2003年高考数学仿真试题(八)
2003年MAM高考数学仿真试题答案
2003年MAM 高考数学仿真试题(一)答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.A9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题13.（4，0） 14.8 15.y 2－16x 2+8y =0(y ≠0) 16.(140)、（85）三、解答题17.解：（1）f (0)=2a =2,∴a =1f (3π)=2a +43b =21+23,∴b =2 ∴f (x )=2cos 2x +sin2x =sin2x +cos2x +1 =1+2sin(2x +4π) ∴f (x )max =1+2，f (x )min =1－2（2）由f (α)=f (β)得sin(2α+4π)=sin(2β+4π) ∵α－β≠k π,(k ∈Z) ∴2α+4π=(2k +1)π－(2β+4π) 即α+β=k π+4π ∴tan(α+β)=1.18.解：（1）∵a 10=5,d =2,∴a n =2n －15又∵b 3=4,q =2,∴b n =2n －1∴c n =(2n －15)·2n －1(2)S n =c 1+c 2+c 3+…+c n ,2S n =2c 1+2c 2+2c 3+…+2c n错位相减，得－S n =c 1+(c 2－2c 1)+(c 3－2c 2)+…+(c n －2c n －1)－2c n∵c 1=－13,c n －2c n －1=2n∴－S n =－13+22+23+…+2n －(2n －15)·2n =－13+4(2n －1－1)－(2n －15)·2n=－17+2n +1－(2n －15)·2n ∴S n =17+(2n －17)·2n ∴n n S nb =n n n n 2)172(1721⋅-+⋅- =412)172(2171=⋅-+-n nn . 19.(1)证明：证法一：连结AC .∵正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1.∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证法二：∵BE =BF ,∠EBD =∠FBD =45°,∴EF ⊥BD .又EF ⊥D 1D∴EF ⊥平面BDD 1B 1，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H .∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H .解法一：在Rt △D 1HB 1中，D 1H =D 1B 1·sin D 1B 1H .∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4,sin D 1B 1H =sin B 1GB =11GB B B =22141+=174, ∴d =D 1H =4·174=171716. 解法二： ∵△D 1HB 1∽△B 1BG ，∴B B H D 11=GB B D 111， ∴d =D 1H =G B B B 121=222144+=171716. 解法三：连结D 1G ，则三角形D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1的面积即21·B 1G ·D 1H =21B 1B 2， ∴d =D 1H =G B B B 121=171716. （3）解：V =11EFD B V - =EF B D V 11- =31·d ·EF B S 1∆=31620.解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为5030003600-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为 f (x )=(100－503000-x )(x －200), 整理得f (x )=501(8000－x )(x －200)=－501x 2+164x －32000=－501(x －4100)2+304200. 所以，当x =4100时，f (x )最大，最大值为f (4100)=304200,即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.21.（1）证明：∵PA +PB =AM =4,∴由椭圆定义可知，P 点位于以A 、B 为焦点、长轴长为4的椭圆上，且直线k 为该椭圆的准线∴点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比即为e =a c =21. （2）解：如图，建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为3422y x +=1,易知，｜PA ｜=｜PB ｜=2时， ｜PA ｜·｜PB ｜=m =4为最大， 此时，点P 的坐标为（0，±3）.（3）解：∵｜PA ｜+｜PB ｜=4,｜PA ｜－｜PB ｜=1,∴｜PA ｜=25,｜PB ｜=23,又∵｜AB ｜=2=24 ∴△P AB 是以B 为直角的直角三角形 ∴cos APB =53. 22.(1)解：当x =y =0时,则f (0)+f (0)=f (0),∴f (0)=0,f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ),∴f (x )在（－1,1）上是奇函数.（2）解：任取－1＜x 1＜x 2＜0,∵当x ∈(－1,0)时，有f (x )＞0.∴f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --)＞0 即f (x 1)＞f (x 2),∴f (x )在（－1，0）上是减函数.（3）证明：f (11+n )－f (21+n ) =f (11+n )+f (－21+n )=f (211112111+⋅+-+-+n n n n )=f (1312++n n ).。
2003年MAM高考数学仿真试题八答案
2003年MAM 高考数学仿真试题(八)答案一、选择题1.C2.解析：由正弦函数图象知ω＞0,4T ≥3π,ωπ42≥3π,0＜ω≤23. 答案：A3.B4.D5.解：∵f (x +1)为奇函数，∴f (－x +1)=－f (x +1),又f (x )=f (4－x ),∴f (x +3)=f (1－x )=－f (x +1),f (x +5)=－f (x +3)=f (x +1),∴f (x +4)=f (x )∴f (log 224)=f (log 224－4)=f (log 223)=23log 22=23, 答案：C6.D7.A8.C9.B 10.B 11.D12.解：设小正方形的边长为x ，则V （x ）=(a －2x )2·x =4x 3－4ax 2+a 2x .V ′(x )=12x 2－8ax +a 2=(2x －a )(6x －a )令V ′(x )=0,即(2x －a )(6x －a )=0.解得x 1=6a ,x 2=2a (舍去). 当x 在（0，2a ）变化时，V ′(x )先正后负，∴x =6a 时，V （x ）有极大值，并且这个极大值就是函数的最大值，代入得V =272a 3, 答案：B二、填空题 13.2π 14.