2003年江苏高考数学试题与答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如果函数y ax2bx a的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）b b b bOa O a OaOaA．B．C．D．2．抛物线y ax2的准线方程是y 2，则a的值为（）1 1C．8 D．－8 A．B．－8 83．已知x (,0),cosx 4 ,则tg2x（）2 57 7 24D．－24A．B．－C．724 24 72x1,x0,4．设函数f(x) 1若f(x0) 1,则x0的取值范围是（）x2,x0A．（－1，1）B．(1,)C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足AB AC 的轨迹一定通过ABC的OPOA( ), 0,则,PAB ACA．外心B．内心C．重心D．垂心6．函数yln x1,x(1, )的反函数为（）x 1A．y e x1,x (0, ) B．e x 1C．y e x1,x ( ,0) D．e x 1 y e x1,x (0, )e x 1y e x1,x ( ,0)e x 17．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）a3a3a3a3 A．B．C．D．3 4 6 128．设a 0,f(x) ax2bx c，曲线y f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为（）4A．0,1B．0,1C．0,b D．0,b1a 2a 2a 2a9．已知方程(x22x m)(x22x n) 0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，4则|mn| （）A．1 B．3C．1D．34 2 810．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（）3A．x 2y2B．x2y2C．x2y2x2y21 1 1 1D．3 4 4 3 5 2 2 511．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的取值范围是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3 B．4 C．33 D．62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．(x21)9的展开式中x9系数是2x14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不56 1 432同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB AC,BD CD,则BC AD②若AB CD,AC BD,则BC AD③若AB AC,BD CD,则BC AD④若AB CD,AC BD,则BC AD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）18．（本小题满分12分）已知函数f(x)sin( x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值4 219．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90 ，侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（Ⅰ）求A1B与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED 的距离C1A1 B1DEGCA B 20．（本小题满分12分）已知常数a 0,向量c (0,a),i(1,0) 经过原点O以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R 试问：是否存在两个定点E、F，使得PE PF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数（Ⅰ）设y(x a)n，证明y' n(xa)n1；（Ⅱ）设f n(x)x n(x a)n，对任意na，证明f n1'(n1)(n1)f n'(n) 22．（本小题满分14分）设a0，如图，已知直线l:y ax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为作直线平行于x轴，交直线l于点P n1，再从点P n1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n1.Q n(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n（Ⅰ）试求an1与a n的关系，并求a n的通项公式；（Ⅱ）当a1n1(ak1,a1时，证明ak1)ak22 k 132c n1y l（Ⅲ）当a 1时，证明(a k a k1)a k23k 1r2Q3r1Q2Q1Oa1a2a3 x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分16分.13．2114．6,30,10 15．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A) 0.90,P(B) P(C)0.95，P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95P(A)P(B)0.176P(C)答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.90 0.0522 0.10 0.05 0.95 0.10 0.0520.012解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.90 0.9520.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为1 [P(ABC)0.176] 1 (0.812 0.176) 0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（ 18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

解：由f(x)是偶函数,得f( x)f(x),即sin( x )si n( x ), 所以 cos sinx cos sin x 对任意都成立 , 且 0, 所以得 cos0.x依题设0 ,所以解得 .2由 的图象关于点 M 对称 得 3 x) 3 x), f(x) , f( f(4 4 取x 0,得f(3)sin(34 ) cos 3, 4 2 4f(3) sin(3 ) cos 34, 4 4 2cos 3 0,又 0,得34 2 k,k1,2,3, , 4 2(2k 1),k 0,1,2,.3当 k 时 , 2sin( 2 x 在 [0, ] 上是减函数 ; 0 ,f(x ) 3 ) 3 2 2当 k 时 , 2,f(x)sin(2x ) 在 ] 上是减函数 ; 1 [0,2 2当 k 时, 10 ,f(x) sin( x ) 在 [0, ] 上不是单调函数 ; 0 32 2 所以,综合得2或 2. 319．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成 的角.设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，D,E分别是CC,AB 的中点,又DC平面ABC, CDEF为矩形1 1连结DE,G 是ADB 的重心,G DF.在直角三角形EFD 中 EF 2FG FD 1FD 2, EF 1,FD3.3于是ED 1 2 62,EG 3 .3 FCCD 2,AB22,A1B23,EB 3.sin EBG EG 6 12.EB 3 3 3AB与平面ABD所成的角是arcsin2.13（Ⅱ）连结A1D，有VA1AED V DAA1E ED AB,ED EF,又EF AB F,ED 平面A 1AB ,设A 1到平面AED 的距离为h ，则S AED h SAAB ED11SA 1AB 1 1ED6 又SA 1AEA1AAB 2,SAEDAE . 2 422h 2 226即A 到平面AED 的距离为 26 . 6 . 1 3 32解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A1B 与平ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O ，设CA=2a ，则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)A 1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a ,2a ,1).3 3 3CE a a 2(0, 2a,1). 2 a 2 2 解得 (, , ),BD GEBD3 0.a1. 3 3 33 BA 1 (2, 2,2),BG (2, 4,1).3 3 3cos A 1BG BA 1 BG 14/3 71 .|BA 1||BG| 2 21 3 33A 1B 与平面ABD 所成角是arccos 7.3（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AE ED (1,1,1)(1,1,0) 0, AA 1 ED (0,0,2)(1,1,0) 0, ED 平面AA1E,又ED平面AED.（Ⅰ）当a 2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；2（Ⅱ）当0a 2时，方程①表示椭圆，焦点E(11 a 2,a)和F( 1 1 a 2,a )2 2 22 2 2 2（Ⅲ）当a2时,方程①也表示椭圆，焦点E(0, 1 (a a2 1))和F(0, 1(a a2 1 ))为合乎题意的2 2 2 2 2两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分 .n( a)nk x k ， 证明：（Ⅰ）因为(x a)n C n kk 0nn nC n k11(a)nk x k1n(xa)n1.所以y kC n k(a)nk x k1k0 k 0（Ⅱ）对函数f n (x) x n(x a)n 求导数: f n (x)nx n1n(xa)n1,所以f n (n) n[n n1 (n a)n1].当 x 时,fn(x)0.a0当 时,f n (x) x n (xa)n是关于 x 的增函数 . xa 因此,当n a 时,(n 1)n(n 1a)nn n(na)n∴f n1(n 1)(n 1)[(n1)n(n 1a)n ](n 1)(n n (na)n)(n1)(n nn(na)n1)(n1)f n (n).即对任意n a,f n1 (n1)(n 1) f n (n).22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.（Ⅰ）解：∵Q n (a n1,a n 2),P n1 (1a n 2,a n 2),Q n1 (1 a n 2,12a n 4).a a a ∴a n11a n 2, ∴a n 1 a n 211(1a n 22)2 (1)12an 222 aaa aa(1)12(1a n 23)22(1)1222a n 232aaa(1)122n2a12n1(1)2n11a12n1a(a1)2n1aaa（Ⅱ）证明：由a=1知a n1a n 2, ∵a 11,∴a 2 1,a 324 ， ∴a na(a1)2n1.a1 .16∵当时a31 .k1,a k216n (ak 1n(akak1)∴ak1)ak2k 116k 1（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，a n n n因此(a k a k1)a k22k1 2k (a1a1k1 k11 1(a1an1) .16 32a12n1,)a12k12n 1(a1i a1i1)a12i2i 12n1 3a15 1 2 3i 2 a1=(1a1)a1i1a1 (1a1)a11a131a1a12 3 .2013 江苏高考数学试卷及答案（江苏卷）。