3.3.3 简单线性规划问题

3.3.3 简单线性规划问题
教学目标：
1.理解线性规划问题的有关概念
2.掌握简单的二元线性规划问题的求解方法．
3.能将有关的实际问题抽象为简单的二元线性规划问题． 教学重点：
简单二元线性规划问题的图解法． 教学过程： 一.问题情境
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A 种原料4吨、B 种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A 种原料1吨、B 种原料9吨，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10吨、B 种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？
为了理解题意，我们可以将已知数据整理成下表：
设计划生产甲，乙两种产品的吨数分别为x ，y ，根据题意，A ，B 两种原料分别不得超过10吨和60吨，所以上述问题转化为：
在约束条件⎩
⎨⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，
x ≥0，y ≥0
下,求出x ，y 使利润P ＝2x ＋y 达到最大．
约束条件⎩
⎨⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，
x ≥0，
y ≥0
可以表示平面区域（如图）
x ，y 取什么值时，P ＝2x ＋y 会达到最大呢？ x ，y 取不同的值，P 是不是一定不同？ P ＝2x ＋y 可以表示什么？
对于动直线，P 有没有几何意义？
P ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋P ，它表示斜率为－2，纵截距为P 的动直线，
动直线y ＝－2x ＋P 必须经过平面区域． 作直线l 0：y ＝－2x ．
作与l 0平行的动直线l ：y ＝－2x +P ，P ∈R ． 从图上可以看出：当l 在l 0的右上方时，直线l 往右平移时，P
随着增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，当直线l ：y ＝－2x ＋P 经过两直线4x ＋y ＝10与4x ＋3y ＝20的 交 点A (1.25，5)时，直线l 在y 轴上的截距P 最大．
因此，当x ＝1.25，y ＝5时，目标函数取得最大值2×1.25＋5＝7.5，即甲、乙两种产品分别生产1.25吨和5吨时，可获得最大利润7.5万元．
A
B C 0
l l l
二.数学理论
（1）线性约束条件
在上述问题中，不等式组是一组变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
（2）线性目标函数
关于x ，y 的一次式P =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
（3）线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（4）可行域和最优解
约束条件所表示的平面区域叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的解叫线性规划问题的最优解．
在上面的引例中，可行域是图中的阴影部分表示的四边形区域，其中A (1.25，5)使目标函数取得最大值，这个解就是这个问题的一个最优解．
线性规划是一种重要的优化模型，生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题． 三.数学应用
一、在可行域中寻找最优解
例1 确定可行域
⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y －5≤0，
2x －y －4≤0，x ≥0， 求z 的最大值．
解1 作出可行域（如图）
因为y x z
2+=，所以221z
x y +-=．
作直线l ：221z
x y +-=．由⎩⎨⎧-=-=+,
3,5y x y x 得点A （1，4）．
当直线l 过点A 时，2
z
取得最大值，这时z 取得最大值， 所以z max ＝1＋2×4＝9.
解2 作出可行域（如图）
因为y x z +=，所以z x y +-=．
作直线l ：z x y +-=．由⎩
⎨⎧-=-=+,3,
5y x y x 得点A （1，4）．
当点),(y x 在线段AB 上移动时，z 取得最大值． 所以z max ＝1＋4＝5.
结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义：在y 轴上的截距或其相反数．
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案．
例2. 投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200ｍ2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100ｍ2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900ｍ2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，求解之前，先将题中的数据整理成下表：
解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，
则约束条件为⎩
⎨⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，
x ≥0，y ≥0
目标函数为S ＝3x ＋2y ．
将目标函数S ＝3x ＋2y 变形为
y ＝－32x ＋S 2．
这是斜率为－3
2
，随S 变化的一族直线．
S 2是直线在y 轴上的截距，当S
2
最大时，S 最大，但直线要与可行域相交. 如图，使3x ＋2y 取得最大值的（x ，y ）是两直线2x ＋y ＝9与2x ＋3y ＝14的交点（3.25，2.5），此时S ＝14.75．
答：生产A 产品325吨，生产B 产品250ｍ时，获利最大，且最大利润为1475万元．
备用题:
某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低
解 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，
则约束条件为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，
0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈Z.
目标函数：z ＝320x ＋504y ． 作出可行域（如图），
问题：（5，2）和（8，0）哪个是最优解，该如何确定？
当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点时，ｚ有最小值，由于该点不是整点，故不是最优解．
由图可知，经过可行域内的整点（8，0），即x ＝8，y ＝0时，z min ＝2560． 答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低．
例4.要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ
三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
的小钢板的块数如下表所示：
27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥+≥+≥+.
,,0,0,273,182,152Z y x y x y x y x y x
作出可行域（如右图）：（阴影部分）
目标函数为y x z +=．
作出一组平行直线x +y =t ，其中经过可行域内
的点且和原点距离最近的直线，经过直线x +3y =27
和直线2x +y =15的交点A （5
39
,518）
，直线方程为x +y =
557． 由于539516和都不是整数，而最优解（x ，y ）中，x ，y 必须都是整数，可行域内点（5
39,518）
不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x +y =12，经过的整点是B (3，9)和C (4，8)，它们都是最优解．
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8
张，两种方法都最少要截两种钢板共12张． [说明] 在例题中，线性规划问题的最优解（
5
39
,518）不是实际问题的最优解，应注意到具有实际意义的x ,y 应满足x ∈N ，y ∈N ．故最优解应是整点坐标．
例：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥10，
2x －3y ≥－6，2x ＋y ≤10．下，
求z ＝x 2＋y 2
的最大值和最小值． z max
＝25
0=
z inx ＝4
例：已知⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，
3x ＋5y －25≤0，x ≥1．
求目标函数z ＝y
x
的最值．
z min ＝25，z max ＝225
．。