二次根式四则运算
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是高中数学中的重要概念之一，它代表着一个数的平方根。
在本文中，我将详细介绍二次根式的概念以及如何进行运算。
一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数字被称为被开方数。
它可以是一个正整数、零或者一个正小数。
对于正整数和零，我们可以直接求出它们的平方根；对于正小数，我们可以通过近似值来表示。
例如，√9 = 3，表示9的平方根为3。
同样地，√16 = 4，表示16的平方根为4。
而对于非完全平方数，我们可以将其表示为无理数，如√2、√3等。
二、二次根式的化简在运算中，我们常常需要对二次根式进行化简。
化简的过程就是将二次根式写成最简形式，使得根号下的数字没有约数，且没有分母中有根号的情况。
例如，对于√8，我们可以将其化简为2√2；而对于√18，我们可以化简为3√2。
化简的方法是找出被开方数的所有因数，将其中的平方数提取出来，剩余的非平方数放在根号下。
需要注意的是，我们只能将整数的平方数提取出来，不能将分数的平方数提取出来。
例如，对于√(3/4)，我们不能化简为(√3)/2。
三、二次根式的四则运算在数学中，我们常常需要对二次根式进行加、减、乘、除的运算。
下面我将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于二次根式的加减运算，我们首先要保证被开方数相同，然后将它们的系数相加或相减。
例如，√2 + 2√2 = 3√2；√3 - √3 = 0。
2. 乘法运算对于二次根式的乘法运算，我们将它们的系数相乘，同时将根号下的数字相乘。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6；(√5 + √3)(√5 - √3) = 5 - 3 = 2。
3. 除法运算对于二次根式的除法运算，我们将被除数和除数的系数相除，同时将根号下的数字相除。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2；(√6)/(√3) = √2。
需要注意的是，在除法运算中，如果除数有根号，则我们需要乘以其共轭形式，以消去根号。
二次根式的四则混合运算 课件ppt18张PPT学案
新知讲解
例3 化简
12 -
1 3
-
1
1 3
上面的二次根式是否还可以化简？
解：原式=
22 3
3 32
2 31 32 33
43 32
3
能否适用合并同类项的 方法进行合并？
新知讲解
2
3
1 3
3
2 3
3
(2
1
2 )
33
3
=
3
这三个式子叫做什么？
像2 3； 1 3； 2 3 这样，几个二次根式化成最简二次根式以后，如 33
果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 .
新知讲解
于是我们得到：二次根式的加减运算: （1）把算式中的每一个二次根式先化成最简二次根式； （2）合并同类二次根式.
归纳: 1.二次根式加减之前，应先化简二次根式；再把所含二次根式完全相同 的合并成一项. 2.在二次根式加减(或其它运算)时，把根号前的乘数看作它的系数. 如 2 6 中的2就看作 6 的系数.
1.3.2 二次根式的四则混合运算
浙教版 八年级下
新知导入
二次根式的乘法法则是怎样的？
a× b= ab（a≥0，b≥0） 二次根式的除法法则是怎样的？
a ＝
a （a ≥0，b＞0）
b
b
新知导入
计算 （1） 3x+2x
（2） 3x-2x
（3） 3 2 2 2 （4） 3 2-2 2
以前我们学过的整式运算的法则和方法也适用于二次根式的运算。 例如，在二次根式的加减运算时，类似于合并同类项，我们可以把 被开方数相同的二次根式进行合并。
中考链接
7.（2019·广安）下列运算正确的是（ D ）
二次根式四则运算
二次根式的四则运算同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子例1计算下列各式：（1；（2）最后把它化成最简二次根式得.通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根式得5．通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2例2 计算：我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，-所以最后结得1848果为－30多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用方法2：所以可利用整式乘法公式进行计算得22-＝18－48＝－30所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高（1）通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：通过本节课的学习我们可以发现：（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 2015201622)(3)-（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算几种常见的类型：（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．（2）；（2）34+-＝1；（1）(5；（2）2；解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。
冀教版数学八年级上册 二次根式的四则运算
a2b ab2 4 2 . ，
4.计算下列各式：
1
2
80 6
2 3
2
40 2
;
解：原式 2 80 2 6 2 1 20
32
4 10 2 2 6 5 4 10 4 3 5;
2 5 62 5;
解：原式 5 2
2
5 626 5
2 5 5 12 6 5 7 4 5;
1 2
2
2
5
3
2
2
1 20 18 1.
