定积分的性质
定积分性质
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a c
c
b
• 证 因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b] 的任意分划，积分和的极限总是不变的。 考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个 分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上 的积分和加[c，b]上的积分和，记为
a
b
证 因 m ≤ f ( x) ≤ M
所以
即
∫
b
a
mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ Mdx
a a
b a
b
b
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)
性质7 （定积分中值定理） 如果函数f ( x)在闭区 间[ a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一点
ξ，使
所以 − ∫ f ( x) dx ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx
a a a b b b
即
∫
b
a
f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx
a
b
性质6 设M及m分别是f ( x)在[a, b]上的最大值
•
及最小值, 则
m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)
a c
c
b
∫
c
a
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a b
b
c
∫
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx
9.4定积分的性质
b
b a
f ( x ) d x g( x ) d x
a
b
其中 , 为常数．
2017年3月9日1时10分
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4
性质3
若 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，则 f g 在
●
[ a , b ] 上可积．
证
因 f , g 都在 [ a , b ] 上可积，故在 [ a , b ] 上
T i i
8
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令 T T T , 它是 [a , b] 的一个分割,
x x x 2 2 .
i i T T i i T i i
因此, f 在 [a, b] 上可积. [必要性] 已知 f 在 [ a , b ] 上可积，所以对任给的
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c
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11
c
b
2017年3月9日1时10分
公式
b a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
a c
c
b
称为对积分区间的可加性． 当 f ( x ) 0 时，上式的
f ( x ) dx f ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
因此证得
b
a
f ( x )d x
b
a
f ( x) d x.
2017年3月9日1时10分
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定积分性质
丸了
虹 巨 1 dx-
'
气 2 x 2
经济数学
微积分
o
性质7 (定积分中值定理)
如果函数f ( x )在闭区间［a, b ］上连续，
则在积分区间［a, b ］上至少存在一个点J
积分中值公式
经济数学--微积分
证
一 m(b
a) <[f (x)dx <M(b
1
解 ,(x) — = b， Vx € [0,丸],
3 +sin x 0 <sin3 x <1,
111 4*3 +sin3 x< 3’
fo4兀dX1<Jo3
冗
+sin3
x
1
宀 7
dx <三
f兀1
J。3dx,
经济数学--微积分
o
经济数学
丸 心 sin x ,
解 在 例3估计积分卩 4 f (x) =sinx, ——dx的值.
f (x )在区间［但0］上的最大值及最
小值， 贝lj m(b -a)<\ f (x)dx < M(b
一 a).
Ja
证,/ m < f (x) < M,
经济数学--微积分
fb
b
b
mdx < I f (x)dx < I Mdx,
•r a
a
a
一 fb
围
f ( x )dx <M (b
a
例2估计积分「一 dx的值. 信 J。3 + sin3 x
(x)dx < f g(x)dx. (a < b)
定积分的基本性质
������
������(������)在闭区间[������, ������]上的平均值为
������ ������ ������
������
������ ������ ������
������ ������
������
−
������
න
������
������(������)������������
微积分II
Calculus II
第七章 定积分
§7.1 定积分的概念 §7.2 定积分的基本性质 §7.3 定积分计算基本公式 §7.4 定积分基本积分方法 §7.5 反常积分 §7.6 定积分的应用
7.2 定积分的基本性质
一 知识讲解
性质1：定积分的值与积分变量用什么符号表示无关
b
b
b
a f ( x)dx = a f (t)dt = a f (u)du
t sin
3
f
(t)dt .
