2020年江苏高考数学试卷及答案
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏高考数学试题及答案
的一条渐近线方程为222105()x y a a -=>的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与π6b n }是公比为q 的等比数列．已知数列q 的值是▲ ． 的最小值是▲ ．22x y +中，已知，A ，B 是圆C ：3(0)2P ，221()2x y +-=面积的最大值是▲ ．的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒，使得，求的值．4cos 5ADC ∠=-tan DAC ∠某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点；右侧曲线BO 上任一点F 到2140a =，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP与的面积分别为S1，S2，若OAB△MAB△S所以平面.AB ⊥1AB C 又因为平面,所以平面平面.AB ⊂1ABB 1AB C ⊥1ABB 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）在中，因为，ABC △3,2,45a c B ===︒由余弦定理，得， 2222cos b a c ac B =+-292232cos 455b =+-⨯⨯︒=所以.5b =在中，由正弦定理， ABC △sin sin b cB C=得， 52=sin 45sin C︒所以 5sin .5C =（2）在中，因为,所以为钝角，ADC △4cos 5ADC ∠=-ADC ∠而,所以为锐角. 180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒C ∠故则. 225cos 1sin ,5C C =-=sin 1tan cos 2C C C ==因为，所以，.4cos 5ADC ∠=-23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠从而. 31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）设都与垂直，是相应垂足. 1111,,,AA BB CD EF MN 1111,,,A B D F 由条件知，当时， 40O'B =则. 31140640160,800BB =-⨯+⨯=1160AA =由得 21160,40O'A =80.O'A =所以（米）.8040120AB O'A O'B =+=+=4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令则． 3242=()(328),t t t t ∆----642=538t t t ∆-++记64253()1),28(t t t t t ϕ-++=≤≤则恒成立，53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=所以在上是减函数，则，即． ()t ϕ[1, 2](2)()(1)t ϕϕϕ≤≤2()7t ϕ≤≤所以不等式有解，设解为， ()*12x x x ≤≤因此． 217n m x x ∆-≤-=≤②当时，01t <<．432()()11 34241f h t t t t ---=+---设， 432 = 342(41)t t t t v t +---322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令，得． ()0v t '=33t =当时，，是减函数；33(0)t ∈，()0v t '<()v t 当时，，是增函数． (1)33t ∈，()0v t '>()v t ，，则当时，．(0)1v =-(1)0v =01t <<()0v t <（或证：．） 2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<则，因此．(1)(1)0f h ---<1()m n -∉，因为，所以． 22m n ⊆［］［-，，］217n m -≤+<③当时，因为，均为偶函数，因此也成立． 20t -≤<()f x ()g x 7n m -≤综上所述，．7n m -≤20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即， {}n a 11n n n S S a λ++-=11n n a a λ++=也即，此式对一切正整数n 均成立．1(1)0n a λ+-=若，则恒成立，故，而，1λ≠10n a +=320a a -=211a a -=-这与是等差数列矛盾．{}n a 所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）1λ=（2）因为数列是“”数列， *{}()n a n ∈N 3~23所以，即． 1133n n n S S a ++-=1133n n n n S S S S ++-=-因为，所以，则． 0n a >10n n S S +>>113113n n n n S S S S ++-=-令，则，即． 1n n n S b S +=23113n n b b -=-221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->解得，即，也即， 2n b =12n n S S +=14n n S S +=所以数列是公比为4的等比数列．{}n S 因为，所以．则 111S a ==14n n S -=21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列为“”数列，*{}()n a n ∈N ~3λ则，即．11133311n n n S S a λ++-=33311n n n n S S S S λ++-=-因为，而，所以，则． 0n a ≥11a =10n n S S +≥>31311=1n n n n S S S S λ++--令，则，即．（*） 31=n nn S S c +3311( 1)n n n c c c λ-=-≥333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．0λ≤=1λ=1n c {}n a （此数列为1，0，0，0，…）②若，则（*）化为， 1λ>3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-因为，所以，则（*）只有一解为， 1n c ≥3232101n n c c λλ+++>-=1n c 即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）{}n a③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 01λ<<3232101nn c c λλ+++=-则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以或．1n n S S +=31n n S t S +=由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的{}n S {}n S 有无数多个．{}n a 综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．{}n a ~3λλ01λ<<数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点． (2,1)A -11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M (3,4)B -（1）求实数，的值；a b （2）求矩阵的逆矩阵．M 1-M B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，1π(,)3A ρ:cos 2l ρθ=2π(,)6B ρ:4sinC ρθ=0ρ≥）．02θ≤<π（1）求，的值；1ρ2ρ（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．l C C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，解不等式．x ∈R 2|1|||4x x ++<【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．5，设二面角F—DE—C的大小为个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为（2）由得，所以． cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩4sin cos 2θθ=sin 21θ=因为，，所以，． 0ρ≥0 2θ≤<π4θπ==22ρ所以公共点的极坐标为． (22,)4πC ．[选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x >0时，原不等式可化为，解得； 224x x ++<203x <<当时，原不等式可化为，解得；10x -≤≤224x x +-<10x -≤≤当时，原不等式可化为，解得．1x <-224x x ---< 2 1x -<<-综上，原不等式的解集为． 2|2}3{x x -<<22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ．又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．