第一章勾股定理单元试卷及答案

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数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试(含答案解析)

故选C．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
10.试题分析：根据对称性可知：，，又，所以 ∽ ，根据相似的性质可得出：，，在中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．
12.在中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．
13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．
14. 如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入填“能”或“不能” ．
15. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为______．
整理得：，
解得：，两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5. 解：的面积，
由勾股定理得，，
则，
【解答】
解：由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，
根据勾股定理可知大正方形的面积为，，即，，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积．

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。

八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)

试卷第1页，共8页八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为（）A ．45B ．85C ．165D ．2452．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中5AE =，13BE =，则2EF 的值是（）试卷第2页，共8页A ．128B ．64C ．32D ．1444．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A ．4B ．8C ．12D ．165．往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽24cm AB =，则水的最大深度为（）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm6．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．87．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间试卷第3页，共8页的关系及勾股定理，可直接得到等式（）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++8．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：①m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；①1，2，3是一组广义勾股数；①13是广义斜边数；①两个广义斜边数的和是广义斜边数；①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；①两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．如图， Rt AED △中，90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====，则ED 的值为（）A 33B 34C 35D 37110．如图，在①ABC 中，AB ＝2，①ABC ＝60°，①ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ①l ，BF ①l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（）试卷第4页，共8页AB ．C ．D ．11．在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为①O 直径，作AD 交①O 于点E ，则BE 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．1212．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；①若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；①若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；①若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，OE ①AB 于E ，若①O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．试卷第5页，共8页14．一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米15．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．16．已知2(4)5y x x -+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．17．一个数的平方根是4a 和25a +，则=a _________，这个正数是_________．18．已知a 、b 、c 是一个三角形的三边长，如果满足2(3)450a b c ---=，则这个三角形的形状是_______．试卷第6页，共8页19732x y --，则2x ﹣18y 2＝_____．20．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm 无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A 处，然后遥控甲虫从A 处出发沿外壁面正方形ABCD 爬行，爬到边CD 上后再在边CD 上爬行3cm ，最后在沿内壁面正方形ABCD 上爬行，最终到达内壁BC 的中点M ，甲虫所走的最短路程是 ______cm三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？试卷第7页，共8页22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于种种原因，由C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得CB ＝3千米，CH ＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC 的长．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作： ①测得BD 的长为15米（注：BD CE ）；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH BC⊥，垂足为H，求BH的长度．25．（12，其中4x=．（2）已知x=y=，求22x xy y-+值．试卷第8页，共8页参考答案1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．D9．A10．A11．B12．C13．1614．815．7.5；16．203217．-3118．直角三角形19．2220．1621．(1)风筝的高度CE为21.6米；(2)他应该往回收线8米．22．（1）是；（2）2.5米．23．3米24．(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25．（1）62,122x（2）11答案第1页，共1页。

八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案

八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1章勾股定理单元测试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、选择题:（每题4分，共32分）1.三个正方形的面积如图（1），正方形A 的面积为（） A. 6 B. 36C. 64D. 82下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A. 1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,63. 有一三边长分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2的三角形.则此三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍5.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B. 310C. 25D. 5126.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（） A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm7.在△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为（）A. 14B. 14或4C. 8D. 4和88．已知Rt △ABC 中，两直角边及斜边长分别为a ，b ，c ，则下列结论恒成立的是( )A ．2ab <c 2B ． 2ab >c 2C ．2ab ≤c 2D ．2ab ≥c 2二、填空题:（每空4分，共28分）1.一个正方形的面积为1，那么以它的对角线为边长的正方形的面积是______.2. 一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则此三角形是__________三角形. 2. 三角形的三边满足a 2=b 2+c 2,这个三角形是______三角形，它的最大边是____.3. 一个直角三角形的三边长为三个连续自然数，则它的三边长为____________。