解：设F 1（1，0）为右焦点，则｜PF ｜+｜PA ｜=6－｜PF 1｜+｜PA ｜=6+（｜PA ｜－｜PF 1｜） ∵｜｜PA ｜－｜PF 1｜｜≤｜AF 1｜=22，∴｜PF ｜+｜PA ｜≥6－22答案：6－2215.24316.解：由Δ=4－4a ≥0得，a ≤1.答案：a ≤1三、解答题17.解：(1)设y =x 2－22x +2,解得x =y +2,故f －1(x )= x +2 (x ≥0)(2)由f －1(S n －1)= n S 得n S =1-n S + 2得n S = 2n∴S n =2n 2,故a n =4n －218.(1)证明：∵AC =BC ∴CE ⊥AB ,又BB 1⊥平面ABC ∴CE ⊥AB 1（2）解：连结EF ，∵CE ⊥平面ABB 1，CF ⊥AB 1∴EF ⊥AB 1∴EF 为CE 与AB 1的公垂线段，在直角三角形ABC 中，BC =2，∴AB =22EF =AE sin FAE －323 (3)解：由（2）知∠CFE 就是二面角C －AB 1－B 的平面角. 且tan CFE =3322=26, ∴∠CFE =arctan 26 (4)解：V C －AEF =31S △AEF ·CE =31·32·2=922 19.解：令m =n =0，则f (0)=f (0)f (0)，得f (0)=1或f (0)=0若f （0）=0，则x ＞0时f (x +0)=f (x )f (0)=0,与条件矛盾，∴f (0)=1.设x ＜0，则－x ＞0，f (x －x )=f (x )f (－x )=1f (x )=)(1x f -，∵0＜f (－x )＜1∴f (x )＞1 (2)设x 1＜x 2则f (x 2－x 1)=f (x 2）f (－x 1),∵x 2－x 1＞0∴0＜f (x 2－x 1)＜1,又f (x 1－x 1)=f (x 1)f (－x 1)，得f (－x 1)= )(11x f 故0＜)()(12x f x f ＜1， 又f (x )在R 上恒为正，∴f (x 2)＜f (x 1)故f (x )在R 上单调递减.20.解：将y =x +b 代入y 2=2x得：x 2+2(b －1)x +b 2=0由Δ＞0,得b ＜21 设A （x 1,y 1）、B (x 2,y 2)，AB 的中点E （x 0,y 0),C (x ,y ),则x 1+x 2=2(1－b )∴x 0=221x x +=1－b , 则y 0=x 0+b =1由已知得:CE ⊥AB ,且｜CE ｜=23｜AB ｜ 得)1(1b x y ---=－1,即y =2－b －x , ｜CE ｜=2by x +-,｜AB ｜=2224)1(4b b --,且y =2－x －b得(y －4)2=6(x +1),且y ≠121.解：(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即1－06C (0.5)6－16C (0.5)6－26C (0.5)6=1－641561++=3221 (2)至少4人同时上网的概率为 46C (0.5)6+56C (0.5)6+66C (0.5)6=3211＞0.3至少5人同时上网的概率为（56C +66C )(0.5)6=647＜0.3 因此至少5人同时上网的概率小于0.3.22.解：(1)把x =1代入C 的方程，求得y =－4 ∴切点为（1，－4），y ′=12x 3－6x 2－18x , ∴切线斜率为k =12－6－18=－12.∴切线方程y +4=－12(x －1),即y =－12x +8(2)由 y =3x 4－2x 3－9x 2+4y =－12x +8,得3x 4－2x 3－9x 2+12x －4=0,(x －1)2(x +2)(3x －2)=0,x =1,－2,32. 代入y =3x 4－2x 3－9x 2+12x －4,求得y =－4,32,0,即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）， 除切点外，还有两个交点（－2，32），（32，0）.。
2003年全国各地高考数学模拟试题选析
2003年全国各地高考数学模拟试题选析三角函数(湖北省孝感高级中学试题研究小组组长: 徐新斌执笔: 代丽萍)一、高考回顾三角函数是高中数学的基础知识， 是高考考查的重点内容之一．高考主要考查三角函数的图象、性质，以及结合三角变换求三角函数值, 以此为载体考查学生的灵活运用知识的能力和综合处理问题的能力, 涉及的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想.从近三年的高考试题(新课程卷)看,三角函数的分值占总分的11%左右．二、新题评析１．基础题注重考查三角函数的化简、求值，三角函数的图象、性质尤其是三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值．作为基础题，有些题是只需稍作变换即可作答的题，也有些题给出的函数式较为复杂，必须经过化简成基本函数之后才能解决有关的函数性质和图象变化情况．例１（南京市高三第二次质量检测）函数|2|sin 2π-=x y 的部分图象是（）．y yo x o xA By yo x o xC D解：Ｃ．先考察函数||sin 2x y =，它是偶函数，关于ｙ轴对称，过点)0,0(，把它的图象向右平移2π个单位，即得到|2|sin 2π-=x y 的图象，因此它的图象应该关于2π=x 对称，且经过点)0,2(π．符合这个条件的只有Ｃ．评析：根据图象的基本特征进行分析、作出判断，是近几年高考命题的一个趋势，也是能力立意的命题要求，应引起重视．对于此题，熟悉基本函数x y sin =的图象是解题的关键，其次就是掌握对称变换和平移变换的变换规律．例２（天津市高中质量调查）函数1)42(sin )42(cos )(22-++-=ππx x x f是 （ ） Ａ．周期为π的奇函数 Ｂ．周期为π的偶函数 Ｃ．周期为π2的奇函数 Ｄ．周期为π2的偶函数解：Ｃ．原函数可化为12)2cos(12)2cos(1)(-+-+-+=ππx x x f)]2cos()2[cos(21ππ+--=x x x sin =故选Ｃ．评析：本题考查了函数的奇偶性和周期性．利用降幂公式22cos 1cos2x x +=与22cos 1sin 2x x -=对原函数式进行化简是本题的关键问题．对于这类问题，通常是通过变形、变换化为一个角的一个三角函数的形式后再来求解或判断．例３（天津市高中质量调查）已知54)12cos(-=-πθ，且πθπ<<2，求)122cos(πθ+的值．解：54)12cos(-=-πθ ，πθπ<<2，53)12sin(121112125=-∴<-<∴πθππθπ)12cos()12sin(2)12(2sin πθπθπθ--=-∴2524)54(532-=-⨯⨯=．1)12(cos 2)12(2cos 2--=-πθπθ257125162=-⨯=．]4)12(2cos[)122cos(ππθπθ+-=+∴5023122)2524(222574sin)12(2sin 4cos)12(2cos =⨯--⨯=---=ππθππθ评析：今年的模拟试题中，通过三角变换求值、化简、证明题较多．本题主要考查三角变换的角的变换，拆角与凑角是角的变换的常用手段．本题的关键在于发现目标角与已知角之间的关系：4)12(2122ππθπθ+-=+．通过这种变角，要求出)12sin(πθ-的值，因此还必须判断角12πθ-的取值范围．