以为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． {}OB OC OA ，，因为BD =2，，AO =2，5CB CD ==所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）．因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．则=（1，0，–2），=（1，1，1），AB DE 所以． |||102|15||15||||53cos AB DE AB DE AB DE +-=⋅⋅==<>⨯ ，因此，直线AB 与DE 所成角的余弦值为． 1515（2）因为点F 在BC 上，，=（–1，2，0）． 14BF BC =BC 所以． 111(,,0)442BF BC ==- 又， 20,0DB = （,）故． 71(,,0)42DF DB BF =+=． 11216=9327q -+=（2）当时，2n ≥，① 1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+ 111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--，② 112=93n q --+，得． 2⨯+①②()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++从而，又， 1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=111312p q -+=所以，．③ 11112()1()3331n n n n p q -+++==*n ∈N 由②，有，又， 1313()595n n q q --=--135115q -=所以，． 1113()1595n n q -=-+*n ∈N 由③，有，． 13111()210111()()33925n n n n n p q =+=-+-+［］*n ∈N 故，． 311111()()109235n n n n p q --=--+*n ∈N 的概率分布n X n X 01 2P 1n n p q -- n q n p 则． *1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N。
2020年江苏卷数学高考试题(精编解析版)
0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm3 ．
（第 9 题）
【答案】12 3 2
【解】V 6 1 2 2 3 2 ( 1 )2 2 12 3 .
2
2
2
2
10．将 函 数 y 3sin(2x ) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 . 则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的
【答案】4
【解】 n 1 时， a1 b1 1 ， n 2 时， an bn 2n 2 2n1 ， a1 b1 适用上式，所以
an bn 2n 2 2n1 dn a1 d b1qn1 ，对 n N 恒成立，所以 d 2, q 2 ，所以 d q 4 .
12．在已知 5x2 y 2 y 4 1(x, y R) ，则 x2 y 2 的最小值是 ▲ ．
输出y
【答案】 2 4． 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
结束 （第 5 题）
则点数和为 5 的概率是 ▲ ．
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【答案】 1 9
5． 右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ▲ ．
2 y (d 1)2 (36 d 2 ) ，0 d 6 ， y 2(d 1)(2d 9)(d 4) 0 ， d 4 ，所以 S 在 d 4 时取得最
【答案】 -3
6．
在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 5
1(a 0)
的一条渐近线方程为
y
5x， 2
则双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】 2 3
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020年江苏高考数学试题及答案
2020年江苏高考数学试题及答案数学Ⅰ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =▲ ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲ ． 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲ ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为5y ，则该双曲线的离心率是▲ ．7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲ ． 8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲ ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲ cm.10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是▲ ． 12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是▲ ．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC=+-（m 为常数），则CD 的长度是▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[] , 2,2D m n =⊆-⎡⎣，求证：7n m -20．（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是“3~23”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1．{0,2} 2．3 3．24．195．3-6．327．4- 8．139．1232π- 10．524x π=-11．412．4513．185或014．105二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B CAC C =所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ==︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b 在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时， 31140640160,800BB =-⨯+⨯=则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A = 所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+ 3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-.设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '，得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值.答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低.18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤． 因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤ （3）①当12t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆----则642=538t t t ∆-++． 记64253()1),28(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,2]上是减函数，则(2)()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤．所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -≤综上所述，n m -≤20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）（2）因为数列*{}()n a n ∈N ”数列，-=因为0n a >，所以10n n S S +>>1=．n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->． 