x→+ x
t
解 由积分中值定理知 [ x, x + 2]
使
x+2 t sin 3
x
t
f (t)dt
b
b
a 1dx = a dx = b − a
������ ������
性质7：如果在区间 [a, b]上, f ( x) g( x) ，则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
������ ������
二 例题演练
例一
比较大小:
(1). 2 x2dx, 1 2
(2).1 ln xdx,
s1
������ ������
三角函数的积分计算与定积分性质
三角函数的积分计算与定积分性质在数学中，三角函数是一类与三角学相关的函数。
而与三角函数相关的积分计算和定积分性质是数学中的重要概念和工具。
本文将介绍三角函数的积分计算和定积分性质。
一、三角函数的积分计算1. 正弦函数的积分计算：正弦函数在区间[0, π]上的积分为2，即∫sin(x)dx = -cos(x)在[0, π]上的积分结果为2。
2. 余弦函数的积分计算：余弦函数在区间[0, π]上的积分为0，即∫cos(x)dx = sin(x)在[0, π]上的积分结果为0。
3. 正切函数的积分计算：正切函数的积分计算可以使用换元法进行简化。
例如，∫tan(x)dx可以通过令u = tan(x)来化简，结果为ln|sec(x)|+C。
4. 余切函数的积分计算：与正切函数类似，余切函数的积分计算也可以通过换元法进行简化。
例如，∫cot(x)dx可以通过令u = cot(x)来化简，结果为ln|sin(x)|+C。
二、三角函数的定积分性质1. 正弦函数的定积分性质：正弦函数的定积分在一个周期内的积分结果为0，即∫sin(x)dx在一个周期内的积分结果为0。
2. 余弦函数的定积分性质：余弦函数的定积分在一个周期内的积分结果为0，即∫cos(x)dx在一个周期内的积分结果为0。
3. 正弦函数与余弦函数的定积分性质：正弦函数与余弦函数的积分结果满足勾股定理，即∫sin^2(x)dx +∫cos^2(x)dx = ∫1dx，化简后可得∫sin^2(x)dx + ∫cos^2(x)dx = x + C。
4. 正切函数的定积分性质：正切函数的定积分不具有简单的公式表示，但可以通过变量代换进行化简。
例如，∫tan(x)dx可以通过令u = cos(x)来化简，结果为-ln|cos(x)|+C。
5. 余切函数的定积分性质：余切函数的定积分也不具有简单的公式表示，但可以通过变量代换进行化简。
例如，∫cot(x)dx可以通过令u = sin(x)来化简，结果为ln|sin(x)|+C。
(整理版)揭示定积分的性质
揭示定积分的性质定积分内容是研究曲边梯形、变速行程等问题的有力工具，在对定义加深理解的根底上，我们还应了解一些定积分的根本性质.〔由于这些性质的证明联系到大学《数学分析》的一些内容，所以对证明过程不作要求.〕一、定积分根本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，那么有性质１ 函数代数和〔差〕的定积分等于它们的定积分的代数和〔差〕. 即[()()]()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰． 这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前.即()()b ba a kf x dx k f x dx =⎰⎰〔k 为常数〕． 性质3 不管abc ，，三点的相互位置如何，恒有()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰． 这性质说明定积分对于积分区间具有可能性．性质4 假设在区间[]a b ，上，()0f x ≥，那么()0ba f x dx ⎰≥． 推论1 假设在区间[]ab ，上，()()f x g x ≤，那么()()b ba a f x dx g x dx ⎰⎰≤． 推论2 ()()bba a f x dx f x dx ⎰⎰≤． 性质5 〔估值定理〕设函数()f x 在区间[]ab ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，那么()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 证明：因为()m f x M ≤≤，由性质推论1得()b b ba a a mdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤． 即()b b ba a a m dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤． 故()()()ba mb a f x dx M b a --⎰≤≤． 利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.二、定积分性质的应用例1 比拟定积分20x e dx -⎰和20xdx -⎰的大小． 解：令()x f x e x =-，[20]x ∈-，，那么()0f x >， 故02()0f x dx ->⎰，即02()0x e x dx -->⎰．022x e dx xdx -->⎰⎰，从是2200x e dx xdx --<⎰⎰． 例2 估计定积分π30212sin dx x +⎰的值．解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，320sin 1∴≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x +≤≤， 于是由估值定理有π302π1π322sin dx x +⎰≤≤． 评注：例１是比拟同区间上两个定积分的大小，可以直接求值进行比拟，但本例的构造函数，利用性质比拟防止了大量计算，显得简捷、明了.例２中运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解.。
定积分的性质中值定理
VS
详细描述
设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指，对于任意两个子区间[a, c]和[c, b]，其上的积分值等于整个区间[a, b]上的积分值。
详细描述
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则对于任意c∈[a,b]，有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx。
重要性及应用领域
在微积分学中，定积分的性质中值定理是理解积分概念和性质的关键，它为解决定积分问题提供了一 种有效的方法。
在应用领域，定积分的性质中值定理广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如在计算面积、 解决物理问题、预测经济趋势等方面都有重要的应用。
02 定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指，对于两个函数 的积分和或差，其积分值等于各自积分 值的和或差。
可以用来研究函数的单调性、极值等问题， 并且在解决一些复杂的数学问题时也很有用。
04 定积分与中值定理的关系
定积分与连续函数的关系
01
定积分是研究连续函数的一种工具，它能够计算连 续函数在一定区间上的积分值。
02
连续函数在一定区间上的定积分等于该函数在区间 端点上取值的差与该区间长度乘积的一半。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它说 明了一个函数在开区间上可导时，其导函数在区间内 至少存在一个中值点。
详细描述
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日提出的，定 理表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在 开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一 点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理说明了函数 在某区间的变化率与该区间两端函数值之差成正比，这 在研究函数的单调性、极值等问题时非常有用。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
定积分的性质
证 因 m f (x) M,
所以
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
例1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解
ex x, x [2,0]
于是
0
3 sin3 x dx
0
dx 3
故
4
0
3
1 s in3
dx x
3
性质5.7 (定积分中值定理)
如果函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点 ,
使得
b
f ( x)dx f ( )(b a).
a
积分中值公式
b
证 m(b a) a f ( x)dx M (b a),
O
a
•
面积 等于同一底边而高为 f ( )
b x 的一个矩形的面积.
b
1
aபைடு நூலகம்
b
a
f
( x)dx
称为函数
f
(x)在[a,
b]上的平均值.