2
课堂小结
二次根式的混合运算 与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，
也应该先算__乘__除___，后算_加__减__;有括号时，先算括__号__内__的.
乘法公式的运用
2
2
2
a b a 2 a b b
2
2
5 2
A
5 3
的结果是
2
A.
B.
C.
4.已知等腰三角形的两边长分别为2 3 5 2
D和.
，则这个等B腰三角形的周长为（ ）
A. 4 3 5 2
2 3 10 2
B.
C. 4 3 10 2
4 3 10 2 2 3D.10 2
或
5.计算：
1 2 8 3
4
1 3 27
75;
2
1 2
24
0.5 2
3 20 3 32 5 27 .
解：原式 2 5 3 32 5 3 3
2
2
2 5 3 3 20 27 7.
5.化简下列各式：
1 1 ;
5 2
解：
5 2
5 2 5 2;
二次根式
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
满足两个条件：一、有二次根号；二、被开方数是非负实数 2.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a23.二次根式的四则运算：（1）乘法：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） （2）除法：ba b a=（a ≥0，b ≥0） 若除得的商的被开方数中含有完全平方数（式），应对其进行化简成最简二次根式，即1、被开方数中不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）加减：先将二次根式化成最简二次根式，对被开方数相同的的二次根式进行相加减（合并同类项）4、常见考点：求平方根、立方根；二次根式的定义；二次根式的性质；二次根式的运算法则；二次根式的化简；二次根式的运算考点1： 平方根、立方根 相关知识：1．任何非负数都有平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数，正数a 的平方根表示为a ±；0的平方根为0；负数没有平方根.2．非负数a 的非负平方根叫做算术平方根，表示为a .3．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0. 任何数a 的立方根表示为3a .相关试题1. （2011内蒙古乌兰察布，1，3分）4 的平方根是（ ） A . 2 B . 16 C. ±2 D .±16 【答案】C2 .（2011湖南怀化，1，3分）49的平方根为A ．7 B.－7 C.±7 D.±7 【答案】Ca （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；3 （2011山东日照，1，3分）(－2)2的算术平方根是（ ）（A ）2 （B ） ±2 （C ）－2 （D ）2 【答案】A4. （2011江苏泰州，9，3分）16的算术平方根是 ． 【答案】45. （2011江苏盐城，9，3分）27的立方根为 ▲ ． 【答案】36. (2011江苏南京，1，2分)9的值等于A ．3B ．－3C ．±3D ．3【答案】A7 .（2011江苏南通，3，3分）计算327的结果是 A ．±33 B. 33 C. ±3 D. 3【答案】D.8. （2011江苏无锡，11，2分）计算：38 = ____________． 【答案】29 .（2011浙江杭州，1，3）下列各式中，正确的是（ ）A ． 2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．233=± 【答案】B10. （2011广东茂名，12，3分）已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．【答案】2考点2： 二次根式的定义相关知识：一般地，形如a （a ≥0）的代数式叫做二次根式。
16.3.2二次根式四则混合运算
学习目标
理解二次根式四则混合运 算的运算顺序并会正确运用.
自学指导
认真看课本P14练习前，重点看例3、4 的解题格式和步骤，总结二次根式混合运 算的顺序是什么,思考对结果有什么要求； 注意“书签”中的内容. 6分钟后比谁能熟 背二次根式混合运算的运算顺序，会仿照 例题做对检测题. 如有疑难，可以小声问同学或举手问 老师.
检测
必做题：P14 练习 1、2 1 选做题：计算 12 75 3 3 48 的结果 是（ ） 4 3（C） （A）6 （B） 2 3 （ 6 D）12要求：来自1、8分钟内独立完成.
2、仿照例题，书写工整.
