2003年高考数学

2003年高考数学最后一讲

江苏省启东中学

中国数学奥林匹克高级教练

曹瑞彬

第一部分 考点分析与预测

（一） 集合、映射、简易逻辑

考点分析

1、 集合、集合的运算

2、 映射的概念

3、 逻辑连接词、充要条件、四种命题

命题趋势：

集合与简易逻辑以选择题或填空体形式出现，属低挡题。

例1、 若A 、B 为实数，集合A =｛a ，a

b ，1｝，B =｛a 2，a+b ，0｝，若A=B ，则a 2002+b 2003=（ ）

A 、1

B 、－2

C 、－1

D 、±1

解：因为a ≠0，0≠1，所以a

b =0，所以b =0， a 2=1，所以a =±1，又由集合元素互异性得：a =－1，答案选C 。

例2、A=｛1，2，3，4，5，｝，B=｛6，7，8，｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）

A、27

B、9

C、21

D、12

解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C1

3

个

（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元

素对应），f有C1

4·C2

3

=12个

（3）有二个不等号的映射，f有C2

4·C2

3

=6个。

所以共有3+12+6=21个，答案选C。

例3、已知命题甲x≠2或y≠3；命题乙x+y≠5，则甲是乙的（）

A、充分非必要条件

B、必要非充分条件

C、充要条件

D、既不充分也非必要条件

解：由x=1，y=4 x+y=5故甲不是乙的充分条件。其次我们考虑其甲、乙的否命题分别是x=2，y=3、

x+y=5故甲是乙的必要条件，答案选B。

（二）函数

考点分析

1、有关函数的图象及其性质

2、函数的最值问题

3、有关函数的证明题

4、有关函数的应用性问题

5、有关函数的的综合题

命题趋势

1、对于函数概念与函数性质、图象的直接考查将在

选择与填空中出现。

2、函数与其他方面知识交汇点。如不等式、数列、

解析几何有关综合问题。这类题以大题形式出现，

属高档题。

3、函数应用题仍将是命题的热点，主要考函数的性

质，建立函数模型及解读信息的能力。

4、常见的几种初等函数，尤其是二次函数，抽象函

数，分段函数，对数函数与其他综合。

例4、 二次函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2－x ），又f （2）=1，f （0）=3，若在[0，m ]有最小值1，最大值3则m 的取值范围是（ ）

A 、0＜m ≤2

B 、m ≥2

C 、m ＞0

D 、2≤m ≤4

解：f （2+x ）=f （2－x ），可得其对称

轴

是x =2，及f （2）=1，f （0）=3，可作出如图的草图，有图可知m 的取值范围是2≤m ≤4，答案是D 。

例5、设函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 的图

象如图所示，则f （－1）+f （1）（ ）

A 、大于0

B 、小于0

C 、等于0

D 、以上结论都不对

解：由图可知f （x ）=ax （x+x 1）（x －x 2）（a ＜0）

f （－1）+f （1）= －a （－1+x 1）（－1－x 2）+a （1+x 1）（1－x 2）

=2a （x 1－ x 2）＞0 故答案选A

例6、函数y=f （x ）有以下表达式：

0 当x ＜

a 时

y=f （x ）= a b a x -- 当a ≤x ≤b 时

1 当x ＞b 时

（1） 证明对x ≥2b a +，都有f （x ）≥2

1； （2） 是否存在实数c ，使之满足f （c ）≥2

b a + 如有请求出它的范围，若没有请说明理由。

解：（1）①当x ＞b 时，f （x ）=1＞2

1成立；

②当2b a +≤x ≤b 时，由题设有f （x ）=a

b a x --， 而对于所给的2

b a +≤x 1≤x 2≤b ，f （x 1）－f （x 2）=a b x x --21＜0，所以f （x ）在[2

b a +，b ]上是递增函数，所以f （x ）≥2b a +=a

b a a b --+2=21，即所给的x ∈[2

b a +，b ]，f （x ）≥21。 （2）①当2

b a +≤0，即a +b ≤0时，对任意

c ∈R ，f （x ）≥2

b a + ②当2

b a +＞1，即a +b ＞2时，由题设f （

c ）≤1，矛盾即不存在满足要求的c 。 ③当2

b a +=1，即a +b =2时，由题设

c ≥b 时 f （c ）=1满足。

④当0＜2

b a +＜1，即0＜a +b ＜2时，令f （x 0）=2

b a +，解得x 0=a +22

2b a -,因为c ≥x 0时恒有f （c ）≥f （x 0），从而当c ≥a +2

2

2b a -时，f （c ）≥2

b a +。

例7、已知函数f （x ）=b

c bx x a -++-1)1(2（a 、b 、c 、∈N ）的图象按 a =（－1，0）平移后得到的图象关于原点对称，f （2）=2，f （3）＜3

（1）求a 、b 、c 的值； （2）设0＜|x |＜1，0＜|t |≤1，求证：|t +x |+|t －x |＜|f （tx +1）|；

（3）设x 为正实数，

求证f n （x +1）－f （x n +1）≥2n －2.

解：（1）函数f （x ）的图象按a =（－1，0）平移后得到

的图象的函数式为f （x ）=c

bx ax ++12，∵图象关于原点对称， ∵f （－x +1）= －f （x +1），即c x b x a +-+-)(1)(2

=－c bx ax ++12，