面的教育和熏陶，希望对学生有所帮助。
教学目标1.知识目标：熟悉高中数学基础知识，能用数学知识解决生活中遇到的一些简单的实际问题2 能力目标：能用数学的观点观察事物，对实际问题能建立相应的数学模型并获得合理的解释。
3 情感目标：通过从现象到问题，从问题的数学解释到还原实际问题的结果的亲身体验，让学生获得的不仅仅是数学知识，更重要的是培养学生良好的数学应用意识，提高学生的数学素养，对数学有亲近感，有持久而浓厚的学习兴趣。
教学重点,难点重点: 通过发现问题和解决问题的亲身体验，提高学生的数学应用意识，感悟数学的文化价值（应用价值），从而获得对数学的新认识难点：通过数学建模，将实际问题转化为数学问题，用相应的数学知识解决问题最后还原实际问题的结果。
教学基本流程。
：教学过程：引入课题大家好，高中数学基础课程的学习已经完成，在学习高中数学的过程中，我们花了大量的时间与精力去学习，去探究，已经掌握了大量的数学知识。
老师：同学们，高中数学难吗？学生：…老师：学了高中数学有用吗？学生：…老师：今后还想继续学习数学吗？到大学里还想继续研究数学吗？学生：…老师: 其实，高中数学没有大家想象的那么难，数学每时每刻都伴随在我们身边，帮我们解决问题，一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。
【配套K12】2019年一轮北师大版(理)数学教案：选修4-4 第2节 参数方程 Word版含解析
第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎨⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t 得y 2＝8x .② 联立①②得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.2分将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，8分解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.10分已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 2分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分(2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 8分 解得－25≤a ≤2 5.10分 [规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 4分所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3.10分已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【导学号：57962486】[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. 4分(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且t an α＝43. 8分 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.10分[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6. (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 2分又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数). 4分(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，8分 由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.10分1⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1， 2分由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.4分 (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，8分 又d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.10分 [规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3] (2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．[解] (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 4分(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，8分∴t 1t 2＝－3， ∴|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10分[思想与方法]1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋t an 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法． 3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．[易错与防范]1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．3．设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)注意以下两个结论的应用： (1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 讲末复习方案2
(2)求点(1,1)到直线 AB 距离的最大值．
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第二讲 参数方程
解析：(1)设 A( 2cos α， 2sin α)，
B
2cos α＋π2，
2sin α＋π2，
即 A( 2cos α， 2sin α)，B(－ 2sin α， 2cos α)
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第二讲 参数方程
【真题 7】 (2016·广东广州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：
x＝t＋1 y＝1－2t
(t
为参数)与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ θ
(θ 为参数，a>0)．
(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；
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第二讲 参数方程
【真题 5】 (2016·河北衡水模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，－2)，直线 l：
x＝1＋m， y＝－2＋m
(m 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝2cos θ，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B.
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第二讲 参数方程
考法四 直线的参数方程及其应用
1．利用直线的参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)中参数的几何意义，在解决
直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数 t 没有明显的几何意义．在直线
8x＝cos θ，
得 2
y
3＝sin
高考数学(北师大版)一轮复习讲义：选修4-4坐标系与参数方程(共46张)讲课文档
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
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(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
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题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
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解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
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5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.
高中北师大版数学选修4-4教学案...
⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
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第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎨⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t 得y 2＝8x .② 联立①②得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.2分将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，8分解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.10分已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 2分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分(2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 8分 解得－25≤a ≤2 5.10分 [规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 4分所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3.10分已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【导学号：57962486】[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. 4分(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且t an α＝43. 8分 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.10分[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6. (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 2分又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数). 4分(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，8分 由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.10分1⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1， 2分由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.4分 (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，8分 又d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.10分 [规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3] (2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．[解] (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 4分(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，8分∴t 1t 2＝－3， ∴|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10分[思想与方法]1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋t an 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法． 3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．[易错与防范]1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．3．设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)注意以下两个结论的应用： (1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.。