解得2n b =2=，也即14n n S S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩ （3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-== 因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>1=n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（*）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-， 因为1n c ≥，所以3232101n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nn c c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）．所以1n n S S +=或31n n S t S +=．由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定．．．其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）．（1）求1ρ，2ρ的值；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =5,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 23．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为123=114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以213,24,a b -=⎧⎨--=-⎩解得2a b ==，所以2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ． （2）因为2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ M ，det 221150=⨯-⨯-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而121551255-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ - M ． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上， 因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin21θ=． 因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ所以公共点的极坐标为)4π． C ．[选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤；当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ．又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ．以{}OB OC OA ，，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ． 因为BD =2，CB CD ==，AO =2，所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）．因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）．则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），所以|||1||||||5cos AB DE AB DE AB DE +=⋅⋅==<>，． 因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，14BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111(,,0)442BF BC ==-． 又20,0DB =（,）， 故71(,,0)42DF DB BF =+=． 设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量，则1100,DE DF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即111110710,42x y z x y +⎧+=⎪+=⎪⎨⎩， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0），则2200,DE DC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=⎧⎨⎩，取22x =，得2–1y =，2–1z =， 所以2(211)n =--，，．故2112|||475|13|||||co |13786s θ+-⋅===⋅⨯n n n n ． 所以22391cos s n 13i θθ=-=． 23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，113211133C C 2C C 3q =⋅=， 11113121211111111113333C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=， 1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅-- 11216=9327q -+=． （2）当2n ≥时，1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，① 111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅-- 112=93n q --+，② 2⨯+①②，得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++．从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111312p q -+=， 所以11112()1()3331n n n n p q -+++==，*n ∈N ．③ 由②，有1313()595n n q q --=--，又135115q -=， 所以1113()1595n n q -=-+，*n ∈N ． 由③，有13111()210111()()33925n n n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故311111()()109235n n n n p q --=--+，*n ∈N ． n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．。
2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)
所以 u(x)min u(1) 0 .则 x 1 ln x 恒成立， 所以当且仅当 k 0 时， f (x) g(x) 恒成立． 另一方面， f (x) h(x) 恒成立，即 x2 x 1 kx k 恒成立， 也即 x2 (1 k)x 1 +k 0 恒成立． 因为 k 0 ，对称轴为 x 1 k 0 ，
（2）在
△ADC
中，因为
cos ADC 4 5
，所以
ADC
为钝角，而
ADC C CAD 180 ， 所 以 C 为 锐 角 . 故 cos C 1 sin 2 C 2 5 , 则 5
tan C sin C 1 . 因 为 cos ADC 4 ， 所 以 sin ADC 1 cos2 ADC 3 ，
（2）因为 B1C 平面 ABC ， AB 平面 ABC ，所以 B1C AB 。又 AB AC ，B1C 平
面 AB1C1 ， AC 平面 AB1C ， B1C AC C ，所以 AB 平面 AB1C 。又因为 AB 平
面 ABB1 ，所以平面 AB1C 平面 ABB1 。
16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等 基础知识，考查运算求解能力。满分 14 分。
Sn1 1 3
Sn
3
Sn1 1 ． Sn
令
Sn1 Sn
bn ，则 bn
1
3 3
bn2
1 ，即 (bn
1)2
1 3
(bn2
1)(bn
1) ．
解得 bn 2 ，即
Sn1 Sn
2
，也即
Sn1 Sn
4，
所以数列{Sn} 是公比为4的等比数列．
因为
S1
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)(1)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B I ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷，含答案）参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.1.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ▲ 。
【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。
-202.已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ▲。
【解析】 考查数量积的运算。
32332a b ⋅=⋅⋅=r r 3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ▲ .【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ▲ .【解析】 考查三角函数的周期知识。
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。