北师版八上数学第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

北师版八上数学第一章勾股定理单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）A．=345a b c==，，B．45 133 a b c===，，C．91215a b c===，，D．2a b c===，，2.如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A．10B．12C．14D．163.已知ABC△的三边长分别为5，13，12，则ABC△的面积为（）A．30B．60C．78D．不能确定4.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍5.已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形()．A．一定是等边三角形B．一定是等腰三角形C．一定是直角三角形D．形状无法确定6.如图所示，在ABC∆中，三边a b c，，的大小关系是（）A.a b c << B.c a b <<C.c b a << D.b a c<<7.如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（）A．x y =B．x y >C．x y <D．不确定8.以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形9.若三角形中两边的垂直平分线的交点正好落在第三条边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形10.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD ，EF ，GHB．AB ，EF ，GH C．AB ，CD ，GHD．AB ，CD ，EFF HG E D BC A二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是______三角形．12.△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______；(2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______；(4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．14.在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c,若c－a＝4，b＝16，则a、c 分别为.15.已知ABC ∆的A B C ∠∠∠，，的对边分别是a b c ，，，且满足()22220a b a b c -++-=，则三角形ABC 的形状是．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16.已知：三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE =AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．17.如图，ON是垂直于地面OM的墙面，AB是一根斜靠在墙面上长为a的木条，当木条端点A沿墙面下滑时，B沿地面向右滑行⑴设木条AB的中点为P，试判断木条滑行过程中，墙角处点O到P的距离怎样变化？说明理由⑵木条在什么位置时，ABO的面积最大？最大面积为多少？18.如图，已知CA⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD．（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长．19.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．20.已知a b c ，，为ABC △的三边，且()()()::2:7:1a c a b c b -+-=-，试判断△ABC 的形状．21.阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为13，求这个三角形的面积．22.如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．F E CB A答案解析一、选择题1.D2.C;可得到14个直角三角形，分别为ABE △、ADE △、ABD 、△BED 、△BCE CFE 、、△△BCF BEF 、、△△ACF ADF ACD CDF AEC DBF、、、、、△△△△△△3.A;∵22251213+=，∴三角形为直角三角形，∵长为5，12的边为直角边，∴三角形的面积=12×5×12=30．4.B5.C6.D;a =10b 5，c =13.选D.()()2222a a a x a y +=-++化简得()2220a x y x y -=+>，x y>8.B;设最大半圆半径为c ，最小半圆半径为a ，第三个半圆半径为b ，则三角形中最长边为2c ，最短边长为2a ，第三边为2b ；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，222222a b c πππ+=化简得：222a b c +=∴()()()222222a b c +=，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．9.B10.B;8AB =，20CD =5EF =13GH =，选B．二、填空题11.直角12.(1)13；(2)9；(3)2，3；(4)1，2．13.182cm ;设AB 为3x ，BC 为4x ，AC 为5x ，∵周长为36，AB +BC +AC =36，∴3x +4x +5x =36得x =3∴AB =9，BC =12，AC =15∵222AB BC AC +=，∴ABC △是直角三角形过3秒时，936236BP BQ =-==⨯=，∴()2119361822PBQ S BP BQ cm =⨯=⨯-⨯=△．14.a ＝30，c ＝3415.等腰直角三角形;因为222a b a b c =+=，，所以为等腰直角三角形三、解答题16.（1）先连接AD ，构造全等三角形：△BED 和△AFD ．AD 是等腰直角三角形ABC 底边上的中线，所以有∠CAD =∠BAD =45°，AD =BD =CD ，而∠B =∠C =45°，所以∠B =∠DAF ，再加上BE =AF ，AD =BD ，可证出：△BED ≌△AFD ，从而得出DE =DF ，∠BDE =∠ADF ，从而得出∠EDF =90°，即△DEF 是等腰直角三角形；（2）还是证明：△BED ≌△AFD ，主要证∠DAF =∠DBE （∠DBE =180°-45°=135°，∠DAF =90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．17.⑴木条在滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离保持不变，连结OP ，因为木条在滑行过程中，ABO ∆始终是以AB 为斜边的直角三角形，所以斜边上的中线1122OP AB a ==⑵设Rt ABO ∆中AB 边上的高为h ，则12ABC S ah ∆=，在木条滑动的过程中，三角形的面积随h 的变化而变化，显然除OH 与OP 重合外，总有OH OP <，即12h a <，当Rt ABO ∆是等腰直角三角形时，OH 与OP 重合，h 取得最大值12a ，这时三角形的面积最大，所以当木条与底面夹角为45︒时，ABO ∆的面积最大，最大面积为211112224ABC S ah a a a ∆==⋅=18.(1)易证△CAE∽△EBD，∴∠CEA+∠BED=∠CEA+∠ACE=90°，∴∠CED=90°，∴CE⊥DE(2)由（1）可知AC =5，AE =BD =12，∴CE =1319.EC＝3cm;设EC＝x，则6，CF＝4．在Rt CEF △中(8－x)2＝x 2＋42，解得x＝320.∵()():2:7a c a b -+=-∴9270a b c +-=①∵()():2:1a c c b --=-∴20a b c -+=②∵()():7:1a b c b +-=∴870a b c +-=③∵①+②得:3:5a c =，①-③得:3:4a b =∴::3:4:5a b c =∴△ABC 是直角三角形．21.（1）∵BD =CD ，AD =12BC ，∴AD =BD =DC ，∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，∵∠B +∠BAD +∠CAD +∠C =180°，∴∠BAD +∠CAD =90°，即∠BAC =90°．（2）根据题意用语言表述为：如果三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（3）因为一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，所以这个三角形为直角三角形，又∵1AB AC +=+∴()24AB AC +=+,2224AB AB AC AC +⨯+=+即224AB AC BC ⨯+=+，AB AC ⨯=∴直角三角形的面积可得2．22.过点A 作线段AD ，使CAF BAD ∠=∠，且AD AF =．在ACF ∆和ABD ∆中，AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD∆∆≌∴CF BD =，DBA FCA∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在ADE ∆和AFE ∆中，45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌∴ED EF =在Rt BDE ∆中，222DE BD BE =+，∴222EF BE FC =+．D F E C B A。