例４（苏州市高三教学情况调查）设函数m x x x x f ++=2cos cos sin 3)(（１）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（２）]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为２，求此时函数)(x f 的最大值，并指出x 取何值时，函数)(x f 取到最大值．解：（１）m xx x f +++=22cos 12sin 23)( 21)62sin(+++=m x ππ=∴T由226222πππππ+≤+≤-k x k 得63ππππ+≤≤-k x k故函数)(x f 的单调区间为)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ．（２）36ππ≤≤-x ，65626πππ≤+≤-x1)62sin(21≤+≤-∴πx当21)62sin(-=+∴πx 时，原函数取最小值２，即22121=++-m 2=∴m25)62sin()(++=∴πx x f1)62sin(=+∴πx 当，即6,262πππ==+x x 时，)(x f 取到最大值27．评析：本题综合考查了函数的周期性、单调性与最值等问题．解决这类问题的通常方法是：先将已知函数式变形为形如)sin()(ϕω+=x A x f 的形式，然后分别利用||2ωπ=T 求出最小正周期、利用基本函数的单调性求单调区间、在求最值问题时，应注意其定义的制约．例５（北京东城区第一次模拟考试）使函数)(x f y =图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的21，然后再将其图象沿ｘ轴向左平移6π个单位，得到的曲线与x y 2sin =相同．（１） 求)(x f y =的表达式； （２） 求)(x f y =的单调递减区间．解：（１）先将x y 2sin =的图象向右平移6π得)6(2sin π-=x y ，即)32sin(π-=x y 的图象．再将)32s i n (π-=x y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的２倍，而纵坐标不变，得到)3s i n (π-=x y 的图象．则)3sin(π-=x y 即为所求． （２）由πππππ232322+≤-≤+k x k得ππππ6112652+≤≤+k x k 即)(x f y =的单调递减区间为]6112,652[ππππ++k k )(Z k ∈． 评析：本题考查了图象的变换，以及)sin(ϕω+=x A y 的单调区间的求法．解本题首先要弄清楚的是由哪个函数的图象变到哪个函数的图象，顺序颠倒变换方式正好相反．这里已知的是变换后的解析式，要得到原来的解析式，必须倒过来变换．即)6(2sin 2sin 6ππ-=−−−→−=x y x y 向右平移)3sin(2π-=−−−−−−→−x y 倍横坐标伸长为原来的． 而单调区间由基本函数x y sin =确定．２．综合题与近几年的高考题一样，模拟试题也很好地控制了试题的难度，通常是放在解答题的前两题的位置，属低、中档题．注重三角函数的图象和性质的灵活运用，或以三角知识为背景，考查学生运用数学知识和思想方法去综合分析、解决问题的能力，如有关数列、三角形、向量等题型．难度明显呈下降趋势．例６对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题：①存在)2,0(π∈a ，使34)(=a f ； ②存在)2,0(π∈a ，使)3()(a x f a x f +=+恒成立；③存在R ∈φ，使函数)(φ+x f 的图象关于ｙ轴对称；④函数)(x f 的图象关于点)0,43(π对称． 其中正确命题的序号是 ． 解：①③④． ①)4sin(2)(π+=x x f ，2)(2≤≤-x f ，而]2,2[34-∈， 故存在)2,0(π∈a ，使34)(=a f ． ②)4sin(2)(π+=x x f 的周期为π2=T ．若存在)2,0(π∈a ，使)3()(a x f a x f +=+恒成立，则a T 2=是它的周期，)2,0(π∈a ，),0(2π∈=a T ，这与π2=T 相矛盾．③取4πφ=，则x x x f cos 2)44sin(2)(=++=+ππφ这是一个偶函数，它关于ｙ轴对称．④点)0,43(π是)4sin(2)(π+=x x f 与ｘ轴的交点， 故函数)(x f 的图象关于点)0,43(π对称． 评析：本题考查了函数x x x f sin cos )(+=的值域、周期、奇偶性、点对称和轴对称等多种情况，是一个简单的探索性问题，只有熟练掌握了函数的图象特征及性质，才能作出正确的解答．例７（湖北省黄冈市高三模拟考试一）关于x 的方程0cot sin 2sin 2=-⋅+θθθx x的两根为α、β，且πθ20<<．若数列),11(,1βα+,)11(2βα+，的前100项和为0，求θ的值．解： αββαβα+=+)11(.sin 2cot sin 2sin θθθθ=--=θsin 2=∴q ，而数列的首项为１，由等比数列的前ｎ项和公式得0sin 21)sin 2(1100100=--=θθS1)sin 2(100=∴θ)0,1sin 2(,1sin 2100≠=-=S 时当θθ又0)cos sin 1(cos 4cot sin 4)2(sin 22>+=+=∆θθθθθθ6110cos 0cos sin 12πθθθθ=∴>∴>+ 评析：本题以数列为载体，考查三角函数知识的综合运用能力，既有三角函数的化简，又有三角函数的求值．例８(广州市普通高中毕业班综合测试二)在ABC ∆中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若ABC ∆的外接圆的半径3=R ,且bca B C -=2cos cos , 分别求出B 和b 的大小.解：由正弦定理R C cB b A a 2sin sin sin ===得A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=．代入bca B C -=2cos cos 得BCA B C sin sin sin 2cos cos -=．整理得B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+即B AC B cos sin 2)sin(=+0180=++C B A A C B sin )sin(=+∴21cos ,0sin cos sin 2sin =∴≠=∴B A B A A060=∴B又3=RB R b sin 2=∴360sin 320==评析：本题主要考查解斜三角形和三角恒等变换等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能力．其实有关三角形中的三角函数问题，就是在所附设条件下的三角函数的求值、化简和证明．这是一种既常见又典型的问题．解决这类问题，不仅要用到三角变换的基本方法和常用技巧，还要用到三角形的相关知识，如正弦定理、余弦定理、面积公式以及0180=++C B A 等．这类问题是近年来，高考的热点和难点，有的题目只涉及角，但更多的是边、角同时涉及．３．应用题与探索题注重考查数学建模思想，结合三角函数知识，把实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力，对信息进行收集、加工、分析、整理等分析问题和解决问题的能力．从今年模拟试题来看，三角函数与数列、向量的结合是命题趋势．