思考题 lim n x sin 1 dx _______.
n n
x
思考题
求证
lim 4
n 0
sinnx sinn
x dx
0.
证
0 e xdx
0
xdx
2
2
2 e xdx
2
xdx.
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
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1
§4 定积分的性质
一 定积分的其本性质
1. 线性性质:
性质1 若函数)(xf在],[ba上可积，k为常数，则)(xkf在],[ba上也可积，且
babadxxfkdxxkf)()(
。
即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同）
kbaRf ],,[— Const , ],,[baRkf
且babafkkf
性质2 若函数)(xf、)(xg都在],[ba上可积，则)()(xgxf在],[ba上也可积，且有
bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([
。
],[,baRgf, ],[baRgf
, 且 bababagfgf)( .
2. 乘积可积性:
性质3 若函数)(xf、)(xg都在],[ba上可积，则)()(xgxf在],[ba上也可积。
],[,baRgf, ],[baRgf
证明 f和g有界. 设 )(sup , |)(|sup],[],[xgBxfAbaba, 且可设0 , 0BA.
( 否则f或g恒为零 ). 插项估计 iixgf)(, 有
|)()()()(|sup)(,xgxfxgxfgf
i
xxx
i
i
xxx,
sup
)( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [gAfBxgxgxfxfxfxgii
注意：一般地 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(。
3. 关于区间可加性:
性质4（关于积分区间的可加性） 函数)(xf在],[ba上可积),(bac，)(xf在],[ca与],[bc上
都可积，此时有bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(。
规定1 当ba时，aadxxf0)(。
规定2 当ba时，baabdxxfdxxf)()(。
注：有了这个规定后，性质4对cba,,的任何大小顺序都成立：
2
设函数f在区间 ] , [BA上可积 . 则对 ba, ] , [BA, 有bccaba.
4. 积分关于函数的单调性:
性质5 设函数)(xf在],[ba上可积，且0)(xf，],[bax，则badxxf0)(。
例 设函数)(xf在],[ba上连续，0)(xf，],[bax，且在)(xf不恒等于0，则badxxf0)(。
例1 证明：函数)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，badxxf0)(，则0)(xf。
推论（积分不等式性质）若函数)(xf和)(xg均在],[ba上可积，且)()(xgxf，],[bax，则
babadxxgdxxf)()(
。
积分的基本估计: 设m和M分别为函数f在区间] , [ba上的下确界与上确界，则有
)(abmbaf)(abM
.
5. 绝对可积性:
性质6 若函数)(xf在],[ba上可积，则)(xf也在],[ba上可积，且dxxfdxxfbaba)()(。
证 以)()(|)(||)(|xfxfxfxf 证明iixf|)(|iixf)(;
以 |)(| )( |)(|xfxfxf证明不等式.
注意：此命题的逆一般不成立，如函数为无理数为有理数x，xxf,11)(。
例2 设10,01,12)(xexxxfx，求11)(dxxf。
【解题要领】 对于分段函数的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。
补例 比较积分 10dxex与102dxex的大小.
补例 设 ],,[baCf 0)(xf但0)(xf. 证明baf>0.
补例 证明不等式 2022sin2112xdx.
3
证明分析 所证不等式为2020220.2sin211dxxdxdx 只要证明在]2,0[
上成立不等式 12sin211212x, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得
所证不等式.
二 积分中值定理
定理9-7 （积分第一中值定理）若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一点],[ba，使得
baabfdxxf))(()(
。
积分第一中值定理的几何意义： 如右图，若)(xf在],[ba上非负连续，则)(xfy在],[ba上的曲边
梯形的面积等于以badxxfabf)(1)(为高，],[ba为底的矩形的面积。
一般地，称badxxfab)(1为)(xf在],[ba上的平均值。
例3 试求xxfsin)(在],0[上的平均值。
定理9-8 （推广的积分第一中值定理） 若)(xf和)(xg都在],[ba上连续，且)(xg在],[ba上不变号，
则至少存在一点],[ba，使得babadxxgfdxxgxf)()()()(
说明：当1)(xg时，即为积分第一中值定理。
注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点必能),(ba。
关于积分中值定理中值点的渐近性质有与微分中值定理类似的结果, 其中最基本的可参阅:
Bernard Jacobson , On the ｍean value theorem for integrals.
The American Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 .
在该文中得到如下结果:
Th If f is differentiable at a ， 0)(af ， and c is taken in
the Theorem for integral ，then 21limaxacax.
作业
P
219： 2、3（2）、（4）、6
4