八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。

北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)

北师大版八年级上册数学第一单元《勾股定理》测试卷(含答案)一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列说法中，正确的是（）A. 在任意三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和B. 在直角三角形中，最长边的平方等于另外两边平方和C. 在直角三角形中，最长边的平方小于另外两边平方和D. 在直角三角形中，最长边的平方大于另外两边平方和答案：B2. 已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，那么它的斜边长是（）A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 16cm答案：A3. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB 的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 下列三角形中，能构成直角三角形的是（）A. 3, 4, 5B. 5, 6, 7C. 8, 9, 10D. 10, 11, 12答案：A5. 一个三角形的三边长分别是3cm、4cm和5cm，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：B6. 下列关于勾股定理的说法，错误的是（）A. 勾股定理的适用范围是直角三角形B. 勾股定理可以用来求直角三角形的斜边长C. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形D. 勾股定理只适用于直角三角形的直角边答案：D7. 如果一个三角形的两边长分别为5cm和12cm，那么第三边的长度可能是（）A. 13cmB. 14cmC. 15cmD. 16cm答案：A8. 在直角三角形中，如果最长边的长是10cm，那么另外两边长的可能取值是（）A. 6cm和8cmB. 5cm和12cmC. 3cm和4cmD. 2cm和3cm答案：B9. 已知直角三角形的斜边长为10cm，其中一条直角边长为6cm，那么另一条直角边长为（）A. 4cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm答案：B10. 下列图形中，不能用勾股定理求解的是（）A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 直角三角形答案：C二、填空题（每题4分，共40分）11. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=__________。