例９(北京崇文区第二次模拟考试)已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救, 救生员尚有直接从A 处游向B 处, 而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处, 然后游向B 处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒. (I) 分析救生员的选择是否正确;(II) 有AD 上找一点C, 使救生员从A 到B 的时间为最短,并求出最短时间. B米A C D解: (I)由A 直接游向B 处的时间为2150245sin 3001==t (秒)由A 经D 到B 的时间为200230063002=+=t (秒) 而2002150>,因此, 救生员的选择是正确的.(II)设ααcot 300,==∠CD BCD 则ααcot 300300,sin 300-==AC BC 于是从A 经C 到B 的时间为ααsin 23006cot 300300+-=t)s i n c o ss i n 31(50sin 150sin cos 5050αααααα-+=+-=)2tan 12tan22tan 12tan 131(50222ααα++--+=210050)221(50)2tan 22tan11(50+=+≥++=αα 当且仅当,2tan 12tan 2αα=.,22tan ,222tan上式等号成立时即==αα此时, 275tan 300==αCD (米)时, t 取得最小值为210050+秒. 因此,点C 应选在沿岸边AD, 距D 点275米处, 才能使救生员从A 到C 再到B 所用时间最短. 最短时间为210050+秒.评析: 本题考查的是运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题时，首先要注意阅读理解，弄清题意，特别是各个量之间的关系，根据示意图，分析与解决问题有关的三角形，然后利用有关公式（更多的时候是利用正弦、余弦定理）求解．例１０（太原市高三年级模拟考试）已知函数x c x b a x f 2cos 2sin )(++=的图象经过点Ａ（０，１），Ｂ)1,4(π，且当]4,0[π∈x 时，)(x f 取最大值122-．（１）求)(x f 的解析式；（２）是否存在向量m，使得将)(x f 的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m，若不存在，说明理由． 解：由题意知⎩⎨⎧=+=+11b ac a )42sin()1(2)(1π+-+=∴-==∴x a a x f ac b]43,4[42],4,0[ππππ∈+∴∈x x当01>-a 时，由122)1(2-=-+a a 解得1-=a01<-a 时，12222)1(2-=⋅-+a a ，无解； 当01=-a时，122-=a ，相矛盾． 综上可知1-=a ．)42sin(221)(π++-=∴x x f ．（２）x x g 2sin 22)(= 是奇函数，将)(x g 的图象向左平移8π个单位，再向下平移１个单位就可得到)(x f 的图象．因此，将)(x f 的图象向右平移8π个单位，再向上平移１个单位就可得到奇函数x x g 2sin 22)(=的图象．故)1,8(π=m是满足条件的一个平移向量．评析：作为探索性问题，本题的关键在于用待定系数法确定ａ、ｂ，从而求出)(x f 的解析式，然后比较)42sin(221)(π++-=x x f 和x x g 2sin 22)(=，确定存在这样的平移向量)1,8(π=m ．三、命题趋向近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强．考题主要以选择题、填空题的形式出现，难度不大，从近些年考查的内容来看，大致可分为这样一些问题：与三角函数单调性有关的问题；与三角函数图象有关的问题；应用同角变换及诱导公式，求三角函数值、化简和证明；与三角函数周期有关的问题．在新课改中，向量一种重要的工具在解题中发挥着重要的作用，近几年的考高实践足以说明这一点，在各地的模拟试题中也得到了很好的体现．例１１（北京西城区第一次模拟试题）函数)(x f 是定义在]2,2[ππ-上的偶函数，当],0[π∈x 时，x x f y cos )(==；当]2,[ππ∈x 时，)(x f y =的图象是斜率为π2，在y 轴上截距为－２的直线在相应区间上的部分．（１） 求)3(),2(ππ--f f 的值； （２） 写出函数)(x f y =的表达式，作出其图象并根据图象写出函数的单调区间．解：（１）依题意知 当]2,[ππ∈x 时，22)(-==x x f y π 又)(x f y = 是定义在]2,2[ππ-上的偶函数，2)2()2(==-∴ππf f又当],0[π∈x 时，x x f y cos )(==，213cos )3()3(===-∴πππf f ． （２）)(x f y = 是偶函数，]0,[π-∈∴x 当时，],0[π∈-x ，此时x x x f x f y cos )cos()()(=-=-==当],2[ππ--∈x 时，]2,[ππ∈-x ，此时22)()(--=-==x x f x f y π．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈-∈--==∴]2,[,22],[,cos ],2[,22)(ππππππππx x x x x x x f y由图象可知，函数的递增区间为]2,[],0,[πππ-；递减区间为],0[],,2[πππ--．评析：本题是一个分段函数，求分段函数的解析式，作分段函数的图象，一直是各地模拟试题的热点．解本题时，首先应搞清)(x f y =在]2,0[π的解析式，然后，根据偶函数的性质易求出)3(),2(ππ--f f 的值；求)(x f y =在]0,2[π-上的解析式，主要运用了区间转化的办法，结合偶函数的性质求解．只要作出了)(x f y =在]2,0[π上的图象，利用偶函数的对称性，容易画出)(x f y =在]2,2[ππ-上的图象；最后从图象上观察出函数的单调区间．例１２(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合考试)已知向量)23s i n ,23(c o s x x a = ,)2sin ,2(cos x x b -= 且]2,0[π∈x . （１） 求||b a b a+⋅及；（２）若=)(x f ||2b a b a +-⋅λ的最小值是23-，求λ的值． 解：（1）2s i n 23s i n 2c o s 23c o s x x x x b a ⋅-⋅=⋅ x 2cos =．22)2sin 23(sin )2cos 23(cos ||x x x x b a -++=+ x x 2cos 22cos 22=+=]2,0[π∈x ，0cos ≥∴x ， ∴x b a cos 2||=+ ． （２）x x x f cos 42cos )(λ-=，即2221)(cos 2)(λλ---=x x f ． ]2,0[π∈x ，1cos 0≤≤∴x ， ①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－１，这与已知矛盾； ②当10≤≤λ时，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得23212-=--λ，解得21=λ； ③当1>λ时，当且仅当1cos =x 时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾． 综上所述，21=λ即为所求． 评析：向量作为一种重要的解题工具出现的新教材中，由于解题方便、快捷而倍受亲睐．利用向量知识解决三角函数、解析几何、立体几何、不等式等问题是新课改的一个亮点，也是各地模拟试题命题的一个热点，本题以向量为载体，考查了三角函数的最值．这是一种可化为二次函数在给定区间上的最值问题的题型，解题时，将问题转化为2221)(cos 2)(λλ---=x x f 在［０，１］上的最值问题，由于λ的取值未定，求λ时，必须进行分类讨论．。