（比谁做得又对又快，先做完的举手示意）
课堂作业
必做题：P15 选做题：P15 4、6 7
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中，我们常常遇到二次根式的运算问题。
二次根式是指形如√a的数，其中a表示一个非负实数。
本文将详细介绍二次根式的加减乘除运算规则，并给出一些实例进行演示。
一、二次根式的加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们需要保证它们的根数和被开方数相同。
下面是二次根式加减的基本规则：规则1：根号下的数相同，即根数和被开方数相同，才能进行加减运算。
规则2：二次根式加减运算时，只需对根号下的数进行加减运算，根号不变。
规则3：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 + √3 = √2 + √3，因为根号下的数不同，无法进行运算。
（2）2√5 - 3√5 = （2 - 3）√5 = -√5，因为根号下的数相同，可以进行运算。
二、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的过程。
下面是二次根式乘法的基本规则：规则1：二次根式乘法运算时，只需对根号下的数进行乘法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√2 × √3 = √(2 × 3) = √6，根号下的数相乘得到新的根号下的数。
（2）2√5 × 3√5 = （2 × 3）√(5 × 5) = 6√25 = 30，根号下的数相乘得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
三、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的过程。
下面是二次根式除法的基本规则：规则1：二次根式除法运算时，只需对根号下的数进行除法运算，根号不变。
规则2：运算结果保持根号下的数不变，即根号下的数仍然是二次根式。
例如：（1）√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3，根号下的数相除得到新的根号下的数。
（2）6√25 ÷ 3√5 = （6 ÷ 3）√(25 ÷ 5) = 2√5，根号下的数相除得到新的根号下的数，但是根号下的数不变。
2.7二次根式的四则运算及混合运算 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
பைடு நூலகம்
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归纳总结
考
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
+
+ − = − .
=
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；
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式乘除法的应用
重 ■题型
难
3 的长方体，它的高为
例
现有一个体积为
120
cm
题
型
）
突 2 cm，长为 3 cm，则这个长方体的宽为 （
整式的形式.
第三课时 二次根式的混合运算
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：
（1） ×( + ) ；
（2） −
+ ÷ .
返回目录
第三课时 二次根式的混合运算
返回目录
［解题思路］（1）类比单项式乘多项式；（2）既可按
考
点
清 二次根式混合运算的顺序计算，也可将除法转化为乘法后，
型
突
破
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式的四则运算
同学们，我们已经学习了实数、整式、分式的混合运算，掌握了它们的运算顺序及运算法则。
本节课我们将一起来学习二次根式的四则运算。
（PPT1）
二次根式的四则运算顺序与实数、整式、分式的混合运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，但对于二次根式运算的最后结果一定要化成最简二次根式。
下面我们来看几个具体的例子
例1计算下列各式：
（1；（2）
最后把它化成最简二次根式得.
通过本小题的运算，我们要注意乘法分配律在二次根式的运算中都是适用的。
，然后把它化成最简二次根
式得5．
通过例1的学习，我们在做二次根式的四则运算的时首先要注意运算的顺序，其次是要注意运算律的应用，最后的结果若有二次根式的话一定要化成最简二次根式。
我们一起来看例2
例2 计算：
我们要做这个运算，方法1可以利用多项式的乘法法则进行展开，
-所以最后结得1848
果为－30
多项式的乘法法则在二次根式的运算中仍然适用
方法2：
所以可利用整式乘法公式进行计算得22
-＝18－48＝－30
所以特别对具有整式乘法公式形式的二次根式的四则运算可灵活运用乘法公式，这样能达到简便运算的效果。
拓展提高
（1）
通过本题的运算我们发现在做二次根式的运算时，有时要合理巧妙的使用乘法公式。
总结：
通过本节课的学习我们可以发现：
（1）以前学过的运算法则在二次根式的四则运算中依然成立；
（2）二次根式的四则运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了
数式通性的特点； （3）计算结果最后一定要化成最简二次根式。
知识点1 利用运算律进行二次根式的四则运算
几种常见的类型：
（1000)a b c ，，≥≥≥型，可类比单项式乘多项式运算法则进行运算； 20152016
22)(3)-
（2）0000)a b c d ，，，≥≥≥≥型，可类比多项式乘以多项式运算法则进行运算；
（3）000)a b c >，，≥≥型，可类比多项式除以单项式运算法则进行运算．
知识点2 利用整式乘法公式进行二次根式的四则运算
几种常见的类型：
（1）a b ≥0，≥0)型，类比平方差公式进行运算；
（2）2(00a b ≥≥，）型，类比完全平方公式进行运算．
（2）；（2）
34+-＝1；
（1）(5；（2）2；
解：（1）(5＝225- ＝25－7＝18；
（2）2＝222-⨯＝122-＝14-。