北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷含答案

第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：__________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A.5B.7C.5或7D.5或63．如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D．5个7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°9．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ． 40海里二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）11．一个三角形三边长度之比为1∶2∶3 ，则这个三角形的最大角为_______度．12．如图，等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为．13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为 m ．14．小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15米，则小红向东走了米．15．一个三角形三边满足22()2a b c ab +-=,则这个三角形是三角形．16．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面（填”合格”或”不合格”）．17．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．三、解答题（共46分）19．在RtΔABC中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB于D，求CD的长．21．（7分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河23．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1． C ．2． C ．3． D ．4． C ．5． D ．6． A ．7． D ．8． C ．9． C ．10． D ．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11． 900 ． 12． 10 ． 13． 480 m ． 14． 12 米．15．直角． 16．合格． 17． 30 cm 2． 18． 25 ．三、解答题（共46分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC 2 = AB 2 -AC 2 =42，∴BC=4，∵CD ⊥AB ，∴21AB·CD=21AC·BC，∴5CD=12，∴CD=512．．21．解：∵AD ⊥BC 于D ，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD 2=AB 2﹣BD 2=5∵DC=1，∴AC 2=AD 2+DC 2=5+1=6．∴AC= 22．解：设矩形的长是a ，宽是b ，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b ）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m ．23. 如图，作出A点关于MN的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B交MN 于点P，则A′B就是最短路线.在Rt△A′DB中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17km24．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，。

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第一章勾股定理单元试卷
一、填空题
1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为
22，则正方形边长为。

3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的。

4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是三角形。

5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米。

6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。

7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为。

8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F
9. 5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是。

10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且 OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径
画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是。

11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距海里。

12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2
+b 2
=c 2
成立的任何三个自然数。

我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2
-n 2
，b=2mn ，c=m 2
+n 2
，则a 、b 、c 就是一组勾股数。

请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和组成一组勾股数。

二、选择题（每小题3分，共18分）
13. 在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（）（A ）a 2
+b 2
=c 2
（B ）b 2
+c 2
=a 2
（C ）a 2
-b 2
=c 2
（D ）a 2
-c 2
=b 2 14. 在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（）
（A ）108cm 2 （B ）90cm
2
（C ）180cm
2
（D ）54cm 2
15. 在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是（）（A ）5 （B ）13 （C ）11 （D ）2
16. 池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（）（A ）3.75尺（B ）3.25尺（C ）4.25尺（D ）3.5尺
17. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股园方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2
的值为（）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169
18. 如图所示，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 距离为3m ，同时梯子顶端B 下降至B ′，那么BB ′ （）
（A ）等于1m （B ）小于1m （C ）大于1m （D ）以上都不对三、解答题（共58分）
19.（8分）如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
20.（8分）三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。

21.（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？
22.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

23.（10分）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 和BC 是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了有刻度的卷尺。

（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD 长30厘米，AB 长40厘米，BD 长50厘米，则AD 边垂直于AB 边吗？
24.（8分）观察下列各式，你有什么发现？
32
=4+5，52
=12+13，72
=24+25 92
=40+41…… 这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132
= + （2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

参考答案
一、填空题
1. 55
2. 2
3. 2倍
4. 直角
5. 540
6. 12、16
7. 5或7 8. 10 9. 12cm≤a≤13cm 10. -2、5
11. 30 12. 13
二、选择题
13. A 14. D 15. B 16. A 17. C 18. B
三、解答题
19. 13米
20. △ABC一定是直角三角形。

理由略。

21. 学校需投入7200元购买草皮。

22. 3cm
23. （1）用卷尺分别测量AD、AB、BD的长，然后计算AD2+AB2，看是否与BD2相等，如果相等，则△ABC
是直角三角形，AD⊥AB；否则不是直角三角形， DA不垂直AB，同理，可判断BC与AB是否垂直。

（2）∵AD2+AB2=302+402=502=BD2
∴∠DAB=90°∴AD边垂直AB边
24. （1）132=84+85
（2）任意一个大于1的奇数的平方可拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数。

（3）略。