03383-宿迁市2003年高考数学模拟试卷
宿迁市2003年高考数学模拟试卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ＞b ＞0，全集I=R ，集合M={b x |＜x ＜2ba + ，N={ab x |＜x ＜a ， P={b x |＜x ≤ab ，则P 与M 、N 关系为（ ）A ．P=M ()N C IB ．P=()NM C I C ．P=N M D ．P=N M2．若,16960cos sin =⋅A A 且4π＜A ＜2π，则A tan 的值为（ ）A ．512或125B ．512C ．125D ．13123．若向量=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则等于 （ ）A ．2321+-B ．2321-C ．2123-D ．2123+-4．某债券市场发行的三种债券：A 种面值100元，一年到期本利共获103元。
B 种面值50元，半年到期，本利共50.9元。
C 种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元。
则三种投资收益比例从小到大排列为 （ ）A ．BACB ．ACBC ．ABCD ．CAB 5．在()n n n n nx a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+++=+--1122111中，若6432-=n a a ,则n 的值为 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．要得到函数)42cos(π-=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像 （ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位7．直线012=++y a x 与直线()0312=+-+by x a 互相垂直，,,R b a ∈则||ab 的} } }最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．58．对于直线,,,βα和平面n m α⊥β的一个充分条件是 （ ）A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，αβα⊂=n m ,C ．m ∥n n ,⊥αβ⊂m ,D ．m ∥n ，m ⊥n ,α⊥β9．一天内的不同时刻，经理把文件交给秘书打字，每次都将文件放在秘书文件垛的最上面，秘书有时间就将文件垛最上面的文件取来打。
2003年高考数学仿真试题(一)
试卷类型：A2003年高考数学仿真试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若函数y =2ｘ的定义域是P ＝｛１，２，３｝，则该函数的值域为A.｛２，４，６｝B.｛２，４，８｝C.｛１，０，ｌｏｇ３２｝D.｛０，１，ｌｏｇ２３｝2.已知函数y =ｓｉｎ（2πｘ＋θ）ｃｏｓ（2πｘ＋θ）在x =2时有最大值，则θ的一个值是 A. 4π B. 2π C. 32π D. 43π 3.经过点(1，0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是A.ρ＝sin θB.ρ＝cos θC.ρsin θ＝１D.ρcos θ＝１4.在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ４＋ａ６＋ａ８＋ａ１０＋ａ１２＝１２０，则２ａ10－ａ12的值为A.20B.22C.24D.285.已知（２ｘ２＋１）６＝ａ０＋ａ１ｘ２＋ａ２ｘ４＋…＋ａ６ｘ１２，则ａ０＋ａ２＋ａ４＋ａ６的值为 A.2136- B.2136+ C.2236+ D. 2236- 6.一个圆锥被平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的体积为y ，圆台的体积为x ，则y 关于x 的函数图象的大致形状为7.把函数y =f (x )的图象沿直线x +y =0的方向向右下方平移22个单位，得到函数ｙ＝ｌｏｇ２ｘ的图象，则A.f (x )=log ２（ｘ＋２）＋２B.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ－２）＋２C.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋２）－２D.ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ－２）－２8.小王打算用70元购买面值为20元和30元的两种IC 电话卡，若他至少买一张，则不同的买法一共有A.5种B.6种C.7种D.8种9.已知如图∠Ｃ＝９０°，AC =BC ,M 、N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起，使二面角Ｂ′－MN －Ｂ为60°，则斜线Ｂ′Ａ与平面ABC 所成角的正切值为A.52 B. 53 C. 54 D.53 10.已知函数y =f (x )对任意实数都有f (-x )=f (x ),f (x )=-f (x +1)且在［０，１］上单调递减，则A.ｆ（27）＜ｆ（37）＜ｆ（57） B.ｆ（57）＜ｆ（27）＜ｆ（37） C.ｆ（37）＜ｆ（27）＜ｆ（57）D.ｆ（57）＜ｆ（37）＜ｆ（27） 11.椭圆31222y x +＝１的焦点Ｆ１和Ｆ２，点P 在椭圆上，如果线段P Ｆ１的中点在y 轴上，那么｜ＰＦ１｜∶｜ＰＦ２｜的值为A.７∶１B.５∶１C.９∶２D.８∶３ 12.函数y =ax x +2的大致图象如图所示则 A.ａ∈（－１，０）B.ａ∈（０，41）C.ａ∈（41，１）D.（１，＋∞）第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.sin80°cos35°－sin10°cos55°＝ .14.已知抛物线ｙ２＝ａ（ｘ＋１）的准线方程是ｘ＝－３，那么抛物线的焦点坐标是 .15.已知f (x )=a ｘ（ａ＞１），ｇ（ｘ）＝ｂｘ（ｂ＞１），当f (x １)＝ｇ（ｘ２）＝２时，有ｘ１＞ｘ２，则ａ、ｂ的大小关系是 .16.设正数数列｛ａｎ｝的前n 项和为S ｎ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n n a t tS +=成立，若∞→n lim n n a S ＜ｔ，则ｔ的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知π≤θ≤23π，ｙ＝－３cos θ＋２ｉsin θ. (Ⅰ)求复数ｚ的模的取值范围；(Ⅱ)若arg z ＝２π－arctg 31，求)4sin(212cos 22πθθ+-的值. 18.(本小题满分12分)设两个向量ｅ１ 、ｅ２ ，满足｜ｅ１ ｜＝２，｜ｅ2 ｜＝１，ｅ１ ，ｅ2 的夹角为60°，若向量2ｔｅ１ ＋７ｅ2 与向量ｅ１ ＋ｔｅ2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.19.（本小题满分12分）在边长为a 的正三角形的三角处各剪去一个四边形，这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图（1）若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器如图（2），则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值.20.（本小题满分12分）已知三棱锥P －ＡＢＣ中，PC ⊥底面ABC ，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ、Ｅ、F 分别为AC 、PA 、PC 的中点，DE ⊥ＡＰ于E.（Ⅰ）求证：ＡＰ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面ＢＤＥ⊥平面ＢＤＦ；（Ⅲ）若AE ∶ＥＰ＝１∶２，求截面BEF 分三棱锥Ｐ－ＡＢＣ所成两部分的体积比.21.(本小题满分14分)设曲线ｃ：ｙ＝ｘ２（ｘ＞０)上的点Ｐ０（ｘ０，ｙ０)，过Ｐ０作曲线ｃ的切线与x 轴交于Q １，过Q １作平行于y 轴的直线与曲线c 交于P １（ｘ１，ｙ１），然后再过Ｐ１作曲线c 的切线交x 轴于Ｑ２，过Ｑ２作平行于y 轴的直线与曲线c 交于Ｐ２（ｘ２，ｙ２），依次类推，作出以下各点：Ｐ０，Ｑ１，Ｐ１，Ｑ２，Ｐ２，Ｑ３…Ｐｎ，Ｑｎ＋１…，已知ｘ０＝２，设Ｐｎ（ｘｎ，ｙｎ）（ｎ∈N )(Ⅰ)求出过点Ｐ０的切线方程；(Ⅱ)设ｘｎ＝ｆ（ｎ），求ｆ（ｎ）的表达式； (Ⅲ)设Ｓｎ＝ｘ０＋ｘ１＋…＋ｘｎ，求∞→n lim Ｓｎ. 22.（本小题满分12分）已知函数f (x )=－333+x （Ⅰ）求证：函数y =f (x )的图象关于点（21，－21）对称； （Ⅱ）求f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)+f (3)的值； （Ⅲ）若ｂｎ＝)()1(n f n f -，求证：对任何自然数n ，总有3ｂｎ＞ｎ２成立.。
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2003年高考数学仿真试题(二)答案一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.A 二、13. 13 4 14.22b a + 15.sin 210°+cos 240°+sin10°cos40°=43 16.①③⇒②17.解：已知M ∩N ≠∅.∴M 、N 中至少有一个元素相等即有cos θ+(4-m 2)i =m +(λ+sin θ)i 2分从而⎩⎨⎧+=-=θλθsin 4cos 2m m 4分∴λ=4-cos 2θ-sin θ=(sin θ-21)2+411 8分 ∵sin θ∈［-1,1］ ∴当sin θ=21时，λmin =411,当sin θ=-1时，λmax =5∴λ的取值范围为［411，5］ 12分18.解：（Ⅰ）a 1=S 1=p (a 1-1) ∴a 1=1-p p1分n ≥2,a n =S n -S n -1=p (a n -a n -1) ∴11-=-p p a a n n ∴{a n }是以a 1=1-p p 为首项，公比为q =1-p p的等比数列 4分 ∴a n =(1-p p )n5分(Ⅱ)由已知a 1=b 1,a 2<b 2, ∴1-p p =2+q ,( 1-p p )2<4+q 7分消去q 整理（1-p p ）2-1-p p-2<0∴-1<1-p p <2 ∴p <21或p >210分∵q =1-p p≠0 ∴p ≠0 ∴p 的范围为（-∞,0）∪(0,21)∪(2,+∞) 12分19.（Ⅰ）证明：∵E 是C 1D 1的中点，∴C 1E =D 1E =a ,又由直四棱柱的性质得BC ⊥面CC 1D 1D ，∴EC =2a ,BE =3a ,DE =2a ,又BD =5a ,∴△BDE 是直角三角形,△DEC 也是直角三角形,∴DE ⊥EC ,DE ⊥BE ,∴DE ⊥面BEC ，又DE ⊂平面BDE ∴平面BCE ⊥平面BDE 4分(Ⅱ)解：取CD 的中点E ′ ∴EE ′⊥面ABCD ，∴△BED 在面AC 内的射影是 △E ′BD ,设二面角E —BD —C 的大小为θ,∴cos θ=EBDBDE S S ∆'∆ 又∵S △BDE =21DE ·BE =26a 2，S △BE ′D =21a 2,∴cos θ=66 ∴θ=arccos 668分(Ⅲ)解：V 1B —BDE =V D —B 1B E =V 1D —B 1B E =2231⨯D 1E ·S △B 1B E =2231⨯a ·22⋅a a =61a 3. 故V 1B —BDE =61a 312分20.解：（Ⅰ）y =412-x∵x <-2，∴x =-214y+即y =f -1(x )=-214x +(x >0)4分(Ⅱ)∵21141n n a a +=+ ∴22111nn a a -+=4 ∴{21na }是公差为4的等差数列 ∵a 1=1 ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3 ∵a n >0 ∴a n =341-n8分(Ⅲ)b n =S n +1-S n =a n +12=141+n由b n <25m得m >1425+n 对于n ∈N 成立∵1425+n ≤5 ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m 成立 12分 21.（Ⅰ）解：∵g (t )为常数 ∴g (0)-rp=0∴g (0)= rp2分(Ⅱ)证明：证得0<t 1<t 2,则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- r p ］e 1t vr --［g (0)- r p ］e 21t v r-=［g (0)- rp ］［e1t vr --e21t v r -］=［g (0)-rp ］)(2112)(t t vrt vr t vree e +-∵g (0)·rp <0,t 1<t 2,e 21t v r>e 1t vr∴g (t 1)<g (t 2) 6分 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重 8分(Ⅲ)解：污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e t vr-,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0)∴201=e t v r-，∴t =rvln20， 即需要rvln20天 12分22.解：（Ⅰ）∵（x +1）2=-4(y -1) ∴F 1(-1,0)2分（Ⅱ）∵A 、B 在双曲线上，∴||AF 1|-|AF 2||=||BF 1|-|BF 2||，|22-|AF 2||=|22-|BF 2|| 若22-|AF 2|=22-|BF 2|∴|AF 2|=|BF 2|则点F 2在线段AB 的中垂线上 ∴点F 2的轨迹方程为x =-1(y ≠0,y ≠4)6分若22-|AF 2|=|BF 2|-22 ∴|AF 2|+|BF 2|=42∴点F 2的轨迹是以A 、B 为焦点，a =22,c =2,b 2=4,中心为（-1，2）的椭圆，其方程为4)2(8)1(22-++y x =1(y ≠0,y ≠4)（草图略） 10分(Ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-++t x y y x 14)2(8)1(22 将②代入①消去y 得到 3x 2+(4t -6)x +2t 2-8t +1=0 Δ=4(2t -3)2-12(2t 2-8t +1)<0 t 2-6t -3>0∴t >3+23或t <3-23又直线过点（-1，0），（-1，4）时，t =1或t =5 ∴t 的范围为（-∞,3-23）∪(3+23,+∞)∪{1,5}14分① ②。
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2003年高考数学仿真试题(八)答案一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C 二、13. 60° 14.x =2 15.－1116.①②⇒③,①③⇒②17.解：（Ⅰ）设1－w =－bi (b ＞0) 1分∴w =1+bi ，∴|i －1－bi |=1即1+(1－b )2=1∴b =1，∴w =1+i 6分（Ⅱ）λ=|z －w |=|cos θ+i sin θ－1－i |=22)1(sin )1(cos -+-θθ )4sin(223πθ+-=≤12223+=+ 10分∴λmax =2+1 18.（Ⅰ）n ≥2 S n 2=(S n －S n －1)(S n －21) 2分 ∴1211+-=-n n n S S S 即2111=--n n S S （n ≥2） 4分 ∴121-=n S n ∴121-=n S n 6分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(112+--=-+=+=n n n n n S b n n 10分 )1211(21)12112171515131311(21+-=+--++-+-+-=n n n T n Λ 21lim =∞→n n T 12分 19.（Ⅰ）证明：易证AD ⊥面BB 1C 1C∴面ADC 1⊥面BB 1C 1C 4分（Ⅱ）arcsin 510 8分 （Ⅲ）552 12分20.解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+=1611 2401002050 210t t t t t P 6分 （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤+=- 1611 36481100 1628150681222t t t t t t t t Q P 10分 t =5时，L max =819，即第五个月销售利润最大. 12分 21.解：（Ⅰ）设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上点，Q （x ,y ）,则⎩⎨⎧-=-=002y y a x x ，∴⎩⎨⎧-=+=y y a x x 002 ∴－y =log a (x +2a －3a )，∴y =log a a x -1 (x ＞a ) 5分 （Ⅱ）⎩⎨⎧>->-003a x a x ∴x ＞3a∵f (x )与g (x )在［a +2,a +3］上有意义.∴3a ＜a +2∴0＜a ＜1 6分∵|f (x )－g (x )|≤1恒成立⇒|log a (x －3a )(x －a )|≤1恒成立. a a a x a a a a x a 1)2(101])2[(log 12222≤--≤⇔⎩⎨⎧<<≤--≤-⇔ 8分 对x ∈［a +2,a +3］上恒成立，令h (x )=(x －2a )2－a 2其对称轴x =2a ,2a ＜2,2＜a +2∴当x ∈［a +2,a +3］h min (x )=h (a +2)，h max =h (a +3) ∴原问题等价⎪⎩⎪⎨⎧≥≤)(1)(max min x h ax h a 10分 12579069144-≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔a a aa a 12分 22.解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，由e =32=a c∴a 2=3b 2故椭圆方程x 2+3y 2=3b 2 1分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由于点C （－1，0）分有向线段AB 的比为2， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x 即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x 3分由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得 (3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0由直线l 与椭圆E 相交于A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)两点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k Δ 5分 而S △OAB |1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221+=+==--=-=x k x k y y y y y ⑥ 由①④得:x 2+1=－1322+k ，代入⑥得：S △OAB =)0(13||32≠+k k k 8分 （Ⅱ）因S △OAB =23323||1||3313||32=≤+=+k k k k ,当且仅当,33±=k S △OAB 取得最大值 10分此时x 1+x 2=－1,又∵3221x x +=－1 ∴x 1=1,x 2=－2将x 1,x 2及k 2=31代入⑤得3b 2=5 ∴椭圆方程x 2+3y 2=5 14分 ① ② ③ ④ ⑤。
2003年全国各地高考数学模拟试题选析数列
收稿日期 :2003 - 09 - 18
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线 C 于 P2 ,再过 P2 作斜率为
数 学 通 讯 2003 年第 23 期
1 的直线交曲线 C 于 4 1 n 2 4 > 3 n + 10. 1) 当 n = 3 时 ,显然成立 ;
k 2) 假设当 n = k ( k ≥ 3 , k ∈N) 时 4 > 3 k + 10 , 则当 n = k + 1 时 ,4 k + 1 = 4. 4 k > 4 ( 3 k + 10 ) = [ 3 ( k n
S n = 120 n + n ( n - 1)
ak + 2 < 2 ,若 ak > 2 ,则依 (1) 推出 ak + 2 > 2 .
因此 ,当 n 是奇数时 , a n < 2 ; 当 n 是偶数时 ,
an > 2 .
③当 a1 > 2 时 ,同理可证 : 当 n 是奇数时 , a n > 2 ; 当 n 是偶数时 , a n <
2. (Ⅲ ) 研究
2003 年第 23 期 数学通讯
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2003 年全国各地高考数学模拟试题选析
数 列
组长 : 徐新斌 执笔 : 陈长伟
( 湖北省孝感高级中学试题研究小组 432100)
中图分类号 : O12 - 44 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 ( 2003) 23 - 0035 - 03
2003 年第 23 期 数学通讯
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因此对于任意自然数 n , a n = 2 . ②当 - 1 < a1 <
2 时 , 由 a2 2 = ( 2 - 1) ( 2 - a1 ) > 0 ,推出 a2 > 2 , a3 < 2 . a1 + 1
2003年高考数学试题及答案(全国理)
绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=（ ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C（ ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得 使用同一颜色，现有4种颜色可 供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）已知.0 c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a sn 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321 ======a a a a a a将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 35 69 10 12— — — —— — — — — （i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b st n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin .323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19． 解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。
2003年全国高考数学试卷
y 的最大值为 9，则实数 m
（ A） -2
（ B） -1
（C） 1
（ D） 2
（8）（ 2010 年辽宁卷改编）设抛物线 y2 =-8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点 ,
PA⊥ l,A 为垂足．如果直线 AF的斜率为 3 , 那么 |PF|=
(A) 4 3 (B)8 (C)
8 3 (D) 16
（6）（ 2009 浙江卷文）设 , 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是
A．若 l ,
，则 l
B
．若 l / / , / / ，则 l
C．若 l , / / ，则 l
D
．若 l / / ,
，则 l
（7）若实数 x, y 满足不等式组
x 3y 3 0, 2x y 3 0, 且 x x my 1 0,
k 次的概率
Pn ( k)
C
k n
P
k
(1
P) n k
(k 0,1,2, , n)
台体的体积公式
1 V h(S1
3
S1 S2 S2 )
其中 S1， S2 分别表示台体的上、下底面积
h 表示台体的高
球的表面积公式
S 4 R2
球的体积公式
V 4 R3 3
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
2
2
xy
2
（12）（原创）设双曲线 a2 b2 1（ a＞ 0,b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1 相切，
则该双曲线的离心率等于
（13）（ 2010 年辽宁卷改编）如图，网格纸的
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试卷类型：A
2003年高考数学仿真试题(八)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合M ={x |－1≤x ＜2},N ={x |x ≤a }.若M ∩N ≠∅,则a 的取值范围是
A.（－∞,2］
B.(－1,+∞)
C.［－1,+∞)
D.［－1,1］
2.若椭圆1162
2
2=+b y x 过点（－2，3），则其焦距为 A.25 B.23 C.45 D.43
3.已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则2
121B B A A =－1是l 1⊥l 2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分，也不必要条件
4.已知函数f 1(x )=sin(2π－x ),f 2(x )=sin x cos x ,f 3(x )=2
π－a rccos x ,f 4(x )=tg x ,从中任取两个相乘得若干个函数，其中偶函数的个数为
A.2
B.3
C.4
D.6
5.在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是
A.0.8
B.0.6
C.0.4
D.0.2
6.若log a (a 2+1)＜log a 2a ＜0,则a 的取值范围是
A.0＜a ＜1
B.0＜a ＜21
C.2
1＜a ＜1 D.a ＞0且a ≠1 7.已知f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 A.319 B. 316 C. 310 D. 3
13 8.把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4
π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为 A.y =2sin2x B.y =－2sin2x C.y =2cos(x +4π) D.y =2cos(4
2π+x ) 9.对函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),作x =h (t )的代换，总不改变函数f (x )的值域的代换是 A.h (t )=10t B.h (t )=t 2 C.h (t )=sin t D.h (t )=log 2t
10.如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1
和ABCD 的中
心，G 是CC 1的中点，设GF 、C 1E 与AB 所成的角分别为α、β,则α
+β等于 A.120° B.90°
C.75°
D.60°
11.若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一个分拆，并规
定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A ={a 1,a 2,a 3} 的不同分拆种数是
A.27
B.26
C.9
D.8
12.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)＜f (1+2x －x 2)，则x 的取值范围是
A.x ＞2
B.x ＜－2或0＜x ＜2
C.－2＜x ＜0
D.无法确定
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______.
14.已知函数y =f (x )的反函数f －1(x )=log sin 8π
(x －cos 2
8π),则方程f (x )=1的解是_______. 15.对于实数x ,y ,定义新运算x ﹡y =ax +by +1,其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3﹡5=15，4﹡7=28，则|﹡|=_____.
16.设α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实①l ⊥α,②l ∥β,③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是________.（要求写出所有真命题）
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
复数w 满足|i －w |=1,arg(1－w )=2
3π （Ⅰ）求w 的值.
（Ⅱ）设z =cos θ+i sin θ,求λ=|z －w |的最大值.
18.（本小题满分12分）
数列{a n }中，a 1=1,n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2=a n (S n －
21) （Ⅰ）求S n 的表达式.
（Ⅱ）设b n =1
2+n S n ,数列{b n }的前n 项和为T n ，求n n T ∞→lim . 19.（本小题满分12分）
如图正三棱柱，棱都相等，D 是BC 上一点，AD ⊥C 1D .
（Ⅰ）求证：截面ADC 1⊥侧面BCC 1B 1.
（Ⅱ）求二面角C —AC 1—D 的大小.
（Ⅲ）若AB =2，求A 1B 与截面ADC 1的距离.
20.（本小题满分12分）
在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（七天）涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周销价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
（Ⅰ）试建立价格p 与周次t 的函数关系.
（Ⅱ）若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系Q =－0.125（t －8）2+12,t ∈［0,16］,
t ∈N .试问该服装第几周每件销售利润L 最大？
21.（本小题满分12分）
函数f (x )=log a (x －3a )(a ＞0,且a ≠1),当点P （x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，Q （x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.
（Ⅰ）写出函数y =g (x )的解析式.
（Ⅱ）当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.
22.（本小题满分14分）
椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3
2 e ,过点C （－1，0）的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2.
（Ⅰ）用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积;
（Ⅱ）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.。